行列式定義性質(zhì)與計(jì)算

2009-2010第一學(xué)期線性代數(shù)任課教師：部門：信息學(xué)院辦公室：718室E-mail：下頁一、研究對象二、核心方法下頁以討論線性方程組的解為基礎(chǔ)，研究線性空間的結(jié)構(gòu)、線性變換的形式.《線性代數(shù)》研究對象與邏輯結(jié)構(gòu)概述通過初等變換，將方程組化為最簡形式的同解方程組求解.主要流程為：方程組行最簡形矩陣方程組的解初等行變換矩陣三、邏輯結(jié)構(gòu)下頁方程組有解？是唯一解？無解，停求唯一解，停求通解，停YNYN例1．顯然，此方程組無解.

例2．顯然，此方程組有無窮多解.

例4．此方程組如何求解？例3．顯然，此方程組有唯一解.

a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

，下頁附：關(guān)于作業(yè)和作業(yè)紙問題1．統(tǒng)一要求使用專用的作業(yè)紙；作業(yè)紙不足者，可聯(lián)合購買使用，由課代表聯(lián)系任課教師辦理；2．作業(yè)由課代表同學(xué)收齊后，于下周第一次課前交給任課老師，并注意以下問題：①作業(yè)首頁上寫清楚個(gè)人的學(xué)號；②課代表同學(xué)的作業(yè)，在學(xué)號后標(biāo)注_K；

③課代表同學(xué)負(fù)責(zé)：⑴將每個(gè)同學(xué)的作業(yè)的左上角用訂書機(jī)訂好（建議用班費(fèi)為課代表配訂書機(jī)）；⑵將收齊后的作業(yè)按從小到大的學(xué)號順序排序.四、基本要求理解內(nèi)在邏輯，掌握運(yùn)算技能；記錄分析思路，及時(shí)完成作業(yè).

第1章行列式1.1二三階行列式

考慮用消元法解二元一次方程組

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1節(jié)行列式的概念用a22和a12分別乘以兩個(gè)方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，消去x2得

同理，消去x1得當(dāng)時(shí)，方程組的解為下頁二階行列式

當(dāng)時(shí)，方程組的解為為便于敘述和記憶，

引入符號D=D1=稱D為二階行列式.按照二階行列式定義可得D2=于是，當(dāng)D≠0時(shí)，方程組的解為下頁

j=1，2，3類似引入符號其中D1,

D2,D3分別為將D的第1、2、3列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.三階行列式

求解三元方程組稱D為三階行列式.下頁25431是一個(gè)5級排列.如，3421是4級排例；

例1．寫出所有的3級全排列.

解：所有的3級排列為：321.312，231，213，132，123，1.2排列n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n按一定的次序排成的一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個(gè)n級排列，記為i1i2…in.顯然，n級排列共有個(gè)n!.其中，排列12…n稱為自然排列.下頁342

1逆序數(shù)的計(jì)算方法(向前看法)43

21從而得

τ(3421)=5.5逆序及逆序數(shù)

定義1

在一個(gè)級排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).下頁奇排列與偶排列逆序及逆序數(shù)

定義1

在一個(gè)級排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列.逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因?yàn)棣?3421)=5.因?yàn)棣?1234)=0.下頁

定義3

符號稱為n階行列式，它表示代數(shù)和

其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n級排列.元素aij列標(biāo)行標(biāo)1.3n階行列式下頁n階行列式定義a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

(3)n階行列式共有n!項(xiàng).

(-1)τ(j1

j2

jn).之前的符號是n個(gè)元素的乘積.(1)在行列式中,項(xiàng)是取自不同行不同列的

行列式有時(shí)簡記為|a

ij|.一階行列式|a|就是a.

=說明：下頁(2)項(xiàng)乘積a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42例如，四階行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42為行列式中的一項(xiàng).

表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).

a14a23a31a42取自不同行不同列,

的列標(biāo)排列為4312所以它不是行列式中的一項(xiàng).中有兩個(gè)取自第四列的元素，下頁(為奇排列)，D=行列式計(jì)算

解：根據(jù)行列式定義例1．計(jì)算2

階行列式D=注：3階行列式的計(jì)算類似，略.下頁

例2．計(jì)算n階下三角形行列式D的值其中aii0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n

行只能取ann.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann.下頁

例3．計(jì)算n階下三角形行列式D的值D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**0b2…**

解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n

行只能取bn.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有b1b2b3bn，所以取bn-1，下頁下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33ann.上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a23a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33ann.對角形行列式的值：a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33ann.結(jié)論：下頁

將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT(Transpose)或D.即如果2.1行列式的性質(zhì)a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=則.第2節(jié)

行列式的性質(zhì)與計(jì)算顯然，(DT)T=D.下頁行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)3

用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式.即a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.推論1

如果行列式的某一行(列)的元素為零，則D＝0.性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號.推論

如果行列式D中有兩行(列)的元素相同，則D=0.

推論2

如果D中有兩行(列)成比例，則D=0.下頁

性質(zhì)4

若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=

性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=.+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.下頁行列式的計(jì)算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算.為表述方便，引入下列記號(行用r，列用c)：2)以數(shù)k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以數(shù)k乘以行列式的第i