向量代數(shù)與空間解析幾何課件-002

第七章向量代數(shù)與空間解析幾何

在平面解析幾何中我們通過引進(jìn)坐標(biāo)系把平面上的點(diǎn)和一對有序數(shù)對對應(yīng)起來，把平面上的曲線圖形和方程對應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題．空間解析幾何也是按照同樣的方法建立起來的。本章首先建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)向量的概念及向量的運(yùn)算，然后介紹空間的曲面和曲線，并以向量為工具來討論空間的平面和直線，最后介紹二次曲面．第七章向量代數(shù)與空間解析幾何在平面解析幾何1第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系引我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)都對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)二維坐標(biāo).那么，在空間中，如何建立坐標(biāo)系，以表示空間點(diǎn)呢？第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系引我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，平面2為了溝通空間圖形與方程的關(guān)系，需要建立空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系．為此，我們引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系．一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)在空間中取定一點(diǎn)O

作為原點(diǎn),通過該點(diǎn)做三條相互垂直的數(shù)軸,分別稱為x

軸、y

軸和z

軸,統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.為了溝通空間圖形與方程的關(guān)系，需要建立空間點(diǎn)3通常將x

軸和y

軸置于水平面上,z

軸取鉛直方向,見圖.三個(gè)坐標(biāo)軸的次序和方向一般按右手法則來排列:用右手握住z

軸,四個(gè)手指從x

軸的正向旋轉(zhuǎn)90到軸的正向時(shí),拇指的指向就是z

軸的正向.按右手法則確定的的坐標(biāo)系稱為右手系.縱橫豎xzy通常將x軸和y軸置于水平面上,z軸取鉛直方4由任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.三個(gè)坐標(biāo)軸確定了三個(gè)坐標(biāo)面.x

軸和y軸所在的平面稱為xOy

坐標(biāo)面,另外兩個(gè)坐標(biāo)面分別是yOz坐標(biāo)面和

zOx坐標(biāo)面.三個(gè)坐標(biāo)面將整個(gè)空間分為8個(gè)部分,每一部分稱為一個(gè)卦限.含有x

軸、y軸和z軸的正半軸的那個(gè)卦限稱為第一卦限,第二、第三、第四卦限都在xOy

面的上方,按逆時(shí)針方向確定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在xOy

面的下方,按逆時(shí)針方向確定.由任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.5這8個(gè)卦限分別用羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ來表示,見圖.上面建立的的坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都是兩兩垂直的,故稱為空間直角坐標(biāo)系.xoy面yoz面zox面ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ這8個(gè)卦限分別用羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ6有了空間直角坐標(biāo)系,就可以建立空間中的點(diǎn)和有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)M

為空間中的一點(diǎn),過該點(diǎn)做三個(gè)分別垂直于x

軸、y軸和z軸的平面,它們與x

軸、y軸和z軸分別交于P點(diǎn)、Q點(diǎn)和R

點(diǎn).這三個(gè)點(diǎn)在x

軸、y

軸和z

軸上的坐標(biāo)分別是x、

y和

z.從而,空間中的點(diǎn)M

就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組(x,y,z);有了空間直角坐標(biāo)系,就可以建立空間中7反之,給定一個(gè)有序數(shù)組(x,y,z),則可分別在x

軸、y

軸和z

軸上取坐標(biāo)為

x,y,z的三個(gè)點(diǎn)P,Q,R,過這三個(gè)點(diǎn)各做一個(gè)分別與x

軸、y

軸和z

軸垂直的平面,這三個(gè)平面有唯一的交點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)就是有序數(shù)組(x,y,z)所確定的點(diǎn)M,見圖.xyzORPQxyzM(x,y,z)反之,給定一個(gè)有序數(shù)組(x,y,8這樣,利用空間直角坐標(biāo)系,就在有序數(shù)組(x,y,z)與空間中的點(diǎn)M之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo).其中

x,y

和z

分別稱為點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).在以后的表述中,常把一個(gè)點(diǎn)和表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不加區(qū)別,所說的給定一個(gè)點(diǎn),就是給定這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);所說的求一個(gè)點(diǎn),就是求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).這樣,利用空間直角坐標(biāo)系,就在有9坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)都有一定的特點(diǎn).如xOy

面上的點(diǎn),豎坐標(biāo)z=0;zOx

面上的點(diǎn),其縱坐標(biāo)y

=0;yOz

面上的點(diǎn),其橫坐標(biāo)x

=0;z軸上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為零,即x

=0,y=0.同樣,x

軸上的點(diǎn)有y

=0,z=0;y軸上的點(diǎn)有x

=0,z=0;原點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)均為零.坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)都有一定的特點(diǎn).如xOy面上的10

從點(diǎn)M(x,y,z)引垂直于xOy

面的直線,直線與xOy

面的交點(diǎn)N

(x,y,0)稱為點(diǎn)M在xOy

面的投影.在MN的延長線上取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到xOy

面的距離等于點(diǎn)M到xOy

面的距離,稱點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于xOy

面的對稱點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,–

z).類似地,點(diǎn)M關(guān)于x

軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,–

y,–

z),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(–

x,–

y,–

z).點(diǎn)M關(guān)于其他坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)與此完全類似.從點(diǎn)M(x,y,z)11各卦限內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)符號為Ⅰ:

(+,+,+),Ⅷ:(+,–,–).Ⅶ:(–,–,–),Ⅵ:(–,+,–),Ⅴ:(+,+,–),Ⅳ:(+,–,+),Ⅲ:(–,–,+),Ⅱ:(–,+,+),各卦限內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)符號為Ⅰ:(+,+,12二、空間中兩點(diǎn)間的距離對空間中兩點(diǎn)M1(x

1

,y

1,z1)和M

2(x

2,y2,z2),可用其坐標(biāo)表示它們之間的距離d.過M

1,M2

兩點(diǎn)各做三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面.這6個(gè)平面圍成以M1,

M2

為頂點(diǎn)的長方體,見圖6–4.圖6–4

二、空間中兩點(diǎn)間的距離對空間中兩點(diǎn)M113由勾股定理得特殊地,點(diǎn)M(x,y,z)到原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為由勾股定理得特殊地,點(diǎn)M(x14例1在z

軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2)和點(diǎn)B(1,-3,1)的距離相等.解因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)M在z

軸上,故點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)為(0,0,z).根據(jù)題意,有解得z=–3,即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(0,0,–3).例1在z軸上求一點(diǎn)M,使15例2已知一動點(diǎn)M(x,y,z)到兩點(diǎn)A(1,2,3)和B(–1,–3,0)的距離總是相等,求動點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程.解由已知條件,有兩端平方后整理,得2x+5y+3z–2=0,即動點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足這個(gè)三元一次方程.例2已知一動點(diǎn)M(x,y16第七章向量代數(shù)與空間解析幾何

在平面解析幾何中我們通過引進(jìn)坐標(biāo)系把平面上的點(diǎn)和一對有序數(shù)對對應(yīng)起來，把平面上的曲線圖形和方程對應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題．空間解析幾何也是按照同樣的方法建立起來的。本章首先建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)向量的概念及向量的運(yùn)算，然后介紹空間的曲面和曲線，并以向量為工具來討論空間的平面和直線，最后介紹二次曲面．第七章向量代數(shù)與空間解析幾何在平面解析幾何17第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系引我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)都對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)二維坐標(biāo).那么，在空間中，如何建立坐標(biāo)系，以表示空間點(diǎn)呢？第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系引我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，平面18為了溝通空間圖形與方程的關(guān)系，需要建立空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系．為此，我們引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系．一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)在空間中取定一點(diǎn)O

作為原點(diǎn),通過該點(diǎn)做三條相互垂直的數(shù)軸,分別稱為x

軸、y

軸和z

軸,統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.為了溝通空間圖形與方程的關(guān)系，需要建立空間點(diǎn)19通常將x

軸和y

軸置于水平面上,z

軸取鉛直方向,見圖.三個(gè)坐標(biāo)軸的次序和方向一般按右手法則來排列:用右手握住z

軸,四個(gè)手指從x

軸的正向旋轉(zhuǎn)90到軸的正向時(shí),拇指的指向就是z

軸的正向.按右手法則確定的的坐標(biāo)系稱為右手系.縱橫豎xzy通常將x軸和y軸置于水平面上,z軸取鉛直方20由任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.三個(gè)坐標(biāo)軸確定了三個(gè)坐標(biāo)面.x

軸和y軸所在的平面稱為xOy

坐標(biāo)面,另外兩個(gè)坐標(biāo)面分別是yOz坐標(biāo)面和

zOx坐標(biāo)面.三個(gè)坐標(biāo)面將整個(gè)空間分為8個(gè)部分,每一部分稱為一個(gè)卦限.含有x

軸、y軸和z軸的正半軸的那個(gè)卦限稱為第一卦限,第二、第三、第四卦限都在xOy

面的上方,按逆時(shí)針方向確定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在xOy

面的下方,按逆時(shí)針方向確定.由任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.21這8個(gè)卦限分別用羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ來表示,見圖.上面建立的的坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都是兩兩垂直的,故稱為空間直角坐標(biāo)系.xoy面yoz面zox面ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ這8個(gè)卦限分別用羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ22有了空間直角坐標(biāo)系,就可以建立空間中的點(diǎn)和有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)M

為空間中的一點(diǎn),過該點(diǎn)做三個(gè)分別垂直于x

軸、y軸和z軸的平面,它們與x

軸、y軸和z軸分別交于P點(diǎn)、Q點(diǎn)和R

點(diǎn).這三個(gè)點(diǎn)在x

軸、y

軸和z

軸上的坐標(biāo)分別是x、

y和

z.從而,空間中的點(diǎn)M

就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組(x,y,z);有了空間直角坐標(biāo)系,就可以建立空間中23反之,給定一個(gè)有序數(shù)組(x,y,z),則可分別在x

軸、y

軸和z

軸上取坐標(biāo)為

x,y,z的三個(gè)點(diǎn)P,Q,R,過這三個(gè)點(diǎn)各做一個(gè)分別與x

軸、y

軸和z

軸垂直的平面,這三個(gè)平面有唯一的交點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)就是有序數(shù)組(x,y,z)所確定的點(diǎn)M,見圖.xyzORPQxyzM(x,y,z)反之,給定一個(gè)有序數(shù)組(x,y,24這樣,利用空間直角坐標(biāo)系,就在有序數(shù)組(x,y,z)與空間中的點(diǎn)M之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo).其中

x,y

和z

分別稱為點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).在以后的表述中,常把一個(gè)點(diǎn)和表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不加區(qū)別,所說的給定一個(gè)點(diǎn),就是給定這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);所說的求一個(gè)點(diǎn),就是求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).這樣,利用空間直角坐標(biāo)系,就在有25坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)都有一定的特點(diǎn).如xOy

面上的點(diǎn),豎坐標(biāo)z=0;zOx

面上的點(diǎn),其縱坐標(biāo)y

=0;yOz

面上的點(diǎn),其橫坐標(biāo)x

=0;z軸上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為零,即x

=0,y=0.同樣,x

軸上的點(diǎn)有y

=0,z=0;y軸上的點(diǎn)有x

=0,z=0;原點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)均為零.坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)都有一定的特點(diǎn).如xOy面上的26

從點(diǎn)M(x,y,z)引垂直于xOy

面的直線,直線與xOy

面的交點(diǎn)N

(x,y,0)稱為點(diǎn)M在xOy

面的投影.在MN的延長線上取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到xOy

面的距離等于點(diǎn)M到xOy

面的距離,稱點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于xOy

面的對稱點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,–

z).類似地,點(diǎn)M關(guān)于x

軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,–

y,–

z),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(–

x,–

y,–

z).點(diǎn)M關(guān)于其他坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)與此完全類似.從點(diǎn)M(x,y,z)27各卦限內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)符號為Ⅰ:

(+,+,+),Ⅷ:(+,–,–).Ⅶ:(–,–,–),Ⅵ:(–,+,–),Ⅴ:(+,+,–),Ⅳ:(+,–,+),Ⅲ:(–,–,+),Ⅱ:(–,+,+),各卦限內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)符號為Ⅰ:(+,+,28二、空間中兩點(diǎn)間的距離對空間中兩點(diǎn)M1(x

1

,y

1,z1)和M

2(x

2,