2010年湖南高考數(shù)學(xué)理科試卷帶詳解-

0年高考理科數(shù)學(xué)試題 湖南卷一、選擇題：本大題共一項是符合題目要求的

8小題，每小題 5分，共 0分．在每小題給出的四個選項中，只有已知集合M 3,N 4 ，則 （ ）A．M N .N M .M N } .M N {1【測量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算 .【考查方式】直接給出兩個集合先通過交、并、補(bǔ)集運(yùn)算得出兩個集合之間的關(guān)系，得出正確結(jié)論.【難易程度】簡潔【參考答案】 C【試題解析】∵ M {1}, N } ,∴M N } ，故選 ．下列命題中的假命題是A． x R, x1 B.2 0

（ ）*2x N ,(x 1) 0*2C． x R,gx 1 . x R,nx 2【測量目標(biāo)】全稱量詞與存在量詞 .【考查方式】給出含有全稱量詞與存在量詞的命題，推斷真假得出結(jié)論 .【難易程度】簡潔【參考答案】 B【試題解析】易知 A、C、D都對，而對于 B，當(dāng)x 1時，有x 2 0，不對，故選 B．x 1 極坐標(biāo)方程 cos 和參數(shù)方程 y 2 3t

（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（ ）A.圓、直線 B.直線、圓C.圓、圓 D.直線、直線【測量目標(biāo)】極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與一般方程的互化 .【考查方式】給出極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程先轉(zhuǎn)化為一般方程再推斷其表示的圖形 .【難易程度】簡潔【參考答案】 A【試題解析】由極坐標(biāo)方程 s 可得 2 s , x2 y2 x 0表示的是圓；由參數(shù)方程

x 1 y 2

推得直線 3x y 1 0，故選 A．在Rt△ABC中， C=90，AC 4，則等于 ( )A. 6 B. 8 C.8 D【測量目標(biāo)】平面對量在平面幾何中的應(yīng)用 .【考查方式】在三角形中通過向量數(shù)量積的定義運(yùn)算求解三角形兩條邊的數(shù)量積 .【難易程度】簡潔【參考答案】 D【試題解析】

ABAC |AB||AC|cos BAC |AC|

2D．412 xdx5.等于 （ ）2ln22ln2

ln2 D.ln2【測量目標(biāo)】定積分的運(yùn)算 .【考查方式】直接給出定積分的式子求值 .【難易程度】簡潔【參考答案】 D1【試題解析】由微積分易知，

41 n4 n2 n2 ，故選 D．Q(lnx) ，x dx2 在△ABC中，角 A,B,C所對的邊長分別為 a,b,c，若 C 1202

a,則( )A. a b B. a b【測量目標(biāo)】余弦定理 .

a b D. a與b的大小關(guān)系不能確定【考查方式】給出三角形中一個角和兩條邊的關(guān)系運(yùn)用余弦定理推斷選項的正誤 .【難易程度】簡潔【參考答案】 A【試題解析】由余弦定理得 2 2 2c a b

2 b

2 2 2 2a a b ab，則有2 2a b ab，而△ABC的邊長a,b均大于零，因而有 a b，故選 A．在某種信息傳輸過程中，用 4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有同的信息個數(shù)為A.10 B.11【測量目標(biāo)】排列組合 .

0和1，則與信息 0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相( )2 【考查方式】給出一個實際問題運(yùn)用排列組合的相關(guān)學(xué)問求解 .【難易程度】中等【參考答案】 B【試題解析】易知數(shù)字

0和1無限制排列時有 24

16種；與信息 0110四個對應(yīng)位置上的數(shù)字都相同的只有１個 :0110；三個相同的有４個，分別為： 0111,0100,0010,1110,由間接法可得符合條件的有

C 1=11個，故選B．43443mina表示a,b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)1

f(x) min{| x|,|x t|}的圖像關(guān)于直線xA． 2

對稱，則2

的值為2

（ ）1 D．1【測量目標(biāo)】函數(shù)圖像的性質(zhì) .【考查方式】給出函數(shù) ,畫出其圖像，通過對其圖像的推斷求解未知參數(shù) .【難易程度】中等【參考答案】 Dt【試題解析】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 .畫出圖形，知對稱軸為 xt 1，選 2

1，因此2第8題圖二、填空題：本大題共 7小題，每小題 5分，共35分.把答案填在答題．卡．．中對應(yīng)題號后的線上.加入量可以是【測量目標(biāo)】黃金分割點(diǎn) .

g到g之間若用8法支配試驗，則第一次試點(diǎn)的g【考查方式】運(yùn)用黃金分割點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)解決實際問題 .【難易程度】簡潔【參考答案】 g或【試題解析】 由 8 法求得第一次 試點(diǎn)的加入量為0 0 8 2g

0 0 8 8g 或如圖所示，過 O外一點(diǎn) P作一條直線的切線長 PT=4，則弦 AB的長為

O交于B兩點(diǎn)．已知，點(diǎn)P到 O．第10題圖【測量目標(biāo)】切割線定理 .【考查方式】運(yùn)用切割線定理求解圓中的弦的長度 .【難易程度】中等2【參考答案】 62【試題解析】由切割線定理知

T AB，得,因此，在區(qū)間 [ 1,2]上隨機(jī)取一個數(shù) 則|x1的概率為 ．【測量目標(biāo)】幾何概型 .【考查方式】運(yùn)用幾何概型的相關(guān)學(xué)問求解區(qū)間內(nèi)長度值率 .【難易程度】簡潔2【參考答案】32.【試題解析】因x

2，所以|x|

1剟x 1的概率為3222如圖是求 1 2 3222

? 0 2n．的值的程序框圖，則正整數(shù)n．第2題圖【測量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖【考查方式】給出程序框圖，閱讀并運(yùn)行程序得出結(jié)果 .【難易程度】簡潔222【參考答案】 100222【試題解析】因第一次循環(huán)

s 1 ，第二次循環(huán) s 1

2 +?

結(jié)果為2 2 2 2s 1 2 3 ? 0 ，所以循環(huán)了 0次，則正整n 0.圖中的三個直角三角形是一個體為 20

3的幾何體的三視圖，則

h cm．第13題圖【測量目標(biāo)】三視圖 .【考查方式】直接給出一個幾何體的三視圖已知其體.【難易程度】簡潔【參考答案】 4【試題解析】本題考查了三視圖，考查了錐體體算式直角長5和6的錐體，由正視圖得錐體的h4.

.由三視圖得幾何體底為1 1 5 6 h 0，解得3 2過拋物線 2x

2 ( py的焦點(diǎn)作斜率為 1的直線與該拋物線于 A,B兩點(diǎn)，A,B在xx軸上的正射影分

D,C．若梯形 ABCD的

2 2，則p ．【測量目標(biāo)】拋物線的一般方程，拋物線的簡潔幾何性質(zhì) .【考查方式】先求拋物線的解析式在運(yùn)用其簡潔幾何性質(zhì)求解知參數(shù) .【難易程度】中等【參考答案】 2【試題解析】設(shè)直線方程為 y x

p，設(shè)A點(diǎn)縱標(biāo)為2

y、 點(diǎn)縱標(biāo)為 y（yB1 2 1B

y，22（步1）又得2

B 2D 即 (y 1

2

2p) y2

y（步2）又由于梯形11面為 2 2，則得 (y1

y)(y2 2

y) 4 2（2步）由（ 1（2）聯(lián)立得(y y)(y y1 2 1

) 2

（*

2 21x py 得1p y2 32y x

p202）由韋達(dá)4定理得 y1若數(shù)列

y2 p代入（*）解得 p 2（）mna 滿足：對任意的 n N，只有有限個正整數(shù) m使得a＜n成立，記的mnm的個數(shù)為 (an)，則得到一個新數(shù)列

(a) ．例如，若數(shù)列n

a 是3? ，,? ，則n數(shù)列 a ) 是? ，n ? ．已知對任意的 n N，n((a)) ．n

a n 2n2

(a) ，5【測量目標(biāo)】數(shù)列的創(chuàng)新運(yùn)用 .【考查方式】給出一個數(shù)列賜予其新性質(zhì)求解數(shù)列中的項【難易程度】中等2【參考答案】 2 n2222【試題解析】 a a a a22211, 2, 3, 4,12 3 4 5

a ? a25, ,2n

n，易知其中小于 5的只2有 兩 個 a21

1,a2

4 ， 故 (a5

2 ；（ 步1 ）推 得 ：(a)1

0,(a) (a2 3

(a) 1,(a4 5

(a)6

a) ,a ) 9 101）故a)) 1

((a) 2

4 2

((a) 232

9 3

,((a)) n.22n22（步3）

(a)5

2，a

)) n24）三、解答題：本大題共 6小題，共 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù) f(最大值；（I）求函數(shù) f(零點(diǎn)的集合 .

f(x)3sin22six2．2【測量目標(biāo)】誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn) .【考查方式】給出一個三角函數(shù)先運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡再求解其最大值和零點(diǎn)所在的集合 .【難易程度】中等【試題解析】（Ⅰ）由于

πf(x)3sin1cos2x)2sin(2x)1（步驟）6π π π所以，當(dāng)2x

即 x (k 時6 2 6函數(shù)f)最大值 步驟（

解法1 由（Ⅰ）及 f得

π 1sin(2x （步驟所以6 2πππ5π2x2kπ6或62x6,6即x

πx 步驟3故函數(shù) f(

點(diǎn)的集合為

πx|或x ，k Z步驟3解法2 由f得 22

sinx0,，（步驟3）于是或 3cossinxtn 3（步驟）由sinx0可知x ；由

3

πx 步驟3故函數(shù) 故函數(shù) f(x的零點(diǎn)的集合或x ，k Z步驟317．（本小題滿分12分）如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖（Ⅰ）求直方圖中 x的值（I）若將頻率視為概率，從這個城市隨機(jī)抽取水量在3至4噸的居民數(shù) X的分布列和數(shù)學(xué)期望

3位居民（看作有放回的抽樣） ，求月均用第17題圖【測量目標(biāo)】頻率分布直方圖，分布列與數(shù)學(xué)期望 .【考查方式】給出一個與實際問題有關(guān)的頻率分布直方圖先觀看圖求出未知參數(shù)， 再運(yùn)用分布列與數(shù)學(xué)期望的相關(guān)學(xué)問求解答案 .【難易程度】中等【試題解析】 （Ⅰ）依題意及頻率分布直方圖知，

2 1 x 7 9 解得x 2．（II）由題意知，

B(3,0.1)．（步驟1）因此0 3 1 2P(X

0)

0.932

92

P(X 1) C 0.1 0.933

3，3P(X

)

0.13

9 7， (X ) C 3

1，（步驟）故隨機(jī)變量 X的分布列為X 012 3P 7 X的數(shù)學(xué)期望為或X 1 EX23 0.1 0.3．7 3 0.3．（步驟3）．（本小題滿分 2分）如圖所示，在正方體 D ACD中，E是棱

的中點(diǎn).1111 1（Ⅰ）求直線 BE與平面 ABB1A1所成的角的正弦值使B1F//平面 A1BE?證明你的結(jié)論 .

（II）在棱 1上是否存在一點(diǎn) F，【測量目標(biāo)】線面角，線面平行的判定

第8題圖.【考查方式】給出空間幾何體運(yùn)用線面角及線面平行的性質(zhì)求解 .【難易程度】中等【試題解析】（Ⅰ）解法 1 設(shè)正方體的棱長為基底建立空間直角坐標(biāo)系． （步驟 1

如圖所示，以 AB,AD,AA為單位正交1為單位正交1

B(1,0,0)E(0,1, A(0,0,0),D(0,1,0)所以2

E ( , ,D （2驟2在正方體 A

ABCD 中，由于 AD1 1 1 1

平面ABB1

A，所以 AD是平面1ABBA的一個法向量．（步驟 設(shè)直線 BE和平面 ABB

所成的角為 ，則111 1sin |BEADBE AD

13 2 3 ．即直線 E和平面 BA所成的角的正弦值為1 1 12

2．（步驟34）第8題（1）圖1（II）依題意，得

A(0,0,1), ( 1,0,1),

( 1,1, ).1 1BA

設(shè)n x,2

是平面1ABE步驟nBA1

0,nBE 0

x z 0,1

所以x z，1 x y z 0.21y z取z 2n

, 驟 設(shè)F是棱C

上的點(diǎn)，則F(t,1,1)(0剟t 1).2B所以

11BF t （步驟 而 BF

平面 ABE，于是BF//平面 ABE11 ( 1,1,0).1

1 11 11 CD 的 中BF n 01點(diǎn)．（步驟）

t )

0 t ) 1 0 t F 為 1 12這說明在棱 CD上存在點(diǎn) F（CD的中點(diǎn)），使BF//平面ABE．（步驟9）1 1 1 11 1解法 2 （Ⅰ）如圖（a）所示，取 A的中點(diǎn) M，連結(jié) ，M．由于 E是D1的1中點(diǎn)，四邊形 ADDA為正方形，所以EM //AD驟 又在正方體 ABCD AD11111 1中，AD 平面 ABBA，所以EM

平面 ABBA，從而BM為直線 BE在平面 ABBA上11 111 1的射影，（步驟 EBM為 BE 和平面M D 2，（步驟7）

ABBA所成的角．設(shè)正方體的棱長為1 1

2，則2 2 E 2 2 1 3．于是，在 t△2 2

sin EBM

M 2.BE 31即直線 BE和平面 1

A所成的角的正弦值為1

2．（步驟）3第8題圖（a） 第8題圖（b）（II）在棱 CD上存在點(diǎn) F，使BF//平面ABE．1 11 1事實上，如圖（ b）所示，分別取 CD和 CD的中點(diǎn) F,G，連結(jié) EG,BG,1

,FG．1 1因AD//BC//BC，且 AD BC，所以四邊形 A

為平行四邊形，（步驟 10）1 1 11 1 1 1 1因此DC//AB．又E,G分別為 DD，CD的中點(diǎn)，1 1 1所以EG//DC，從而 EG//AB.這說明 A,B,G,E共面．（步驟11）1 11所以BG 平面 ABE．因四邊形 CCDD與B

皆為正方形，1 1 1 1111F,G分別為 CD和CD的中點(diǎn)，所以 FG/1 1

C/1

B且 FG CC,1 1,

BB，（步驟2）因此四邊形 BBGF為平行四邊形，所以 BF//BG．1 1而BF 平面 ABE，BG 平面 ABE，故BF//平面ABE驟 1 1 1 11（本小題滿分3分）為了考察冰川的溶化狀況，一支科考隊在某冰川上相距 m的兩點(diǎn)各建一個考察基地視冰川面為平面形，以過B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段B的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，在直線x2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超6 5 m區(qū)域；在直線 x 2的左側(cè)，考察范圍為到 B兩點(diǎn)的距離之和不超過 4 5m區(qū)3域.（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（Ⅱ）如圖所示，設(shè)線段 PPP23是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線） ，當(dāng)冰川溶化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動 ,后每年移動的距離為前一年的 2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間 .第19題圖【測量目標(biāo)】函數(shù)與圓錐曲的實際運(yùn)用 .【考查方式】給出一個實際問題運(yùn)用函數(shù)模型和圓錐曲的關(guān)質(zhì)解問題 .【難易程度】中等【題解析（Ⅰ）設(shè)邊曲上點(diǎn) P的坐標(biāo)為(,)．當(dāng) x? 2時，由題意知2 2 ( 4)x

51）當(dāng)x 2時，由|

|PB| 4 5知，點(diǎn)P在以AB為焦點(diǎn)，軸 a 4 5的橢圓上．）此時半

2 2b 2 ) 4 2．22因而其方程為x y 1220 4

3）故考察區(qū)域界曲（如圖）的方程為22C :(x 4) y22

36x?)和

x y22C: x )4）2212 0 415第19題（Ⅰ）圖（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) P,P的

l，過點(diǎn) P,P的

l，則直

1 2 1 2 3 2 1 2y 3x 14（步6設(shè)平行于直，其方程為 1

3x m代yx2 2yx入橢圓方程 1消去y，

216x 10 3mx 2

24) 020 42由 100 3m 4 16 5(m 2

20，解得 m 8，或2

．8）從圖中可以看出， 當(dāng)m 8時，直l與 C 的公共點(diǎn)到 l的距離最近，此時直2 1的方程y

x l與

l1

4 8|3）1 3又直線l

C

6 5的最短距離到 1 22

d 6 ,5

3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離3．設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所n年，n則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得n

1) ?3，所以 n? 4．2 12故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所的時間4年.（步9）2（本小題滿分 3分）已知函數(shù)

f(x) x

bx b,c R),對任意的 x R，恒有f x , f(x).( )（Ⅰ）證明：當(dāng) x? 0時（Ⅱ）

f(x), (x c) ；2b，c，不等式2

2 f(c) f(b Mc b2 M的最小值.【測量目標(biāo)】函數(shù)的最值與不等式證明 .【考查方式】給出函數(shù)解析式證明函數(shù)的最值范圍與不等式成立的條.【難易程度】難2【試題解析】易知 f (x)2

x b．由題設(shè)，對任意的 x R，x b, x2 x ,即2 ( x b x c b?

0 b 恒成立，（）所以

4(c b), 0，從而2bc? 1）4于是c?1

c?

b21 b|，因此 c b c c ) 0）故2當(dāng) x? 0時，有

4)2 f) c )x c ?0．即當(dāng) x? 0時，2fx), (x 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知， c?|b|．當(dāng)c |b|時，有2 2 2M ?f( ) f( ) c b bc b 2

b.（步2222c b c b b c2222令t b，則 1 t ， c c b c3

12 ．而函數(shù) t) 21 t3

1( 1 t 1)1 t的值域是

, ) ．因此，當(dāng) c |b時，M的取值集( , ).2

（步當(dāng)c |b|時，知3

c .此時 f) f

8或，c2 b2 0，3 7）從而2 2f(c) f(b), (c b)恒成立．綜上所述， M的最小值為中，2 2中，．（本小滿

13分）數(shù)列 a (n N)n

a aa 是函數(shù),1 n1,f(x)

1 13x (3a

2 2 2n )x 3nax的微小值.n n n3 2（Ⅰ）當(dāng) a 0時，求通項 a ；n（Ⅱ）是否存在請說明由

a，使數(shù)列 an

是等比數(shù)列？若存在，求 a的取值范圍；若不存在，【測量目標(biāo)】數(shù)列的通項與等比數(shù)列的性質(zhì) .【考查方式】給出數(shù)列的函數(shù)形式運(yùn)用數(shù)列的通項與等比數(shù)列的性質(zhì)求解【難易程度】難2f(x)x2(3a2n)x 3n2f(x)x2(3a2n)x 3na(x3a)(xn)．nnnn令f (x) 0，2n2

x 3a,x1 n

n（1）（1）

3a n則n當(dāng)x 3a時， fn(x) 0, f(x)單調(diào)增n n時，當(dāng)a x n n時，

f (x) 0,n

遞nx 當(dāng) x 時，

f (x) 0,n

(x)n

單調(diào)）故f (x)在 x 2n2

2（步3）2（）若 2

n仿（１）

f

x

（步4）n（若 3an

n

f (x) 0,f n

n n無極值．（）2n2當(dāng)a 0時， a1

0,則 3a1

1由（1）知，

a 1 1.222因a 3 22

2則由

1）知，

a 2 232因a

242 3,則由（）知，4

3a 3 4.332 2又由于3a4

6 4,則由（2）知

a 3a5

3 4.（6）由此猜想：當(dāng) n?3時，an

4 3 n下面先用數(shù)學(xué)歸納法證

n? 3

2.a n