初中數(shù)學(xué)華東師大九年級(jí)上冊(cè)圖形的相似相似三角形的判定一PPT

一、新知探究1.閱讀教材P64－66ABCB’

A’C’ED已知：如圖，△ABC和△A’B’C中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′求證：△ABC∽△A’B’C’ABCB’

A’C’2.相似三角形的判定定理一：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.②幾何語言：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′∴△ABC∽△A’B’C’③這是最常用的方法，當(dāng)題目給出角相等時(shí)，優(yōu)先考慮這種方法.④常見圖形A型ABCDEDE∥BCABCDEABCDX型DEABCDEABCDE∥BC母子型圖ABDC△ABD∽△CAD∽△CBAABDC△ABD∽△CAD∽△CBA母子型圖AC2=CD·CBAB2=BD·BCDD2=BD·CD（2)射影定理公共邊的平方等于在同一直線上的兩邊的乘積ABCDE△ABC∽△CED練習(xí)：已知等腰三角形△ABC和△A/B/C/中，∠A、∠A/分別是頂角，求證：①如果∠A=∠A/，那么△ABC∽△A/B/C/。②如果∠B=∠B/，那么△ABC∽△A/B/C/。思考：如果兩個(gè)三角形僅有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，那么它們是否一定相似？ABCA’B’C’二、例題講解例1

如圖，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C與∠C’都是直角，∠A＝∠A’.求證：△ABC∽△A’B’C’ABCA’B’C’例題2.如圖，在正方形ABCD中，AE⊥PE.（1）求證：△ADE∽△PCE

(2)如果AB=8,CE=6,求PE長(zhǎng)。ADBCPE12變式：如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，則下列結(jié)論正確的有

。A．∠BAE=30°B.CE2=AB·CF

C.CF=

CD

D.△ABE∽△AEFEBCDAF例2

如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求證：△ADE∽△EFC.ADEBFC想一想：如果點(diǎn)D恰好是邊AB的中點(diǎn)，那么點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)嗎？此時(shí)，DE和BC有什么關(guān)系？△ADE與△EFC又有什么特殊關(guān)系呢？例3

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是中線，P為AD上一點(diǎn)，CF∥AB，BP延長(zhǎng)線交AC、CF于E、F.求證：BP2＝PE·PFA

ED（2）如圖6-2-10所示，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP=1，CD=，則△ABC的邊長(zhǎng)為()例題5（1）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BE∶EC=2∶3，AE交BD于點(diǎn)F，則BF∶FD=.abcABC（3）如圖，在Rt△ABC中放三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，c，b的正方形，則a、b、c的關(guān)系為

。（4）如圖。P點(diǎn)是Rt△ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線截△ABC，截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣的條件的直線有

條ABC·P如△ABC不是Rt△，這樣的直線有

條例題6.已知，如圖6-2-5所示的四邊形ABCD為菱形，AF⊥BC于F，(1)求證：2AD2=DE·DB.(2)過點(diǎn)E作EG⊥AF交AB于點(diǎn)G，若線段BE，DE(BE＜DE)的長(zhǎng)是方程x2-3mx+2m2=0(m＞0)的兩個(gè)根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長(zhǎng).三、課堂小結(jié)1.三角形相似的判定定理一：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似2.常見圖形：四、鞏固練習(xí)1.找相似三角形：50°50°ADEBCABDEC2.過Rt△ABC的斜邊BC上一點(diǎn)D作一條直線與另一邊AC或者AB相交，使截得的小三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？ABCEDF4.如圖，在△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，AB＝AC.求證：△ABC∽△BCD.4題5.如圖，直線l1∥l2

,AF:FB=2:3，BC:CD=2:1,則AE:EC＝

.GBCDEFA5題7.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)請(qǐng)寫出圖中所有的相似三角形，并選取一對(duì)加以證明;①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·DB(2)用圖中的相似三角形證明下列三個(gè)結(jié)論;D

ACB(3)能否借用(2)中①、②的結(jié)論證明勾股定理？8.如圖，在□ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C。(1)求證：△ABF∽△EAD；(2)若AB=4，∠BAE=300，求AE的長(zhǎng)；(3)在前兩問的條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng).FEDCBA9.巳知：如圖，在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝8.點(diǎn)D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF．設(shè)DE＝x，DF＝y(tǒng)．⑴用含y的代數(shù)式表示為：AE＝

；⑵求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；⑶設(shè)四邊形DECF的面積為s，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值．ABCDEA116(1).如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，將其沿DE折疊，點(diǎn)A的落點(diǎn)為A1，如果A1是CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為

。ABC(2)如圖，在已建立直角坐標(biāo)系的4×4網(wǎng)格中有格點(diǎn)三角形ABC和格點(diǎn)三角形PAB相似，則格點(diǎn)P的坐標(biāo)為

。EBMNDCAF17.如圖，AM,BN都垂直于AB，E是AM上一點(diǎn)，AC⊥BE于F交BN于C，CD⊥AM于D.如CD=CF，則AE:AD=

.（1）如圖，△ABC是一張等腰直角三角形紙片，∠C=90°，AC=BC=2.現(xiàn)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，在甲、乙兩種剪法中，

種剪法得到的正方形面積大。BACDEFGABCDEF甲乙19.如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上，那么這個(gè)正方形就叫做三角形的內(nèi)接正方形。ABCDEFABCDEFABCDEF①②③…把圖甲的剪法稱為第一次剪取，按照這種剪法，在余下的兩個(gè)等腰直角三角形中分別剪取兩個(gè)相同的正方形稱為第二次剪取，記這兩個(gè)正方形的面積和為S2，則S2=

;在再余下的四個(gè)等腰直角三角形中用同樣的方法剪下四個(gè)相同的正方形，稱為第三次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為S3…;則第10次剪取時(shí)S10=

,余下的所有小三角形的面積和為

。ABCDEFABCDEFGABCEFGH（2）在鈍角、直角、銳角三角形中分別有

個(gè)、

個(gè)、

個(gè)大小不同的內(nèi)接正方形。（3）如下圖：記直角三角形的兩個(gè)內(nèi)接正方形的面積為S1、S2

則S1

S2(4)在不等邊銳角三角形中，

的內(nèi)接正方形的面積較小。

123BACDEF20.如圖，在矩形ABCD中，AB=m,BC=8,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連DE，作FE⊥DE交射線BA于F，設(shè)CE=X,BF=Y。（1）寫出Y與X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如m=8，求X為何值時(shí)，Y的值最大是多少？（3）如,要使△DEF為等腰三角形，

m的值應(yīng)為多少？21.如圖，P點(diǎn)在面積為12的正方形ABCD內(nèi)且△PBC為正三角形，延長(zhǎng)BP、CP分別交AD于E、F，連BD交PC于H，連PD，G為BD上一動(dòng)點(diǎn)，連PA、PD.下列結(jié)論△ABE≌△DCF(2)PD2=PH.BC(3)FP:PH=3：5(4)S△PBD:SABCD=(5)GP+GA的最小值為ABCDEFPHG知識(shí)點(diǎn)?：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似22．下列各組圖形中一定相似的是()A．有一個(gè)角相等的等腰三角形B．有一個(gè)角相等的直角三角形C．有一個(gè)角是100°的等腰三角形D．有一組角是對(duì)頂角的兩個(gè)三角形C23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則圖中的相似三角形共有()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)C3．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥CB，那么在下列三角形中，與△ABC相似的三角形是()A．△DBEB．△BDCC．△ABDD．△CDEB4．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B，C的一定點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條C5．如圖所示，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)BF.寫出圖中任意一對(duì)相似三角形：________________________________．△ADF∽△ECF(答案不唯一)7．如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當(dāng)AP的長(zhǎng)為________時(shí)，△ADP和△ABC相似.4或98．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求證：△EBF∽△FCG.解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長(zhǎng)為()A．2B．4C．6D．8BA

A

13．(杭州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E.(1)求證：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長(zhǎng)．解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD

14．如圖所示，在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F.(1)△ABE與△DFA相似嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若AB