大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36

(4)求出曲線的全部漸近線(5)需要時(shí)可由曲線的方程計(jì)算出一些適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的坐標(biāo).(6)列表表示上述討論的結(jié)果,在坐標(biāo)系里畫(huà)出漸近線和控制點(diǎn)(各種特殊點(diǎn),包括極值頂點(diǎn),拐點(diǎn)等),再根據(jù)單調(diào)性與凹凸性,可確定曲線的走向,畫(huà)出該曲線.例5作出例4中函數(shù)的圖形(4)求出曲線的全部漸近線例5作出例4中函數(shù)的圖形(1)定義域?yàn)閤≠1的實(shí)數(shù);當(dāng)x=1時(shí)為間斷點(diǎn),x=0時(shí)y=-9/4,y=0,x=3曲線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,-9/4),(3,0)(2)(1)定義域?yàn)閤≠1的實(shí)數(shù);當(dāng)x=1時(shí)為間斷點(diǎn),(2)令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函數(shù)的定義域分成四個(gè)區(qū)域:曲線在(-∞,-1],[3,+∞)之內(nèi)y’>0,函數(shù)單調(diào)上升;曲線在[-1,1),(1,3]內(nèi)y’<0函數(shù)單調(diào)下降.函數(shù)在x=-1時(shí),它從左到右,一階導(dǎo)數(shù)由大到小(變號(hào))有極大值y(-1)=-2;函數(shù)在x=3時(shí)它從左到右,一階導(dǎo)數(shù)由小到大(變號(hào))有極小值y(3)=0令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,(3)當(dāng)x<1時(shí),y”<0,曲線上凸,當(dāng)x>1時(shí),y”>0,曲線下凹,沒(méi)有拐點(diǎn).x=1時(shí),函數(shù)沒(méi)有定義,但y”不存在.函數(shù)值為無(wú)窮大.因此x=1不是點(diǎn).(3)當(dāng)x<1時(shí),y”<0,曲線上凸,當(dāng)x>1時(shí),y”>0,(4)漸近線為x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲線的豎直漸近線是曲線的斜漸近線(5)函數(shù)沒(méi)有始點(diǎn)和終點(diǎn),為此我們作一些輔助點(diǎn)(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)(4)漸近線為x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲線yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+綜合上面的討論,列表如下:yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1下面我們研究三個(gè)問(wèn)題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.(2)證明某些等式.(3)方程根的進(jìn)一步討論.(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是?？嫉念}型.主要的方法有:10利用導(dǎo)數(shù)定義證明.20利用微分中值定理;30利用函數(shù)的單調(diào)性;下面我們研究三個(gè)問(wèn)題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式40利用極值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函數(shù)的凹凸性證明

20利用微分中值定理若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證的不等式的兩端含有f(x)的函數(shù)值,特別是f(x)的表達(dá)式不知道時(shí),或不等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時(shí),常用拉格朗日中值定理證.若不等式兩端或一端是兩類不同函數(shù)的商或可寫(xiě)成兩類函數(shù)的商時(shí),常用柯西中值定理證.40利用極值(或最值);20利用微分中值例2證明不等式證明：把lna乘以各式,得到例2證明不等式證明：把lna乘以各式,得到區(qū)間[1/(n+1),1/n]上的增量,可以對(duì)f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)因?yàn)槭呛瘮?shù)f(x)=ax在區(qū)間[1/(n+1),1/n]上的增量,可以對(duì)f(x)使用拉大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36例3例3大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3630利用函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)要證的不等式兩端是給定的兩個(gè)表達(dá)式,或不等式一端或兩端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)則常需要用單調(diào)性證.解：:為證不等式,只要證例4當(dāng)x>0時(shí),證明不等式30利用函數(shù)的單調(diào)性解：:為證不等式,只要證例4當(dāng)x>其輔助函數(shù)為其輔助函數(shù)為所以當(dāng)x>0時(shí),f(3)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)從而f’(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,于是當(dāng)x>0時(shí)f’(x)>f’(0)=0所以當(dāng)x>0時(shí),f(3)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)例5設(shè)f”(x)<0,f(0)=0,證明當(dāng)0<a≤b時(shí),f(a+b)<f(a)+f(b)函數(shù)f’(x)嚴(yán)格單調(diào)減少證明:要證明f(a+b)<f(a)+f(b)就只要證f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)例5設(shè)f”(x)<0,f(0)=0,證明當(dāng)0<a≤b大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3640利用函數(shù)的極值與最值例6對(duì)任意實(shí)數(shù)x,證明不等式40利用函數(shù)的極值與最值例6對(duì)任意實(shí)數(shù)x,證明不大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36例7設(shè)f(x)在[a,b]上二次可微,且對(duì)任意x∈(a,b),有|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),證明50利用泰勒公式若已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有二階以上的導(dǎo)數(shù),在證不等式時(shí)常用泰勒公式.例7設(shè)f(x)在[a,b]上二次可微,且對(duì)任意x∈(a,大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3660利用函數(shù)的凹凸性證明函數(shù)的凹凸性主要用于證明二元不等式例8證明當(dāng)x>0,y>0時(shí),xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/260利用函數(shù)的凹凸性證明例8證明當(dāng)x>0,y>0時(shí),xl(2)證明某些等式利用導(dǎo)數(shù)證明等式常用10羅爾定理(要證明某個(gè)函數(shù)或一個(gè)式子等于0或其導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)).20拉格朗日定理.30柯西定理.關(guān)于用2或3的情況是若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證的等式的兩端含有f(x)的函數(shù)值,特別是f(x)的表達(dá)式不知道時(shí),或等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時(shí),常用拉格朗日中值定理證.若等式兩端或一端是兩類不同函數(shù)的商或可寫(xiě)成兩類函數(shù)的商時(shí),常用柯西中值定理證.

(2)證明某些等式關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通常用移項(xiàng)(把等式一端的項(xiàng)全移到另一端)或把等式變形,或變形后再移項(xiàng)或變形后用逆推的方法.解:輔助函數(shù)為例9設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0.證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,這里的λ是任意實(shí)數(shù).關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通常用移項(xiàng)(把等式一端的項(xiàng)全移解:根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,φ(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)也可導(dǎo).滿足羅爾定理,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ例10設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)(0<a<b),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證明在(a,b)內(nèi)存在ξη,使得根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,φ(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,(3).證明方程的根的存在性與個(gè)數(shù)方程的根可以看成函數(shù)的零點(diǎn),為了利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)理論,通常把方程的根的討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)討論.關(guān)于方程根的證明,主要有兩種情況(1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)或幾個(gè)根

1.利用介值定理證明方程根的存在性(3).證明方程的根的存在性與個(gè)數(shù)(1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)內(nèi)各有一個(gè)根.xyY=lnx1例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)內(nèi)各有2.利用羅爾定理證明方程根的存在性這個(gè)方法是作一個(gè)在指定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù),把根的存在性轉(zhuǎn)化為該輔助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性.例12設(shè)實(shí)數(shù)a0,a1,a2,a3,…an,滿足關(guān)系式證明方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.2.利用羅爾定理證明方程根的存在性例12設(shè)實(shí)數(shù)a0,大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36(2).證明方程在給定的區(qū)間內(nèi)有唯一的根或最多有幾個(gè)根證明的步驟和方法如下:

方法有:㈠利用函數(shù)的單調(diào)增減性;㈡用反證法,通常可利用羅爾定理,拉格朗日定理導(dǎo)出矛盾.2.再證唯一性或最多有幾個(gè)根.方法有:㈠利用連續(xù)性函數(shù)的介值定理;㈡利用羅爾定理.1.先證存在性(2).證明方程在給定的區(qū)間內(nèi)有唯一的根或最多有幾個(gè)根方法例13設(shè)f(x)在[0,1]上可導(dǎo),且0<f(x)<1,又對(duì)于(0,1)內(nèi)所有的x,f’(x)≠-1,證明方程f(x)=1-x在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根.證明:先證存在性.令φ(x)=f(x)+x-1,則φ(x)在[0,1]上可導(dǎo),因?yàn)?<f(x)<1,所以φ(0)=f(0)-1<0,φ(1)=f(1)>0,由介值定理知φ(x)在[0,1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).即方程f(x)=1-x在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.例13設(shè)f(x)在[0,1]上可導(dǎo),且0<f(x)<1,再證唯一性.用反證法.設(shè)方程f(x)=1-x在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)根x1,x2.不妨設(shè)0<x1<x2<1.即f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2.對(duì)f(x),在[x1,x2][0,1]上應(yīng)用拉格朗日中值定理,有ξ∈(x1,x2),使這與假設(shè)f’(x)≠-1矛盾,故唯一性得證.再證唯一性.這與假設(shè)f’(x)≠-1矛盾,有些同學(xué)是這樣做的:其實(shí)(下面是按的微分展開(kāi))與1相比,并沒(méi)有近似為0.所以上面的解法和精確的值相差較大.應(yīng)該是這樣做:計(jì)算的近似值有些同學(xué)是這樣做的:其實(shí)(下面是按(4)求出曲線的全部漸近線(5)需要時(shí)可由曲線的方程計(jì)算出一些適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的坐標(biāo).(6)列表表示上述討論的結(jié)果,在坐標(biāo)系里畫(huà)出漸近線和控制點(diǎn)(各種特殊點(diǎn),包括極值頂點(diǎn),拐點(diǎn)等),再根據(jù)單調(diào)性與凹凸性,可確定曲線的走向,畫(huà)出該曲線.例5作出例4中函數(shù)的圖形(4)求出曲線的全部漸近線例5作出例4中函數(shù)的圖形(1)定義域?yàn)閤≠1的實(shí)數(shù);當(dāng)x=1時(shí)為間斷點(diǎn),x=0時(shí)y=-9/4,y=0,x=3曲線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,-9/4),(3,0)(2)(1)定義域?yàn)閤≠1的實(shí)數(shù);當(dāng)x=1時(shí)為間斷點(diǎn),(2)令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函數(shù)的定義域分成四個(gè)區(qū)域:曲線在(-∞,-1],[3,+∞)之內(nèi)y’>0,函數(shù)單調(diào)上升;曲線在[-1,1),(1,3]內(nèi)y’<0函數(shù)單調(diào)下降.函數(shù)在x=-1時(shí),它從左到右,一階導(dǎo)數(shù)由大到小(變號(hào))有極大值y(-1)=-2;函數(shù)在x=3時(shí)它從左到右,一階導(dǎo)數(shù)由小到大(變號(hào))有極小值y(3)=0令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,(3)當(dāng)x<1時(shí),y”<0,曲線上凸,當(dāng)x>1時(shí),y”>0,曲線下凹,沒(méi)有拐點(diǎn).x=1時(shí),函數(shù)沒(méi)有定義,但y”不存在.函數(shù)值為無(wú)窮大.因此x=1不是點(diǎn).(3)當(dāng)x<1時(shí),y”<0,曲線上凸,當(dāng)x>1時(shí),y”>0,(4)漸近線為x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲線的豎直漸近線是曲線的斜漸近線(5)函數(shù)沒(méi)有始點(diǎn)和終點(diǎn),為此我們作一些輔助點(diǎn)(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)(4)漸近線為x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲線yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+綜合上面的討論,列表如下:yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1下面我們研究三個(gè)問(wèn)題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.(2)證明某些等式.(3)方程根的進(jìn)一步討論.(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是?？嫉念}型.主要的方法有:10利用導(dǎo)數(shù)定義證明.20利用微分中值定理;30利用函數(shù)的單調(diào)性;下面我們研究三個(gè)問(wèn)題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式40利用極值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函數(shù)的凹凸性證明

20利用微分中值定理若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證的不等式的兩端含有f(x)的函數(shù)值,特別是f(x)的表達(dá)式不知道時(shí),或不等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時(shí),常用拉格朗日中值定理證.若不等式兩端或一端是兩類不同函數(shù)的商或可寫(xiě)成兩類函數(shù)的商時(shí),常用柯西中值定理證.40利用極值(或最值);20利用微分中值例2證明不等式證明：把lna乘以各式,得到例2證明不等式證明：把lna乘以各式,得到區(qū)間[1/(n+1),1/n]上的增量,可以對(duì)f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)因?yàn)槭呛瘮?shù)f(x)=ax在區(qū)間[1/(n+1),1/n]上的增量,可以對(duì)f(x)使用拉大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36例3例3大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3630利用函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)要證的不等式兩端是給定的兩個(gè)表達(dá)式,或不等式一端或兩端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)則常需要用單調(diào)性證.解：:為證不等式,只要證例4當(dāng)x>0時(shí),證明不等式30利用函數(shù)的單調(diào)性解：:為證不等式,只要證例4當(dāng)x>其輔助函數(shù)為其輔助函數(shù)為所以當(dāng)x>0時(shí),f(3)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)從而f’(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,于是當(dāng)x>0時(shí)f’(x)>f’(0)=0所以當(dāng)x>0時(shí),f(3)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)例5設(shè)f”(x)<0,f(0)=0,證明當(dāng)0<a≤b時(shí),f(a+b)<f(a)+f(b)函數(shù)f’(x)嚴(yán)格單調(diào)減少證明:要證明f(a+b)<f(a)+f(b)就只要證f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)例5設(shè)f”(x)<0,f(0)=0,證明當(dāng)0<a≤b大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3640利用函數(shù)的極值與最值例6對(duì)任意實(shí)數(shù)x,證明不等式40利用函數(shù)的極值與最值例6對(duì)任意實(shí)數(shù)x,證明不大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36例7設(shè)f(x)在[a,b]上二次可微,且對(duì)任意x∈(a,b),有|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),證明50利用泰勒公式若已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有二階以上的導(dǎo)數(shù),在證不等式時(shí)常用泰勒公式.例7設(shè)f(x)在[a,b]上二次可微,且對(duì)任意x∈(a,大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件36大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件3660利用函數(shù)的凹凸性證明函數(shù)的凹凸性主要用于證明二元不等式例8證明當(dāng)x>0,y>0時(shí),xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/260利用函數(shù)的凹凸性證明例8證明當(dāng)x>0,y>0時(shí),xl(2)證明某些等式利用導(dǎo)數(shù)證明等式常用10羅爾定理(要證明某個(gè)函數(shù)或一個(gè)式子等于0或其導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)).20拉格朗日定理.30柯西定理.關(guān)于用2或3的情況是若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證的等式的兩端含有f(x)的函數(shù)值,特別是f(x)的表達(dá)式不知道時(shí),或等式中含有f(x)的導(dǎo)數(shù)時(shí),常用拉格朗日中值定理證.若等式兩端或一端是兩類不同函數(shù)的商或可寫(xiě)成兩類函數(shù)的商時(shí),常用柯西中值定理證.

(2)證明某些等式關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通常用移項(xiàng)(把等式一端的項(xiàng)全移到另一端)或把等式變形,或變形后再移項(xiàng)或變形后用逆推的方法.解:輔助函數(shù)為例9設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0.證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,這里的λ是任意實(shí)數(shù).關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通常用移項(xiàng)(把等式一端的項(xiàng)全移解:根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,φ(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)也可導(dǎo).滿足羅爾定理,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ例10設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)(0<a<b),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證明在(a,b)內(nèi)存在ξη,使得根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,φ(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,(3).證明方程的根的存在性與個(gè)數(shù)方程的根可以看成函數(shù)的零點(diǎn),為了利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)理論,通常把方程的根的討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)討論.關(guān)于方程根的證明,主要有兩種情況(1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)或幾個(gè)根

1.利用介值定理證明方程根的存在性(3).證明方程的根的存在性與個(gè)數(shù)(1)證明方程在某區(qū)間內(nèi)至例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)內(nèi)各有一個(gè)根.xyY=lnx1例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)內(nèi)各有2.利用羅爾定理證明方程根的存在性這個(gè)方法是作一個(gè)在指定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù),把根的存在性轉(zhuǎn)化為該輔助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性.例12設(shè)實(shí)數(shù)a0,a1,a2,a3,…an,滿足關(guān)系式證明方程a0+a1x+a