2005考研數(shù)二真題及解析

設(shè)y(1sinx)x，則 3(1x)x曲線(xiàn)y x

1x0(21x微分方程xy2yxlnx滿(mǎn)足y(1)1的解 cos1cos1xarcsinx0(xkx2(xk 設(shè)1,2,3均為3

是等價(jià)無(wú)窮小，則A(1,2,3)，B (12 3,122 43,132 如果A1，那么B n1xn1x

，則f(x)在(,)內(nèi) 設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，"MN"表示“M的充分必要條件是N”，則必有( (A)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù) (B)F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù) (D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)xt2yy(x由參數(shù)方程yln(1

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 1ln23 8

1ln238 8ln23 8ln23Dxyx2y24x0,y0}f(xDabD常數(shù)，則D

d f(x) f(x) f(f(x) f( (B) 2

(a (D) .2設(shè)函數(shù)u(x,y)

y)

y)

x(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 有一階導(dǎo)數(shù)，則必有

x

y

x

y

y

xf(x)

xex1

,則 x0x1f(x的第一類(lèi)間斷點(diǎn)x0x1f(x的第二類(lèi)間斷點(diǎn)x0f(xx1f(x的第二類(lèi)間斷點(diǎn)x0f(xx1f(x的第一類(lèi)間斷點(diǎn)設(shè)1,2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 (D)20的伴隨矩陣，則

A*B*分別A,(A)交換A*的第1列與第2列得B* (B)交換A*的第1行與第2行得B*(C)交換A*的第1列與第2列得B* (D)交換A*的第1行與第2行得B*三、解答題：15－2394分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)xxf(xf(0)0，求極限lim0(xtf(t)dtxx0xf(xx011

1x如圖，C1和C2分別是y2(1e)1x的圖象，過(guò)點(diǎn)(0,1)的曲線(xiàn) 是一單調(diào)增函數(shù)的圖象的直線(xiàn)lx和ly.記C1C2與lx所圍圖形的面積1OS1xC2C3與lyS2y如O如圖，曲線(xiàn)Cyf(x，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線(xiàn)l1與l2分別是曲線(xiàn)C在點(diǎn)(0,0))與(32處的切線(xiàn)，其交點(diǎn)為(24)f(x分3(x2xf0xcost(0t化簡(jiǎn)微分方程(1x2yxyy0y

1,

2的特解f(x在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)f(0)0,f(1)1.(I)存在0,1),f(1.D

2y4

1}上的最大值和最小值DD確定常數(shù)a,使向量組(1,1,a)T (1,a,1)T,

3a,1,1)T可由向量組 1,1,a)T2,a,4)T,(2,aa)T線(xiàn)性表示，但向量組,,不能由向 組1,2,3線(xiàn)性表示已知3A的第一行是(abcabc不全為矩陣B

k為常數(shù)AB0,求線(xiàn)性方程AX0的通解

3

k1y(1sinxxexln(1sinx，于是yexln(1sinx)[ln(1sinx)xcosx]1sin從

=y()dx1yln(1sin

xcos，1sin于 y(1sinx)x[ln(1sinx)xcosx1sin

=y()dx

3(1x)x曲線(xiàn)y xyaxb(其中a

f(x)blimf(xax)a

3xf(x)lim(1x)2x

blimf(x)ax

3

(1x)2x23x2x于是所求斜漸近線(xiàn)方程為yx 21xsint(0t,則2 sintcos 2 dt2 dt0(2x2)1x 0(2sin2t)cos 02sin2dcos arctan(cost)2201cos 21 t，有x21t2,所以有xdxtdt，其中0t1

1dtarctan

1(2x2)1 0(2x2)1 xlnx

dyP(xyQ(xyePx)dxQ(x)ePx)dxdxC(其中C是常數(shù)

y2ylnxx ye1x[lnxexdx [x2lnxdxC] xlnx x

其中C是常數(shù) 1

由y(1) 得C0，故所求解為y9

xlnx 1xarcsinxcosx1xarcsinxcosxarcsinx1coskx2(1xarcsinx cosxx0 1limxarcsinx1cosx1limarcsinxlim1cosx2k x x 1cos arcsin 又因?yàn)閘im ，lim arcsinxuim

u0所 lim

1(11) x0 2k 1，得k 1：因?yàn)?,,

，(24)(,,

2

3

3(39)(,,)3， 3故B,24,39

=(,,

1 3

31

BA

3129方法2：利用行列式性質(zhì)(在行列式中，把某行的各元素分別乘以非零常數(shù)加到另一行的對(duì)[3]

====21[2]

又因A

1

2

2nnn1|xn當(dāng)|x|1時(shí)， nnn1|xn

1nn

1n1|x由準(zhǔn)則得n1|xn1當(dāng)|x|1f(n1n|x|3當(dāng)|x|1時(shí)，|n|x|3

1

1n2|x|3nn1|x|3n2|x|3nn1|x|3nn2|x

|x

|x

|x

1)n|x|3 f(x)

|x|再討f(x的不可導(dǎo)點(diǎn).按導(dǎo)數(shù)定義，易x1f(x不可導(dǎo)，故應(yīng)選)

f(t)dtCF(x)x0x

fF(x)為偶函數(shù)時(shí)，有F(x)F(x)F(x1)F(x)f(x)f(xf(x)f(x)，可見(jiàn)f(x f(t)dtC，令tk，則有dtdk 所 F(x) f(t)dtC0f(k)dkC0f(k)dkCF(x) F(x)0f(t)dtC 方法2：排除法，f(x1,F(xx1,排除(B)、f(x)xF(x)12

x3時(shí)，有t22t3，得t1,t3(y無(wú)意義 yy(x

dydt dx

1t 2t 2(t1yy(xx3(即t1)8于是在該處的法線(xiàn)的斜率為8,所以過(guò)點(diǎn)(3,ln2)yln28(x1y=0,x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：ln23,故應(yīng)8,, f(x) f( f(x) f(f(x) f( f(y) ff(y) f 2=12D

f(x) f(y) f(y) f f(y) ff(y) f

abdab122ab (xy)(xy)(xy)(xy)u(xy)(xy)(xy)(xy)2u 于是x 2u 2u(x

x

y y2，應(yīng)選f(xx0x1點(diǎn)處無(wú)定義，因此是間斷點(diǎn)且limf(xx0limf(x)0limf(x)1x1為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，故應(yīng)選 1,2分別是特征值1,2對(duì)應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，因12，因不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故1,2線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)

2 0,k0，此時(shí)，A()線(xiàn)2

A(12=11線(xiàn)性相關(guān))，故應(yīng)選(B).1,2分別是特征值1,2對(duì)應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，由于,A(),, ， 1 2 2 2.2r

1

12 2 min 2 2 2故2r 12，從而r 12，從而

2 2 若

，則r

12，又,線(xiàn)性無(wú)關(guān)

2r

2 12 2 r 1 2 則

2 從而，A()線(xiàn)性無(wú)關(guān)

22 10故應(yīng)選2

1,2分別是特征值1,2對(duì)應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，因12，因不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故1,2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，

1,2分別是特征值1,2對(duì)應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，由12，因不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故1,2線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 01,X0只有零解，又,, 1 1 2 1 2 2 , 2 x 22

2,線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí),Y0只有零解，故Y xY x 22

22

1,2分別是特征值1,2對(duì)應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，,).以由向量組I線(xiàn)性表出；當(dāng)20時(shí)，不論1的取值如何，向量組III線(xiàn)性，(1) 1()11 A() 1 2 1：由題設(shè)，存在初等矩陣E12(n階單位矩陣的第12行所得) EAB，(A進(jìn)行行變換，故A左乘初等矩陣)，于 B*(EA)*A* 1 E1 12又 E1(行列式的兩行互換，行列式反號(hào))，E1E，A*

B*A* A* E1A*E1 B*,可見(jiàn)應(yīng)選

， 又因?yàn)锳是可逆陣，E12E1BE12AE12AA0，BB1(EA)1A1E. AA1A

A,

BBBB

AA

BAA*E12B* x0f(xt)dtx

f(u)(du)0f(u)dux(xt)f xxf(t)dtxtf

f(x

f

lim

x0理 0x0

上下同除 1x上下同除 f lim x0 xf x0f(x)1xff xx(fx而lim1xf(t)dt

limf(x)f0x

xf lim1xf f(0)0x原式 xxx

x0x0

f .

f(x)1f limf(x)

f f(0)f x xS(x)x[et1(1et)]dt1(exx1) y1O1xy1O1xyS2y1(lnt(t))dt，S1(x)S2y，得1(exx1)y(lnt(t))dt M(xyyex 于 2(ylny1)1(lnt 1(11)lny(y)yy 2【詳解】由直線(xiàn)l1過(guò)(0,0)和(2,4)兩點(diǎn)知直線(xiàn)l1的斜率為2.由直線(xiàn)l1是曲線(xiàn)C在點(diǎn)(0,0)f(0)2.f(3)2.另外由點(diǎn)(3,2)是曲線(xiàn)C的f(3) 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f 33f(x)(2x (323)f(3)(020)f(0)3f(x)(2x0=3(2x1)df(x)(2x1)f

33 2 3

f(231)f(3)(201)f(0)0

f(=162[f(3)f(0)]

dy cost d2 y ，y [ ]( ) sint sin2t sintdt 代入原方程，(1cos2t)[costdy d2y] 1)cost( dy)y0sin2t sint sint

y0，其特征方程為r210特征根 i,通解為yCcostC 1x所 yC1costC2sintC1x1x1 1,代入得，1C0 即C1 yCxC(1x2)C

21 221將 2代入得2C 221 將C2,C1代入通解公式得滿(mǎn)足條件的特解為y2x 1x2,1x F(xf(x1xF(x在[0，1]F(0)10,F(1)10在[0,]和[,1]上 f(x)分別應(yīng) 日中值定理，知存在兩個(gè)不同的 f()f(0)，f()于 f()1f()1 1 1

f(1)f()1dz2xdx2ydy知z2xz2y.對(duì)z2xzf(x,y)x2c(

.將z(xy)x2cy)z2

cy)2y.cyy2c.zx2y2c.x1y1z2知，c2.zx2y22 求z在x2 1中的駐 4

x2x,

2y(0,0)zf(0,0)22zx2y22Dx22

y=1上的最值，有兩個(gè)方法.zx2y22=5x22zx

1x

x0,y2還要考慮1x1x1y0

x1,y0z2,z2,z3minz2(x0y2)maxz3(x0y2 2 4 Ff

1y Fx2

1.值點(diǎn)(0,2),(021,0),(1,0).計(jì)算對(duì)應(yīng)z的值：z(02)2,z(0,2)2,z(1,0)3,z(1,0)z(0,0)2 x2y2 (x,y)這時(shí)可以去掉絕對(duì)值符號(hào)x2y21 1 (x,y)11：x2y21d(x2y21)dxdy(x2y2 11(x2y21)dxdy (x2y2111 11[(x21)(x2

1 (1-x2)1 1[(x22)2(1x2)32]dx1x2dx12dx21(1x2)23 2

0 3 21cos 2cos4tdt 2 )2 3 3 12

2(12cos0

cos22t)1

2

2(12cos2t

cos4

4 1 cos4 2 2cos2t 4 1 cos4 2(2cos2t 4 0 (1x2y2)dxdy2d(11r2)rdr2 )d

所

+

=1 DD1D2，再減去“擴(kuò)充”的部分，就簡(jiǎn)化了運(yùn)算.(x2y21)d(x2y21)d(x2y2 因 x2y21d=(1x2y2)d(x2y2 (1x2y2)d+(x2y21)d(x2y2 2(1x2y2)d+(x2y2 由極坐標(biāo)(1x2y2)dxdy2d(11r2)rdr2 )d

1 2y21)d11

2y21)dx

x(

1)x] D

dy

21 2

20[3y1]dy

(y)dy

y] 所 x2y21d=21=1 rA)3，(若rA)3，則任何三維向量都可以由1,2,3線(xiàn)性表出)，從 A 2行13行1

1(2 a

2 2 a

(2a) 按第3列展開(kāi)(2a1)13

a1(2a)(a1)2a (其中

a1時(shí)，1,1,1]T，則00 故,,可由,,線(xiàn)性表出，但[2,1,4]T不能由,,線(xiàn)性表出(

k1k2k3 為方程組 k1 1

kkk 無(wú)解)，故a1 1 2 34

kkk合題意

a2時(shí),11000 2110000 22 10

–行2 2 1 0 6 0r(B)2r(B2)3，系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相等，故方程組BX2無(wú)解，故2不能由1,2,3線(xiàn)性表出，這和題設(shè) ，故a2不合題意.因此a1.2：對(duì)矩A1,2,31,2,3作初等行變換， A(,,,,)=

21行

11aaa0a004 01a1 a a a ， a a a ， a 3(1a)1 a2時(shí)，A

,不存在非零kkk 3

使得3 0 ，不能由,,線(xiàn)性表示，因此a2 1 2 3 114A66030 線(xiàn)性表示，不存在非零常數(shù)k1,k2,k3，使

0 0k6

6.a41 0

0 0 B(,,,,)

a21行， 21行，

a 1 2

a a01a1 4 3a0 a 0 a 1a 0 a 0 a 1a 2a 6 4a由題設(shè)向量組1,2 不能由向量組1,2 線(xiàn)性表示，則方程又當(dāng)a2a4r(B)3，則必有a102aa20，即aa23：A1,2,3B1,2,3，對(duì)矩陣AB作初等行變換，AB(,,,,)

12312

1 a a2行1行， 2行1行，