《理論力學（第2版）》第十三章 達朗貝爾原理

第十三章達朗貝爾原理§13-2達朗貝爾原理§13-1慣性力的概念§13-3慣性力系的簡化§13-4一般轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力達朗貝爾的生平

達朗貝爾是法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，一生研究了大量課題，完成了涉及多個科學領域的論文和專著，其中最著名的有八卷巨著《數(shù)學手冊》、力學專著《動力學》、23卷的《文集》、《百科全書》的序言等等。《動力學》是達朗貝爾最偉大的物理學著作。他提出了三大運動定律；還提出了達朗貝爾原理，它與牛頓第二定律相似，但它的發(fā)展在于可以把動力學問題轉(zhuǎn)化為靜力學問題處理，這一原理使一些力學問題的分析簡單化，而且為分析力學的創(chuàng)立打下了基礎。

任何物體都將給予企圖改變它運動狀態(tài)的任何其他物體以阻力

改變質(zhì)量物體的運動狀態(tài)靠外力。

慣性力的大小與方向定義：慣性力的大小等于質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度反向。用記號表示動力學問題靜力學方法慣性力——達朗貝爾慣性力。(13-1)§13-1慣性力的概念2.慣性力的作用物體

達朗貝爾慣性力的真實力并不作用于質(zhì)點本身，而是由質(zhì)點反作用于企圖改變它運動狀態(tài)的施力物體上。

如以初速拋出一個小球，在空中小球上只有重力加速度g，此時達朗貝爾慣性力的真實力作用在重力的反作用力（地球引力）的物體上——地球。

什么是達朗貝爾慣性力？

人推小車使車子沿水平直線軌道上加速前進，則小車的慣性力作用在小車上還是推小車的人上。思考題13-1思考題13-2引入

質(zhì)點的達朗貝爾原理mFFNaFI(13-2)質(zhì)點的達朗貝爾原理

作用在質(zhì)點上的主動力、約束力與質(zhì)點的慣性力構成一平衡力系?！?3-2達朗貝爾原理wABh1h2qOM得：例題13-1

設質(zhì)量為m的質(zhì)點M，被長為l的斜桿約束如圖示，已知w為常數(shù)，q=30°，h1=1.134l，h2=0.866l

，試求約束A、B處的力。解：1.以整體為研究對象2.畫出外力（受力分析）3.畫出加速度（運動分析）4.加上慣性力(FI=ma=mw2lsinq)FI5.列寫“平衡”方程得：得：mgFAyFByFAza2.質(zhì)點系的達朗貝爾原理質(zhì)點系中每個質(zhì)點均滿足達朗貝爾原理：即：(i=1,…,n)向任一點O′簡化，得到質(zhì)點系形式上的平衡條件：或：（13-3）（13-4）wABh1h2qOD例題13-2

設質(zhì)量為m、長為l的勻質(zhì)斜桿OD如圖所示，已知w為常數(shù)，q=30°，h1=1.134l，h2=0.866l

。試求約束A、B處的力。解：(1)以整體為研究對象(2)畫出外力（受力分析）(3)畫出加速度分布（運動分析）mgFAyFByFAzaD(4)畫出慣性力的分布FIDrdrrOadFI桿慣性力的大小為rdrrOadFIwABh1h2qODmgFAyFByFAzFIMIO(5)列寫“平衡”方程得：得：得：一般質(zhì)點系的慣性力系簡化

質(zhì)點系每個質(zhì)點上加上慣性力后，即構成一空間的慣性力系。將這空間慣性力系向靜點O（簡化中心）簡化：慣性力主矢為因為

所以

13-5慣性力主矢與簡化中心的選擇無關§13-3慣性力系的簡化空間慣性力系向靜點O簡化的主矩為：式中為任一質(zhì)點對靜點O的矢徑因為所以慣性力系對靜點O的主矩（慣性力偶矩）為(13-6)慣性力偶矩與簡化中心選擇有關。慣性力系向質(zhì)點系質(zhì)心C簡化（質(zhì)心C可作任意運動）

慣性力主矢與簡化中心選擇無關，所以只需討論慣性力主矩設為質(zhì)點系內(nèi)任意質(zhì)點相對質(zhì)心C的矢徑

因為所以(13-7)2.作特殊運動的剛體的慣性力系簡化(1)剛體作移動慣性力系向質(zhì)心C簡化：慣性力系主矩因為所以慣性力系主矢作用在質(zhì)心上的一個合慣性力FI

。aCFI(2)剛體作定軸轉(zhuǎn)動具有質(zhì)量對稱平面，并垂直轉(zhuǎn)動軸的剛體。

慣性力系先簡化為在對稱面內(nèi)的平面力系，再向軸心O簡化。簡記為COwa慣性力主矢：慣性力系畫在簡化中心點O上。MIOFInFIt慣性力主矩：(3)剛體作平面運動

具有對稱平面，并平行于剛體運動平面。慣性力主矩：

簡記為慣性力主矢：

慣性力系先簡化為在對稱面內(nèi)的平面力系，再向質(zhì)心C簡化。CaaCMICFI慣性力系畫在簡化中心點C上。

作定軸轉(zhuǎn)動的剛體（質(zhì)量對稱面與轉(zhuǎn)軸正交），慣性力系可以向質(zhì)心簡化嗎？若可以則慣性力和慣性力偶如何表達？

作平移的剛體，向質(zhì)心以外的任意點簡化，其慣性力偶矩均為零嗎？若不為零，又如何計算？

作平面運動的剛體，向質(zhì)心以外的任意點簡化，其慣性力偶矩如何計算？思考題13-3思考題13-4思考題13-5例題13-3

在滑輪機構中,物塊A重P1=1kN,物塊B重力P2=0.5kN,滑輪質(zhì)量不計。試求:軸承處的力。解：(1)以整體為研究對象BAP1P2O(2)畫出外力（受力分析）FOxFOy(3)畫出加速度（運動分析）a1a2(4)畫出慣性力FI1FI2例題13-4

重P的轎車，以速度v０行駛，因剎車制動，車滑行一段S才停車。試求:前、后輪的法向約束力。

hl1Cl2解：(1)以整車為研究對象(2)畫出外力（受力分析）FdBFdAFNAFNB(3)畫出加速度（運動分析）(4)畫出慣性力故剎車時FNA>FNB,車頭下沉例題13-5

已知：，試求水平繩切斷后的瞬時，板質(zhì)心加速度和兩個繩索的拉力。解：(1)以板為研究對象(2)畫出外力（受力分析）FAFB(3)畫出加速度（運動分析）(4)畫出慣性力問題：若繩索B變?yōu)閺椈桑绾吻?。例題13-6

桿長均l、重力均為P的勻質(zhì)細桿從水平位置無初速開始運動，試求兩桿在該瞬時的角加速度。OABPPC1C2解：(1)先以整體為研究對象(2)畫出外力（受力分析）FOxFOy(3)畫出加速度（運動分析）a1a2a1a2(4)畫出慣性力①[AB]ABa2②式①、②聯(lián)立解得:質(zhì)量對稱面不垂直轉(zhuǎn)軸慣性力系的簡化ABOxyzrimirimirCC式中§13-4一般轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力慣性力系的主矢位于xy平面慣性力系的主矩式中

剛體對軸z的轉(zhuǎn)動慣量

剛體對軸x,z的慣性積剛體對軸y,z的慣性積慣性力系的主矩轉(zhuǎn)軸上的約束力(形式上的空間力系平衡)ABOxyzFIMIOFiFByFBxFAxFAyFAz得約束力約束力中有靜約束力與動約束力。討論當，時，什么情況下動約束力為零當，時，只有動平衡的概念慣性力主矢為零，慣性力主矩為時這種狀態(tài)稱為動平衡。必須質(zhì)心在轉(zhuǎn)動軸上轉(zhuǎn)動軸是剛體的慣性主軸

動約束力為零，轉(zhuǎn)動軸必須是剛體的中心慣性主軸

什么是慣性主軸？質(zhì)量對稱軸是否是質(zhì)量主軸？

什么是中心慣性主軸？過質(zhì)心的軸是否一定是中心慣性主軸？思考題13-6思考題13-7解：簡便地將坐標原點取在質(zhì)心處例題13-7

已知：，試求A、B的約束力。例題13-8

渦輪輪盤由于軸孔不正，裝在軸上時，軸與輪盤面的法線Cz成夾角q=1°。已知勻質(zhì)輪盤質(zhì)量m=20kg，半徑R=200mm，厚度h=20cm，質(zhì)心C在轉(zhuǎn)軸上，其到兩端軸承的距離CA=CB=l=0.5m，軸作勻速轉(zhuǎn)動，n=12000r/min。試求軸承的動約束力。zqCAByzxxhFAxFAyFBxFBy解：

在渦輪上設坐標系Cxyz（與渦輪固結）?，F(xiàn)求渦輪上慣性力系的簡化結果。因為aC=0，所以FI=0。MIx=-Jyzw2，MIy=-Jxz