大學生高等數(shù)學競賽試題匯總及答案

一、填空題（每小題

5

分）1．計算

dd

16/15，其中區(qū)域

由直線

與

dd

dd，解:令

,

，則

,

，dd

u

du（*）u令

，則

d

，

，)

)，2

．

設

(

)

是

連

續(xù)

函

數(shù)

，

且

滿

足

,

則

(

)

____________.解:令

，則

(

)

，x

2

x

2

A

x

8

A

4

2A,

20解得

。因此

。 3

．

曲

面

平

行

平

面

的

切

平

面

方

程

是__________.解

:

因

平

面

的

法

向

量

為

，

而

曲

面

在

在

(

,

)

處

的

法

向

量

為

,

),

,

),，故

,

),

,

),與平 行 ， 因 此 ， 由

，

知

,

,

，即

，又(

,

)

在

(

,

,(

,

))

處

的

切

平

面

方

程

是

(

，即曲面

平行平面

的切平面方程是

。4．設函數(shù)

(

)由方程

確定，其中

具有二階導數(shù)，且

，則d

________________.d解:方程

e

的兩邊對求導，得因e

，故

，即

，因此二、（5

分）求極限(

)e，其中n是給定的正整數(shù). 解:因故因此三、（15

分）設函數(shù)

(

)連續(xù)，g

，且

，

為 常數(shù)，求g

(

)并討論g

(

)在

處的連續(xù)性.解

:

由

和

函

數(shù)

(

)

連

續(xù)

知

，

因g

，故g

，

因此，當

時，g

uu，故 當

時，g

uu

，這表明g

(

)在

處連續(xù).四、（15

分）已知平面區(qū)域

{(

,

)

,

}

，

L

為

的正

向邊界，試證：

（1）

d

d

d

d；L L（2）

d

d

.L證:因被積函數(shù)的偏導數(shù)連續(xù)在

上連續(xù)，故由格林公式知 （1）

d

d

(

)

()d L 而

關于和

是對稱的，即知因此（2）因故由知即

d

d

L五、（10

分）已知

，

，

e

e是某二 階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解設

，

，

e

e是二階常系數(shù)線 性非齊次微分方程

和

e都是二階常系數(shù)線性齊次微 分方程的

解

，

因

此

的

特

征

多

項

式

是

(

，

而

的特征多項式是因

此

二

階

常

系

數(shù)

線

性

齊

次

微

分

方

程

為

，

由

(

)和

，

知，

(

)

(

)

) 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10

分）設拋物線

過原點.當

時,

,又已知該拋物線與軸及直線

所圍圖形的面積為.試確定,b,,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線

過原點，故

，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令

得即因此

,b

,

.nnn七、（15

分）已知

(

)滿足u

u

en

,且u

e

,nnnn 求函數(shù)項級數(shù)

(

)之和.nn解u

u

e， 即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由

e

u

e

知，

C

，于是下面求級數(shù)的和：令則令

，得令

，得

C

，因此級數(shù)

(

)的和由一階線性非齊次微分方程公式知nn八、（10

分）求

時,與

n等價的無窮大量.n解令

()

，則因當

，

)時，

(

)

，故即

(

)

在)

上嚴格單調(diào)減。因此

(

()

(

，

又

()

，

(

d

d

d

，所以，當

時,與n

n等價的無窮大量是

。

n（2）求 n（2）求

。

（參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知一、（25

分，每小題

5

分）（1）設

)L

),其中

求

.n （3）設，求I

e

n

。

g

g

。

解：（1）

)L

)=

)L

)/)=

g

g

。

解：（1）

)L

)=

)L

)/)=

)L

)/)

=

=

)/) (2)

e

r

（5）求直線

l

:

與直線l

:

的距離。 n n 令

x=1/t,則

原式=e

e

e

I

eI

e

n

n

de

ne

e

n（3） n

e

n

n

In

nn

In

n!I

n! n

n n二、（15

分）設函數(shù)

(

)在(,)上具有二階導數(shù)，并且

且存在一點

，使得

(

)。 證明：方程

(

)

在(,)恰有兩個實根。解：二階導數(shù)為正，則一階導數(shù)單增，

f(x)先減后增，因為

f(x)有小于

0

的值，所以只需在兩邊找兩大于0

的值。將

f(x)二階泰勒展開：因為二階倒數(shù)大于

0，所以

，

證明完成。

三、（15

分）設函數(shù)

(

)由參數(shù)方程

(

所確定，其中

(

)(

)

(

)

與

eudu

在

e解：這兒少了一個條件d

解：這兒少了一個條件d

）由

(

)

與

eu

du

在

出（ e相切得

，

e

e/dt

=。。。（1）當

時，級數(shù)

收斂；（2）當

且

(/dt

=。。。（1）當

時，級數(shù)

收斂；（2）當

且

(

)時，級數(shù)

發(fā)散。

上式可以得到一個微分方程，求解即可。四、（15

分）設

,證明： 解：（1）

>0,

單調(diào)遞增 當

收斂時，Q

，而

收斂，所以

收斂；

當

發(fā)散時，當

發(fā)散時，

n所以，

n

而

，收斂于

k。

所以，

收斂。n所以，

收斂。n

（2）

n所以

發(fā)散，所以存在

，使得

于是，

n

于是，

n

n

n

n

n

使得 n

成立，所以N

使得 n

成立，所以N

Nn

i

當n

時，N

，所以

發(fā)散 i

五、（15

分）設l是過原點、方向為

(

,,

)，（其中

的直線，均勻橢球

b

，其中（

b

,密度為

1）繞l旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關于方向(

,,

)的最大值和最小值。解：（1）橢球上一點

P(x,y,z)到直線的距離由輪換對稱性，（2）Q

b

當

時，I

b當

時，I

b

六、(15

分)設函數(shù)

(

)具有連續(xù)的導數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線積分

?

的值為常數(shù)。

（1）設L

為正向閉曲線(

證明

?

（2）求函數(shù)

(

)；（3）設C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求

?

。

解：（1）

L

不繞原點，在

L

上取兩點

A，B，將

L

分為兩段L

，L

，再從 A，B

作一曲線L

，使之包圍原點。則有（2）

令

,

；（1）.求

；（1）.求

上式將兩邊看做

y

的多項式，整理得由此可得解得：

(

)

（3）

取

L為

，方向為順時針2011-2012

年第三屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷（參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知一． 計算下列各題（本題共

3

小題，每小題各

5

分，共

15

分）

（2）.求

...

；解：（2）.求

...

；解：(用歐拉公式）令

...

n

n nn 其中，

o

表示

時的無窮小量，

e（3）已知

，求

e

d

。

e

e

e

是

一

個

全

微

分

方

程

，

設

e e 解： ,

e

e

e e

e（二．

本題

10

的通解。（解：設P

，則 dz

,該曲線積分與路徑無關

15

分）設函數(shù)f(x)在

x=0

的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且

,

,

均不為

0，證明：存在唯一一組實數(shù)

,

,

，

h

h

h

使得

。 h

證

明

：

由

極

限

的

存

在

性

：即

，又

，

即

，又

，

① 由極限的存在性得

由極限的存在性得

即

，

h

② 再次使用洛比達法則得

③

由①②③得

,

,

是齊次線性方程組

的解

,

,

b

，則

b，

增 廣 矩 陣

*

，

則

,

b

b

,

,

滿足題意， 且

。

17

分）設

:

b

，其中

b

，

:

，為

與

在

上各點的切 平面到原點距離的最大值和最小值。上任一點M,,

，令F,,

，

b

則F

,F

b

,F

,

橢球面

在上點

M

處的法向量

,

在點

M

處的切平面為

：為：

,

在點

M

處的切平面為

：

, ,

b

原

點

到

平

面

的

距

離

為

d

b

，

令,,,

,則d

b

,,

，現(xiàn)在求

,,

,

b

在條件

b

，

下的條件極值，令,,,

b

b

b

b

，

b

解得

b

或

b

，對 應 此 時 的

,,

,,

b

b

b

或b

b

b

或d

又因為

b

，則

d

d

b

b

；（2）

,,

解：（1）由題意得：橢球面S

的方程為

b

別為：

d

，d

16

分）已知

S

是空間曲線

繞

y

軸旋轉(zhuǎn)形成

的橢球面的上半部分（

）取上側(cè)，

是

S

在

,,

點處的切平面，

,,

是原點到切平面

的距離，

,

,

表示

S

的正法向的方向余弦。計算：（1） 令F

則F

,F

,F

， 切平面

的法向量為

,

，的方程為

，原點到切平面

的距離

,,

將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記

:

(2)方法一：

,

,