維隨機(jī)變量邊緣密度

第三章多維隨機(jī)變量及其分布節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第四節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!大綱要求：1了解二維隨機(jī)變量的概念及其實際意義，理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系。3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。4理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。5會求二維隨機(jī)變量的和、及多維隨機(jī)變量的極值分布。6了解n維隨機(jī)變量的概念及其分布。維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量節(jié)二維隨機(jī)變量一、多維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!實例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實例2考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).說明

維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律

維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!解且由乘法公式得例1維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!1.定義四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.3.說明維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!例2維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!(2)區(qū)域

G={(x，y)

|

y≤x}表示的是直線

y=x

的下半部分，而聯(lián)合密度函數(shù)只有在

x，y同時都

＞0

才取值為

2e－(2x＋y)。因此，

P{Y≤X}實際上是函數(shù)

2e－(2x＋y)在圖中

G

0

上的二重積分。維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!其中，1、2為實數(shù)，1>0、2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!解例1備份題維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例2一個袋中有三個球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設(shè)每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求X,Y的分布律.

(X,Y)的可能取值為解維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)四、小結(jié)3.2邊緣分布維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!解例2維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!例4維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!

兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，若對任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨(dú)立.定義維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.若對任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則上述獨(dú)立性的定義等價于：分別是X和Y的邊緣密度.維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!解例1維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!特別有又(2)因為X與Y相互獨(dú)立,所以有維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例3

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時間均勻分布在8~12時,他的秘書到達(dá)辦公室的時間均勻分布在7~9時,設(shè)他們兩人到達(dá)的時間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時間相差不超過5分鐘的概率.

解維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!于是維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問題的引入3.4兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!例1設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨(dú)立,所以解二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!結(jié)論維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對稱,當(dāng)X,Y獨(dú)立時,維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!得維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!故有維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!若X與Y相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為p(x),則M與N的分布密度為

上述結(jié)論可以推廣到n維情形,即若設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,令則它們的分布函數(shù)分別為維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!例4維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!一、多維隨機(jī)變量

1.定義：

將n個隨機(jī)變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機(jī)變量。

一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)，多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2,則稱

F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!

若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可能值是有限對或無限可列多對,則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.三、二維離散型隨機(jī)變量

1.定義維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!2.性質(zhì)維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!Ox

yG

p(x,y)維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!(1)對任意的

x

＞0、y

＞0，最后得到聯(lián)合分布函數(shù)：0，

其它。F(x，y)=(1－e－2x)(1－e－

y),

當(dāng)

x

、y

＞0維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!

4.兩個常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。

易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布,對D內(nèi)任意區(qū)域G，有維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!1.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)小結(jié)維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!故(X,Y)的分布律為維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!一、邊緣分布函數(shù)

為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!注意聯(lián)合分布邊緣分布解維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!例3

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

x=yx=-y維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!解由于于是維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!請同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!一、定義3.3相互獨(dú)立的隨機(jī)變量二、小結(jié)維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.它表明，兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!(1)由分布律的性質(zhì)知維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!

例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0

即：對一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y>0解：維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!維隨機(jī)變量邊緣密度共80頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!解由于X與Y相互獨(dú)立,例4維隨機(jī)