GCT入學(xué)資格考試微積分

對(duì)新考試特點(diǎn)的分析GCT-ME重在考查獲取知識(shí)的能力；重在直觀分析、判斷綜合；考查的不是難度、深度，而是能力。（以下來自考試大綱）

GCT-ME考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試宗旨：考查考生所具有的數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法，及使用所掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力。試題結(jié)構(gòu)：

25道單項(xiàng)選擇題，每題4分，時(shí)間為45分鐘。內(nèi)容為算術(shù)、代數(shù)、幾何與三角、一元微積分、線性代數(shù)五部分（各5道題）?！▽忣}、涂答案和分析計(jì)算在內(nèi)，平均每題2分鐘不到，少量題上最長不宜超過3分鐘。命題范圍：算術(shù)、代數(shù)、幾何與三角、一元微積分、線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，及其在日常生活、科學(xué)研究和實(shí)際工程中的應(yīng)用，要求考生對(duì)所列數(shù)學(xué)知識(shí)有較深刻的理性認(rèn)識(shí)。——基礎(chǔ)知識(shí)、思維方式及應(yīng)用（思維方式：理性直觀）應(yīng)有的基本對(duì)策

由于考查是在基礎(chǔ)知識(shí)上的直觀分析、判斷綜合；而且選擇題適宜考查基本概念及基本計(jì)算。因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：

1、強(qiáng)調(diào)“正確”理解基本概念，熟練基本運(yùn)算。注意概念、性質(zhì)、方法、結(jié)論的變化和綜合；

2、強(qiáng)調(diào)理性直觀的分析問題能力，尤其是通過圖形的直觀分析能力；

3、注意以前有關(guān)學(xué)習(xí)中容易錯(cuò)，不是很清楚的地方；應(yīng)試基礎(chǔ)：以不變應(yīng)萬變(不變—熟練的雙基、穩(wěn)定的心態(tài));應(yīng)試要領(lǐng)：速度；應(yīng)試方法：題目讀完后，先看一下四個(gè)答案的特征(因最終要選);

能畫圖的盡量畫個(gè)準(zhǔn)確的圖;

畫不出圖，四答案也不能幫助分析的，注意相關(guān)概念本質(zhì)和結(jié)論。這些都不行，別忘記再看一遍已知。

注意應(yīng)對(duì)選擇題的多種有效方法等等。課后：熟悉相關(guān)概念的“正確”理解和強(qiáng)調(diào)的方法.第四部分一元函數(shù)微積分第一節(jié)函數(shù)及其圖形[考試要求]

集合，映射，函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用[內(nèi)容綜述]函數(shù)及有關(guān)概念

1、定義：設(shè)A，B是兩個(gè)實(shí)數(shù)域R的非空子集，則A到B的對(duì)應(yīng)f：A→B稱為A到B的函數(shù)。通常記作y=f(x),x?A，

或相關(guān)概念：定義域、自變量、因變量、基本初等函數(shù)(冪、指、對(duì)、三角、反三角）、初等函數(shù)、分段函數(shù)（不屬初等函數(shù)）。注意:①定義域及對(duì)應(yīng)法則是兩個(gè)基本要素：②

x本身不一定是數(shù)，也可以是函數(shù)、定積分、行列式。x本身不一定是一個(gè)字母，也可以是復(fù)雜的形式；③確定任何函數(shù)的函數(shù)值，都必須先確定自變量的值。

2、函數(shù)的性質(zhì)：有界，單調(diào)，奇偶，周期例1已知f(x+1)=x2+1，求f(x)的表達(dá)式例2已知例3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是，且f(x)的圖形關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱(a<b)，求f(x)的周期。

例4研究下列函數(shù)的奇偶性：

(1)(2)例5已知函數(shù)f(x)的周期是2，求函數(shù)的周期。第二節(jié)數(shù)列與函數(shù)的極限[考試要求]

數(shù)列、函數(shù)的極限，極限的運(yùn)算，極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，連續(xù)，無窮大、無窮小。

1、數(shù)列與函數(shù)極限定義；

2、極限性質(zhì)；①若數(shù)列(或函數(shù))極限存在(收斂),則其極限唯一;②若數(shù)列(或函數(shù))極限存在(收斂),則其極限有界;3、極限運(yùn)算；

4、兩個(gè)重要極限;

①,特別（注意核心：(1+無窮小)無窮大，且三種形式對(duì)應(yīng).)

②（注意形式對(duì)應(yīng)）[內(nèi)容綜述]5、無窮大量與無窮小量的定義與性質(zhì)：①定義：時(shí)，，稱f(x)在時(shí)為無窮小量；若時(shí)，，稱f(x)在時(shí)為無窮大量；注意：

1°都是指函數(shù)值是否具有某種趨勢(shì):能越來越接近0(或∞)，是變化的量；

2°區(qū)別無窮大量與無界量.如②性質(zhì)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和、積仍為無窮??；無窮小量與有界量的積為無窮小。

6、無窮小量的比較及等價(jià)無窮小的替換；①定義：

注意條件②x→*,則(注意分子分母整體替換)7、函數(shù)連續(xù)的定義：若，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。即f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)“連續(xù)”的核心要素：①f(x0)存在;②;③三者相等.8、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(1)閉區(qū)間上連續(xù)，則閉區(qū)間上有界;(2)閉區(qū)間上連續(xù)，則閉區(qū)間上有最大、最小值;(3)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),f(a)≠f(b),對(duì)f(a)，f(b)之間任一數(shù)η，有c，使f(c)=η.——介值定理(4)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),f(a)f(b)<0,c∈(a,b),使f(c)=0.例1下列極限正確的是

A.，0<a<b.B.C.不存在.D.求A=例2設(shè)，則當(dāng)，一定是無窮小量的是

A.xf(x)B.f(x)-

xC.D.例3，則下列結(jié)論必成立的是

A.f(x)在x=1處無定義；B.在x=1附近()，f(x)>2；

C.f(1)=4D.在x=1附近()，f(x)>5.例4已知函數(shù)在上(-∞,+∞)連續(xù)，求a，b的值。

例4*設(shè)，在(-∞,+∞)上連續(xù)，則a=A.ln2B.0C.2D.任意實(shí)數(shù)例5設(shè)x→0時(shí)，是比高階的無窮小，其中a，b，c是常數(shù)，則a=

,b=

,c=

?例6的草圖是：ABCD第三節(jié)

導(dǎo)數(shù)與微分

[考試要求]

導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則及基本求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分。[內(nèi)容綜述]1、導(dǎo)數(shù)的定義記號(hào)：y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為含義：(Δx只是形式,是無窮小量,分子與分母一致,趨于０)

注：某點(diǎn)x0點(diǎn)處可導(dǎo)（有導(dǎo)數(shù)）的要素①f(x0)存在；②；③f(x)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)存在且相等.2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線上該點(diǎn)切線斜率、變化速度3、導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算；4、求導(dǎo)法則（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：思路：拆分成若干層，使每一層能直接使用基本導(dǎo)數(shù)公式或四則運(yùn)算法則．如：

（2）隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系由F(x,y)=0確定（隱函數(shù)）。如

思路：一個(gè)變量作自變量，其余看成自變量的函數(shù)．5、高階導(dǎo)數(shù)；6、微分①定義：x，x＋Δx

∈f(x)的定義域，相應(yīng)函數(shù)的改變量有，Δy=f(x＋Δx)-

f(x)=AΔx＋o(Δx)其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，o(Δx)是比Δx高階的無窮小量，AΔx

稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處相應(yīng)于Δx的微分，記為dy

dy=f'(x)Δx=f'(x)dx②微分的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的微分，是函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線上該點(diǎn)切線上相應(yīng)于Δx的增量．例1f(x)在可導(dǎo)，求下列極限（1）（2）例2將(a)~(d)中的函數(shù)與圖中I~IV的導(dǎo)函數(shù)圖形匹配abcdIIIIIIIV例3f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(-x)=-f(x)，則

A.kB.-kC.0D.∞例4

確定了y=y(x)，求在x=0處的切線和法線方程。例5

可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；周期為T的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是以T為周期的函數(shù)。第四節(jié)

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

[考試要求]

中值定理，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。

[內(nèi)容綜述]1、中值定理（理論性強(qiáng)，了解）（圖示）：①羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則有ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0.即在(a，b)中有點(diǎn)的切線平行于x軸。②拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo),則有ξ∈(a,b),使f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)即此時(shí)(a，b)中有點(diǎn)的斜率等于直線AB的斜率。

2、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（重要）①洛必達(dá)法則：作用：不定式求極限方法（不定式：，，或可化為這兩種型式的極限計(jì)算問題）條件：1°f'(x),g'(x)

極限點(diǎn)附近存在;2°g'(x)≠0;3°存在.

法則：注意：1°注意先簡(jiǎn)化再求導(dǎo)，及邊簡(jiǎn)化邊求導(dǎo);2°整個(gè)分式是，，先化成單一分式.②函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)：

1°單調(diào)性定義：?jiǎn)卧?x1<x2,f(x1)≤f(x2);單減:x1<x2,f(x1)≥f(x2)

單調(diào)性判定：

f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增(減)

2°極值點(diǎn)定義:任給x∈{x|0<|x-x0|<ε},f(x)<f(x0),則x0是極大值點(diǎn),任給x∈{x|0<|x-x0|<ε},f(x)>f(x0),則x0是極小值點(diǎn).

極值點(diǎn)特性：雙側(cè)，局部極值點(diǎn)來源：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),或?qū)?shù)不存在的點(diǎn).

極值點(diǎn)判定:Ⅰ.f(x)在x0的空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)時(shí)x<x0，f'(x)>0，x>x0，f'(x)<0，x0為極大值點(diǎn);X<x0，f'(x)<0，x>x0，f'(x)>0，x0為極小值點(diǎn).x0兩側(cè)f'(x)同號(hào)，x0不是極值點(diǎn)。

Ⅱ.f(x)在x0處有二階導(dǎo)數(shù),f'(x)=0,f

″(x)≠0x0附近，f

″(x)<0，x0為極大值點(diǎn)；

x0附近，f″(x)>0，x0為極小值點(diǎn)。（記：大小，小大）③函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)：

1°凹凸性定義：曲線上切線與曲線的位置.

凹凸性判定:f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo),則

f″(x)>0，f(x)在I上凹的; f″(x)<0，f(x)在I上凸的.

（記：大小凹，小大凸）

2°拐點(diǎn)定義：連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn).

拐點(diǎn)判定：f″(x)=0，f″(x)在x0兩側(cè)異號(hào).導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用總結(jié)概括：例1求（注意邊化簡(jiǎn)邊使用洛必達(dá)法則）例2求

（通分化成單一分式后再求，自課后做）例3設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)有

A、

B、

C、

D、

例4在區(qū)間

內(nèi)，方程(A)無實(shí)根

(B)有且僅有一個(gè)實(shí)根

(C)有且僅有兩個(gè)實(shí)根

(B)有無窮多個(gè)實(shí)根例5下圖是關(guān)于汽車位移函數(shù)的圖像，利用圖像，回答下列問題

a)汽車的初始速度?b)汽車在B，C兩點(diǎn)哪個(gè)速度更快?c)汽車在A，B，C三點(diǎn)速度是增快還是減慢?d)在D，E兩點(diǎn)之間汽車的運(yùn)動(dòng)狀況?例6設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖，則f(x)有

A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)

C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)第五節(jié)積分[考試要求]

不定積分和定積分的概念，牛頓－萊布尼茨公式，不定積分和定積分的計(jì)算，定積分的幾何應(yīng)用。

[內(nèi)容綜述]一、不定積分

1、原函數(shù)、不定積分的概念原函數(shù)：若，，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)(與導(dǎo)函數(shù)是相對(duì)概念，成對(duì)出現(xiàn)）。不定積分：f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C，稱為f(x)的不定積分。記號(hào)，即注意：上式說明右邊是f(x)的原函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)。如

2、不定積分基本計(jì)算及性質(zhì)：公式1~12；性質(zhì)。

3、不定積分的換元法：（第一換元）湊微分法：被積函數(shù)中的導(dǎo)函數(shù)從原函數(shù)放到微分號(hào)后面。即（第二換元）變量代換法：可導(dǎo)，則

4、不定積分的分部積分法（容易求，新積分容易積）。二、定積分

1、關(guān)于定義：記號(hào)：含義：本質(zhì)：定積分是和的極限,是一個(gè)只與區(qū)間a,b及函數(shù)f(x)有關(guān)的(變化的)數(shù),與積分變量的形式x無關(guān)；a,b確定f(x)已知時(shí),定限積分是常數(shù).

可積的必要條件：f(x)在區(qū)間[a,b]上有界.

可積的充分條件：f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).2、定積分的幾何意義：曲線f(x),x軸,x=a,x=b所圍面積的代數(shù)和.3、定積分性質(zhì)：4、變限定積分公式：5、定積分計(jì)算：

①幾個(gè)重要結(jié)論：②?！R公式：F(x)是f(x)的原函數(shù),則

③變量替換法：積分限變化規(guī)則：上限對(duì)上限，下限對(duì)下限，不論大小.

④分部積分法：6、定積分的幾何應(yīng)用例1求；