應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)之方差

本資料來(lái)源第八章方差分析第一節(jié)方差分析的基本問(wèn)題第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析2第一節(jié)方差分析的基本問(wèn)題一、方差分析問(wèn)題的提出問(wèn)題：消費(fèi)者與供應(yīng)廠商間經(jīng)常出現(xiàn)糾紛。糾紛發(fā)生后，消費(fèi)者經(jīng)常會(huì)向消費(fèi)者協(xié)會(huì)投訴。消協(xié)對(duì)以下幾個(gè)行業(yè)分別抽取幾家企業(yè)，統(tǒng)計(jì)最近一年中投訴次數(shù)，以確定這幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著的差異。結(jié)果如下表：3觀測(cè)值行業(yè)零售業(yè)旅游業(yè)航空業(yè)家電制造業(yè)15768314426639495134929216544045347753456405865351744行業(yè)平均49483559總平均47.94二、概念：方差分析簡(jiǎn)稱ANOV（AnalysisofVariance），該統(tǒng)計(jì)分析方法能一次性地檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否存在顯著差異。H0：H1：不全等。5（一）因素。因素又稱因子，是在實(shí)驗(yàn)中或在抽樣時(shí)發(fā)生變化的“量”，通常用A、B、C、…表示。方差分析的目的就是分析因子對(duì)實(shí)驗(yàn)或抽樣的結(jié)果有無(wú)顯著影響。前面例子中的因素？如果在實(shí)驗(yàn)中變化的因素只有一個(gè)，這時(shí)的方差分析稱為單因素方差分析；在實(shí)驗(yàn)中變化的因素不只一個(gè)時(shí)，就稱多因素方差分析。雙因素方差分析是多因素方差分析的最簡(jiǎn)單情形。6（二）水平。因子在實(shí)驗(yàn)中的不同狀態(tài)稱作水平。如果因子A有r個(gè)不同狀態(tài)，就稱它有r個(gè)水平，可用表示。我們都針對(duì)因素的不同水平或水平的組合，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或抽取樣本，以便了解因子的影響。前面例子中因子的水平？7（三）交互影響。當(dāng)方差分析的影響因子不唯一時(shí)，必要注意這些因子間的相互影響。如果因子間存在相互影響，我們稱之為“交互影響”；如果因子間是相互獨(dú)立的，則稱為無(wú)交互影響。交互影響有時(shí)也稱為交互作用，是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生作用的一個(gè)新因素，分析過(guò)程中，有必要將它的影響作用也單獨(dú)分離開(kāi)來(lái)。8三、方差分析的原理（一）方差的分解。樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)就有二個(gè)來(lái)源：一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)，一個(gè)是因子影響。樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)，可通過(guò)離差平方和來(lái)反映，這個(gè)離差平方和可分解為組間方差與組內(nèi)方差兩部分。組間方差反映出不同的因子對(duì)樣本波動(dòng)的影響；組內(nèi)方差則是不考慮組間方差的純隨機(jī)影響。9離差平方和的分解是我們進(jìn)入方差分析的“切入點(diǎn)”，這種方差的構(gòu)成形式為我們分析現(xiàn)象變化提供了重要的信息。如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來(lái)源是組間方差，因子是引起波動(dòng)的主要原因，可以認(rèn)為因子對(duì)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響；反之，如果波動(dòng)的主要部分來(lái)自組內(nèi)方差，則因子的影響就不明顯，沒(méi)有充足理由認(rèn)為因子對(duì)實(shí)驗(yàn)或抽樣結(jié)果有顯著作用。10（二）均方差差與自由度因素或因素間間“交互作用”對(duì)觀測(cè)結(jié)果的的影響是否顯顯著，關(guān)鍵要要看組間方差差與組內(nèi)方差差的比較結(jié)果果。當(dāng)然，產(chǎn)產(chǎn)生方差的獨(dú)獨(dú)立變量的個(gè)個(gè)數(shù)對(duì)方差大大小也有影響響，獨(dú)立變量量個(gè)數(shù)越多，，方差就有可可能越大；獨(dú)獨(dú)立變量個(gè)數(shù)數(shù)越少，方差差就有可能越越小。為了消消除獨(dú)立變量量個(gè)數(shù)對(duì)方差差大小的影響響，我們用方方差除以獨(dú)立立變量個(gè)數(shù)，，得到“均方差（MeanSquare）”，作為不同來(lái)來(lái)源方差比較較的基礎(chǔ)。引引起方差的獨(dú)獨(dú)立變量的個(gè)個(gè)數(shù)，稱作“自由度”。11檢驗(yàn)因子影響響是否顯著的的統(tǒng)計(jì)量是一一個(gè)F統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量越大，越說(shuō)明組間間方差是主要要方差來(lái)源，，因子影響越顯顯著；F越小，越說(shuō)明明隨機(jī)方差是是主要的方差差來(lái)源，因子子的影響越不不顯著。12第二節(jié)單單因素方差分分析一、單因素條條件下離差平平方和的分解解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下下：13總離差平方和和SST=SSE+SSA反映全部數(shù)據(jù)據(jù)之間差異組間方差總和和：樣本均值值與總體均值值的差異，反反映了因素的的不同水平組內(nèi)方差總和和：樣本觀測(cè)測(cè)值與樣本均均值的差異，，反映了隨機(jī)機(jī)誤差的影響響14二、因素作用用顯著性的檢檢驗(yàn)自由度的確定定：SST是由于的波動(dòng)動(dòng)引起的方差差，但是，這這里所有的nr個(gè)變量并不獨(dú)獨(dú)立，它們滿滿足一個(gè)約束束條件，，真正正獨(dú)立的變量量只有nr-1個(gè)，自由度是是nr-1。SSA是因子在不同同水平上的均均值變化而產(chǎn)產(chǎn)生的方差。。但是，r個(gè)均值并不是是獨(dú)立的，它它們滿足一個(gè)個(gè)約束條件，，它它的自由度是是r-1。15SSE是由所有的在在各因素水平平上的圍繞均均值波動(dòng)產(chǎn)生生，它們滿足足的約束條件件一共r個(gè)，失去了r個(gè)自由度，所所以SSE的自由度是nr-r。SST、SSA和SSE的自由度滿足足如下關(guān)系：：nr-1=(r-1)+(nr-r)16檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是是:式中:17F值越大，越說(shuō)說(shuō)明總的方差差波動(dòng)中，組組間方差是主主要部分，有有利于拒絕原原假設(shè)接受備備選假設(shè)；反反之，F(xiàn)值越小，越說(shuō)說(shuō)明隨機(jī)方差差是主要的方方差來(lái)源，有有利于接受原原假設(shè)，有充充分證據(jù)說(shuō)明明待檢驗(yàn)的因因素對(duì)總體波波動(dòng)有顯著影影響。因此，，檢驗(yàn)的拒絕絕域安排在右右側(cè)。18α接受域拒絕域19方差分析需滿滿足的假設(shè)條條件（1）樣本是獨(dú)立立的隨機(jī)樣本本；（2）各樣本皆來(lái)來(lái)自正態(tài)總體體；（3）總體方差具具有齊性，即即各總體方差差相等。20Stataonewayresponse_varfactor_var[if][in][weight][,options]tabulate：產(chǎn)生方差分分析表，以及及平均數(shù)和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差scheffe選項(xiàng)生成了一一個(gè)表來(lái)顯示示在每一對(duì)平平均數(shù)之間的的差異是否顯著原假設(shè)：多總總體的均值相相等根據(jù)Barlett檢驗(yàn)的P值判斷是否同同方差—原假設(shè)：多總總體同方差21第三節(jié)雙雙因素方差分分析（一）無(wú)交互互影響：22數(shù)據(jù)的離差平平方和分解形形式為：SST=SSA+SSB+SSE23SSA表示的是因素素A的組間方差總總和，SSB是因素B的組間方差總總和，都是各各因素在不同同水平下各自自均值差異引引起的；SSE仍是組內(nèi)方方差部分，，由隨機(jī)誤誤差產(chǎn)生。。各個(gè)方差的的自由度是是：SST的自由度為為nr-1，SSA的自由度為為r-1，SSB的自由度為為n-1，SSE的自由度為為nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。24各個(gè)方差對(duì)對(duì)應(yīng)的均方方差是：對(duì)因素A而言：對(duì)因素B而言：對(duì)隨機(jī)誤差差項(xiàng)而言：：25我們得到檢檢驗(yàn)因素A與B影響是否顯顯著的統(tǒng)計(jì)計(jì)量分別是是：26（二）有交交互影響27離差平方和和分解形式式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE28上式中29離差平方和