2022-2023學年湖南省株洲市醴陵市第四中學數(shù)學高一上期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）①；②；③；④A.①② B.①④C.②③ D.③④2．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調遞增的，，，是銳角三角形的三個內角，則下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則使成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知集合，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域為的是（）①；②；③；④A.①② B.②③C.①④ D.③④6．函數(shù)的定義域是（）A. B.C D.7．如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面上，實數(shù)對所表示的區(qū)域在直線的右下側部分的面積是（）A. B.C. D.不能求8．“是”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要9．已知，，則（）A. B.C. D.10．三條直線l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，則a+b等于（）A. B.6C.或6 D.0或411．過點，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.12．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．函數(shù)（且）的定義域為__________14．在中，，則_____________15．已知函數(shù),若方程有四個不同的解,且,則的最小值是______,的最大值是______.16．_________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù).（1）根據(jù)定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）根據(jù)定義證明：函數(shù)是奇函數(shù).18．如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設的面積為，正方形PQRS的面積為.（1）用a，表示和；（2）當a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.19．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，為與的交點，為棱上一點.（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.20．某校對100名高一學生的某次數(shù)學測試成績進行統(tǒng)計，分成五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中a值；（2）估計該校高一學生這次數(shù)學成績的眾數(shù)和平均數(shù)；（3）估計該校高一學生這次數(shù)學成績的75%分位數(shù).21．化簡或求值：（1）；（2）22．已知函數(shù)的圖像過點，且圖象上與點最近的一個最低點是.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】對每個函【解析】判斷奇偶性及單調性即可.【詳解】對于①，，奇函數(shù)，在和上分別單增，不滿足條件；對于②，，偶函數(shù)，不滿足條件；對于③，，奇函數(shù)，在R上單增，符合題意；對于④，，奇函數(shù)，在R上單增，符合題意；故選：D2、C【解析】因為是銳角的三個內角，所以，得，兩邊同取余弦函數(shù)，可得，因為在上單調遞增，且是偶函數(shù)，所以在上減函數(shù)，由，可得，故選C.點睛：本題考查了比較大小問題，解答中熟練推導抽象函數(shù)的圖象與性質，合理利用函數(shù)的單調性進行比較大小是解答的關鍵，著重考查學生的推理與運算能力，本題的解答中，根據(jù)銳角三角形，得出與的大小關系是解答的一個難點.3、C【解析】考慮是偶函數(shù)，其單調性是關于y軸對稱的，只要判斷出時的單調性，利用對稱關系即可.【詳解】，是偶函數(shù)；當時，由于增函數(shù)，是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，是關于y軸對稱的，當時，是減函數(shù)，作圖如下：欲使得，只需，兩邊取平方，得，解得；故選：C.4、B【解析】根據(jù)集合，，可得，從而可得.【詳解】因為，，所以，所以.故選：B5、C【解析】根據(jù)奇偶性的定義依次判斷，并求函數(shù)的值域即可得答案.【詳解】對于①，是偶函數(shù)，且值域為；對于②，是奇函數(shù)，值域為；對于③，是偶函數(shù)，值域為；對于④，偶函數(shù)，且值域為，所以符合題意的有①④故選：C.6、B【解析】解不等式組即可得定義域.【詳解】由得：所以函數(shù)的定義域是.故選：B7、A【解析】由點是由線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內（含邊界）的任意一點，作的平行線，把中、所滿足的不等式表示出來，然后作出不等式組所表示的可行域，并計算出可行域在直線的右下側部分的面積即可.【詳解】如下圖，過作，交的延長線于，交的延長線于，設，，，，則，所以，得，所以.作出不等式組對應的可行域，如下圖中陰影部分所示，故所求面積為，故選：A.【點睛】本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域的關系，考查轉化思想，是難題.解決本題的關鍵是建立、的不等式組，將問題轉化為線性規(guī)劃問題求解.8、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若x＝1，則x2－4x＋3＝0，是充分條件，若x2－4x＋3＝0，則x＝1或x＝3，不是必要條件.故選：A.9、B【解析】應用同角關系可求得，再由余弦二倍角公式計算．【詳解】因，所以，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關系，考查余弦的二倍角公式．求值時要注意角的取值范圍，以確定函數(shù)值的正負．10、C【解析】根據(jù)相互垂直的兩直線斜率之間的關系對b分類討論即可得出【詳解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，則a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2②若b≠0，則1，1，聯(lián)立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6綜上可得：a+b的值為﹣2或6故選C【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題11、B【解析】由題設得的中垂線方程為，其與交點即為所求圓心，并應用兩點距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.【詳解】由題設，的中點坐標為，且，∴的中垂線方程為，聯(lián)立，∴，可得，即圓心為，而，∴圓的方程是.故選：B12、C【解析】求出函數(shù)的對稱軸，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，根據(jù)單調性即可求解.【詳解】，對稱軸，開口向上，所以函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增，所以.故選：C二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據(jù)對數(shù)的性質有，即可求函數(shù)的定義域.【詳解】由題設，，可得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：14、【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值【詳解】由，結合正弦定理可得，故設，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎題15、①.1②.4【解析】畫出的圖像,再數(shù)形結合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對稱性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因為方程有四個不同的解,故的圖像與有四個不同的交點,又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當時,.當時,,故.又在時為減函數(shù),故當時取最大值.故答案為：(1).1(2).4【點睛】本題主要考查了數(shù)形結合求解函數(shù)零點個數(shù)以及范圍的問題,需要根據(jù)題意分析交點間的關系,并結合函數(shù)的性質求解.屬于難題.16、【解析】根據(jù)誘導公式可求該值.【詳解】.故答案為：.【點睛】誘導公式有五組，其主要功能是將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角或直角的三角函數(shù)．記憶誘導公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”．本題屬于基礎題.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、⑴見解析;⑵見解析.【解析】(1)利用單調性定義證明函數(shù)的單調性；（2）利用奇偶性定義證明函數(shù)奇偶性.試題解析：⑴設任意的，且，則，，即，又，，即，在上是增函數(shù)⑵，,，即所以函數(shù)是奇函數(shù).點睛：證明函數(shù)單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據(jù)定義得出其單調性18、（1）；（2）當時，的值最小，最小值為【解析】（1）利用已知條件，根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根據(jù)題意，將表示為的函數(shù)，利用倍角公式對函數(shù)進行轉化，利用換元法，借助對勾函數(shù)的單調性，從而求得最小值.【詳解】（1）在中，，所以；設正方形的邊長為x，則，，由，得，解得；所以；（2），令，因為，所以，則，所以；設，根據(jù)對勾函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減，因此當時，有最小值，此時，解得；所以當時，的值最小，最小值為.【點睛】本題考查倍角公式的使用，三角函數(shù)在銳角三角形中的應用，以及利用對勾函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，涉及換元法，屬綜合性中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】(1)由,可推出平面,從而可證明平面平面;(2)由平面可推出是中點,因此.【詳解】(1)平面,平面,,∵四邊形是正方形,,,平面,平面,∴平面平面;(2)平面,平面平面,,是中點,是中點,.【點睛】本題考查面面垂直,考查空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.在解決此類幾何體體積問題時,可利用中點進行轉化.20、（1）（2）眾數(shù)為，平均數(shù)為（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；可得，（2）根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念和平均數(shù)的計算公式，即可求解；（3）因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，結合百分數(shù)的計算方法，即可求解.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質，可得，解得.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念，可得眾數(shù)為，平均數(shù)為.【小問3詳解】解：因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，所以75%分位數(shù)為.21、(1)99;(2)2.【解析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算公式將式子進行化簡求值即可；（2）對式子提公因式，結合同底的對數(shù)運算得到最終結果解析：（1）原式（2）原式22、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)，兩點可求出和周期，再由周期公式即可求出，再由即可求出；(2)根據(jù)求出函數(shù)的