切向和法向分量

關于切向和法向分量第一頁，共二十頁，2022年，8月28日概述：質點沿曲線運動時的速度相切于其運動路徑，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運動路徑的切向和法向時可以對其加速度進行方便的研究。本節(jié)內容質點的平面運動質點的空間運動

11.13.切向和法向分量第二頁，共二十頁，2022年，8月28日質點的平面運動

首先設想一個質點如圖所示的平面上做曲線運動。設P為某時刻的位置，在P點，記單位矢量et與運動軌跡相切，指向運動方向（圖11.21a），記et’為P’相對應的單位矢量。

y

x

OPenetet’P’圖11.21a第三頁，共二十頁，2022年，8月28日將et

和et’移于同一坐標原點O’，如圖11.21b得Δet

大小為2sin(Δθ/2)，且由得由于質點的速度v與運動路徑相切則對其兩邊關于t求導得（11.35）V=vet(11.36)O’△θ△θ/2rΔetetet’圖11.21b第四頁，共二十頁，2022年，8月28日由于其中ds/dt=v,det/dθ=en，dθ/ds=1/ρ(ρ為曲率半徑，圖11.22)（11.37）yxO圓心ρΔsPΔθetet’Δθ=Δs/ρP’圖11.22第五頁，共二十頁，2022年，8月28日所以將公式代入得因此兩分量分別為綜上：加速度的切向分量反應質點運動速率變化的快慢，而法向分量反應質點運動方向的變化。只有當加速度的兩個分量都為零時，加速度才會為零。

（11.38）（11.39）（11.40）第六頁，共二十頁，2022年，8月28日應用：質點運動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關，這一點在設計飛機機翼、火車鐵軌以及凸輪的結構或尺寸時常被考慮在內，為了避免空氣流過機翼是加速度的突然變化，機翼的輪廓常常設計成流線形的，同樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于設備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加速度連續(xù)的變化。如下圖：第七頁，共二十頁，2022年，8月28日凸輪鐵軌機翼第八頁，共二十頁，2022年，8月28日質點的空間運動

和、的關系在空間的質點的移動中同樣適用

,然而由于空間曲線在P點有無數(shù)條直線與P點的切線方向垂直（圖11.24a）

，因此，有必要更準確的定義單位矢量en。

xzyP’Petet’切面xzyetet’ΔθΔet第九頁，共二十頁，2022年，8月28日密切面xzyP’Petet’密切面et’’xzyPeten（在密切面內）密切面eb（垂直于密切面）結論：質點在P處的加速度可以分解為兩個分量，一個沿切線方向，另一個沿主法線eb方向。xoy面內曲線的密切面是不是xoy面？肯定是！第十頁，共二十頁，2022年，8月28日11.14徑向和橫向分量在某些平面運動中，質點P的位置，由極坐標r和θ（圖11.25a）確定。這樣就可以將質點的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于OP的方向上（圖11.25b）

。分量er和eθ分別稱為徑向分量和橫向分量的單位向量。圖11.25arθPOPOθ圖11.25br=rereθer第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日與11.13相似通過求導得到：

-er代表與er反向的單位向量（圖11.25c）通過微分的連鎖規(guī)則，我們對er，eθ關于時間t求導

（11.41）eθeθ’ΔeθΔ

erer’erΔθΔθO’第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日用點來代替關于t的導數(shù)

為獲得質點P的速度v，P點的位置矢量r可由標量r和單位矢量er表示，對其兩邊關于t求導得或由（11.42）得為獲得加速度再次對其關于時間t求導

（11.42）（11.43）第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日聯(lián)立和，提出er和eθ得速度和加速度在徑向和橫向的分量的大小為

特別的注意到ar不等于vr對時間的導數(shù)，aθ也不等于vθ對時間的導數(shù)（11.44）（11.45）（11.46）第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日在質點繞圓心O做圓周運動中，由于r為常量，公式（11.43）和（11.44）分別變?yōu)?/p>

以下內容

為擴展第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日質點運動的空間擴展：柱面坐標質點P的空間位置，有時通過它的柱面坐標R,θ，z（圖11.26a）表示xzyPθRz圖11.26a第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日方便的用單位向量，和k（圖11.26b）將質點P的位置矢量r分解到這些單位矢量的方向上，得到

和分別表示在水平面xy平面上的徑向矢量和橫向矢量，矢量k代表軸的方向在方向和大小上的常量，我們容易證明（11.48）xzyeRrθ

eθ圖11.26