河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試高等數(shù)學試卷及答案

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河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀專科生進入本科階段學習考試

高等數(shù)學試卷.單項選擇題（每題2分，共計60分）在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內.不選、內.不選、錯選或多選者,該題不得分.A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)D.1.f(x)=ln(1—x)+Jx+2的1.解:2.limx埠sinx--!解:2.limx埠sinx--!A.1B.0C.(-2,1)1-x>0；二x+2>0D.3解:lim1-2cosx03sinx-13解:lim1-2cosx03sinx-13Jlimx匚32sinxcosx-3J32——3.占八\、3x-13x1A.連續(xù)點B.A.連續(xù)點B.跳躍間斷點 C.可去間斷點D. 第二類間斷點解:limx-03x13x-1i1 0 21r 3,-1J 371n3=-1,lim-1解:limx-03x13x-1i1 0 21r 3,-1J 371n3=-1,lim-1 ==lim―； =1=B.Xj0，1 x)0，13X1 3X1n34.下列極限存在的為()A.limexx_］二B.sin2xlimx-0 xC.limcoslx6xx-3解：顯然只有sin2x0 二2其他三個都不存在B.TOC\o"1-5"\h\z.當xt0時，ln(1+x2)是比1—cosx的( )A.低階無窮小B.高階無窮小C.等階無窮小D.同階但不等價無窮小2角牛：ln(1x2)?x2,1-cosx=2sin2-~ —D.2 2'。 11+(x+1)sin ,x<-1、 x+1.設函數(shù)f(x)=<1, -1<x<0 )則f(x)arctanx, x>0

A.在x=—1處連續(xù)，在x=0處不連續(xù) B.在x=0處連續(xù)，在x=_1處不連續(xù)C.在x=f0,處均連續(xù) D.在x=-i,0,處均不連續(xù)解：lim1f(x)=1,limj(x)=1,f(-1)=1= f(x)在x=—1處連續(xù)；x xlimj(x)=1,limj(x)=0,f(0)=1nf(x)在x=0處不連續(xù)；x_0- x_0'應選A..過曲線y=arctanx+e*上的點(0,1)處的法線方程為()A.2x—y+1=0 B. x—2y+2=0C.2x-y-1=0 D. x2y—2=0解：y=^^+exn「(0)=2=k法=D.1x 2.設函數(shù)f(x)在x=0處可導,f(x)=f(0)—3x+a(x)且lim?=0,則f(0)=()xxA.-1 B.1C.-3D.3解:f(0)"m0f(x)-f(0)

x—0lim^^=.31x0 x—0-3,應選C.9.若函數(shù)f(x)=(lnx)x(x>1)則f(x)=A.(lnx)小B.(lnx)xl (lnx)xln(lnx)C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)xf(x)=(lnx)x=exln(lnx)=y=(lnx)x[xln(lnx)]=(lnx)xJ (Inx)ln(lnx),應選B.10.設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程」3,-t確定，則y=sintd2ydx2A.-2B.-1C.解：蟲=?二,dxcost駕=^2- 2^dxcost3costsintd2ydx2f”,應選D.411.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理條件的是A.y二exB.y=ln|x|C.y=1-x2解：驗證羅爾中值定理的條件,只有y=1.x2滿足,應選C.曲線 y=x3+5x-2 的拐點是()A.x=0 B. (0,-2) C.無拐點D.x=0,y=—2解：y*=6x=0=x=0=(0,-2),應選B.曲 線 y=，|x-1|()A.只有水平漸進線 B. 既有水平漸進線又有垂直漸進線C.只有垂直漸進線 D. 既無水平漸進線又無垂直漸進線解：lim—1-=0,lim-1-二一B.x—；：：|x-1|x：1|x_1|如果f(x)的一個原函數(shù)是xlnx,那么fx2f"(x)dx=()A.lnxC B. x2C

D.C.x3InxCD.角軍: f(x)=(xlnx)'=1+lnx=f"(x)=12njx2f"(x)dx=—jdx=—x十C,x應選D.15.()B.A.Nx-3CB.C.ln(x-3)-ln(x-1)CD.C.ln(x-3)-ln(x-1)CD.ln(x-1)-ln(x-3)C解:dx dx! 解:dx dx! 2 !x2-4x3(x-3)(x-1)-￡[dxTn君+C，應選A.16.設i=01*,則i的取值范圍為01x7()A.o<i<1 B.1<i<1 C.0與i——2 4D.1<i<12解：此題有問題，定積分是一個常數(shù)，有量士盯2 1-x4根據(jù)定積分的估值性質，有.i",但這個常數(shù)也在其

它三個區(qū)間，都應該正確，但真題中答案是B.下列廣義積分收斂的是()A.：x3dx B.：^dx C.「【xdx1xr-\"bo?D.edx-0解：顯然應選D.18.(A.18.(A.13J)3TOC\o"1-5"\h\z011-x|dx B.(x-1)dx(1-x)dx3 1C.f(1-x)dx-j(x-1)dx D.3f 11 3L(1-x)dx+4x-1)dx,應選一(1-x)dxL(1-x)dx+4x-1)dx,應選解:3 1 3解:q|1-x|dx=J1-x|dx，I|1-x|dx=D.19.若f(x)可導函數(shù))f(x)>0)且滿足A.ln(1cosx) B.-ln(1cosx)CC.-ln(1+cosx) D.ln(1cosx)C解：對/(刈=/2一21%畫“兩邊求導01-cost有：2f(x)f(x)=-2詈吟1cosxJsinx sinx. d(1cosx)即侶f(x)= f(x) dx=1cosx 1cosx1cosx

=ln(1+cosx)+C,還初始條件f(0)=ln2,代入得c=0,應選A..若函數(shù)f(x)滿足f(x)=x+1—![f(x)dx 貝Uf(x)=2-1A.B.C.D.解:f(x)dx,貝Uf(x)=x+1—3a故有A.B.C.D.解:f(x)dx,貝Uf(x)=x+1—3a故有a=」f(x)dx=d(x1-1—a)dx=2-a=a=1=2f(x)=x+；,應選C.. 若I=jx3f(x2)dx 則e20e20xf(x)dxe0xf(x)dx1e2一xf(x)dx20D1,xf^dx2.0解：I=2jx2f(x2)d(x2)=2jtf(t)d(t)=2jxf(x)d(x),應選C..直線答二T十與平面4x-3y+7z=5的位置關系為A.直線與平面斜交 B.直線與平面垂直C.直線在平面內 D. 直線與平面平行

解：s={5,9,1},n={4,T7}=s，n,而點(-2,-4,0)不在平面內，為平行，應選D.23.2 223...xylim xZo x2-y21-1A.2B.3A.2B.3C.1D.不存在A.解:limx0

y-0=limA.解:limx0

y-0=lim.x2 y21-1冷2 2 2 2(xy)(.xy11)2 2xy=lim(.x2y211)=2y,應選24.曲面z=x2+y2在點（1,2,5）處切平面方程A.2x+4y—z=5 B.4x+2y—z=5C.x+2y_4z=5解：令F(x,y,z)=x2+y2—z,Fx(1,2,5)=2,F；(1,2,5)=4,F；(1,2,5)=—1=2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0=2x+4y-z=5,也可以把點(1)2)5)代入方程驗證，應選A.、一 _- -2設函數(shù)z=x3y—xy3 則三^=ycx

A.6xy B.3x2-3y2D.3y2-3x2-2解：名=x3-3xy2="=3x2—3y2,應選B.二y :y：x26.如果區(qū)域 D被分成兩個子區(qū)域口f(x,y)dxdy=5)Di口f(x,y)dxdy=1 , 貝UD2( )A.5B.4C.6D.1解：根據(jù)二重積分的可加性,Hf(x,y)dxdy=6D27.如果l是擺線Vsint從點A(2m到點

、y=1-costC.-6xyD1C.-6xyD1和D2且f(x,y)dxdy=D,應選C.B(0,0)的——2 x 1 3(xy3xe)dx(—x-ysiny)dy二L 3

B.D.A.e2二(1-2-)_1B.D.2[e2二(1-2二)一1]C.3[e”(1-2二)一1]4[e2](1一2二)一1]解：有北:義=x2=此積分與路徑無關，取直線段TOC\o"1-5"\h\z. .rv ，二y 二xX=x,x從2n變到0,則2 x 1 32 x 1 3Jxy3xe)dx(-x一ysiny)dy=[3xexdx=3[xdex=3(xex-ex)，2冗 ,2兀 、 '=3[e2](1-2I)_1],應選C..以通解為y=Ce*(C為任意常數(shù))的微分方程為()A.yy=0B.y-y=0C.yy=1D.y-y1=0解：y=Cex=yr=Cex=sy'-y=0,應選B..微分方程y,+y=xe-的特解形式應設為八()A.x(ax+b)e^ B.ax+b C.(ax+b)e^

D.x2(axb)e"解：-1是單特征方程的根，x是一次多項式，應設y*=x(ax+b)e'應選A..下列四個級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是A.B.00zn=4A.B.00zn=42n-31000nC.oCznpn2n一0°1D.、4n=4n解：級數(shù)工施的一般項施的極限為京叫是發(fā)散的,應選B.二、填空題（每題2分，共30分）條件是.limf（x）=A的條件是limf(x)=limf(x)=A.x—x0- x及一解：顯然為充要（充分且必要）..函數(shù)y=x—sinx在區(qū)間（0,2町單調,其曲線在區(qū)間㈢內的凹凸性為的.解：y，=1-cosx>0=在（0,2町內單調增加，y"=sinx在'0,」|,2

內大于零，應為凹的.33.設方程3x2+2y2"2=a(a為常數(shù))所確定的隱函數(shù)z=f(x,y),貝U名=.次解：F=3xAB={-1,1,0},AC={2,0,-1}nabmAC=-12y2z2—a=Fz=2z,Fx=6x—z=一Fx=_AB={-1,1,0},AC={2,0,-1}nabmAC=-1_ I-F _；x Fz z34.dx1 .x34.dx1 .x2tdt1t1 1、2tdt1t1一——dt=2t-2ln(1+t)+C=2<x-2ln(1+Vx)+C<1+t.J35.解：函數(shù)二在區(qū)間K］是奇函數(shù)，所以xcosxdx=0.xcosx在空間直角坐標系中，以解:j k1 0={-1,-1,-2})所0-1A(0,-4,1),B(—1,—3,1),C(2,—4,0)解:j k1 0={-1,-1,-2})所0-1以MBC的面積為1 -1ABMAC37.方程,2 2a+:=1在空間直角坐標下的圖形為Jx--2解：是橢圓柱面與平面x=-2的交線,為兩條平行直線.38.函數(shù)f(x,y)=x3+y3—3xy的駐點為.:z——=3x；x解：臣f-y-3y=0=(0,0),(1,1).-3x-039.若1z=x2y+e1，q,xy3+2tan解：f(x,0)=0=*=0= |zx x=0.(i,0)(1,0)315T40.；dx*dy二0xy解:71 y14-cosydy=:dyq—cosydx=:cosydy=sin乂4=41.直角坐標系下的二重積分 卜(x,y)dxdy(其中D為環(huán)D域1Mx2+y2M9 )化為極坐標形式為解:2二311f(x,y)dxdy=df(rcos工rsinRrdr.

■0 11二…1二xnJ-(-1二…1二xnJ-(-1)nxn-l-43nm 6n反2n1 1n「八-3^x,(-1<x<1)0045.-n1n記的斂散性為的級數(shù).解:.以y=Cie，x+C2xe型為通解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為.解：由y=C,l1 1 1 1 1111用半：f(x)=- =一- =一- -- -x-2 3111 1 1 1 1111用半：f(x)=- =一- =一- -- -x-2 3111x2-x31x61一2.等比級數(shù)Jaqn（a/0）,當時級數(shù)收斂,當nz0時級數(shù)發(fā)散.解：級數(shù)Jaqn是等比級數(shù)，當|q|<1時，級數(shù)收斂，當n=0|q戶1時，級數(shù)發(fā)散..函數(shù)f（x）=展開為x的哥級數(shù)為x。x-2、計算題（每小題5分，共40分）46.limx222 -T(x-3x25解:x2 2lim2x-^x2-3,=lim一x>:-1-x23 一33

(-)2limi1-2r

x32xx2 3-3(-2)5=e2.47.求四xtV1+t2dt解:limx—.0x2 (闖1+t2dt=limx_04x3x231x42xlim——

x3031x448.已知y=lnsin(1-2x),求dy.dx解:dxsin(1-2x)Sin(1-2x)1=cos(1-2x)sin(1-2x)-2xcC0S(1-2x)_2sin(1-2x)49.解:=-2cot(1-2x).計算不定積分fxarctanxdx.「 「 x[xarctanxdx=[arctanxd——<2xarctanx—-2arctanx-11x2121一2,1121一2,1II. 1dy=Ly3y"1748一arctanx--x—arctanxC.TOC\o"1-5"\h\z2 2 250.求函數(shù)z=excos(x+y)的全微分.解：利用微分的不變性,x x xdz=d[ecos(xy)]=edcos(xy)cos(xy)de二-exsin(xy)d(xy)cos(x'y)exdxx x二-esin(xy)[dxdy]cos(xy)edxx x=e[cos(xy)-sin(xy)]dx-esin(xy)dy51.計算口4d、其中D是由y=2,y=x,xy=1所圍成的dy閉區(qū)域.解：積分區(qū)域D如圖所示Y型，則有D=$(x,y)11<y<2,-yExEy?,x. . .?八.-dxdy=1dy1—dxdy 21 y 2121 y 21=「dy.1xdx=1—dy1y y 1y52.求微分方程yycosx=e到x滿足初始條件y(0)=-i的特解.解：這是一階線性非齊次微分方程，它對應的齊次微分方程y，+ycosx=0的通解為y=Ce,inx,設y=C(x)e-nx是原方程解，代入方程有C(x)e'inx=eqnx,即有C(x)=1,所以C(x)=x+C,故原方程的通解為八_sinx _sinxy=Ce+xe,把初始條件y(0)=-i代入得：c=-i，故所求的特解為sinxy=(x-1)e .n53.求級數(shù)工工xn的收斂半徑及收斂區(qū)間(考慮n=0n1區(qū)間端點).解：這是標準的不缺項的每級數(shù)，收斂半徑R=《,而P=1櫥=limW=3lim叱1=3,Tan fn+23n n*n+2 '故收斂半徑R」.3當x=1時，級數(shù)化為9白，這是調和級數(shù)，發(fā)散的；3 n=0n1

當x=-1時，級數(shù)化為-V，這是交錯級數(shù),滿足3 n.0n1萊布尼茲定理的條件，收斂的；所以級數(shù)的收斂域為一1,1.一33四、應用題(每題7分，共計14分)54.過曲線y=x2上一點m(i,i)作切線l,d是由曲線y=x2,切線l及x軸所圍成的平面圖形，產(chǎn) 2 _(1)平面圖形D的面積；(2)該平面圖形D繞(1)平面圖形D的面積；(2)該平面圖形D繞x軸旋*-體積.解：平面圖形D如圖所示：因y=2x,所以切線L的斜率切線L的方程為y-1=2(x-1),即y=；取x為積分變量，且xw[0,1].(1)平面圖形D的面積為3112 1 x 2S=1xdx-ji(2x-1)dx=--(x-x)，0 .2 3o(2)平面圖形D繞x軸旋憶一周所工轉仲的o21k=y'(1)=2,2x-111=2 12一周所生成旋轉體的體|y=x2tx=JyVx-二1 1 Y54