（渝皖瓊）2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學案 北師大版2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精4．1空間圖形基本關(guān)系的認識4．2空間圖形的公理(一）學習目標1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關(guān)系。2。會用符號表達點、線、面的位置關(guān)系。3。掌握空間圖形的三個公理及其推論．知識點一空間圖形的基本位置關(guān)系對于長方體有12條棱和6個面．思考112條棱中,棱與棱有幾種位置關(guān)系?答案相交,平行，既不平行也不相交．思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？答案棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交．思考3六個面之間有哪幾種位置關(guān)系．答案平行和相交．梳理位置關(guān)系圖形表示符號表示空間點與直線的位置關(guān)系點A在直線a外A?a點B在直線a上B∈a空間點與平面的位置關(guān)系點A在平面α內(nèi)A∈α點B在平面α外B?α空間兩條直線的位置關(guān)系平行a∥b相交a∩b＝O異面a與b異面空間直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)aα線面相交a∩α＝A線面平行a∥α空間平面與平面的位置關(guān)系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫作異面直線知識點二空間圖形的公理思考1照相機支架只有三個腳支撐說明什么?答案不在同一直線上的三點確定一個平面．思考2一把直尺兩端放在桌面上,直尺在桌面上嗎?答案直尺在桌面上．思考3教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規(guī)律？答案這些公共點在同一直線上．梳理(1)空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）A∈l,B∈l，且A∈α，B∈α?lα用來證明直線在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面(即可以確定一個平面)A,B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α用來確定一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l用來證明空間的點共線和線共點（2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面（圖①）．推論2:兩條相交直線確定一個平面（圖②)．推論3:兩條平行直線確定一個平面(圖③）．1．8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚．（×）2．空間不同三點確定一個平面．(×）3．一條直線和一個點確定一個平面．(×）類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點P與直線AB；(2）點C與直線AB;(3)點M與平面AC；(4）點A1與平面AC;(5)直線AB與直線BC；（6）直線AB與平面AC;(7)平面A1B與平面AC?？键c平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1)點P∈直線AB.(2）點C?直線AB。(3)點M∈平面AC.（4）點A1?平面AC。（5）直線AB∩直線BC＝點B.(6)直線AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.反思與感悟(1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示,再用符號語言表示．(2）根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓練1用符號語言表示下列語句,并畫成圖形．(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點A,B；(2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點P；(3）直線l既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi);(4）直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行．考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1）A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如圖．(2）l?α，P∈l，P∈α。如圖（3）lα，lβ.如圖．(4）α∩β＝l，mα，m∥l。如圖．類型二平面的基本性質(zhì)的應用命題角度1點線共面問題例2如圖，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b,PQ∥a，求證:PQα?？键c平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線aβ，點P∈β.因為P∈b，bα，所以P∈α.又因為aα，P?a，所以α與β重合，所以PQα.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．解已知：a∥b∥c,l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C。求證：a，b，c和l共面．證明:如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個平面α.∵l∩a＝A,l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)α?！遙∥c，∴b與c確定一個平面β，同理lβ.∵平面α與β都包含l和b,且b∩l＝B，由公理2的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思與感悟在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：（1)納入法:先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．(2）重合法:先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．跟蹤訓練2如圖,已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B,l1∩l3＝C.求證：直線l1,l2，l3在同一平面內(nèi)．考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α?！遧2∩l3＝B，∴B∈l2。又∵l2α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α?！嘀本€l1,l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2α,∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β。同理可證B∈α,B∈β，C∈α,C∈β.∴不共線的三個點A，B,C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．命題角度2點共線、線共點問題例3如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1,C1D1的中點．求證：FE，HG,DC三線共點．考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題證明如圖所示,連接C1B，GF，HE，由題意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四邊形HC1BE是平行四邊形，∴HE∥C1B。又C1G＝GC，CF＝BF,∴GF∥C1B，且GF＝eq\f(1，2）C1B?！郍F∥HE,且GF≠HE，∴HG與EF相交．設交點為K,∴K∈HG，HG平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF平面ABCD，∴K∈平面ABCD,∴K∈（平面D1C1CD∩平面ABCD)＝DC,∴EF，HG,DC三線共點．反思與感悟(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi),證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．跟蹤訓練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P,BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P,Q，R三點共線．考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題證明方法一∵AB∩α＝P,∴P∈AB，P∈平面α。又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR。∵Q∈BC,∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P,Q，R三點共線。1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外"，正確的是（）A．A∈l,l?α B．A∈l，l?αC．Al,l?α D．Al，l?α考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案B解析∵點A在直線l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l(xiāng)?α。故選B.2．滿足下列條件,平面α∩平面β＝AB，直線aα，直線bβ且a∥AB，b∥AB的圖形是（）考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案D3．下列推理錯誤的是(）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β,且A,B，C不共線?α與β重合考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案C解析當l?α,A∈l時，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C錯．4．如圖，α∩β＝l,A，B∈α,C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M,過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(）A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析因為平面γ過A，B，C三點，M在直線AB上，所以γ與β的交線必通過點C和點M.5。如圖，已知D,E是△ABC的邊AC,BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是________．考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案P∈直線DE解析因為P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC。又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE.1．解決立體幾何問題首先應過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換,正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來,再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候,要注意符號語言所代表的含義,作直觀圖時，要注意線的實虛．2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想。一、選擇題1．下列有關(guān)平面的說法正確的是（）A．平行四邊形是一個平面B．任何一個平面圖形都是一個平面C．平靜的太平洋面就是一個平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面考點平面的概念、畫法及表示題點平面概念的應用答案D解析我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，故A項不正確；平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的,而平面無法度量,故B項不正確;太平洋面是有邊界的,不是無限延展的,故C項不正確；在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D項正確．2。如圖所示，用符號語言可表示為（）A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα,Am,AnD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案A解析α與β交于m,n在α內(nèi)，m與n交于點A，注意符號語言的正確運用，故選A.3．如果空間四點A，B,C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(）A．A，B，C，D四點中必有三點共線B．A，B,C，D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面．4．空間中四點可確定的平面有（）A．1個 B．3個C．4個 D．1個或4個或無數(shù)個考點平面的基本性質(zhì)題點確定平面問題答案D解析當這四點共線時,可確定無數(shù)個平面；當這四點不共線且共面時,可確定一個平面；當這四點不共面時，其中任意三點可確定一個平面，此時可確定4個平面．5．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有（)A．1條或2條 B．2條或3條C．1條或3條 D．1條或2條或3條考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析當三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當平面β和γ平行時，它們的交線有2條;當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時,它們有3條交線．6．空間四點A，B，C，D共面而不共線,那么這四點中(）A．必有三點共線 B．可能有三點共線C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析如圖(1)（2）所示，A，C，D均不正確，只有B正確．7．在空間四邊形ABCD中，在AB，BC,CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點,如果GH，EF交于一點P,則（）A．P一定在直線BD上B．P一定在直線AC上C．P在直線AC或BD上D．P既不在直線BD上，也不在AC上考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析由題意知GH平面ADC。因為GH,EF交于一點P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC。因為平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知點P一定在直線AC上．8．如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論錯誤的是()A．C1，M，O三點共線 B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面 D．D1，D，O,M四點共面考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析如圖所示，連接A1C1,AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，∴三點C1,M,O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1,M，O三點共線，∴選項A，B，C均正確，D不正確．二、填空題9．已知點A，直線a，平面α.①A∈a,a∈α?A∈α；②A?a，aα?A?α；③A∈a,aα?Aα.其中說法正確的個數(shù)是________．考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案0解析①中“a∈α”符號不對;②中A可以在α內(nèi)，也可在α外,故不正確；③中“Aα”符號錯．10．若直線l上有兩個點在平面α內(nèi)，則下列說法中正確的序號為________．①直線l上至少有一個點在平面α外;②直線l上有無窮多個點在平面α外；③直線l上所有點都在平面α內(nèi)；④直線l上至多有兩個點在平面α內(nèi)考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題答案③11．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是______．考點平面的基本性質(zhì)題點確定平面問題答案1或3解析若三條直線兩兩相交共有三個交點,則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點時，可以確定3個平面或1個平面．12．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l,C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________．考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案三點共線解析∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β,則α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α,又∵O∈AB,ABβ,∴O∈β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線．三、解答題13．已知a,b,c,d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：直線a，b，c,d共面．考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明（1)無三線共點情況,如圖所示，設a∩d＝M,b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，∴a，d可以確定一個平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα,即bα，同理cα,∴a，b，c