(完整版)小學(xué)奧數(shù)-雞兔同籠問題(教師版)

雞兔同籠問題心知識(shí)梳理〕在我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，記載著流傳甚廣的數(shù)字歌謠：雞兔同籠不知數(shù)，三十五頭籠中露。數(shù)清腳共九十四雙，各有多少雞和兔。翻譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言為：今有雞兔共居一籠，已知雞頭與兔頭共有35個(gè)，雞腳與兔腳一共有94只。問雞和兔一共有多少只？這就是我們通常說的“雞兔同籠”問題。這一古老的數(shù)學(xué)問題在現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在，解法多種多樣，但一般采用假設(shè)法。蟲占特色講解］■【例1】★今有雞、兔共居一籠，已知雞頭和兔頭共 35個(gè)，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有多少只？【解析】雞兔同籠問題往往用假設(shè)法來解答，即假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。假設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是 2X35=70只，與實(shí)際相比，減少了94-70=24只。減少的原因是把一只兔當(dāng)作一只雞時(shí)， 要減少4—2=2只腳。所以兔有24十2=12只，雞有35-12=23只。【小試牛刀】小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？【解析】假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2X16=32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32=12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了 2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2,就可以求出兔的只數(shù)。有兔（ 44-2X16）+（4-2）=6（只），有雞16-6=10（只）?！纠?］★面值是2元、5元的人民幣共27張，全計(jì)99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少?gòu)?？【解析】這道題類似于“雞兔同籠”問題。假設(shè)全是面值2元的人民幣，那么27張人民幣是2X27=54元，與實(shí)際相比減少了99-54=45元，減少的原因是每把一張面值2元的人民幣當(dāng)作一張面5元的人民幣，要減少5-2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45+3=15張，面值2元的人民幣有27-15=12張?！拘≡嚺５叮菪“子?分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？【解析］2分10枚，5分30枚【例3］★一批水泥，用小車裝載，要用 45輛；用大車裝載，只要36輛。每輛大車比小車多裝4噸，這批水泥有多少噸？【解析］求出大車每輛各裝多少噸，是解題關(guān)鍵。如果用 36輛小車來運(yùn)，則剩4X36=144噸，需45-36=9輛小車來運(yùn)，這樣可以求出每輛小車的裝載量是 144+9=16噸，所以，這批水泥共有16X45=720噸?！拘≡嚺５叮菀慌浳镉么罂ㄜ囇b要 16輛，如果用小卡車裝要48輛。已知大卡車比小卡車每輛多裝4噸，問這批貨物有多少噸？【解析］96噸【例4］★★某玻璃杯廠要為商場(chǎng)運(yùn)送1000個(gè)玻璃杯，雙方商定每個(gè)運(yùn)費(fèi)為1元，如果打碎一個(gè)，這個(gè)不但不給運(yùn)費(fèi)，而且要賠償 3元。結(jié)果運(yùn)到目的地后結(jié)算時(shí)，玻璃杯廠共得運(yùn)費(fèi) 920元。求打碎了幾個(gè)玻璃杯？【解析】假設(shè)1000個(gè)玻璃杯全部運(yùn)到并完好無損，應(yīng)得運(yùn)費(fèi) 1X1000=1000元，實(shí)際上少得1000—920=80元，這說明運(yùn)輸過程中打碎了玻璃杯。每打碎一個(gè)，不但不給運(yùn)費(fèi)還要賠償 3元，這樣玻璃杯廠就少收入1+3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯數(shù)為 80-4=20個(gè)?！拘≡嚺５丁堪徇\(yùn)1000玻璃瓶，規(guī)定安全運(yùn)到一只可得搬運(yùn)費(fèi) 3角。但打碎一只，不僅不給搬運(yùn)費(fèi)還要賠5角。如果運(yùn)完后共得運(yùn)費(fèi)260元，那么，搬運(yùn)中打碎了多少只？【解析】50只【例5】★★某場(chǎng)乒乓球比賽售出30元、40元、50元的門票共200張，收入7800元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種票各售出多少?gòu)?？【解析】因?yàn)椤?0元和50元的張數(shù)相等”，所以可以把40元和50元的門票都看作45元的門票，假設(shè)這200張門票都是45元的，應(yīng)收入45X200=9000元，比實(shí)際多收入9000—7800=1200元，這是因?yàn)榘?0元的門票都當(dāng)作45元來計(jì)算了。因此30元的門票有1200+（45—30）=80張，40元和50元的門票各有（200—80）+2=60張。【小試牛刀】某場(chǎng)球賽售出 40元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種門票各售出多少?gòu)?？【解析?0元的160張【例6】★★一次競(jìng)賽的搶答題共有 20道題，如果搶答對(duì)一道題就加 10分，搶答錯(cuò)誤要倒扣20分。李剛在比賽中搶答了9道題，一共加了30分，他搶答對(duì)幾道題？【解析】假設(shè)李剛答對(duì)了 9道題，那么他答錯(cuò)了（10X9—30）+（10+20）=（90—30）+30=60+30=2（道）答對(duì)了9—2=7（道）【例7】★★雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？【解析】假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳 200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多 200――20=180（只）。現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少 2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4+2=6（只），而180+6=30,因此有兔子30只，雞100——30=70（只）。解：有兔（2X100——20）+（2+4）=30（只），有雞100——30=70（只）?！拘≡嚺５丁楷F(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)？【解析】小瓶有（4X50-20）+（4+2）=30（個(gè)），大瓶有50-30=20（個(gè)）?！纠?]★★★有蜘蛛、蟬、蜻蜓共22只，共有腿148條，翅膀22對(duì)。（其中蜘蛛有8條腿；蜻蜓有6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬有6條腿，一對(duì)翅膀）。求蜻蜓有多少只？【解析】這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題，我們先依據(jù)題意，得到以下幾種數(shù)量：項(xiàng)目蜘蛛蜻蜓蟬合計(jì)只數(shù)（只）22腿（條）8X只數(shù)6X只數(shù)6X只數(shù)148翅膀（對(duì)）2X只數(shù)1X只數(shù)22注意到蜻蜓和蟬都是有6條腿，而蜘蛛有8條腿。所以可以先從腿數(shù)入手求出蜘蛛的只數(shù)。假設(shè)三種昆蟲都是6條腿，那么總腿數(shù)是6X22=132（條），與已知的148條腿相差148—132=16（條），

這是因?yàn)槊恐恢┲肷偎懔?8—6=2（條）腿，所以有16-2=8（只）蜘蛛。這樣蜻蜓和蟬一共有 22—8=14（只），一共有22對(duì)翅膀。再?gòu)某岚蛉胧?，假設(shè) 14只昆蟲全是蜻蜓，求出蟬有（2X14—22）+（2—1）=6（只），這樣蜻蜓有14—6=8（只）。假設(shè)三種昆蟲都是6條腿，那么蜘蛛有：（148—6X22）-（8—6）=（148—132）-2=16-2=8（只）蜻蜓和蟬一共有22—8=14（只）假設(shè)14只昆蟲全是蜻蜓，那么蟬有：（2X14—22）-（2—1）=（28—22）-1=6-1=6（只）蜻蜓有14—6=8（只）【小試牛刀】蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。問：每種小蟲各有幾只？【解析】9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。提示：把小蟲分成8條腿與6條腿兩種，先求出蜘蛛的數(shù)。【例9】★★★學(xué)校買來足球、籃球和排球共 45個(gè)，共花費(fèi)2820元。其中足球每個(gè)80元，籃球每個(gè)60元，排球每個(gè)50元；現(xiàn)已知足球個(gè)數(shù)比排球少3個(gè)。三種球各買了多少個(gè)？【解析】假設(shè)排球減少3個(gè)，此時(shí)三種球一共有45—3=42（個(gè)），共花費(fèi)2820—50X3=2670（元）。由于足球與排球個(gè)數(shù)同樣多，就可以把足球與排球和起來看作是一種球，這時(shí)足球、排球平均每個(gè)是（80+50）-2=65（元）。此時(shí)就將題目轉(zhuǎn)化為典型的雞兔同籠問題：兩種球共有42個(gè)，共花費(fèi)2670元，其中籃球每個(gè)是60元，另一種球每個(gè)是65元。兩種球各有多少個(gè)？求出籃球有多少個(gè)以后，就可以求出足球和排球有多少個(gè)。將排球減少3個(gè)，那么有45—3=42（個(gè)）球，共花費(fèi)2820—50X3=2670（元），足球、排球平均每個(gè)是（80＋50）-2=65（元）。假設(shè)全是另一種球，那么籃球有（ 65X42—2670）-（65—60）=（2730—2670）-5=60-5=12（個(gè)）這樣足球與排球一共有33個(gè)，一共花了2820-60X12=2100元。假設(shè)全是排球，那么足球有（2100—50X33）-（80—50）=（2100—1650）-30=450-30=15（個(gè)）排球有33—15=18（個(gè)）【小試牛刀】學(xué)校買來足球、籃球和排球共34個(gè)，共花費(fèi)2430元。其中足球每個(gè)90元，籃球每個(gè)70元，排球每個(gè)60元；現(xiàn)已知買足球所花的錢數(shù)與買排球用的同樣多。三種球各買了多少個(gè)？【解析】把2個(gè)足球、3個(gè)排球看作一組，求出平均每個(gè)球的價(jià)錢是：（90X2＋60X3）-（2＋3）=360-5=72（元）假設(shè)學(xué)校買來的全是籃球，那么“新球”有：（2430—70X34）-（72—70）=（2430—2380）-2=50-2=25（只）籃球有：34—25=9（只）足球有：25-（2＋3）X2=25-5X2=10（個(gè)）

排球有：25—10=15（個(gè)）【例10】★★師徒二人合作加工趕制一批零件。師傅每小時(shí)加工零件個(gè)，中途師傅由于疲勞先后休息了 3小時(shí)。工作完成后，件。師徒二人共加工了多少個(gè)零件？200個(gè)，徒弟每小時(shí)加工 120徒弟發(fā)現(xiàn)他仍然比師傅少加工了 200200個(gè)，徒弟每小時(shí)加工 120徒弟發(fā)現(xiàn)他仍然比師傅少加工了 200個(gè)零i人分i個(gè)饃。問：大、小和尚各有多少人?那么就成了雞兔同籠問題，可以用假1.100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1i人分i個(gè)饃。問：大、小和尚各有多少人?那么就成了雞兔同籠問題，可以用假【解析】如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿,設(shè)法來解。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃 300個(gè)，比實(shí)際多300-140=160（個(gè)）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少 3――1=2（個(gè)），因?yàn)?60十2=80,故小和尚有80人，大和尚有100-80=20（人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？【解析】我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有 1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19X16=304（元），比實(shí)際多304――280=24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用 19――11=8（元），所以買普通文化用品24十8=3（套），買彩色文化用品16—3=13（套）。一批鋼材，用小卡車裝載要 45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？【解析】要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝 4噸，所以要剩下4X36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這 144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144-9=16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。4X36-（45-36）X45=720（噸）。答：這批鋼材有720噸。樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？【解析】假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi) 0.24X500=120（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失 0.24+1.26=1.5（兀）。因此共打破花瓶 4.5—1.5=3（只）。（0.24X500—115.5）-（0.24+1.26）=3（只）。小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了 2分鐘，然后兩人各跳了 3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳 12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？【解析】利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12X（2+3）=60（下）。可求出小樂每分鐘跳（780——60）+（2+3+3）=90（下），小樂一共跳了90X3=270（下），因此小喜比小樂共多跳780——270X2=240（下）。有2角一張的人民幣和5角一張的人民幣共33張，共11元1角。兩種人民幣各有多少?gòu)垼俊窘馕觥?1元1角=111角假設(shè)全是5角一張的人民幣，那么2角一張的人民幣有：（5X33－111）+（5－2）=（165－111）+3=54+3=18（張）5角一張的人民幣有：33－18=15（張）在競(jìng)賽搶答題組比賽中，李剛和王平各自搶答了10道題，已知搶答的規(guī)則是答對(duì)一題加20分，答錯(cuò)一題要倒扣16分。結(jié)果兩人一共得了256分，其中李剛比王平多得了72分。兩人各答對(duì)了幾道題？【解析】假設(shè)20道題全答對(duì)，那么二人一共答錯(cuò)：（20X20－256）+（20＋16）=（400－256）+36=144+36=4（道）二人一共答對(duì)：20－4=16（道）李剛比王平多答對(duì)：72+（20＋16）=2（道）所以李剛答對(duì)：（16＋2）+2=9（道）王平答對(duì)：9－2=7（道）8．紅英小學(xué)組織120名教師和學(xué)生參加植樹活動(dòng)。每個(gè)老師植樹2棵，每?jī)蓚€(gè)學(xué)生種一棵樹。他們一共種了90棵樹。老師和學(xué)生各有多少人？【解析】假設(shè)參加植樹的全是學(xué)生，那么教師有：（90－120+2）+（2－0。5）=（90－60）+1。5=30+1。5=20（人）學(xué)生有：120－20=100（人）9．一個(gè)年級(jí)有四個(gè)班，一共有181名學(xué)生。其中一班比二班少3人，二班比三班少4人，三班人數(shù)與四班人數(shù)同樣多。四個(gè)班各有多少學(xué)生？【解析】假設(shè)四個(gè)班的人數(shù)都與二班人數(shù)同樣多，那么二班有：（181＋3－4X2）+4=（184－8）+4=176+4=44（人）一班有：44－3=41（人）三班、四班分別有：44＋4=48（人）10．傳說九頭鳥有9個(gè)頭和1條尾巴，九尾狐有1個(gè)頭和9