概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案-二維隨機(jī)變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)初中九外公救等第三章二維隨機(jī)變量及其分布教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布課地類型新知識課教學(xué)方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維隨機(jī)變量地定義及相應(yīng)地聯(lián)合分布律及聯(lián)合密度函數(shù)，以及概率計算。教學(xué)難點(diǎn)二維隨機(jī)變量地定義二維隨機(jī)變量有關(guān)事件概率地計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解二維隨機(jī)變量地定義掌握二維隨機(jī)變量地聯(lián)合分布函數(shù)地定義，性質(zhì)及計算掌握聯(lián)合分布律與聯(lián)合密度函數(shù)地定義，性質(zhì)及計算掌握二維隨機(jī)變量有關(guān)事件概率地計算教學(xué)基本內(nèi)容一,基本概念：1,設(shè)有隨機(jī)試驗E,其樣本空間為。。假設(shè)對Q中地每一個樣本點(diǎn)①都有一對有序?qū)崝?shù)（X（G）,y（@）與其對應(yīng)。那么稱（x,y）為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。稱（x,Y）地取值范圍為它地值域，記為o（x『）。2,設(shè)有隨機(jī)試驗反其樣本空間為。。假設(shè)對。中地每一個樣本點(diǎn)①都有有序?qū)崝?shù)列（X2（g）,???,X〃（g））與其對應(yīng)。那么稱（x，X2,…,x〃）為〃維隨機(jī)變量或〃維隨機(jī)向量。稱（乂,乂2，???,七）地取值范圍為它地值域,記為O（X，X2，…x〃）°3,設(shè)（X,F）為二維隨機(jī)變量，對任意地x.yeR，稱

二維隨機(jī)變量地條件分布律，條件密度函數(shù)以及條件分布函數(shù)地定義及計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握二維隨機(jī)變量地條件分布律,條件密度函數(shù)以及條件分布函數(shù)地定義及計算教學(xué)基本■容r4條件密度函數(shù)地計算教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn).二維離散型隨機(jī)變量地條件分布律教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,y)地聯(lián)合分布律為=?。當(dāng)匕eOy時，在給定條件y=匕｝下X地條件分布律為P(X=x｛丫=%)=",=1,2,3???。

p.j記在給定條件｛y=匕｝下地隨機(jī)變量x為x,=匕，其值域記為。卬二、「｛七：P"w。/=i，2,…｝，滿足分布律地兩條性質(zhì)：=匕)=旦>0』=1,2,3???；(2)ZP(X=xJy=yJ=ZR=l。。P.jiiP.j當(dāng)看eQx時，在給定條件｛X=七｝下y地條件分布律為P（Y=yj\X=xi）=記在給定條件｛x=七｝下地隨機(jī)變量y為y|x=%淇值域記為=｛"：Pijw。J=L2,.??｝,同理也滿足分布律地兩條性質(zhì)。2,二維離散型隨機(jī)變量地條件分布函數(shù)稱Fx\Y(x\y)=P(X<x\Y=y)為在給定｛y=y｝條件下X地條件分布函數(shù)；稱「X(小)=*丫<y|x=%)為在給定｛x=同條件下y地條件分布函數(shù)。^X\Y(4)=匚/鄧(小)為=「。假設(shè)(x,y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,且密度函數(shù)為/(%,y)，那么在給定條件｛y=處下x^X\Y(4)=匚/鄧(小)為=「。在給定｛X=*條件下y地條件分布函數(shù)為^Y\X^Y\X^Y\X（巾）=E人|X（?。?=匚^^%—8J<+00

.二維連續(xù)型隨機(jī)變量地條件密度函數(shù)^Y\X設(shè)/（%y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量地聯(lián)合密度函數(shù)，那么在給定｛y=y｝條件下X地條件密度函數(shù)為y)y)y)y)在給定｛x=耳條件下y地條件密度函數(shù)為左以（巾）=勺4，<y<+°°淇中，人（%）>0?Jx\x）二,定理與性質(zhì)：1,條件密度函數(shù)/x|y（x|y）滿足密度函數(shù)地兩條性質(zhì)2,條件分布函數(shù)G,（x|y）滿足分布函數(shù)地四條性質(zhì)三、主要例題：0<x<2y,0<y<1;其他.例1把一顆骰子獨(dú)立地上拋兩次，設(shè)x表示第一次出現(xiàn)地點(diǎn)數(shù)，丫表示兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)地最小值.求（1）｛y=4｝發(fā)生條件下x地條件分布律。（2）0<x<2y,0<y<1;其他.例2設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）地密度函數(shù)為/（x,y）=（1）寫出條件｛x=l｝下y地條件值域為（2）求條件密度函數(shù)力^（引1）；（3）求條件密度函數(shù)6|x（引"，其中0vx<2;（4）求條件分布函數(shù)弓八引1）其中0vx<2.輟錦唐號05

教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)地分布課地類型新知識課教學(xué)方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)地分布相互獨(dú)立地隨機(jī)變量地最大值最小值分布函數(shù)地計算教學(xué)難點(diǎn)二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)地分布函數(shù)計算參考高教版，浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握二維隨機(jī)變量函數(shù)分布地計算熟練相互獨(dú)立地隨機(jī)變量地最大值最小值分布函數(shù)地計算一,基本概念:1，二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)地分布如果二維離散型隨機(jī)變量(x,y)地聯(lián)合分布律為P(X=/Y=bj)=Pu，i,j=12?..,那么隨機(jī)變量(x,丫)地函數(shù)z=g(x,y)地分布律為p(z=g(4也.))=〃".，i,j=12…,且取相同g(q，勺)值對應(yīng)地那些概率應(yīng)合并相加。2,二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)地分布設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(x,y)地聯(lián)合密度函數(shù)為〃九》),那么隨機(jī)變量(x,y)地二元函數(shù)z=g(x,y)地分布函數(shù)為B(z)=P(Z4z)=P(g(XM4z)=P((XMc2)=JJ7(%,y^dxdy,D.其中,｛(x,y)e。1是與｛g(x,y)〈z｝等價地隨機(jī)事件，而2=｛(%?)超(%?)42｝是二維平面上點(diǎn)集(通常是一個區(qū)域或假設(shè)干個區(qū)域地并集)。那么z=g(x,y)地密度函數(shù)為七(z)="(z)。二,定理與性質(zhì)：1,可加性設(shè)x?b(風(fēng)〃),y?b(4〃),且x與y相互獨(dú)立，那么X+Y-B(m十幾,p);(2)設(shè)x?p(4),y?2(4),且x與y相互獨(dú)立，那么x+y?0(4+4)。(3)設(shè)x?N(M，b；),y?NJ2。；)，且x與丫相互獨(dú)立，那么x+y?

2,設(shè)隨機(jī)變量(X,y)地聯(lián)合密度函數(shù)為，且X地邊緣密度函數(shù)為￡(x)，丫地邊緣密度函數(shù)為%(丁)。那么隨機(jī)變量(x,y)地函數(shù)z=x+y地密度函數(shù)為特別地，當(dāng)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立時，Z?(z)=人(z-%)d%或/z(z)=J：/x(z-y)/y(y)dy3.最大值與最小值地分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X與y互相獨(dú)立，且X地分布函數(shù)為Fx(x)，丫地分布函數(shù)為Fy(y)o那么(1)隨機(jī)變量U=max(X,丫)地分布函數(shù)為Fv(u)=Fx(〃)FY(〃);(2)隨機(jī)變量V=min(X,F)地分布函數(shù)為———%”))。三,主要例題：例1為分析一個年級地成績分布，引入隨機(jī)變量0,0,數(shù)學(xué)不為優(yōu).0,數(shù)學(xué)不為優(yōu).0,語文不為優(yōu).X=]l,數(shù)學(xué)為優(yōu)；y=fl,語文為優(yōu)；數(shù)學(xué)為優(yōu)地占0.2,語文為優(yōu)地占0.1,都為優(yōu)地占0.08o討論總成績Z=X+y分布情況,求0,數(shù)學(xué)不為優(yōu).0,語文不為優(yōu).例2設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)地聯(lián)合密度函數(shù)為/(xy)=/(xy)=/(xy)=。，其他,/、0<x<^<1計算z=x+y地密度函數(shù)fz(z)。/(xy)=。，其他例3(XI)?(1,2,3,4,0),求2=—*+2丫+3地密度函數(shù)。例4設(shè)X與X2是獨(dú)立同分布地隨機(jī)變量，且X1?石(4)?2?￡(4),記t/=max(XpX2),V=min(X],X2)。試求U,V地密度函數(shù)。方（x，V）=P（X<x.Y<J7）,-oo<x<+oo,^x）<y<+co.為隨機(jī)變量（x,y）地聯(lián)合分布函數(shù)。4,設(shè)（X],??x〃）為〃維隨機(jī)變量，對任意地王,???，怎￡R,稱=P（X[<X],…,X1t<xM）為隨機(jī)變量（X],??.,X〃）地聯(lián)合分布函數(shù)。—8<七,???,乙<8。5,如果二維隨機(jī)變量（x,y）僅可能取有限個或可列無限個值，那么稱（x,y）為二維離散型隨機(jī)變量。6,稱。（乂=七1=匕）=々，。/=1,2,???，為二維隨機(jī)變量（x,y）地聯(lián)合分布律。其中，%之。工，=1，2,…,XX%=1。ij7,設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）地分布函數(shù)為b（x,y），如果存在一個二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)/（x,y），使得對于任意九,y￡R有?（%，，）=J：〕：/（工?）辦公成立，那么稱（x,y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,/（%?）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量（x,y）地聯(lián)合（概率）密度函數(shù)。8,設(shè)〃維隨機(jī)變量（X「???,X〃）地分布函數(shù)為尸（七,???,怎）,如果存在一個〃元非負(fù)函數(shù)/（不??.,％〃）,使得對任意地王,???/〃wR有尸（4…公1…4成立，那么稱（X，???,X〃）為〃維連續(xù)型隨機(jī)變量,/（七,???,王）為〃維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，??.,X〃）地聯(lián)合（概率）密度函數(shù)。二,定理與性質(zhì)1,（聯(lián)合分布函數(shù)地性質(zhì)）設(shè)b（x,y）是二維隨機(jī)變量（X,y）地聯(lián)合分布函數(shù)。那么（2）當(dāng)固定y值時，尸（乂丁）是變量地非減函數(shù)；當(dāng)固定x值時,b（x,y）是變量y地非減函數(shù);（3limy）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=l;X-'J3'->-00'7X—\/X->+8\'y—>+ooy—>+ooy—>+ooy—?-ooy—>+oo（4）當(dāng)固定y值時，尸（羽丁）是變量x地右連續(xù)函數(shù)；當(dāng)固定x值時,b（x,y）是變量y地右連續(xù)函數(shù)；（5）<x<w，y<丫<%）=/（%，％）一廠（％2，%）一尸（石，%）+/（％i，y）。2,（聯(lián)合密度函數(shù)地性質(zhì)）設(shè)/（x,y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,丫）地聯(lián)合密度函數(shù)，那么（1）非負(fù)性/（x,y）>0,-oo<x,y<+oo；（2）規(guī)范性/：］：/（羽丁世力=1。3,（連續(xù)型隨機(jī)變量地性質(zhì)）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,F）地聯(lián)合分布函數(shù)為b（x,y）,密度函數(shù)為（1）對任意一條平面曲線"有p（（x,y）￡L）=o；（2）/（羽y）為連續(xù)函數(shù)，在地連續(xù)點(diǎn)處有d2F（x,y）dxdy（3）對xoy平面上任一區(qū)域。（如圖3.11所示）有P（（X,y）￡O）=公力oD三,主要例題：例1現(xiàn)有將一顆骰子獨(dú)立地上拋兩次地隨機(jī)試驗E,觀察兩次出現(xiàn)地點(diǎn)數(shù)。討論第一次出現(xiàn)地點(diǎn)數(shù)以及兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)地最小值.請根據(jù)問題（1）給出隨機(jī)試驗后地樣本空間。；（2）引入二維隨機(jī)變量（x,y）,并寫出例2為分析一個年級地成績分布，引入隨機(jī)變量1,1,數(shù)學(xué)為優(yōu);0,數(shù)學(xué)不為優(yōu).1,數(shù)學(xué)為優(yōu);1,數(shù)學(xué)為優(yōu);0,數(shù)學(xué)不為優(yōu).1,語文為優(yōu);0,語文不為優(yōu).數(shù)學(xué)為優(yōu)地占0.2,語文為優(yōu)地占0.1,都為優(yōu)地占0.08o求(1)(x,y)地聯(lián)合分布律；⑵(x,y)地聯(lián)合分布函數(shù)；⑶概率p(x<y)。例3把一顆骰子獨(dú)立地上拋兩次，設(shè)x表示第一次出現(xiàn)地點(diǎn)數(shù)，丫表示兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)地最小值.試求：(i)x與y地聯(lián)合分布律；⑵p(x=丫)與p(x2+產(chǎn)<8).例4設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)地密度函數(shù)為cy1,0<x<2y,0<1;0,其他.計算(1)常數(shù)c;(2)聯(lián)合分布函數(shù)(3)概率P(|X|￡Y)。就錦序號S教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第三章第二節(jié)常用地二維隨機(jī)變量課地類型新知識課教學(xué)方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維均勻分布教學(xué)難點(diǎn)二維均勻分布地概率求解問題參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握二維均勻分布了解二維正態(tài)分布地密度函數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容1,二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）地聯(lián)合密度函數(shù)為(x,(x,y)eG;其余.(x,y)(x,y)eG;其余./(x,y)=1G的面積

0其中G是xoy平面上地某個區(qū)域。那么稱（X,7）服從區(qū)域G上地二維均勻分布。2.二維正態(tài)分布N（4，〃2，b；,b；,Q）ro〈羽yv+oo,貝1J稱如果（X,ro〈羽yv+oo,貝1J稱2go2也-2(1_Q)a2（x,y）服從二維正態(tài)分布,并記為（x,y）?N（4[,〃2，b；,b；,夕）.其中一00<〃],以2〈以必,%。二主要例題：例1設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）服從區(qū)域G上地均勻分布,G={（x,y）:0<xv1且0<y<2x}（1）寫出（x,y）地聯(lián)合密度函數(shù)；（2）計算概率p（yvx）。<^44os教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第三節(jié)邊緣分布課地類型新知識課教學(xué)方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維隨機(jī)變量地邊緣分布函數(shù)地計算兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立地判別方法教學(xué)難點(diǎn)二維隨機(jī)變量地邊緣分布函數(shù)地計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握二維隨機(jī)變量地邊緣分布函數(shù)地定義及計算熟練兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立地定義及判別方法了解〃個隨機(jī)變量相互獨(dú)立地定義及判別方法理解隨即變量獨(dú)立地概念掌握隨機(jī)變量獨(dú)立地判斷方法教學(xué)基本內(nèi)容—,基本概念：.邊緣分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）地聯(lián)合分布函數(shù)為F（x,y），稱Fx（x）=P（X<x）=P（X<x,Y4+00）=尸（%,+00）,-00<%V+00為乂地邊緣分布函數(shù);稱4（V）=<V）=P（X<<y）=F（+oc,y）,-oovy<+oo為y地邊緣分布函數(shù)。其中機(jī)⑺在維情形下表示長度，在二維情形下表示面積，在三維情形下表示體積。.二維離散型隨機(jī)變量地邊緣分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）地聯(lián)合分布律為p（x=x「Y=bj）=Pij,。./=12???，稱概率/\P（X=xi）=PX=x^\jY=yj=ZP（x=Xj,y=x）=E與為隨機(jī)變量X地邊緣分布律，記為化.，并\J7jj有p”P（X=%）=工Pij"=1,2,???。稱概率p（y=%）（j=1,2,…）為隨機(jī)變量Y地邊緣分布律，記為p.j,i并有P.j=P（Y=b）=￡pg,/=1,2,…。J.二維連續(xù)型隨機(jī)變量地邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,y）地聯(lián)合密度函數(shù)為那么X地邊緣密度函數(shù)為fx（力=匚〃%，-。y地邊緣密度函數(shù)為衣（、）=—/（%，y）一。4.隨機(jī)變量地獨(dú)立性設(shè)（X,y）為二維隨機(jī)變量，假設(shè)對任意兒yeR,都有■（羽加一（%）耳（?。┏闪ⅲ敲捶Q隨機(jī)變量X與y相互獨(dú)立。其中方（陽y）為（X,y）地聯(lián)合分布函數(shù),G（x）與耳（y）分別為X與y地邊緣分布函數(shù)。5,多維隨機(jī)變量設(shè)（X1…X〃）為〃維隨機(jī)變量，假設(shè)對任意司…,都有■/（王，…，居）=n。（七）

i=\成立，那么稱隨機(jī)變量X,..,x”相互獨(dú)立。其中產(chǎn)（不為（X],...,X,J地聯(lián)合分布函數(shù),弓（引為X,地邊緣分布函數(shù),i=o當(dāng)（X,..,X〃）為離散型隨機(jī)變量時，隨機(jī)變量X1,…,X”相互獨(dú)立地充要條件是對任意地xigQxJ=l,2,---,?，都有P（X]=石,…,X”—%"）=][2區(qū).—西）

Z=1成立淇中P（X1=不...,乂〃=七7）為（乂,??.2〃）地聯(lián)合密度函數(shù),2（乂,=玉）為乂,地邊緣密度函數(shù)，i=1,2,???,〃o當(dāng)（X],...,X〃）為連續(xù)型隨機(jī)變量時，隨機(jī)變量相互獨(dú)立地充要條件是在…Z）,&（為），???，/x〃區(qū)）地所有公共連續(xù)點(diǎn)上/（4???,工〃）=!1為（%）

z=l成立。其中/為（X...,X〃）地聯(lián)合密度函數(shù)，益G）為X,地邊緣密度函數(shù)，=1,2,…,人二,定理1,如果（x,y）?x?N（M，b；）,y?N（42，b；）,即二維正態(tài)分布地邊緣分布還