2022年人教版《解直角三角形》公開課教案

28．2．1解直角三角形1．理解解直角三角形的意義和條件；(重點)2．根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素．(難點)一、情境導(dǎo)入世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜．設(shè)塔頂中心點為B,塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BCm，ABm，求∠A的度數(shù)．在上述的Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？二、合作探究探究點一：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，按以下條件解直角三角形．(1)假設(shè)a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)假設(shè)a＝6eq\r(2)，b＝6eq\r(6)，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．解析：(1)直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝eq\f(a,c)，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝sinB·c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6eq\r(2)，b＝6eq\r(6)，∴tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12eq\r(2).方法總結(jié)：解直角三角形時應(yīng)求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個元素的關(guān)系式求解．變式訓(xùn)練：見《》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練〞第4題【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長．解析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《》本課時練習(xí)“課后穩(wěn)固提升〞第4題【類型三】運(yùn)用解直角三角形解決面積問題如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,7)，D為邊AC上一點，∠BDC＝45°，DC△ABC的面積．解析：首先利用正弦的定義設(shè)BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進(jìn)一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,7)，設(shè)BC＝3k，那么AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴ABRt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(142－62)＝4eq\r(10)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×4eq\r(10)×6＝12eq\r(10).所以△ABC的面積是12eq\r(10).方法總結(jié)：假設(shè)條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個輔助未知數(shù)，列方程解答．變式訓(xùn)練：見《》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練〞第7題探究點二：解直角三角形的綜合【類型一】解直角三角形與等腰三角形的綜合等腰三角形的底邊長為eq\r(2)，周長為2＋eq\r(2)，求底角的度數(shù)．解析：先求腰長，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得底角的度數(shù)．解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝eq\r(2)，∵周長為2＋eq\r(2)，∴AB＝ACA作AD⊥BC于點D，那么BD＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角為45°.方法總結(jié)：求角的度數(shù)時，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《》本課時練習(xí)“課后穩(wěn)固提升〞第2題【類型二】解直角三角形與圓的綜合：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點C，連接AC交OB于點P.(1)求證：BP＝BC；(2)假設(shè)sin∠PAO＝eq\f(1,3)，且PC＝7，求⊙O的半徑．解析：(1)連接OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求證的結(jié)論；(2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答．解：(1)連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；(2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝eq\f(1,3)，設(shè)OP＝x，AP＝3x，∴AO＝2eq\r(2)x.∵AO＝OE，∴OE＝2eq\r(2)x，∴AE＝4eq\r(2)x.∵sin∠PAO＝eq\f(1,3)，∴在Rt△ACE中eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(3x＋7,4\r(2)x)＝eq\f(2\r(2),3)，解得x＝3，∴AO＝2eq\r(2)x＝6eq\r(2)，即⊙O的半徑為6eq\r(2).方法總結(jié)：此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列出方程．變式訓(xùn)練：見《》本課時練習(xí)“課后穩(wěn)固提升〞第9題三、板書設(shè)計1．解直角三角形的根本類型及其解法；2．解直角三角形的綜合．本節(jié)課的設(shè)計，力求表達(dá)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時間和寬松和諧的氣氛，讓學(xué)生學(xué)得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神和合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性.第2課時比例線段1．知道線段的比的概念，會計算兩條線段的比；(重點)2．理解成比例線段的概念；(重點)3．掌握成比例線段的判定方法．(難點)一、情境導(dǎo)入請觀察以下幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點進(jìn)行歸納嗎？這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形．它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應(yīng)的線段的長度不同．二、合作探究探究點一：線段的比【類型一】根據(jù)線段的比求長度如下列圖，M為線段AB上一點，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求線段AM、BM的長度．解：線段AM與MB的比反映了這兩條線段在全線段AB中所占的份數(shù)，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝eq\f(3,8)AB，MB＝eq\f(5,8)AB.∵AB＝16cm，∴AM＝eq\f(3,8)×16＝6(cm)，MB＝eq\f(5,8)×16＝10(cm)．方法總結(jié)：此題也可設(shè)AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更簡便，這也是解這類題常用的方法．【類型二】比例尺在比例尺為1∶50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm，那么甲、乙兩地的實際距離是________m.解析：根據(jù)“比例尺＝eq\f(圖上距離,實際距離)〞可求解．設(shè)甲、乙兩地的實際距離為xcm，那么有1∶50000＝3∶x，解得x＝150000cm＝1500m.方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實際尺寸的單位要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．探究點二：成比例線段【類型一】判斷線段成比例以下四組線段中，是成比例線段的是()A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm解析：將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四條線段成比例．四個選項中，只有C項排列后有eq\f(2,5)＝eq\f(6,15).應(yīng)選C.方法總結(jié)：判斷四條線段是否成比例的方法：(1)把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等作出判斷；(2)把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數(shù)的積與中間兩個數(shù)的積，看是否相等作出判斷．【類型二】由線段成比例求線段的長三條線段的長分別為1cm，eq\r(2)cm，2cm，請你再給出一條線段，使得它的長與前面三條線段的長能夠組成一個比例式．解：因為此題中沒有明確告知是求1，eq\r(2)，2的第四比例項，因此所添加的線段長可能是前三個數(shù)的第四比例項，也可能不是前三個數(shù)的第四比例項，因此應(yīng)進(jìn)行分類討論．設(shè)要求的線段長為x，假設(shè)x∶1＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\f(\r(2),2)；假設(shè)1∶x＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝x∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝2∶x，那么x＝2eq\r(2).所以所添加的數(shù)有三種可能，可以是eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，或2eq\r(2).方法總結(jié)：假設(shè)使四個數(shù)成比例，那么應(yīng)滿足其中兩個數(shù)的比等于另外兩個數(shù)的比，也可轉(zhuǎn)化為其中兩個數(shù)的乘積恰好等于另外兩個數(shù)的乘積．三、板書設(shè)計eq\a\vs4\al(比,例,線,段)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段,AB，CD的長度分別是m，