《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解

PAGE《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形有關(guān)的概念,掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，能應(yīng)用內(nèi)角和定理進行相關(guān)的計算及證明問題.2.理解并會應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理；3.了解三角形中三條重要的線段并能正確的作圖.4.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實際生活中存在的問題.5.掌握常見的尺規(guī)作圖方法，并根據(jù)三角形全等判定定理利用尺規(guī)作一個三角形與已知三角形全等.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系．要點二、三角形的分類【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段三角形的分類】1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點三、三角形的三邊關(guān)系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．2.三角形的重要線段：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，這點稱為三角形的重心．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.要點四、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“邊邊邊”：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.“全等三角形判定2——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）全等三角形判定4——“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點詮釋：（1）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.要點五、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角，并利用全等三角形的知識作一個三角形與已知三角形全等；要點詮釋：要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對于作圖要用正確語言來進行表達.【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和【高清課堂：與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?【思路點撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖所示，在△ABD中，∵BD是AC邊上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個重要環(huán)節(jié)．舉一反三【變式】已知：如圖，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于H，則∠BHC的度數(shù)為.

【答案】135°.類型二、三角形的三邊關(guān)系及分類2.已知三角形的三邊長分別是3，8，,若的值為偶數(shù)，則的值有()．A．6個B．5個C．4個D．3個【答案】D【解析】的取值范圍：，又為偶數(shù)，所以的值可以是6,8,10，故的值有3個。【總結(jié)升華】不要忽略“x為偶數(shù)”這一條件.舉一反三【變式】（2015?朝陽）一個三角形的兩邊長分別是2和3，若它的第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為．【答案】8．解：設(shè)第三邊長為x，∵兩邊長分別是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三邊長為奇數(shù)，∴x=3，∴這個三角形的周長為2+3+3=8.3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點，連接OB和OC．(1)你能說明OB+OC＜AB+AC的理由嗎?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長BO交AC于點E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因為OB+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7．又因為OB+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進行解題．4.有一個等腰三角形，它的兩個角的度數(shù)比是1：2，這個三角形按角分類可能是什么三角形？【思路點撥】因為該等腰三角形的兩個角的度數(shù)比是1：2，則這個三角形三個角度數(shù)的比為1：2：2或1：1：2，進而根據(jù)按比例分配知識，分別求出三角形的最大角的度數(shù)，進而根據(jù)三角形的分類進行判斷即可．【答案與解析】解：（1）1+1+2=4，180×=90°∴該三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×=72°∵最大角為72度，是銳角，∴該三角形的三個角都是銳角，即該三角形是銳角三角形；綜上所述：該三角形是直角三角形或銳角三角形．【總結(jié)升華】解答此題用到的在知識點：（1）三角形的內(nèi)角和180度；（2）按比例分配知識；（3）三角形的分類；舉一反三【變式】一個三角形的三個角的度數(shù)比是1：2：3，這個三角形中最小的一個角是度，按角分類，這個三角形是三角形．【答案】30；直角.類型三、三角形的重要線段5.如圖13，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度數(shù).

【思路點撥】由圖可知∠CDF是Rt△CDF的一個內(nèi)角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB為直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.

【答案與解析】在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，由三角形的內(nèi)角和定理得：

∠BCA=180°-72°-40°=68°

又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，

在中，CD⊥AB于D，∠B=72°

∴∠BCD=90°-72°=18°

∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.

即∠FCD=16°.

【總結(jié)升華】這是三角形內(nèi)角和定理在直角三角形中的應(yīng)用，直角三角形兩個銳角互余，所以在直角三角形中，已知一個銳角的大小，就可以求出另一個銳角的度數(shù).

舉一反三【變式】如圖14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．

【答案】∠DAE=35°

類型四、全等三角形的性質(zhì)和判定 6.（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．【思路點撥】根據(jù)同角的余角相等可得到∠3=∠5，結(jié)合條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結(jié)論．【答案與解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．【答案】證明：延長CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．類型五、全等三角形判定的實際應(yīng)用7.為在池塘兩側(cè)的A，B兩處架橋，要想測量A，B兩點的距離，有以下兩種方法：（1）如圖所示，找一處看得見A，B的點P，連接AP并延長到D，使PA=PD，連接BP并延長到C，使PC=PB．測得CD=35m，就確定了AB也是35m，說明其中的理由；（2）如圖所示，也可先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點，使BC=CD．接著過點D作BD的垂線DE交AC的延線長于E，則測出DE的長即為A，B的距離．你認(rèn)為這種方案是否切實可行，請說出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若滿足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？為什么？【思路點撥】本題兩種測量方案實際上是利用三角形全等的知識構(gòu)造兩個全等三角形，通過測量這個三角形中與AB相等的線段的長，從而得知AB的距離．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【總結(jié)升華】對于實際應(yīng)用問題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識去解決．類型六、用尺規(guī)作三角形8.已知：線段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=