內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市紅山區(qū)2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題

紅山區(qū)2021—2022學年第一學期質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學注意事項：1．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生作答時，請將第Ⅰ卷選擇題的答案用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后重新填涂；請將第Ⅱ卷的答案用黑色中性筆答在答題卡指定答題區(qū)域內(nèi)，在本試卷上答題無效．考試結束后，將答題卡交回，試卷自行保留．2．所有同學們答卷時請注意：（1）題號后標注學校的，相應學校的學生解答；（2）沒有標注學校的題所有學生均需解答．3．本試卷共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個數(shù)為3.故選：B【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2.下列函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）（1）（2）（3）（4）（5）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（3）（5）【答案】C【解析】【分析】將5個函數(shù)的解析式化簡后，根據(jù)相等函數(shù)的判定方法分析，即可得出結果.【詳解】（1）與定義域相同，對應關系不同，不是同一函數(shù)；（2）與的定義域相同，對應關系一致，是同一函數(shù)；（3）與定義與相同，對應關系不同，不是同一函數(shù)；（4）與定義相同，對應關系一致，是同一函數(shù)；（5）與對應關系不同，不是同一函數(shù)；故選：C.3.某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）A.無癥狀感染者 B.發(fā)病者 C.未感染者 D.輕癥感染者【答案】A【解析】【分析】由即可判斷S的含義.【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合B的交集，所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，故選：A.4.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【答案】B【解析】【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．本題選擇B選項.點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．5.已知函數(shù)，若，則x的值是（）A.3 B.9 C.或1 D.或3【答案】A【解析】【分析】分段解方程即可.【詳解】當時，，解得（舍去）；當時，，解得或（舍去）.故選：A6.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式，求出扇形的半徑，再由弧長公式，即可求出結論.【詳解】因為扇形的弧長為4，面積為2，設扇形的半徑為，則，解得，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查扇形面積和弧長公式應用，屬于基礎題.7.已知函數(shù)，則在下列區(qū)間中必有零點的是()A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)存在零點定理，看所給區(qū)間的端點值是否異號，，，，所以，那么函數(shù)的零點必在區(qū)間．考點：函數(shù)的零點8.下圖是函數(shù)的部分圖象，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)的周期，進而可得的值，然后逆用五點作圖法求出的值即可求解.【詳解】解：由圖象可知，函數(shù)的周期，即，所以，不妨設時，由五點作圖法，得，所以，所以故選：B.9.設，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查的是有關指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.10.設f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，，則xf(x)＜0解集為（）A.(－1，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(0，2)C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)【答案】C【解析】【分析】結合函數(shù)的性質(zhì)，得到，畫出函數(shù)的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，又，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且，函數(shù)f(x)的草圖如圖，又由，可得或，由圖可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集為(－2，0)∪(2，＋∞).故選：C.本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結合函數(shù)的圖象求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.11.中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫----秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（）A.6 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，代入面積公式，配方即可求出最大值.【詳解】由，，則，所以，當時，取得最大值，此時.故選：C12.設函數(shù),則使成立的的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數(shù)的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據(jù)函數(shù)的表達式可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)在大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數(shù)值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可．13.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是上的減函數(shù)，則兩段函數(shù)都是減函數(shù)，并且在分界點處需滿足不等式，列不等式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由條件可知，函數(shù)在上是減函數(shù)，需滿足，解得：.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，本題共20分．請把正確答案填在答題卡中相應題號的橫線上）14.____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：,故答案為.考點：對數(shù)的運算.15.如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】函數(shù)對稱軸為，則由題意可得，解出不等式即可.【詳解】∵函數(shù)的對稱軸為且在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即.【點睛】已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，則這個區(qū)間是這個函數(shù)對應單調(diào)區(qū)間的子集.16.已知＝－5，那么tanα＝________.【答案】－【解析】【分析】由已知得＝－5，化簡即得解.【詳解】易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.故答案為：－【點睛】本題主要考查同角的商數(shù)關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.17.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它由四個全等的直角三角形圍成，其中，現(xiàn)將每個直角三角形的較長的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2的數(shù)學風車，則圖2“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為_______________．【答案】24:25【解析】【分析】設三角形三邊的邊長分別為，分別求出陰影部分面積和大正方形面積即可求解.【詳解】解：由題意，“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形圍成，其中，設三角形三邊的邊長分別為，則大正方形的邊長為5，所以大正方形的面積，如圖，將延長到，則，所以，又到的距離即為到的距離，所以三角形的面積等于三角形的面積，即，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為.故答案為：24:25.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18.已知集合，或．（1）若，求a取值范圍；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集的定義，列出關于的不等式組即可求解；（2）由題意，，根據(jù)集合的包含關系列出關于的不等式組即可求解；【小問1詳解】解：∵或，且，∴，解得，∴a的取值范圍為；【小問2詳解】解：∵或，且，∴，∴或，即或，∴a的取值范圍是.19.已知角α的終邊經(jīng)過點P.（1）求sinα的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦函數(shù)定義計算；（2）由誘導公式，商數(shù)關系變形化簡，由余弦函數(shù)定義計算代入可得.【詳解】（1）因為點P，所以|OP|=1，sinα=.（2）由三角函數(shù)定義知cosα=，故所求式子的值為．20.已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，．（1）求函數(shù)的表達式；（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】（1）（2）單調(diào)減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）設，則，根據(jù)是偶函數(shù)，可知，然后分兩段寫出函數(shù)解析式即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，并可證明結果．【小問1詳解】解：設，則，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以．【小問2詳解】解：設，，∵，∴，，∴，∴在為單調(diào)減函數(shù)．21.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x萬件，其總成本為萬元，其中固定成本為3萬元，并且每生產(chǎn)1萬件的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：（1）寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤=銷售收入?總成本）；（2）工廠生產(chǎn)多少萬件產(chǎn)品時，可使盈利最多？【答案】（1）（2）4萬件【解析】【分析】（1）由題意，總成本，由即可得利潤函數(shù)解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性，求出分段函數(shù)的最大值即可求解.【小問1詳解】解：由題意，總成本，因為銷售收入滿足，所以利潤函數(shù)；小問2詳解】解：當時，因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以萬元；當時，函數(shù)，所以當時，有最大值為13(萬元).所以當工廠生產(chǎn)4萬件產(chǎn)品時，可使盈利最多為13萬元.22.已知函數(shù)滿足下列3個條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對稱軸；③.（1）請任選其中二個條件，并求出此時函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的最值.【答案】（1）答案見解析，；（2）最大值；最小值.【解析】【分析】(1)由①知，由②知，由③知，結合即可求出的解析式.(2)由可得，進而可求出函數(shù)最值.【詳解】解：（1）選①②，則，解得，因為，所以，即；選①③，，由得，因，所以，即；選②③，，由得，因為，所以，即.（2）由題意得，因為，所以.所以當即時，有最大值，所以當即時，有最小值.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了三角函數(shù)的值域，考查了三角函數(shù)表達式的求解，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.23.已知函數(shù)的圖象過點.（Ⅰ）求實數(shù)的值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為，若存在請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)圖象過點，代入函數(shù)解析式求出k的值即可；（Ⅱ）令，則命題等價于，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（Ⅲ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)通過討論m的范圍，結合函數(shù)的最小值，求出m的值即可．【詳解】（I）函數(shù)的圖象過點（II）由（I）知恒成立即恒成立令，則命題等價于而單調(diào)遞增即（III），令當時，對稱軸①當，即時，不符舍去.②當時,即時.符合題意.綜上所述：【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查轉化思想以及分類討論思想，換元思想，是一道中檔題．24.已知函數(shù)（a為實常數(shù)）．（1）若，設在區(qū)間的最小值為，求的表達式：（2）設，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時由于不確定，要根據(jù)對稱軸分類討論．

（2）首先用單調(diào)性定義證明