四川省自貢市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題

2021-2022學年高一年級上學期期末考試數(shù)學試題一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.）1.若，則的值為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結果.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：.故選：A.2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意列不等式組求解【詳解】由題意得，解得且，故選：D3.角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦函數(shù)的定義計算．【詳解】由題意到原點的距離為，所以．故選：B．4.下列等式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按照指數(shù)對數(shù)的運算性質依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，錯誤；對于B，，錯誤；對于C，，錯誤；對于D，，正確.故選：D.5.已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇函數(shù)知，再結合單調性及得，解不等式即可.【詳解】由題意知：，又在區(qū)間上為增函數(shù)，當時，，當時，，由可得，解得.故選：C.6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依次判斷4個選項的單調性及奇偶性即可.【詳解】對于A，在區(qū)間上單調遞增，錯誤；對于B，，由得，單調遞增，錯誤；對于C，當時，沒有意義，錯誤；對于D，為偶函數(shù)，且在時，單調遞減，正確.故選：D.7.已知角與角的終邊關于直線對稱，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先在角終邊取一點，利用角與角的終邊關于直線對稱寫出對稱點的坐標，即可求得，進而求得.【詳解】由知角終邊在第一或第二象限，在終邊上取一點或，又角與角的終邊關于直線對稱，故角的終邊必過點或，故，則.故選：A.8.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點圖，結合選項和函數(shù)的單調性，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點圖，如圖所示，根據(jù)散點圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長速度越來越快，結合選項：函數(shù)增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)，增長速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當時，可得；當時，可得，此時與真實數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個函數(shù)是.故選：B.9.已知函數(shù)，將的圖象上所有點沿x軸平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將解析式化簡后，由三角函數(shù)圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，由題意得，的最小值為；若向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，同理得的最小值為，故選：B10.已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對于時，都有，且當時，，則等于（）A.1 B.-1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知確定函數(shù)的遞推式，利用遞推式與奇偶性計算即可．【詳解】當時，，則，所以當時，，所以又是偶函數(shù)，，所以．故選：A．11.點P從O點出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O?P兩點的距離y與點P所走路程x的函數(shù)關系如圖所示，那么點P所走的圖形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】認真觀察函數(shù)的圖象，根據(jù)其運動特點，采用排除法，即可求解.【詳解】觀察函數(shù)的運動圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個顯著特點：①點運動到周長的一半時，最大；②點的運動圖象是拋物線，設點為周長的一半，如下圖所示：圖1中，因為，不符合條件①，因此排除選項A；圖4中，由，不符合條件①，并且的距離不是對稱變化的，因此排除選項D；另外，在圖2中，當點在線段上運動時，此時，其圖象是一條線段，不符合條件②，因此排除選項B.故選：C

12.函數(shù)對于定義域內任意，下述四個結論中，①②③④其中正確的個數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)的運算性質及指數(shù)函數(shù)的單調性依次判讀4個序號即可.【詳解】，①正確；，，②錯誤；，由，且得，故，③正確；由為減函數(shù)，可得，④正確.故選：B.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在橫線上.）13.___________.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導公式，準確運算，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式，可得.故答案為：.14.___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式，準確運算，即可求解.【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算公式，可得.故答案為：.15.已知，，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】化簡函數(shù)，由，得到，結合三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為，可得，當時，即時，函數(shù)取得最小值.故答案為：.16.已知一容器中有兩種菌，且在任何時刻兩種菌的個數(shù)乘積為定值，為了簡單起見，科學家用來記錄菌個數(shù)的資料，其中為菌的個數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：①；②若今天值比昨天的值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10；③假設科學家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時(注：)．則正確的說法為________．(寫出所有正確說法的序號)【答案】③【解析】【分析】對于①通過取特殊值即可排除，對于②③直接帶入計算即可.【詳解】當nA＝1時，PA＝0，故①錯誤；若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯誤；B菌的個數(shù)為nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故選③．三?解答題（本大題共6個小題，共70分）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再按照并集和補集計算即可；（2）先求出，再由求出a取值范圍即可.【小問1詳解】，，；【小問2詳解】，由題得故.18.如圖是函數(shù)的部分圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象得到，且，得到，結合五點法，列出方程求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）由題意，求得，，結合利用兩角和的正弦公式，即可求解.【小問1詳解】解：由圖象可得，函數(shù)的最大值為，可得，又由，可得，所以，所以，又由圖可知是五點作圖法中的第三個點，因為，可得，因為，所以，所以.【小問2詳解】解：因為，則，又因為，所以，由，則，有，所以.19.已知，且函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)的單調性，并證明.【答案】（1）（2）在上是減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）直接由解出，再把代入檢驗；（2）直接由定義判斷單調性即可.【小問1詳解】因為，函數(shù)奇函數(shù)，所以，解得.此時，，，滿足題意.故.【小問2詳解】在上是減函數(shù).任取，，則，由∴，故在上是減函數(shù).20.如圖，有一塊半徑為4的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上，連接OC兩點，OC與OB所形成的夾角為.（1）寫出這個梯形周長y和的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）求周長y的最大值以及此時梯形的面積.【答案】（1），（2）20，【解析】【分析】（1）過點C作，表示出，，即可寫出梯形周長y和的函數(shù)解析式；（2）令，結合二次函數(shù)求出y的最大值，求出此時的，再計算梯形面積即可.【小問1詳解】由題意得.半圓形鋼板半徑為4，則，過點C作.在和中，有，，.在中，因為，為等腰三角形，故，所以，.，.【小問2詳解】由.令，則，則.則當時，周長y有最大值，最大值20，此時，.故梯形的高，，.21已知函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和單調遞減區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，已知，，求值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得；（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則求出的解析式，根據(jù)，得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求出，最后根據(jù)兩角和的余弦公式計算可得；【小問1詳解】解：∵，即，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得.故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由題意可得，∵，∴，∵，所以，則，因此.22.已知函數(shù)與.（1）判斷的奇偶性；（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷；（2