小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座史寧中課件

小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座人：葉寧小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座人：葉寧

目錄CompanyLOGO前言小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法梳理后記目錄Company前言小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)一、前言一、前言能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透社會對數(shù)學(xué)價值的要求教學(xué)實踐表明小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，不是內(nèi)容現(xiàn)代化，而是數(shù)學(xué)思想及教育手段的現(xiàn)代化加強數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想社會對數(shù)學(xué)價值的要求教學(xué)實踐表明小學(xué)數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)數(shù)學(xué)教育承載著“發(fā)展兒童的思維”的重任在教師的指導(dǎo)下人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程度是整個智力發(fā)展的縮影和標(biāo)志。數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過數(shù)學(xué)思維活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程由于數(shù)學(xué)自身的特點數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教育在教師人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程基本活動經(jīng)驗基礎(chǔ)知識基本技能基本思想四基CEO數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版雙基基本基礎(chǔ)基本基本四基CEO數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雙基數(shù)學(xué)教材的兩條主線數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線教學(xué)時應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線數(shù)學(xué)教材的兩條主線數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線教學(xué)時應(yīng)充分挖掘由數(shù)二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)實踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過

由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和集合在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

方法，小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的意義有助于正確把握教材體系有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力有助于對小學(xué)生進行辯證唯物主義的啟蒙有助于對學(xué)生進行美育滲透學(xué)習(xí)的意義有助于正確把握教材體系有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力有助于數(shù)學(xué)美的特點有序

簡明

對稱

統(tǒng)一

數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)美的特點有序簡明對稱統(tǒng)一數(shù)學(xué)美小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座史寧中課件對應(yīng)思想集合思想符號化思想數(shù)形結(jié)合思想統(tǒng)計思想極限思想小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法對應(yīng)集合符號化數(shù)形結(jié)統(tǒng)計極限小學(xué)數(shù)學(xué)思想1、對應(yīng)思想方法

對應(yīng)指的是一個系統(tǒng)中的某一項在性質(zhì)、作用、位置上跟另一系統(tǒng)中的某一項相當(dāng)。對應(yīng)是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法。對應(yīng)思想方法

一支鉛筆、一本書、一棟房子對應(yīng)一個抽象的數(shù)“1”，兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應(yīng)一個抽象的數(shù)“2”在“多與少”這一內(nèi)容中，一個茶杯蓋與每一個茶杯對應(yīng)直線上的點（或數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應(yīng)1、對應(yīng)思想方法對應(yīng)指的是一個系統(tǒng)中的本質(zhì)是一一對應(yīng)可化抽象為具體提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

對應(yīng)思想方法本質(zhì)是一一對應(yīng)可化抽象為具體提高學(xué)生分析問題對應(yīng)思想方法確定位置（物體與位置對應(yīng)）面積（物體面積與單位對應(yīng)）確定位置（物體與位置對應(yīng)）假設(shè)思想實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思考方法

假設(shè)思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法假設(shè)思想是一種有意義的想象思維假設(shè)法是通過對數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儯缓蟾鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。

假設(shè)思想2、假設(shè)思想方法假設(shè)思想實際上也是轉(zhuǎn)化假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思考方假設(shè)思想的應(yīng)用填空題判斷題應(yīng)用題假設(shè)思想的應(yīng)用填空題判斷題應(yīng)用題假設(shè)思想方法雞兔同籠問題

邏輯推理問題

分?jǐn)?shù)中單位1

比和比例實際問題圖形的周長、面積和體積等問題中都有應(yīng)用

案例假設(shè)思想方法雞兔同籠問題邏輯推理問題分?jǐn)?shù)中單位1比和比案例案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？案例2：足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場觀眾增加了50%，收入增加了20%，降價后門票的價格是多少？案例案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，案例2：足俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！北容^思想方法比較思想是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一是促進學(xué)生思維發(fā)展的手段人類對一切事物的認(rèn)識都是建筑在比較的基礎(chǔ)上或同中辨異或異中求同小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，也同樣需要通過對數(shù)學(xué)材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。

3、比較思想方法俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！卑咐堑年P(guān)系分?jǐn)?shù)的大小案例角的關(guān)系符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號思想

符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復(fù)雜的語言文字?jǐn)⑹鲇煤啙嵜髁说淖帜腹奖硎境鰜?，便于記憶，便于運用把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程4、符號化思想方法符號化用符號化的語言（包括字母、數(shù)符號案例加法交換律方程的意義案例加法交換律將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想

不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣米匀缓秃啙嶎惐人枷敕椒?/p>

5、類比思想方法數(shù)學(xué)家波利亞所說：“我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！??？梢约ぐl(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力將已知的一類數(shù)不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解而且使公式的記憶變得順?biāo)咐朔ń粨Q律三角形的面積由加法交換律a＋b＝b＋a的學(xué)習(xí)遷移到乘法交換律a×b=b×a的學(xué)習(xí)

長方形的面積公式為長×寬＝a×b，通過類比兩個相同的三角形可以拼成一個長方形，因此得到三角形的面積公式為長（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2

圓錐體體積圓柱體體積公式為底面積×高，那么圓錐體體積可以理解為底面積×高÷3案例乘法交換律對問題進行轉(zhuǎn)換時,既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論在解決數(shù)學(xué)問題時，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略這里的變換是可逆的雙向變換其本身的大小不變，由一種形式變換成另一種形式的思想方法6、轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)換可以是等價的，也可以是不等價的對問題進行轉(zhuǎn)換時,既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論在解案例分?jǐn)?shù)與小數(shù)的乘除法簡便運算計算：2.8÷113÷17÷0.7直接計算比較麻煩，而分?jǐn)?shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉(zhuǎn)換為：這樣利用約分就能很快獲得本題的解計算：12×25可以通過轉(zhuǎn)化，將12分解成3×4這樣就變成12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=300案例分?jǐn)?shù)與小數(shù)的乘除法概念意義作用把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決

不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)

7、分類思想方法“分而治之、各個擊破、綜合歸納”

概念意義作用把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論案例偶數(shù)與奇數(shù)按能否被2整除分成奇數(shù)和偶數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)按一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)分成質(zhì)數(shù)和合數(shù)平行與垂直兩條直線按交點的個數(shù)分成平行、相交、重合

三角形的分類按三角形中的銳角、直角、鈍角分類直線、射線與線段按端點的個數(shù)分成直線、射線與線段案例偶數(shù)按能否被2整除分成奇數(shù)和偶數(shù)質(zhì)數(shù)按一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)案例直線、射線與線段三角形的分類案例直線、射線與線段1.Title2.Title3.Title

集合思想把若干確定的有區(qū)別的事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，各事物稱為集合的元素.

把一些能夠確定的不同對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合集合思想是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想方法小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想8、集合思想方法1.Title2.Title3.Title集合思想把集合思想的特征集合特征確定性互異性無序性集合中的元素一定是不同的.即集合中的元素沒有重復(fù)的集合中的元素沒有固定的順序給定一個集合，按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)確定一個元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，不能模棱兩可集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

集合思想的特征集合特征確定性互異性無序性集合中的元素一定是不含任何元素的集合含有有限個元素的集合

含有無窮個元素的集合

集合的分類空集有限集無限集不含任何元素的集合含有有限個元素的集合含有無窮個元素的集合集合的表現(xiàn)形式集合的表現(xiàn)形式把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，元素之間用逗號分開的方法用封閉曲線所圍成的圖形（文氏圖）表示集合把集合中坎的共同特性描述出來，寫在大括號內(nèi)

列舉法

圖示法

描述法集合的表現(xiàn)形式集合的把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號小學(xué)里的集合

圖示法用封閉曲線圈起來看作一個整體——集合圈內(nèi)對象——為元素2

4681012141620集合與集合的關(guān)系（包含）集合與集合的交集、集合與集合的并集等運算在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用小學(xué)里的集合圖示法用封閉曲線圈起來看作一個整體——集合圈內(nèi)案例認(rèn)數(shù)與記數(shù)一年級上冊加法運算一年級上冊公約數(shù)公倍數(shù)兩個數(shù)共同的約數(shù)和倍數(shù)同樣多的概念滲透等價集合的概念案例認(rèn)數(shù)一年級上冊加法一案例四邊形之間的關(guān)系三角形的關(guān)系案例四邊形之間的關(guān)系數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化

實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來可使代數(shù)問題幾何化幾何問題代數(shù)化數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想數(shù)形結(jié)合思想9、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是代數(shù)實質(zhì)是將抽象可使數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問數(shù)形結(jié)合思想

ContentTitle

以數(shù)輔形借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性

以形助數(shù)借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系

數(shù)形結(jié)合思想包含兩個方面往往在研究“數(shù)”的時候借助于“形”往往在探討“形”的性質(zhì)時又離不開“數(shù)”數(shù)形結(jié)合思想ContentTitle以數(shù)輔形借助于幾何直觀的表現(xiàn)形式幾何圖形線段圖數(shù)軸方格紙坐標(biāo)方向標(biāo)示意圖列表動畫表現(xiàn)形式圖形圖紙表格幾何直觀的表現(xiàn)形式幾何圖形方格紙示意圖表現(xiàn)圖形圖紙表格幾何直觀運用領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域空間與圖形領(lǐng)域?qū)嵺`與統(tǒng)合應(yīng)用領(lǐng)域統(tǒng)計與概率領(lǐng)域運用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域我們不僅在幾何教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終。幾何直觀運用領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域空間與圖形領(lǐng)域?qū)嵺`與統(tǒng)合應(yīng)用領(lǐng)域案例平移與旋轉(zhuǎn)9的乘法口訣案例平移與旋轉(zhuǎn)9的乘法口訣11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9計算公式的推導(dǎo)案例11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9計算公式的把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）數(shù)的表示案例把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。分?jǐn)?shù)（）分?jǐn)?shù)（案例減法小棒圖案例減法小棒圖案例三角形的特性平均數(shù)案例三角形的特性平均數(shù)案例位置與方向千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識案例位置與方向千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識案例解決實際問題案例解決實際問題一般不考慮全部數(shù)據(jù)現(xiàn)實生活中大量數(shù)據(jù)進行合理推斷決策有時調(diào)查全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計就是搜集、整理、計算和分析研究對象的數(shù)據(jù)，并作出適當(dāng)推斷的方法。

統(tǒng)計10、統(tǒng)計思想方法小學(xué)學(xué)習(xí)基本統(tǒng)計法一般不考慮全部數(shù)據(jù)現(xiàn)實生活中大量數(shù)據(jù)進行合理推斷決策有時調(diào)查統(tǒng)計思想的類型一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很多獨立的單元進行統(tǒng)計知識的教學(xué)；二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計知識后，在其他領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計知識，作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：統(tǒng)計思想的類型一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很復(fù)式折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖平均數(shù)中位數(shù)單式條形統(tǒng)計圖復(fù)式條形統(tǒng)計圖眾數(shù)象形統(tǒng)計圖單式統(tǒng)計表

復(fù)式統(tǒng)計表單式折線統(tǒng)計圖小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計的知識點主要有：復(fù)式折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖平均數(shù)中位數(shù)單式條形統(tǒng)計圖復(fù)式條形案例條形統(tǒng)計圖一年級統(tǒng)計

案例條形統(tǒng)計圖一年級統(tǒng)計案例折線統(tǒng)計圖平均數(shù)案例折線統(tǒng)計圖平均數(shù)案例扇形統(tǒng)計圖復(fù)式橫向條形統(tǒng)計圖案例扇形統(tǒng)計圖復(fù)式橫向條形統(tǒng)計圖11、概率思想方法統(tǒng)計與概率都是研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)與世界中的隨機現(xiàn)象的科學(xué)概率值小學(xué)中的概率主要認(rèn)識事件的可能性大小以及等可能

統(tǒng)計與概率概率概率是對隨機事件發(fā)生的可能性大小的一種度量

事件的概率是確定的、不變的常數(shù)，是理論上的精確值，它的值大于零小于111、概率思想方法統(tǒng)計與概率都是研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)與世界中事件確定事件必然事件不可能事件不確定事件隨機事件事件如：拋硬幣是正面可能發(fā)生也可能不發(fā)生如：每天日出日落必然發(fā)生擲兩枚骰子兩個數(shù)字的和是13不可能發(fā)生

事件確定事件必然事件不確定事件隨機事件事件如：拋硬幣是正案例隨機現(xiàn)象

案例隨機現(xiàn)象案例拋硬幣摸球活動案例拋硬幣摸球活動案例設(shè)計轉(zhuǎn)盤

游戲規(guī)則案例設(shè)計轉(zhuǎn)盤游戲規(guī)則12、極限思想方法滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透著既對立又統(tǒng)一的辯證思維小學(xué)生思維以形象思維為主逐步向邏輯思維過渡

用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想12、極限思想方法滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系案例劉徽“割圓術(shù)”

莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！卑咐齽⒒铡案顖A術(shù)”莊子“一尺之棰，案例自然數(shù)

“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”直線、射線與線段案例自然數(shù)“自然數(shù)”直線、射線與線段案例循環(huán)小數(shù)平行與垂直案例循環(huán)小數(shù)平行與垂直一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但是在諸多變化的條件中，常常會有一些不變的數(shù)量，我們解決問題時，往往需要抓住這些不變量，尋找解決問題的突破口，這就是“變中抓不變”的思想方法。13、變中抓不變思想一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但是在諸案例年齡問題

交換律和結(jié)合律加法和乘法的交換律，交換加數(shù)（因數(shù)）的位置，它們的和（或積）不變

年齡問題中年齡差不變

案例年齡問題交換律和結(jié)合律加法和乘法的交換律，年齡問題中

兄妹二人同時離家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿著原路返回，恰在離校門180米處和妹妹相遇，他們家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？兄：妹：每分鐘90米？米180米每分鐘60米校門案例兄妹二人走的時間不變

兄妹二人同時離家上學(xué)，哥哥每分鐘走9014、可逆思想方法可逆思想

思維的可逆性，即從正向思維轉(zhuǎn)為逆向思維可逆是邏輯思維中的基本思想心理學(xué)家皮亞杰把可逆思維作為兒童智慧發(fā)展的重要標(biāo)準(zhǔn)14、可逆思想方法可逆思想思維的可逆性，即從正向思維轉(zhuǎn)為逆案例逆向數(shù)數(shù)倒著數(shù)數(shù)逆運算減法和除法公式的雙向應(yīng)用如在面積=長×寬中已知面積和長，求寬實際問題應(yīng)用時還原問題整除求小于500，且既不能被5整除又不能被7整除的自然數(shù)有多少個？案例逆向倒著數(shù)數(shù)逆運算15、分解思想方法分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，分解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題目的的一種思想方法。

分解思想15、分解思想方法分解思想就是先把原問題分解為分解思想

朝陽小學(xué)三年級有4個班，每班50人，四年級有218人，三年級和四年級共有多少人？200＋218＝418（人）

⑵三年級和四年級共有多少人？50×4＝200（人）⑴三年級有多少人？答：三年級和四年級共有418人。綜合算式：50×4＋218＝418（人）案例解答復(fù)合應(yīng)用題朝陽小學(xué)三年級有4個班，每班50人，四年級有2116、有序思想方法有序思想思維要有序，即要按照一定的順序，有條理地，全面地觀察和思考問題自然數(shù)列按從小到大的順序排列數(shù)數(shù)按照從小到大的順序數(shù)或者倒著數(shù)數(shù)列按照一定的規(guī)律排列大數(shù)可按照一個一個數(shù)、十個十個數(shù)、百個百個數(shù)……16、有序思想方法有序思想思維要有序，即要按照自然數(shù)列按從小案例數(shù)長方形乘法口訣的編制下圖中共有多少個長方形？案例數(shù)長方形乘法口訣的編制下圖中共有多少個長方形？17、函數(shù)思想

設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系?如果對于集合Ａ中的任意一個數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是χ的函數(shù)，記作y＝f(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與χ相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍Ｂ叫做值域。函數(shù)

17、函數(shù)思想設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果案例函數(shù)面積與體積用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系

正比例和反比例

圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝2πrh平行四邊形的面積：S=ah

案例函數(shù)面積與體積用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的長方形的周長與面積填表

長方形的周長與面積填表數(shù)學(xué)模型模型思想數(shù)學(xué)方法

所謂數(shù)學(xué)模型是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關(guān)系及規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方程式。

指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設(shè)，它是把生活中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法

數(shù)學(xué)模型方法不僅是處理純數(shù)學(xué)問題的一種經(jīng)典方法，而且也是處理自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)和社會生產(chǎn)中各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關(guān)系和空間形式，但是模型思想更注重如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究的各種問題。

18、數(shù)學(xué)模型思想數(shù)學(xué)模型模型思想數(shù)學(xué)方法所謂數(shù)學(xué)模型是指從整體上描述現(xiàn)案例數(shù)的運算面積與體積a+b=cc-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a時間、速度和路程s=vt數(shù)量、單價和總價a=np三角形面積;s=1/2ab圓周長：c=2πr長方體體積：v=abc圓錐體積：v=1/3sh數(shù)學(xué)模型的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。案例數(shù)的運算面積與體積a+b=c時間、速度和路程s=vt數(shù)學(xué)

把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決

把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解

化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等19、化歸思想把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類以一類是直接應(yīng)用已有知識便可順利解答的問題

分類另一類是陌生的知識、或不能直接應(yīng)用已有知識解答的問題，需要綜合地應(yīng)用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題

分類由于數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密，新知識往往是舊知識的引申和擴展。讓學(xué)生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，對獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助意義一類是直接應(yīng)用已有知識分類另一類是陌生的知識、或不能直1、計算357+137=494（千米)137+357=494（千米)得出結(jié)果一樣，也就是:357+137=137+357觀察下面兩組算式，看看有什么關(guān)系18+17O17+18124+235O235+124上面每組算式有什么共同點？可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？得出：任何兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。案例認(rèn)識加法交換律1、計算357+137=494（千米)案例認(rèn)識加法直角三角形內(nèi)角和為180度銳角三角形的內(nèi)角和為180度鈍角三角形的內(nèi)角和為180度三角形只有三類得出:任何三角形的內(nèi)角和為180度案例三角形的內(nèi)角和為180度直角三角形內(nèi)角和為180度案例三角形的內(nèi)角和為180度案例異分母分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)加減法：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法梯形面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積圓錐體的體積圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積

統(tǒng)計運用不同的統(tǒng)計圖表描述各種數(shù)據(jù)案例異分母分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)加減法：梯形面積梯形的面積：圓錐體的體積圓數(shù)學(xué)歸納法用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的1有一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學(xué)廣義的形式觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這是著名的結(jié)構(gòu)歸納法2不完全歸納法是根據(jù)一類事物中的部分對象具有(或不具有)某種屬性，從而得出該類事物所有對象都具有(或不具有)某種屬性的

思維方法

420、歸納思想方法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法3數(shù)學(xué)歸納法用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55,34+43=77,27+72=99,通過觀察算式，能夠發(fā)現(xiàn)這樣一些規(guī)律：所有的算式都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，每個算式的兩個加數(shù)中的一個加數(shù)的個位和十位數(shù)互換，變成另一個加數(shù)的和具有一定的規(guī)律。案例發(fā)現(xiàn)規(guī)律觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？案例發(fā)現(xiàn)規(guī)律案例用計算器計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律案例用計算器計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律案例發(fā)現(xiàn)規(guī)律案例發(fā)現(xiàn)規(guī)律推理演繹推理合情推理推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式歸納推理和類比推理由特殊到一般的推理

由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理

21、推理思想推理所根據(jù)的判斷叫前提根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論

推理演繹推理合情推理推理是從一個或幾個已有的判斷歸納推理和類雙擊添加標(biāo)題文字除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)比的基本性質(zhì)進行類比

整數(shù)的運算法則、順序和定律推廣到小數(shù)

除數(shù)是多位數(shù)的除法除數(shù)是一位數(shù)除法類比

推理案例四則計算法則的總結(jié)

三角形的內(nèi)角和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

案例雙擊添加標(biāo)題文字除法商不變的規(guī)律、整數(shù)的運算法則、順除數(shù)是多案例加法法則

三角形的內(nèi)角和案例加法法則三角形的內(nèi)角和案例梯形的面積

小數(shù)乘法案例梯形的面積小數(shù)乘法案例分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)除法案例分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)除法

數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過短期的訓(xùn)練便能掌握，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)更應(yīng)該是一個通過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。在進行小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，應(yīng)該把握“好雨知時節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生。隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲…”的思想，希望數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能夠象春雨一樣，滋潤著學(xué)生的心田。后記數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技謝謝批評指正！謝謝批評指正！小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座人：葉寧小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座人：葉寧

目錄CompanyLOGO前言小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法梳理后記目錄Company前言小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)一、前言一、前言能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透社會對數(shù)學(xué)價值的要求教學(xué)實踐表明小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，不是內(nèi)容現(xiàn)代化，而是數(shù)學(xué)思想及教育手段的現(xiàn)代化加強數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想社會對數(shù)學(xué)價值的要求教學(xué)實踐表明小學(xué)數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)數(shù)學(xué)教育承載著“發(fā)展兒童的思維”的重任在教師的指導(dǎo)下人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程度是整個智力發(fā)展的縮影和標(biāo)志。數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過數(shù)學(xué)思維活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程由于數(shù)學(xué)自身的特點數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教育在教師人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程基本活動經(jīng)驗基礎(chǔ)知識基本技能基本思想四基CEO數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版雙基基本基礎(chǔ)基本基本四基CEO數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雙基數(shù)學(xué)教材的兩條主線數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線教學(xué)時應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線數(shù)學(xué)教材的兩條主線數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線教學(xué)時應(yīng)充分挖掘由數(shù)二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)實踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過

由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和集合在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

方法，小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的意義有助于正確把握教材體系有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力有助于對小學(xué)生進行辯證唯物主義的啟蒙有助于對學(xué)生進行美育滲透學(xué)習(xí)的意義有助于正確把握教材體系有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力有助于數(shù)學(xué)美的特點有序

簡明

對稱

統(tǒng)一

數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)美的特點有序簡明對稱統(tǒng)一數(shù)學(xué)美小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座史寧中課件對應(yīng)思想集合思想符號化思想數(shù)形結(jié)合思想統(tǒng)計思想極限思想小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法對應(yīng)集合符號化數(shù)形結(jié)統(tǒng)計極限小學(xué)數(shù)學(xué)思想1、對應(yīng)思想方法

對應(yīng)指的是一個系統(tǒng)中的某一項在性質(zhì)、作用、位置上跟另一系統(tǒng)中的某一項相當(dāng)。對應(yīng)是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法。對應(yīng)思想方法

一支鉛筆、一本書、一棟房子對應(yīng)一個抽象的數(shù)“1”，兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應(yīng)一個抽象的數(shù)“2”在“多與少”這一內(nèi)容中，一個茶杯蓋與每一個茶杯對應(yīng)直線上的點（或數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應(yīng)1、對應(yīng)思想方法對應(yīng)指的是一個系統(tǒng)中的本質(zhì)是一一對應(yīng)可化抽象為具體提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

對應(yīng)思想方法本質(zhì)是一一對應(yīng)可化抽象為具體提高學(xué)生分析問題對應(yīng)思想方法確定位置（物體與位置對應(yīng)）面積（物體面積與單位對應(yīng)）確定位置（物體與位置對應(yīng)）假設(shè)思想實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思考方法

假設(shè)思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法假設(shè)思想是一種有意義的想象思維假設(shè)法是通過對數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。

假設(shè)思想2、假設(shè)思想方法假設(shè)思想實際上也是轉(zhuǎn)化假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思考方假設(shè)思想的應(yīng)用填空題判斷題應(yīng)用題假設(shè)思想的應(yīng)用填空題判斷題應(yīng)用題假設(shè)思想方法雞兔同籠問題

邏輯推理問題

分?jǐn)?shù)中單位1

比和比例實際問題圖形的周長、面積和體積等問題中都有應(yīng)用

案例假設(shè)思想方法雞兔同籠問題邏輯推理問題分?jǐn)?shù)中單位1比和比案例案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？案例2：足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場觀眾增加了50%，收入增加了20%，降價后門票的價格是多少？案例案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，案例2：足俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！北容^思想方法比較思想是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一是促進學(xué)生思維發(fā)展的手段人類對一切事物的認(rèn)識都是建筑在比較的基礎(chǔ)上或同中辨異或異中求同小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，也同樣需要通過對數(shù)學(xué)材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。

3、比較思想方法俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！卑咐堑年P(guān)系分?jǐn)?shù)的大小案例角的關(guān)系符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號思想

符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復(fù)雜的語言文字?jǐn)⑹鲇煤啙嵜髁说淖帜腹奖硎境鰜?，便于記憶，便于運用把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程4、符號化思想方法符號化用符號化的語言（包括字母、數(shù)符號案例加法交換律方程的意義案例加法交換律將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想

不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣米匀缓秃啙嶎惐人枷敕椒?/p>

5、類比思想方法數(shù)學(xué)家波利亞所說：“我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！薄？梢约ぐl(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力將已知的一類數(shù)不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解而且使公式的記憶變得順?biāo)咐朔ń粨Q律三角形的面積由加法交換律a＋b＝b＋a的學(xué)習(xí)遷移到乘法交換律a×b=b×a的學(xué)習(xí)

長方形的面積公式為長×寬＝a×b，通過類比兩個相同的三角形可以拼成一個長方形，因此得到三角形的面積公式為長（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2

圓錐體體積圓柱體體積公式為底面積×高，那么圓錐體體積可以理解為底面積×高÷3案例乘法交換律對問題進行轉(zhuǎn)換時,既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論在解決數(shù)學(xué)問題時，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略這里的變換是可逆的雙向變換其本身的大小不變，由一種形式變換成另一種形式的思想方法6、轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)換可以是等價的，也可以是不等價的對問題進行轉(zhuǎn)換時,既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論在解案例分?jǐn)?shù)與小數(shù)的乘除法簡便運算計算：2.8÷113÷17÷0.7直接計算比較麻煩，而分?jǐn)?shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉(zhuǎn)換為：這樣利用約分就能很快獲得本題的解計算：12×25可以通過轉(zhuǎn)化，將12分解成3×4這樣就變成12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=300案例分?jǐn)?shù)與小數(shù)的乘除法概念意義作用把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決

不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)

7、分類思想方法“分而治之、各個擊破、綜合歸納”

概念意義作用把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論案例偶數(shù)與奇數(shù)按能否被2整除分成奇數(shù)和偶數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)按一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)分成質(zhì)數(shù)和合數(shù)平行與垂直兩條直線按交點的個數(shù)分成平行、相交、重合

三角形的分類按三角形中的銳角、直角、鈍角分類直線、射線與線段按端點的個數(shù)分成直線、射線與線段案例偶數(shù)按能否被2整除分成奇數(shù)和偶數(shù)質(zhì)數(shù)按一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)案例直線、射線與線段三角形的分類案例直線、射線與線段1.Title2.Title3.Title

集合思想把若干確定的有區(qū)別的事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，各事物稱為集合的元素.

把一些能夠確定的不同對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合集合思想是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想方法小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想8、集合思想方法1.Title2.Title3.Title集合思想把集合思想的特征集合特征確定性互異性無序性集合中的元素一定是不同的.即集合中的元素沒有重復(fù)的集合中的元素沒有固定的順序給定一個集合，按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)確定一個元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，不能模棱兩可集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

集合思想的特征集合特征確定性互異性無序性集合中的元素一定是不含任何元素的集合含有有限個元素的集合

含有無窮個元素的集合

集合的分類空集有限集無限集不含任何元素的集合含有有限個元素的集合含有無窮個元素的集合集合的表現(xiàn)形式集合的表現(xiàn)形式把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，元素之間用逗號分開的方法用封閉曲線所圍成的圖形（文氏圖）表示集合把集合中坎的共同特性描述出來，寫在大括號內(nèi)

列舉法

圖示法

描述法集合的表現(xiàn)形式集合的把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號小學(xué)里的集合

圖示法用封閉曲線圈起來看作一個整體——集合圈內(nèi)對象——為元素2

4681012141620集合與集合的關(guān)系（包含）集合與集合的交集、集合與集合的并集等運算在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用小學(xué)里的集合圖示法用封閉曲線圈起來看作一個整體——集合圈內(nèi)案例認(rèn)數(shù)與記數(shù)一年級上冊加法運算一年級上冊公約數(shù)公倍數(shù)兩個數(shù)共同的約數(shù)和倍數(shù)同樣多的概念滲透等價集合的概念案例認(rèn)數(shù)一年級上冊加法一案例四邊形之間的關(guān)系三角形的關(guān)系案例四邊形之間的關(guān)系數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化

實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來可使代數(shù)問題幾何化幾何問題代數(shù)化數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想數(shù)形結(jié)合思想9、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是代數(shù)實質(zhì)是將抽象可使數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問數(shù)形結(jié)合思想

ContentTitle

以數(shù)輔形借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性

以形助數(shù)借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系

數(shù)形結(jié)合思想包含兩個方面往往在研究“數(shù)”的時候借助于“形”往往在探討“形”的性質(zhì)時又離不開“數(shù)”數(shù)形結(jié)合思想ContentTitle以數(shù)輔形借助于幾何直觀的表現(xiàn)形式幾何圖形線段圖數(shù)軸方格紙坐標(biāo)方向標(biāo)示意圖列表動畫表現(xiàn)形式圖形圖紙表格幾何直觀的表現(xiàn)形式幾何圖形方格紙示意圖表現(xiàn)圖形圖紙表格幾何直觀運用領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域空間與圖形領(lǐng)域?qū)嵺`與統(tǒng)合應(yīng)用領(lǐng)域統(tǒng)計與概率領(lǐng)域運用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域我們不僅在幾何教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終。幾何直觀運用領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域空間與圖形領(lǐng)域?qū)嵺`與統(tǒng)合應(yīng)用領(lǐng)域案例平移與旋轉(zhuǎn)9的乘法口訣案例平移與旋轉(zhuǎn)9的乘法口訣11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9計算公式的推導(dǎo)案例11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9計算公式的把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）數(shù)的表示案例把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。分?jǐn)?shù)（）分?jǐn)?shù)（案例減法小棒圖案例減法小棒圖案例三角形的特性平均數(shù)案例三角形的特性平均數(shù)案例位置與方向千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識案例位置與方向千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識案例解決實際問題案例解決實際問題一般不考慮全部數(shù)據(jù)現(xiàn)實生活中大量數(shù)據(jù)進行合理推斷決策有時調(diào)查全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計就是搜集、整理、計算和分析研究對象的數(shù)據(jù)，并作出適當(dāng)推斷的方法。

統(tǒng)計10、統(tǒng)計思想方法小學(xué)學(xué)習(xí)基本統(tǒng)計法一般不考慮全部數(shù)據(jù)現(xiàn)實生活中大量數(shù)據(jù)進行合理推斷決策有時調(diào)查統(tǒng)計思想的類型一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很多獨立的單元進行統(tǒng)計知識的教學(xué)；二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計知識后，在其他領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計知識，作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：統(tǒng)計思想的類型一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很復(fù)式折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖平均數(shù)中位數(shù)單式條形統(tǒng)計圖復(fù)式條形統(tǒng)計圖眾數(shù)象形統(tǒng)計圖單式統(tǒng)計表

復(fù)式統(tǒng)計表單式折線統(tǒng)計圖小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計的知識點主要有：復(fù)式折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖平均數(shù)中位數(shù)單式條形統(tǒng)計圖復(fù)式條形案例條形統(tǒng)計圖一年級統(tǒng)計

案例條形統(tǒng)計圖一年級統(tǒng)計案例折線統(tǒng)計圖平均數(shù)案例折線統(tǒng)計圖平均數(shù)案例扇形統(tǒng)計圖復(fù)式橫向條形統(tǒng)計圖案例扇形統(tǒng)計圖復(fù)式橫向條形統(tǒng)計圖11、概率思想方法統(tǒng)計與概率都是研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)與世界中的隨機現(xiàn)象的科學(xué)概率值小學(xué)中的概率主要認(rèn)識事件的可能性大小以及等可能

統(tǒng)計與概率概率概率是對隨機事件發(fā)生的可能性大小的一種度量

事件的概率是確定的、不變的常數(shù)，是理論上的精確值，它的值大于零小于111、概率思想方法統(tǒng)計與概率都是研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)與世界中事件確定事件必然事件不可能事件不確定事件隨機事件事件如：拋硬幣是正面可能發(fā)生也可能不發(fā)生如：每天日出日落必然發(fā)生擲兩枚骰子兩個數(shù)字的和是13不可能發(fā)生

事件確定事件必然事件不確定事件隨機事件事件如：拋硬幣是正案例隨機現(xiàn)象

案例隨機現(xiàn)象案例拋硬幣摸球活動案例拋硬幣摸球活動案例設(shè)計轉(zhuǎn)盤

游戲規(guī)則案例設(shè)計轉(zhuǎn)盤游戲規(guī)則12、極限思想方法滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透著既對立又統(tǒng)一的辯證思維小學(xué)生思維以形象思維為主逐步向邏輯思維過渡

用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想12、極限思想方法滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系案例劉徽“割圓術(shù)”

莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！卑咐齽⒒铡案顖A術(shù)”莊子“一尺之棰，案例自然數(shù)

“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”直線、射線與線段案例自然數(shù)“自然數(shù)”直線、射線與線段案例循環(huán)小數(shù)平行與垂直案例循環(huán)小數(shù)平行與垂直一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但是在諸多變化的條件中，常常會有一些不變的數(shù)量，我們解決問題時，往往需要抓住這些不變量，尋找解決問題的突破口，這就是“變中抓不變”的思想方法。13、變中抓不變思想一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但是在諸案例年齡問題

交換律和結(jié)合律加法和乘法的交換律，交換加數(shù)（因數(shù)）的位置，它們的和（或積）不變

年齡問題中年齡差不變

案例年齡問題交換律和結(jié)合律加法和乘法的交換律，年齡問題中

兄妹二人同時離家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿著原路返回，恰在離校門180米處和妹妹相遇，他們家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？兄：妹：每分鐘90米？米180米每分鐘60米校門案例兄妹二人走的時間不變

兄妹二人同時離家上學(xué)，哥哥每分鐘走9014、可逆思想方法可逆思想

思維的可逆性，即從正向思維轉(zhuǎn)為逆向思維可逆是邏輯思維中的基本思想心理學(xué)家皮亞杰把可逆思維作為兒童智慧發(fā)展的重要標(biāo)準(zhǔn)14、可逆思想方法可逆思想思維的可逆性，即從正向思維轉(zhuǎn)為逆案例逆向數(shù)數(shù)倒著數(shù)數(shù)逆運算減法和除法公式的雙向應(yīng)用如在面積=長×寬中已知面積和長，求寬實際問題應(yīng)用時還原問題整除求小于500，且既不能被5整除又不能被7整除的自然數(shù)有多少個？案例逆向倒著數(shù)數(shù)逆運算15、分解思想方法分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，分解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題目的的一種思想方法。

分解思想15、分解思想方法分解思想就是先把原問題分解為分解思想

朝陽小學(xué)三年級有4個班，每班50人，四年級有218人，三年級和四年級共有多少人？200＋218＝418（人）

⑵三年級和四年級共有多少人？50×4＝200（人）⑴三年級有多少人？答：三年級和四年級共有418人。綜合算式：50×4＋218＝418（人）案例解答復(fù)合應(yīng)用題朝陽小學(xué)三年級有4個班，每班50人，四年級有2116、有序思想方法有序思想思維要有序，即要按照一定的順序，有條理地，全面地觀察和思考問題自然數(shù)列按從小到大的順序排列數(shù)數(shù)按照從小到大的順序數(shù)或者倒著數(shù)數(shù)列按照一定的規(guī)律排列大數(shù)可按照一個一個數(shù)、十個十個數(shù)、百個百個數(shù)……16、有序思想方法有序思想思維要有序，即要按照自然數(shù)列按從小案例數(shù)長方形乘法口訣的編制下圖中共有多少個長方形？案例數(shù)長方形乘法口訣的編制下圖中共有多少個長方形？17、函數(shù)思想

設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系?如果對于集合Ａ中的任意一個數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是χ的函數(shù)，記作y＝f(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與χ相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍Ｂ叫做值域。函數(shù)

17、函數(shù)思想設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果案例函數(shù)面積與體積用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系

正比例和反比例

圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝2πrh平行四邊形的面積：S=ah

案例函數(shù)面積與體積用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的長方形的周長與面積填表

長方形的周長與面積填表數(shù)學(xué)模型模型思想數(shù)學(xué)方法

所謂數(shù)學(xué)模型是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關(guān)系及規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方程式。

指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設(shè)，它是把生活中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法

數(shù)學(xué)模型方法不僅是處理純數(shù)學(xué)問題的一種經(jīng)典方法，而且也是處理自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)和社會生產(chǎn)中各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象