高數(shù)-1曲線積分

第一型曲線積設(shè)有一條不均勻的物質(zhì)曲線LAB為其二個(gè)端點(diǎn),并設(shè)L上任一點(diǎn)Mxyz處的線密度為xyz,把曲線L任意分割成n段，設(shè)第 ,i段上任取一點(diǎn)i,i,iii段的質(zhì)量mii,i,inmaxsi

若極限limi,i,isin0L的質(zhì)量mlimi,i,i0把曲線L任意分割成n段，設(shè)第i 在第i段上任取一點(diǎn) i,i,ii1,2, ,nn

若極限0

的任意分割法及中間點(diǎn)i,i,i的任意取法都存在，則稱此極限為函數(shù)fxyzL的第一型（對(duì)弧長(zhǎng)的）記作Lfxyzfxyz 說(shuō)明

fx,y,zdslim

f,

n n

曲線光滑或分段光滑（函數(shù)fx,y,z在曲線上連續(xù)是指 含L的區(qū)域上連續(xù). fx,y,z在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)，則fx,y,z在 平面第一型曲線積分形式是 Lfx,第一型曲線積分與曲線 無(wú) fx,y,zds fx,y,z 如果L(或)是分段光滑的 則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2設(shè)c1、c2為常數(shù)函數(shù)f(xy)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分oyxA(i,i) 求以xy面上弧AB為底o(hù)yxA(i,i)為頂?shù)闹娴拿?/p>

zf(x,nSlimf(i,i)sin0iLf(x,L 設(shè)平面曲線弧AB的線密度為(x,BB(i,iM2MiMiAM1nMlim(i,i)0iL(x,L 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì) 設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)L x(t ty(t(t)(t)在[]上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且2(t)2(t) Lf(x,

f(x,y)ds

f[(t),(t 2(t)2(t(n Lf(x,y)dslimf(i,i)n0in f0i

2(t)2(t

f[(t),(t 2(t)2(ts x2y2 令tAds dx2 注意定積分的下限一定要小于上限;L:y(

axbLf(x,y)dsb

f[x,(x)]12(x)dx.(aL:x(

cyddLf(x,y)dsd

f[(y), 12((cd:x(t y(t),z(tf(x,y,

(t

f[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t( 求I

xydsL橢圓xacosyybsin

(第象限解I

2acostbsin (asint)2(bcost)20ab2sintcos a2sin2tb2cos20

aa

(令u a2sin2ta2sin2tb2cos2

2abb2.3(a例求ILL是圓x2y24位于y2sin L:y2sin

0t2I 0

2cost2sin (2sin(2sint)2(2cost82sintcos0 求ILL y24x上(1,2)到(1,2) t L

x

t 求ILL y24x上(1,2)到(1,2) t L

x

t t2I t2 2

2t2

求I: xacost, yasint,zkt的一周 0t2I

acostasint a2k20a2ka2k2x2y2a2 D由x2y2a2圍(x2y2)dxdya2dxdya2a L x2y2(x2L

y2

a2dsa2 求I

x

x2y2z2a2: xyz 由對(duì)稱x2ds

y2dsz 3I

(x2y2z2

a

求曲面x2(ya)2a2被曲面x2y2z24a2截下的面積 S

4a2x2y2z0yxy0xL: x2ya)2az0yxy0xL x2ya)2a2一象限中的部 0xacosL yaasin2at2

ty4a2x24a2x2 4 4cos