XXXX版設(shè)備故障診斷信號(hào)分析課件

1.3.7信號(hào)的時(shí)頻分析

時(shí)頻分析的基本任務(wù)是建立一個(gè)函數(shù)，要求這個(gè)函數(shù)不僅能夠同時(shí)用時(shí)間和頻率描述信號(hào)的能量分布密度，還能夠以同樣的方式來計(jì)算信號(hào)的其他特征量。這里只是簡單介紹當(dāng)前廣泛采用的時(shí)頻分析方法：短時(shí)傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）及時(shí)頻分析的一些應(yīng)用。12/19/202211.3.7信號(hào)的時(shí)頻分析時(shí)頻分析的基1、短時(shí)傅里葉變換

（1）短時(shí)傅立葉變換原理短時(shí)傅立葉變換是研究非平穩(wěn)信號(hào)最廣泛使用的方法。假定我們聽一段持續(xù)時(shí)間為1h的音樂，在開始時(shí)是有小提琴，而在結(jié)束時(shí)有鼓。如果用傅立葉變換分析整個(gè)1h的音樂，傅立葉頻譜將表明對(duì)應(yīng)小提琴和鼓的頻率的峰值。頻譜會(huì)告訴我們有小提琴和鼓，但不會(huì)給我們小提琴和鼓什么時(shí)候演奏的任何表示。最簡單的做法是把1h劃分成每5min一個(gè)間隔，并用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔。在分析每一個(gè)時(shí)間間隔時(shí)，就會(huì)看到小提琴和鼓出現(xiàn)在哪個(gè)5min間隔。如果要求更好的局部化，那就把這1h劃分成1min一個(gè)間隔，甚至更小的時(shí)間間隔，再用傅立葉變換分析每一個(gè)間隔。這就是短時(shí)傅立葉變換的基本思想：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以確定在哪個(gè)時(shí)間間隔存在的頻率，這些頻譜的總體就表現(xiàn)了頻譜在時(shí)間上是怎樣變化的。12/19/202221、短時(shí)傅里葉變換（1）短時(shí)傅立葉變換原理12/16

為了研究信號(hào)在時(shí)刻t的特性，人們加強(qiáng)在那個(gè)時(shí)刻的信號(hào)而衰減在其它時(shí)刻的信號(hào)。這可以通過用中心在t的窗函數(shù)h（t）乘信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。產(chǎn)生的信號(hào)是：

xt（）=x（）h（-t）改變的信號(hào)是兩個(gè)時(shí)間函數(shù)，即所關(guān)心的固定時(shí)間t和執(zhí)行時(shí)間。窗函數(shù)決定留下的信號(hào)圍繞著時(shí)間t大體上不變，而離開所關(guān)心時(shí)間的信號(hào)衰減了許多倍，也就是

12/19/20223為了研究信號(hào)在時(shí)刻t的特性，人們加強(qiáng)在那個(gè)時(shí)

因?yàn)楦淖兊男盘?hào)加強(qiáng)了圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，而衰減了遠(yuǎn)離時(shí)刻t的信號(hào)，傅立葉變換將反映圍繞著t時(shí)刻的頻譜，即

對(duì)于每一個(gè)不同的時(shí)間，都可以得到一個(gè)不同的頻譜，這些頻譜的總體就是時(shí)頻分布Psp（t，f）。我們關(guān)心的是分析圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，所以選擇一個(gè)圍繞著t具有峰值的窗函數(shù)。這樣就可以在t時(shí)刻附近得到一個(gè)短持續(xù)時(shí)間信號(hào)，其傅立葉方程（上式）叫做短時(shí)傅立葉變換。下式確定的Psp（t，f）函數(shù)曲面圖叫時(shí)頻分布圖。12/19/20224因?yàn)楦淖兊男盘?hào)加強(qiáng)了圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，而下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號(hào)的時(shí)域波形，它清楚地告訴我們鯨魚聲強(qiáng)度或者響度怎樣隨時(shí)間而變化。在主圖下面的曲線是能量譜密度，即傅立葉變換的絕對(duì)值平方。它表明哪些頻率存在，以及它們的相對(duì)強(qiáng)度有多大。

這個(gè)聲音的頻譜告訴我們頻率范圍大約從175Hz到325Hz。這個(gè)信息是有意義而且重要的，但是根據(jù)這個(gè)頻譜告訴無法知道這些頻率什么時(shí)候存在。例如，不可能通過觀察頻譜確切知道300Hz聲音在什么時(shí)候產(chǎn)生，或者產(chǎn)生這個(gè)聲音的總持續(xù)時(shí)間，或產(chǎn)生了多少次。主圖反映了信號(hào)能量的時(shí)間頻率聯(lián)合分布密度，由此就可以確定作為時(shí)間進(jìn)程的強(qiáng)度。這使我們能夠了解各個(gè)時(shí)刻發(fā)生的情況：12/19/20225下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號(hào)的頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時(shí)間內(nèi)線性地增加到大約325Hz，然后停在那里約0.1s的時(shí)間，等等。作為對(duì)300Hz聲音什么時(shí)候出現(xiàn)這個(gè)問題的回答，現(xiàn)在從圖中可以知道在0.6s和1.3s出現(xiàn)兩次。12/19/20226頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時(shí)間

另外，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中許多信號(hào)是暫態(tài)信號(hào)(非穩(wěn)態(tài)信號(hào))、其統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間有關(guān)．如語言信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、超聲波信號(hào)等，這些信號(hào)不滿足傅氏變換所要求的條件。傅立葉變換公式獲得信號(hào)頻譜信息需要無限長的時(shí)間，即不僅需要過去而且需要將來的時(shí)間信號(hào)去估計(jì)一個(gè)單一頻率的頻譜。另外，傅立葉變換式不能反映與時(shí)間變量有關(guān)的頻率信息。除此之外、非穩(wěn)態(tài)信號(hào)很可能在一個(gè)短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對(duì)整個(gè)頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號(hào)的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號(hào)的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號(hào)很難用傅氏變換進(jìn)行分析。12/19/20227另外，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中許多信號(hào)

下圖a所示為一白噪聲信號(hào)中夾雜一個(gè)脈沖信號(hào)。二者分別為典型的穩(wěn)態(tài)信號(hào)和暫態(tài)信號(hào)。該信號(hào)的頻譜如圖b所示。很難在頻譜中看出脈沖信號(hào)的存在，這是因?yàn)榘自肼曅盘?hào)是均勻的寬帶頻譜，而脈沖信號(hào)也具有寬帶特性．只不過是其帶寬取決于脈沖信號(hào)的作用時(shí)間。

可采用“短時(shí)傅立葉變換”來對(duì)暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析。窗函數(shù)w(t)在整個(gè)信號(hào)上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號(hào)頻譜的描述。圖9-2所示為STFT的連續(xù)重疊加窗示意圖。該方法假定在一個(gè)有限的時(shí)窗w(t)內(nèi)信號(hào)是穩(wěn)態(tài)的．若時(shí)窗相當(dāng)短，則假定應(yīng)是成立的。將這些變換結(jié)果按時(shí)間順序排列在時(shí)間軸上就得到了信號(hào)的時(shí)頻描述(分布)，這種描述稱之為信號(hào)的“頻圖”12/19/20228下圖a所示為一白噪聲信號(hào)中夾雜一個(gè)脈沖信12/19/2022912/16/20229圖2STFT滑動(dòng)示意圖12/19/202210圖2STFT滑動(dòng)示意圖12/16/202210

這樣，就可以在時(shí)頻表面得到一個(gè)信號(hào)能量的三維分布。這種分布類似于功率譜是信號(hào)能量在頻率軸上的二維分布。這種信號(hào)的分析方法就稱之為信號(hào)的時(shí)頻分析。

12/19/202211這樣，就可以在時(shí)頻表面得到一個(gè)信號(hào)能量的（2）測不準(zhǔn)原理

時(shí)間-帶寬乘積定理，即測不準(zhǔn)原理，是傅立葉變換對(duì)之間互相制約的關(guān)系表述。它在聯(lián)合時(shí)頻分析的討論、抽象及其他方面起著重要的作用。在信號(hào)分析中，測不準(zhǔn)原理就是一個(gè)眾所周知的數(shù)學(xué)事實(shí)：窄波形產(chǎn)生寬頻譜，寬波形產(chǎn)生窄頻譜，時(shí)間波形和頻率頻譜不可能同時(shí)使其任意窄。

12/19/202212（2）測不準(zhǔn)原理時(shí)間-帶寬乘積定理，即

（3）短時(shí)傅立葉變換的特點(diǎn)一方面，為了獲取信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換，把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，但這種間隔是否越細(xì)越好？回答是否定的。因?yàn)樵谧冋揭欢ǔ潭戎?，得到的頻譜就變得沒有意義，而且表明與原信號(hào)的頻譜完全不相符。原因在于把一個(gè)完全好得信號(hào)劃分成短持續(xù)時(shí)間信號(hào)。但是，短持續(xù)時(shí)間信號(hào)有固有的寬頻帶，而這樣的短持續(xù)時(shí)間信號(hào)幾乎與原信號(hào)的特性沒有關(guān)系。另一方面，為了獲取高的頻率分辯率，采用寬時(shí)窗做信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換。但是，加大時(shí)窗寬度是與短時(shí)傅立葉變換的初衷相背的，因?yàn)樗鼇G失非平穩(wěn)信號(hào)中小尺度短信號(hào)的時(shí)間局部信息。12/19/202213（3）短時(shí)傅立葉變換的特點(diǎn)12/16/202213

由此可見，短時(shí)傅立葉變換由于采用固定窗，當(dāng)非平穩(wěn)信號(hào)中所含信號(hào)分量尺度范圍很大時(shí)，采用多大的時(shí)窗寬度都無法正確揭示信號(hào)的時(shí)頻譜，這是由于測不準(zhǔn)原理對(duì)采用固定窗的短時(shí)傅立葉變換方法的制約。

盡管有上述困難，但短時(shí)傅立葉變換方法在許多方面是理想的。它的意義是明確的，基本合理的物理原理，而且對(duì)于許多信號(hào)和情況，它給出了與我們的直觀感知相符的極好的時(shí)頻構(gòu)造。

12/19/202214由此可見，短時(shí)傅立葉變換由于采用固定窗，當(dāng)非平（4）存在問題

“短時(shí)博氏變換”方法雖然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了這種方法在工程中的廣泛應(yīng)用。以下從三個(gè)方面對(duì)其局限性進(jìn)行分析。

12/19/202215（4）存在問題

“短時(shí)博氏變換”

窗函數(shù)選擇的限制對(duì)一個(gè)待定的信號(hào)來說，一個(gè)特定的窗可能比所有其他的窗都更為合適、即具有較好的分析精度。但若一個(gè)信號(hào)是由兩個(gè)信號(hào)構(gòu)成，就有可能每一個(gè)信號(hào)都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很顯然，僅有一個(gè)窗用于這兩個(gè)信號(hào)是很難獲得最佳分析精度的。如圖9-5a所示為一合成信號(hào)．是兩個(gè)頻率分別為64Hz相194Hz的兩個(gè)正弦信號(hào)的合成。圖9-5b是一個(gè)頻率為128Hz的正弦信號(hào)，但有一個(gè)64個(gè)采樣點(diǎn)的間隙。12/19/202216窗函數(shù)選擇的限制對(duì)一個(gè)待定的信號(hào)來說，一個(gè)特12/19/20221712/16/20221712/19/20221812/16/202218

圖9-6、圖9-7均為上述兩個(gè)信號(hào)的STFT分析結(jié)果，其中圖a為窗函數(shù)具有128個(gè)采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果，圖b為窗函數(shù)具有32個(gè)采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果。由分析結(jié)果可見．當(dāng)窗函數(shù)的寬度較大．為128個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，對(duì)圖9-5a所示的兩個(gè)正弦信號(hào)的合成信號(hào)具有較好的頻域分辨率，即頻域分析精度較高，但時(shí)域分辨率較差。12/19/202219圖9-6、圖9-7均為上述兩個(gè)信號(hào)的STFT

當(dāng)窗函數(shù)的寬度較小，為32個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，對(duì)圖9-5b所示的具有間隙的單一頻率正弦信號(hào)來說，其分析結(jié)果具有較好的時(shí)域分辨率，即具有較好的時(shí)域分析精度，但頻域精度較差。由此可見，STFT方法的窗函數(shù)寬度對(duì)分析結(jié)果至關(guān)重要．而且時(shí)域與頻域的精度不可能都為最佳。

12/19/202220當(dāng)窗函數(shù)的寬度較小，為32個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的選擇將會(huì)直接影響時(shí)域或頻域的精度。為改進(jìn)時(shí)域精度可以選擇一個(gè)較短的窗，但是短窗將會(huì)導(dǎo)致傅氏變換計(jì)算時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)目的減少，因此，頻域中離散頻率數(shù)也將減少，從而引起頻域精度的降低。

12/19/202221STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的

可以證明時(shí)域精度的提高將以損失頻域精度為代價(jià)，而提高頻域精度將以損失時(shí)域精度為代價(jià)，二者不可兼得。對(duì)STFT來說．重要的是窗函數(shù)一經(jīng)選定，則時(shí)頻精度在整個(gè)時(shí)頻表面都是固定的，因?yàn)橥粋€(gè)窗函數(shù)將被用于信號(hào)中所有頻率。所以STFT的窗函數(shù)對(duì)時(shí)頻分析是剛性的。12/19/202222可以證明時(shí)域精度的提高將以損失頻域精度

如果一個(gè)信號(hào)是由一些小的脈沖與較長的偽穩(wěn)態(tài)成份所組成，則每一個(gè)信號(hào)組成部分可以有較好的時(shí)域或頻域分析精度，但并不是二者兼有。對(duì)STFT分析來說．一般認(rèn)為Gaussian窗函數(shù)是最佳選擇。當(dāng)合成信號(hào)較為簡單且變換參數(shù)選取合理，STFT也可有較好的分析結(jié)果。下圖為其分析結(jié)果。12/19/202223如果一個(gè)信號(hào)是由一些小的脈沖與較長的12/19/20222412/16/20222412/19/20222512/16/2022252、小波分析（1）從傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換如前所述，傅里葉變換可以將時(shí)域信號(hào)變換到頻域中的譜。就振動(dòng)分析來說，各頻段的譜分量可以告訴我們信號(hào)的各個(gè)組成部分，表征著信號(hào)的不同來源和不同特征。FFT算法和現(xiàn)代譜理論的發(fā)展使得信號(hào)譜估計(jì)可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測信號(hào)的實(shí)時(shí)分析。頻譜估計(jì)現(xiàn)已成為信號(hào)分析與處理領(lǐng)域中十分重要的特征分析工具。傅里葉變換的不足之處在于它只適用于穩(wěn)態(tài)信號(hào)分析，而非穩(wěn)態(tài)信號(hào)在工程領(lǐng)域中是廣泛存在的，另外，非穩(wěn)態(tài)信號(hào)很可能在一個(gè)短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對(duì)整個(gè)頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號(hào)的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。12/19/2022262、小波分析（1）從傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換12/也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號(hào)的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號(hào)很難用傅氏變換進(jìn)行分析。

由此采用了“短時(shí)傅立葉變換”來對(duì)非穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析。窗函數(shù)w(t)在整個(gè)信號(hào)上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號(hào)頻譜的描述。在時(shí)頻面上構(gòu)建了三維譜圖。（2）從短時(shí)傅里葉變換到小波變換但短時(shí)傅立葉變換的主要缺陷是：對(duì)所有的頻率都用同一個(gè)窗，使得分析的分辨率在時(shí)間-頻率平面的所有局部都相同，如下圖所示。如果在信號(hào)內(nèi)有短時(shí)（相對(duì)于時(shí)窗）、高頻成分、那么短時(shí)12/19/202227也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．傅立葉變化就不是非常有效了?？s小時(shí)窗（選取更集中的窗函數(shù)）、縮小采樣步長固然可以獲得更多的信息，但是受到測不準(zhǔn)原理的約束，在時(shí)間和頻率上均有任意高分辨率是不可能的。12/19/202228傅立葉變化就不是非常有效了?？s小時(shí)窗（選取更集中的窗函數(shù)）、

在信號(hào)分析中，為能精確地得到高頻信息。采樣間隔應(yīng)相對(duì)的小些；而為了完整地得到低頻信息。采樣間隔應(yīng)相對(duì)地大些。換言之，重要的是需要一個(gè)“柔性”時(shí)頻窗、其在較高的頻率處時(shí)域窗可以自動(dòng)地變窄，而在較低的頻率處時(shí)域窗又可以自動(dòng)地變寬。見下圖所示。而某些所謂“基本小波”的積分變換(IntegralWaveletTransform)便正具有這種所需的細(xì)化功能。因此，小波分析是目前信號(hào)分析中一種十分有用的時(shí)頻局部化分析方法。12/19/202229在信號(hào)分析中，為能精確地得到高頻信息。采

小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)的小波函數(shù)替代短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。也就是說小波變換在時(shí)頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨（率）分析方法。其目的是“既要看到森林（信號(hào)的概貌），又要看到樹木（信號(hào)的細(xì)節(jié)）”，因此，它又稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。它是將信號(hào)交織在一起的多種尺度成分分開，并能對(duì)大小不同的尺度成分采用粗細(xì)的時(shí)域或空域采樣步長，從而能夠不斷地聚焦到對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。這就是小波優(yōu)于短時(shí)傅立葉變換的地方。（3）小波分析發(fā)展簡介12/19/202230小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)的

小波分析作為一門新的學(xué)科分支目前正在眾多研究領(lǐng)域掀起研究熱潮。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、它被認(rèn)為是調(diào)和分析近半個(gè)世紀(jì)的工作結(jié)晶．能夠壓縮奇異積分算子，求解偏微分方程．構(gòu)造近似慣性流形并被廣泛用于逼近論；在量子力學(xué)中，一個(gè)量子場的基于正交小波基的相細(xì)胞簇的展開具有一系列良好的性質(zhì)，為研究量子場結(jié)構(gòu)提供了新方法，在流體力學(xué)中，它被用來模擬湍流的流動(dòng)．得到湍流流動(dòng)的某些分解；在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域，小波與多分辯率濾波、正交景象濾波以及分波段編碼等緊密聯(lián)系，在數(shù)據(jù)壓縮編碼、持征提取等方面取得了重要進(jìn)展；小波分析也為計(jì)算機(jī)視覺處理提供了新的模型．在圖象的壓縮、邊緣檢測和紋理識(shí)別等方面發(fā)揮著重要的作用、對(duì)自相似過程和分形信號(hào)的研究，小波方法也提供了強(qiáng)有力的工具。小波分析可以認(rèn)為是Fourier分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。12/19/202231小波分析作為一門新的學(xué)科分支目前正在眾多

小波分析的歷史可以追朔到本世紀(jì)中葉。在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，Calderon于1964年在調(diào)和分析中的恒等算子分解理論。物理學(xué)中Aslaken和Calland于1968年在量子力學(xué)對(duì)仿射群所構(gòu)造的凝聚態(tài)，以及在工程界Esterban和Calland于1977年提出的QMF濾子都涉及到小波分析。1983年法國地質(zhì)學(xué)家J．Morlet在處理地質(zhì)資料時(shí)偶然中又重新發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的工作。隨后，理論物理學(xué)家A.Grossmann：和數(shù)學(xué)家Y.Meyer等在理論上對(duì)小波分析做了一系列深入研究，將Morlet的想法作了出色的數(shù)學(xué)描述，大大豐富了調(diào)和分析的內(nèi)容。12/19/202232小波分析的歷史可以追朔到本世紀(jì)中葉。在

90年代初期，在信號(hào)處理界I.Daubechies和S.mallat最先注意到小波分析在信號(hào)分析領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景，并作出開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，發(fā)展了快速算法．使小波分析的研究者在不同學(xué)科間搭起橋梁。在他們的推動(dòng)下小波分析在信號(hào)處理、圖象處理等很多方面獲得應(yīng)用。1987年在法國召開了第一屆小波分析的國際會(huì)議，之后有關(guān)小波分析的會(huì)議和論文如雨后春筍此起彼伏．人們稱之為“小波熱潮”，我國也于1992年在武漢大學(xué)召開了“中法首屆小波分析研討會(huì)”。12/19/20223390年代初期，在信號(hào)處理界I.Daub①連續(xù)小波變換

根據(jù)小波的計(jì)算和表達(dá)式形式，其可分為各種形式。而連續(xù)小波（ContinuousWaveletTransform-CWT）則定義為：如果基本小波滿足“相容性”條件（1）12/19/202234①連續(xù)小波變換

根據(jù)小波的計(jì)算和表達(dá)式形式，其可分

式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏變換（母小波），參數(shù)a稱為尺度因子（尺度與頻率是相關(guān)聯(lián)的，可以認(rèn)為尺度的倒數(shù)1/a與頻率具有正比關(guān)系），b為時(shí)移因子、而（Wf)(b，a)則稱為小波變換系數(shù)。信號(hào)的連續(xù)小波變換所提供的信息是高度冗余的，適合于諸如濾波這些對(duì)頻率分解要求比較高的場合。連續(xù)小波變換的物理意義可簡述為通過變換，將二維的時(shí)間信號(hào)變換到由尺度因子、時(shí)間因子和小波變換系數(shù)所決定的立體空間（如下圖）。以獲得更多、更清晰的信號(hào)的信息量。由伸縮與頻移構(gòu)成L2（R）的規(guī)范正交基。12/19/202235式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏變

小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。常常決定于實(shí)際應(yīng)用函數(shù)是因?yàn)樵趲缀涡螒B(tài)上小波函數(shù)一般都具有以下兩個(gè)特征：必須是振蕩函數(shù)；必須是迅速收斂的函數(shù)。下圖a所示正弦函數(shù)振蕩但不收斂。因此不是小波函數(shù)。下圖b所示函數(shù)迅速收斂但不振蕩，因此也12/19/202236小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。不是小波函數(shù)。下一頁圖所示為幾種常見的小波函數(shù)。圖兩種函數(shù)（a）正弦函數(shù)，（b）迅速收斂的函數(shù)12/19/202237不是小波函數(shù)。下一頁圖所示為幾種常見的小波函數(shù)。圖

圖幾種常見的小波函數(shù)

a)Lemarie小波，b)具有20個(gè)系數(shù)的Danbechies小波，c)具有4個(gè)系數(shù)的Danbechies小波，d)Morlet小波

小波變換式中的小波集b、a(f)可由一個(gè)基本小波經(jīng)尺度平移和時(shí)間平移而得到尺度因子a和時(shí)移因子b的不同會(huì)給小波函數(shù)的幾何形態(tài)帶來很大的變化。下圖為因子a、b取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)。12/19/202238圖幾種常見的小波函數(shù)

a)Lemarie小波，b)具尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)12/19/202239尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)12/1小波變換利用小波在不同的

時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察

12/19/202240小波變換利用小波在不同的

時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察12②連續(xù)小波變換的時(shí)頻窗的精度

基本小波可以看作是一個(gè)窗函數(shù)。連續(xù)小波變換可由如下的時(shí)間窗得到信號(hào)f（t）時(shí)域局部信息[at*+b-aw，at*+b+aw]

其窗函數(shù)中心為at*+b，其半徑為aw。這個(gè)時(shí)域窗相對(duì)于較小的a值變窄，而相對(duì)于較大的a值變寬。類似的在頻域中，小波函數(shù)的中心和半徑分別由*和來定義。應(yīng)用帕斯維爾定理來定義連續(xù)小波變換的頻域窗為：[*/a-/a，*/a+/a]12/19/202241②連續(xù)小波變換的時(shí)頻窗的精度基本小波可若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是

現(xiàn)在若at*被看作是時(shí)間變量，而*／a被看作是頻率變量，則在時(shí)頻表面我們已經(jīng)具有矩形的時(shí)頻窗[at*+b-aw，at*+b+aw][*/a-/a，*/a+/a]顯然，該比值與尺度因子a無關(guān)。因此，連續(xù)小波變換可被視為由上式給定通帶的自適應(yīng)帶通濾波器，其頻率變量可由與1／a的常數(shù)的乘積得到。值得注意的是該濾波器具有其中心頻率與帶寬之比與中心頻率的位置無關(guān)的特性。12/19/202242若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是

該窗的寬度為2a，高度為2/a(圖10-5)。所以，在時(shí)域中對(duì)于高頻信號(hào)(即較小a值)，這種窗可自動(dòng)變窄以達(dá)到較好的檢測效果，而對(duì)于低頻現(xiàn)象(即較大的a值)則可自動(dòng)變寬，仍具有較好的檢測效果。而在頻域，窗寬度的變化正好相反，因而同樣具有較好的檢測效果，即對(duì)高頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變寬的，而對(duì)低頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變窄的。正是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有這種“柔性”窗，才使其在時(shí)域和頻域同時(shí)良好的局部化特性，因而對(duì)信號(hào)具有良好的檢測能力。12/19/202243該窗的寬度為2a，高度為2/a(圖10-12/19/20224412/16/202244圖10-6從另一角度說明了上述小波變換的時(shí)頻窗的柔性性質(zhì)。圖b所示STFT的時(shí)域窗相對(duì)于其時(shí)移參數(shù)t0的窗寬度t是等寬的。而連續(xù)小波變換(CWT)的時(shí)域窗(圖a)相對(duì)于其時(shí)移參數(shù)t0的窗寬度卻是三角形的，隨著尺度參數(shù)a的增大而變寬。a值的增大意味著頻率f的減小，即CWT的時(shí)域窗對(duì)于頻率變化緩慢的時(shí)間信號(hào)具有放大窗寬度的性能，因此可以更好地檢測緩變信號(hào)。

12/19/202245圖10-6從另一角度說明了上述小波變換的時(shí)頻窗的柔性性質(zhì)。圖在頻域，如圖d所示，STFT的頻域窗的寬度f相對(duì)于各中心頻率是等寬的，而CWT的窗寬度(圖c)卻是隨中心頻率按對(duì)數(shù)形式變化，即相對(duì)于低頻信號(hào)，窗寬度較窄、而相對(duì)于高頻信號(hào)，窗寬度變寬。這恰好符合低頻信號(hào)需要較窄的頻域窗而高頻信號(hào)需要較寬的頻域窗以提高頻域分辨率的要求。12/19/202246在頻域，如圖d所示，STFT的頻域窗的寬度f相對(duì)于各中若將STFT和小波變換（WT）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如下圖所示：12/19/202247若將STFT和小波變換（WT）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如③信號(hào)f（t）的重構(gòu)

若信號(hào)f（t）是連續(xù)的，且滿足一定條件，我們可以利用小波變換系數(shù)來重構(gòu)任何能量有限的信號(hào)f（t）（2）式與（1）式就構(gòu)成了一個(gè)連續(xù)小波變換對(duì)。類似于STFT的分析結(jié)果，小波變換的結(jié)果也在三維空間進(jìn)行描述。這是因?yàn)檫B續(xù)小波變換在變換中沒有能量泄露，保存了信號(hào)的能量（2）12/19/202248③信號(hào)f（t）的重構(gòu)

若信號(hào)f（t）是連續(xù)的，且滿式中Ex為信號(hào)能量。這就導(dǎo)致我們可以用小波變換系數(shù)的模的平方來進(jìn)行小波變換結(jié)果的三維描述，它是信號(hào)在時(shí)頻表面的三維分布。與STFT所不同的是，此處信號(hào)的能量是以多重分析精度的形式在時(shí)頻表面進(jìn)行分布的。

如同傅里葉變換結(jié)果可以表示為幅頻特性和相頻特性一樣，小波變換的結(jié)果——小波變換系數(shù)（Wf）（b，a）也可以用幅值和相位加以表示。下圖即為一個(gè)矩形信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值、相位和實(shí)部表示。12/19/202249式中Ex為信號(hào)能量。這就導(dǎo)致我們可以用小波變換系數(shù)的12/19/20225012/16/202250④小波分析與其他時(shí)頻分析的比較

這里給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例．以作為小波分析方法和時(shí)頻分析方法結(jié)果的比較。合成信號(hào)的分析如前圖所示的合成信號(hào)，由于STFT方法對(duì)同一寬度的窗來說不可能同時(shí)具有較好的時(shí)域和頻域分析精度，因而就不可能同時(shí)具有較好的分時(shí)和分頻特性，這也是STFT方法的主要缺陷。下圖為同一合成信號(hào)的小波變換結(jié)果。由圖可見、無論是小波變換系數(shù)的幅值還是相位都同時(shí)具有良好的分時(shí)和分頻特性。即同時(shí)具有良好的時(shí)域和頻域分析精度。12/19/202251④小波分析與其他時(shí)頻分析的比較

這里給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)合成信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值及相位(a)兩正弦信號(hào)的合成信號(hào)的幅值和相位，(b)具有間隙的信號(hào)的幅值和相位12/19/202252合成信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值及相位12/16/202252心電圖信號(hào)的分析

晚期心肌梗塞病人的室性心動(dòng)過速經(jīng)常導(dǎo)致病人的突然死亡。檢查是否有室性心動(dòng)過速癥狀的主要手段目前仍然是心電圖。在心電圖上是否有這種癥狀主要是表現(xiàn)在QRS組波的尾部(圖一)，但即使是使用高分辨率的心電圖，也很難對(duì)其進(jìn)行確認(rèn)。在本例中對(duì)高分辨率的心電圖信號(hào)進(jìn)行了Wignar變換和小波變換，以探索在心電圖信號(hào)中識(shí)別室性心動(dòng)過速的方法。

12/19/202253心電圖信號(hào)的分析晚期心肌梗塞病人的室性首先對(duì)高分辨率的心電圖信號(hào)以1000Hz的采樣頻率進(jìn)行采樣，采樣時(shí)間是800ms，然后僅對(duì)QRS組波(150個(gè)采樣點(diǎn))進(jìn)行Wignar變換和小波變換。12/19/202254首先對(duì)高分辨率的心電圖信號(hào)以1000Hz的采樣頻率

前者又分為兩種，一種是通常的Wignar變換，一種是為了盡可能消除分析中的干涉項(xiàng)而加了漢寧窗的Wignar變換(窗寬度為61個(gè)采樣點(diǎn))。具有室性心動(dòng)過速和不具有這種癥狀的晚期心肌梗塞病人的兩種心電圖信號(hào)的兩種Wignar變換的結(jié)果分別見下圖（a、b），其中右側(cè)圖形為具有室性心動(dòng)過速癥狀的分析結(jié)果。由圖可見．無論是否具有這種癥狀，兩種Wignar變換的結(jié)果都表現(xiàn)出在時(shí)頻表面上的低頻部分(圖中v表示頻率)積聚著較大的能量，且?guī)缀涡螒B(tài)相差不大，只是在較高頻部分能量積聚的形態(tài)有一些差別。因此，是否有室性心動(dòng)過速只能根據(jù)較高頻部分的能量積聚形態(tài)加以判斷。采用Morlet小波的小波變換的結(jié)果見下圖c，可以看出變換結(jié)果相差很大。所以，在對(duì)于室性心動(dòng)過速的心電圖信號(hào)的識(shí)別問題來說，小波變換相對(duì)于Wignar變換具有更大的優(yōu)越性。12/19/202255前者又分為兩種，一種是通常的Wign有室性心動(dòng)過速(右側(cè)圖形)和不具有室性心動(dòng)過速的心電因分析結(jié)果12/19/202256有室性心動(dòng)過速(右側(cè)圖形)和不具有室性心動(dòng)過速的心電因分析結(jié)12/19/20225712/16/202257

頻域/時(shí)域緊支集信號(hào)（帶限/時(shí)限信號(hào)）是實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一類信號(hào)。緊支集正交小波性質(zhì)：（1）局部性（2）正交性（3）振蕩性定義：記f（t1，t2，---tm）F（1，

2，---

m）為一對(duì)付氏變化，若F（1，

2，---

m）=0，（1，

2，---

m）V則稱f（t1，t2，---tm）為頻域緊支集信號(hào)，稱V為支撐集12/19/202258頻域/時(shí)域緊支集信號(hào)（帶限/時(shí)限信號(hào)）是3、離散小波變換及其應(yīng)用

小波變換在使用中是由離散小波變換(DiscreteWaveletTransform—DWT)來完成的。（1）小波分解為清楚理解離散小波變換的實(shí)現(xiàn)過程、首先研究一個(gè)簡單的信號(hào)是怎樣實(shí)現(xiàn)小波分解的。下圖1給出了一個(gè)信號(hào)是如何分解成為其小波成分的。該信號(hào)為一方波信號(hào)，具有兩個(gè)周期。在方波圖形下面，是通過小波分解而得到的方波信號(hào)的八個(gè)“次信號(hào)”。由于后面將要解釋的原因，每一個(gè)小波成分在被稱之為“水平”的參數(shù)上加以描述，且水平數(shù)是從-1開始增大的。在本例中，-1水平和0水平中的數(shù)值都為零，但并不是每一種情況下都是如此。12/19/2022593、離散小波變換及其應(yīng)用小波變換在使圖1將小波f（r）（r=1~128）分解為D4小波分量12/19/202260圖1將小波f（r）（r=1~128）分解為D4小波

當(dāng)每一個(gè)分解的小波水平都被加起來時(shí)，就重新獲得了原始信號(hào)(圖2)。左上角所示為僅有-1水平的情景，然后是每一水平順序相加的情景，最后是重新獲得了原始信號(hào)的情景。此處關(guān)心的是離散小波變換(DWT)，且假定信號(hào)的采樣間隔是等寬的。在圖1中方波f（r）的取值范圍是r＝1~128。在DWT中N決定了水平數(shù)的多少?？梢钥闯?，當(dāng)N＝2n時(shí)，共有n+1個(gè)水平，故當(dāng)N＝128＝27時(shí)，在圖1中共有8個(gè)水平。被分解信號(hào)的小波成分的形狀取決于基本小波的形狀。如前所述，有不少基本小波可供選擇，但只有很少一部分能滿足精確分解且每一個(gè)分解都是彼此正交的條件。12/19/202261當(dāng)每一個(gè)分解的小波水平都被加起來時(shí)，就重圖2從D4小波分量重構(gòu)方波信號(hào)12/19/202262圖2從D4小波分量重構(gòu)方波信號(hào)12/16/202262

雖然已有很多數(shù)值算法用于小波變換，但一般的算法都是基于正交小波的，因而此處僅考慮正交小波。決定了使用那種小波，則這種小波就成為信號(hào)分解的基本小波，從而也就決定了重構(gòu)信號(hào)的小波成分的形狀。在以上兩圖中使用了D4小波(即具有4個(gè)系數(shù)的Daubechies小波)，圖3的最上端圖形即為D4小波?？疾煸趫D1中位于3水平尺度中的D4小波，注意到該水平所示尺度的小波僅占據(jù)被分解信號(hào)的一部分。為覆蓋整個(gè)信號(hào)就必須增添更多的小波。在3水平，共有23=8個(gè)小波沿水平軸等間距分布。每一個(gè)小波占據(jù)128／8=16個(gè)間距。圖3的第二個(gè)圖形為三個(gè)相互疊加的D4小波，在第三個(gè)圖形中是其疊加后的結(jié)果。最后一個(gè)圖形所示為該尺度的8個(gè)迭加后的D4小波。12/19/202263雖然已有很多數(shù)值算法用于小波變換，但一圖3

在3水平

所示尺度中的D4小波12/19/202264圖3

在3水平

所示尺度中的D4小波12/1

在更高的尺度（對(duì)應(yīng)于圖1中的4水平）共有16個(gè)相距為8個(gè)間距的小波，在5水平共有32個(gè)相距為4個(gè)間距的小波，在最高的6水平共有64個(gè)相距為2個(gè)間距的小波。而在尺度減小的方向。在2水平共有4個(gè)相距為32個(gè)間距的小波。在1水平共有2個(gè)相距為64個(gè)間距的小波。0水平僅有一個(gè)小波．-1水平?jīng)]有小波僅是一個(gè)常數(shù)水平。每一個(gè)沿著水平軸分布與擴(kuò)展的小波都取決于小波變換的結(jié)構(gòu)，僅是每一個(gè)小波的縱向尺寸可以被改變，這一點(diǎn)可以被數(shù)列a（r）（r=1-128）的對(duì)應(yīng)項(xiàng)所決定。小波變換的目標(biāo)是選擇一個(gè)原始數(shù)據(jù)序列f（r）（r=1-128）以代表規(guī)定長度的輸入信號(hào)，并將這個(gè)序列轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的實(shí)數(shù)序列a（r）（r=1-128）。12/19/202265在更高的尺度（對(duì)應(yīng)于圖1中的4水平）

這個(gè)序列定義了在某個(gè)水平尺度和位置的小波的垂直尺寸，而且若將所有小波相加起來能夠一點(diǎn)不差的重構(gòu)原始信號(hào)。原始序列（必須等于2的冪次方)越長，在轉(zhuǎn)換中就需要越多的水平。

對(duì)于給定的時(shí)間長度、增加采樣點(diǎn)的數(shù)量就意味著增大了描述細(xì)節(jié)的能力。轉(zhuǎn)換中最高的水平就刻畫了這種細(xì)節(jié)。方波中陡降的邊緣對(duì)應(yīng)于分解中較小尺度的小波。使用小波變換中的局部最大化以探測邊緣也是一個(gè)逐漸增長的應(yīng)用領(lǐng)域。12/19/202266這個(gè)序列定義了在某個(gè)水平尺度和位置的小波的垂

就目前的研究水平而言，最成功的算法是馬拉特（Mallat）算法，該算法利用小波的正交性導(dǎo)出各系數(shù)矩陣的正交關(guān)系，從高級(jí)到低級(jí)逐級(jí)濾去信號(hào)中的各級(jí)小波。12/19/202267就目前的研究水平而言，最成功的算法是馬拉特（M

我們采用下圖并結(jié)合上面的小波分解式來介紹馬拉特算法主要思想。12/19/202268我們采用下圖并結(jié)合上面的小波分解式來介紹馬拉（a）Mallat算法分解過程（b）Mallat算法的頻帶劃分

圖Mallat算法過程示意圖Mallat算法的過程是：先將原信號(hào)分解成其逼近信號(hào)1和細(xì)節(jié)信號(hào)（即小波分量）1，再將逼近信號(hào)互分解成其逼近信號(hào)2和細(xì)節(jié)信號(hào)2，再將逼近信號(hào)2分解……如此下去，即可得到原信號(hào)的所有小波分量，如下圖a所示。其中逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)分別對(duì)應(yīng)被分解信號(hào)的低頻成分和高頻成分，低頻和高頻的劃分采用等分形式，如下圖b所示。以上過程是用迭代方法實(shí)現(xiàn)的。

12/19/202269（a）Mallat算法分解過程（b）Mallat算

馬拉特算法不直接計(jì)算積分表達(dá)式，而是利用小波函數(shù)族的正交性，從高級(jí)到低級(jí)濾出信號(hào)中的各級(jí)小波。馬拉特算法概念清楚、計(jì)算簡便，其在小波分析中的地位，相當(dāng)于傅里葉分析中FFT算法。12/19/202270馬拉特算法不直接計(jì)算積分表達(dá)式，而是

4、小波包分解前圖中的陰影部分表示在對(duì)信號(hào)實(shí)施小波分解后，用于分析的各級(jí)小波的頻段?？梢钥吹降皖l時(shí)頻窗窄，頻率分辨率高；高頻時(shí)頻窗寬，頻率分辨率低，這符合普通的原則。但對(duì)某些特定的信號(hào)，人們感興趣的可能只是某一個(gè)或幾個(gè)特殊的頻段，并要求對(duì)這些特殊頻段的分析足夠精細(xì)，這些頻段的頻率可能是相對(duì)高的。對(duì)這類問題，小波分解就顯得有所欠缺了。12/19/2022714、小波包分解12/16/202271

小波包分解是比小波分解更精細(xì)的一種分解，其不同之處是對(duì)濾出的高頻部分也同樣施行分解，并可一直進(jìn)行下去，這種分解在高頻段和低頻段都可達(dá)到很精細(xì)的程度，如上圖所示。信號(hào)經(jīng)圖示的分解后形成若干大大小小的“包”，圖中陰影部分則表示用于分析的各個(gè)包的頻段。根據(jù)需要分析的信號(hào)頻段，我們可以適當(dāng)選取不同大小的包來部分復(fù)原原始信號(hào)。對(duì)于部分信號(hào)分析問題來說，人們所關(guān)心的主要特征可能只體現(xiàn)在某一個(gè)或幾個(gè)包上，因此可以只注意這幾個(gè)包，這在故障診斷技術(shù)中是非常有用的。12/19/202272小波包分解是比小波分解更精細(xì)的一種分解，其

在正交小波分解過程中，只對(duì)信號(hào)的低頻成分進(jìn)行了遞推分解，信號(hào)的高頻成分沒有進(jìn)行進(jìn)一步分解，導(dǎo)致高頻成分的分辯率較低，表現(xiàn)為頻率越高，小波分量頻帶越寬。

小波包分解與正交分解非常類似，只是對(duì)信號(hào)的高頻成分實(shí)施了與低頻成分相同的進(jìn)一步分解。每次分解相當(dāng)于進(jìn)行低通濾波和高通濾波，進(jìn)一步分解出低頻和高頻兩部分，這樣一直進(jìn)行下去，使低頻和高頻成分都達(dá)到很精細(xì)的程度。如下圖所示。12/19/202273在正交小波分解過程中，只對(duì)信號(hào)的低頻成分進(jìn)行12/19/20227412/16/202274（1）基于小波或小波包分解的狀態(tài)監(jiān)測

如前所述，傅里葉分析的理論基礎(chǔ)是待分析信號(hào)的平穩(wěn)性。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，傅里葉分析可能給出虛假的結(jié)果，從而導(dǎo)致故障的誤診斷。對(duì)設(shè)備故障診斷問題來說，由于以下原因，使傅里葉分析的應(yīng)用受到限制。1）由于機(jī)器轉(zhuǎn)速不穩(wěn)、負(fù)荷變化以及機(jī)器故障等原因產(chǎn)生的沖擊、摩擦導(dǎo)致非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)的產(chǎn)生。2）由于機(jī)器各零部件的結(jié)構(gòu)不同，致使振動(dòng)信號(hào)所包含的不同零部件的故障頻率分布在不同的頻道范圍內(nèi)。特別是當(dāng)機(jī)器隱藏有某一零部件的早期微弱缺陷時(shí)，它的缺陷信息被其它零部件的振動(dòng)信號(hào)和隨機(jī)噪聲所淹沒。12/19/202275（1）基于小波或小波包分解的狀態(tài)監(jiān)測

如前所述，傅

對(duì)于這類問題，小波分析方法具有無可比擬的優(yōu)點(diǎn)。由于小波分解尤其是小波包分解技術(shù)能夠?qū)⑷魏涡盘?hào)（平穩(wěn)或非平穩(wěn)）分解到一個(gè)由小波伸縮而成的基函數(shù)族上，信息量完整無缺，在通頻范圍內(nèi)得到分布在不同頻道內(nèi)的分解序列，在時(shí)域和頻域均具有局部化的分析功能。因此，可根據(jù)狀態(tài)監(jiān)測的需要選取包含所需零部件故障信息的頻道序列，進(jìn)行深層信息處理以查找機(jī)器故障源。近年來，小波分析技術(shù)在齒輪箱故障診斷、顫振分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用。12/19/202276對(duì)于這類問題，小波分析方法具有無可比小波分析的應(yīng)用舉例：

[例1]：小波分析對(duì)微弱信號(hào)的識(shí)別。利用小波分解能夠?qū)⑿盘?hào)中的微弱信號(hào)分離和識(shí)別出來，如下圖。12/19/202277小波分析的應(yīng)用舉例：

[例1]：小波分析對(duì)微弱12/19/20227812/16/202278

[例2]：小波去噪。如果信號(hào)中混有白噪聲，可以用小波變換去噪，依據(jù)是：用小波分解將信號(hào)分解成小波分量，其中主要成分為白噪聲的小波分量與其他小波分量有明顯不同的特征，將滿足這些特征的小波分量去掉，然后重構(gòu)信號(hào)，就能對(duì)原信號(hào)消噪，如下圖所示。其中s是原信號(hào)，d1~d5是小波分量，s*是除噪后的信號(hào)，d1可以認(rèn)為是白噪聲小波分析。最后需要指出的是，這里只介紹了一維小波變換，還有二維小波變換、高維小波變換。利用二維小波變換可以對(duì)圖象進(jìn)行處理，如進(jìn)行壓縮、細(xì)化、提取特征等。12/19/202279[例2]：小波去噪。如果信號(hào)中混有白噪聲，可以用小波變12/19/20228012/16/2022801.3.7信號(hào)的時(shí)頻分析

時(shí)頻分析的基本任務(wù)是建立一個(gè)函數(shù)，要求這個(gè)函數(shù)不僅能夠同時(shí)用時(shí)間和頻率描述信號(hào)的能量分布密度，還能夠以同樣的方式來計(jì)算信號(hào)的其他特征量。這里只是簡單介紹當(dāng)前廣泛采用的時(shí)頻分析方法：短時(shí)傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）及時(shí)頻分析的一些應(yīng)用。12/19/2022811.3.7信號(hào)的時(shí)頻分析時(shí)頻分析的基1、短時(shí)傅里葉變換

（1）短時(shí)傅立葉變換原理短時(shí)傅立葉變換是研究非平穩(wěn)信號(hào)最廣泛使用的方法。假定我們聽一段持續(xù)時(shí)間為1h的音樂，在開始時(shí)是有小提琴，而在結(jié)束時(shí)有鼓。如果用傅立葉變換分析整個(gè)1h的音樂，傅立葉頻譜將表明對(duì)應(yīng)小提琴和鼓的頻率的峰值。頻譜會(huì)告訴我們有小提琴和鼓，但不會(huì)給我們小提琴和鼓什么時(shí)候演奏的任何表示。最簡單的做法是把1h劃分成每5min一個(gè)間隔，并用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔。在分析每一個(gè)時(shí)間間隔時(shí)，就會(huì)看到小提琴和鼓出現(xiàn)在哪個(gè)5min間隔。如果要求更好的局部化，那就把這1h劃分成1min一個(gè)間隔，甚至更小的時(shí)間間隔，再用傅立葉變換分析每一個(gè)間隔。這就是短時(shí)傅立葉變換的基本思想：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以確定在哪個(gè)時(shí)間間隔存在的頻率，這些頻譜的總體就表現(xiàn)了頻譜在時(shí)間上是怎樣變化的。12/19/2022821、短時(shí)傅里葉變換（1）短時(shí)傅立葉變換原理12/16

為了研究信號(hào)在時(shí)刻t的特性，人們加強(qiáng)在那個(gè)時(shí)刻的信號(hào)而衰減在其它時(shí)刻的信號(hào)。這可以通過用中心在t的窗函數(shù)h（t）乘信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。產(chǎn)生的信號(hào)是：

xt（）=x（）h（-t）改變的信號(hào)是兩個(gè)時(shí)間函數(shù)，即所關(guān)心的固定時(shí)間t和執(zhí)行時(shí)間。窗函數(shù)決定留下的信號(hào)圍繞著時(shí)間t大體上不變，而離開所關(guān)心時(shí)間的信號(hào)衰減了許多倍，也就是

12/19/202283為了研究信號(hào)在時(shí)刻t的特性，人們加強(qiáng)在那個(gè)時(shí)

因?yàn)楦淖兊男盘?hào)加強(qiáng)了圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，而衰減了遠(yuǎn)離時(shí)刻t的信號(hào)，傅立葉變換將反映圍繞著t時(shí)刻的頻譜，即

對(duì)于每一個(gè)不同的時(shí)間，都可以得到一個(gè)不同的頻譜，這些頻譜的總體就是時(shí)頻分布Psp（t，f）。我們關(guān)心的是分析圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，所以選擇一個(gè)圍繞著t具有峰值的窗函數(shù)。這樣就可以在t時(shí)刻附近得到一個(gè)短持續(xù)時(shí)間信號(hào)，其傅立葉方程（上式）叫做短時(shí)傅立葉變換。下式確定的Psp（t，f）函數(shù)曲面圖叫時(shí)頻分布圖。12/19/202284因?yàn)楦淖兊男盘?hào)加強(qiáng)了圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，而下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號(hào)的時(shí)域波形，它清楚地告訴我們鯨魚聲強(qiáng)度或者響度怎樣隨時(shí)間而變化。在主圖下面的曲線是能量譜密度，即傅立葉變換的絕對(duì)值平方。它表明哪些頻率存在，以及它們的相對(duì)強(qiáng)度有多大。

這個(gè)聲音的頻譜告訴我們頻率范圍大約從175Hz到325Hz。這個(gè)信息是有意義而且重要的，但是根據(jù)這個(gè)頻譜告訴無法知道這些頻率什么時(shí)候存在。例如，不可能通過觀察頻譜確切知道300Hz聲音在什么時(shí)候產(chǎn)生，或者產(chǎn)生這個(gè)聲音的總持續(xù)時(shí)間，或產(chǎn)生了多少次。主圖反映了信號(hào)能量的時(shí)間頻率聯(lián)合分布密度，由此就可以確定作為時(shí)間進(jìn)程的強(qiáng)度。這使我們能夠了解各個(gè)時(shí)刻發(fā)生的情況：12/19/202285下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號(hào)的頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時(shí)間內(nèi)線性地增加到大約325Hz，然后停在那里約0.1s的時(shí)間，等等。作為對(duì)300Hz聲音什么時(shí)候出現(xiàn)這個(gè)問題的回答，現(xiàn)在從圖中可以知道在0.6s和1.3s出現(xiàn)兩次。12/19/202286頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時(shí)間

另外，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中許多信號(hào)是暫態(tài)信號(hào)(非穩(wěn)態(tài)信號(hào))、其統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間有關(guān)．如語言信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、超聲波信號(hào)等，這些信號(hào)不滿足傅氏變換所要求的條件。傅立葉變換公式獲得信號(hào)頻譜信息需要無限長的時(shí)間，即不僅需要過去而且需要將來的時(shí)間信號(hào)去估計(jì)一個(gè)單一頻率的頻譜。另外，傅立葉變換式不能反映與時(shí)間變量有關(guān)的頻率信息。除此之外、非穩(wěn)態(tài)信號(hào)很可能在一個(gè)短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對(duì)整個(gè)頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號(hào)的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號(hào)的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號(hào)很難用傅氏變換進(jìn)行分析。12/19/202287另外，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中許多信號(hào)

下圖a所示為一白噪聲信號(hào)中夾雜一個(gè)脈沖信號(hào)。二者分別為典型的穩(wěn)態(tài)信號(hào)和暫態(tài)信號(hào)。該信號(hào)的頻譜如圖b所示。很難在頻譜中看出脈沖信號(hào)的存在，這是因?yàn)榘自肼曅盘?hào)是均勻的寬帶頻譜，而脈沖信號(hào)也具有寬帶特性．只不過是其帶寬取決于脈沖信號(hào)的作用時(shí)間。

可采用“短時(shí)傅立葉變換”來對(duì)暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析。窗函數(shù)w(t)在整個(gè)信號(hào)上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號(hào)頻譜的描述。圖9-2所示為STFT的連續(xù)重疊加窗示意圖。該方法假定在一個(gè)有限的時(shí)窗w(t)內(nèi)信號(hào)是穩(wěn)態(tài)的．若時(shí)窗相當(dāng)短，則假定應(yīng)是成立的。將這些變換結(jié)果按時(shí)間順序排列在時(shí)間軸上就得到了信號(hào)的時(shí)頻描述(分布)，這種描述稱之為信號(hào)的“頻圖”12/19/202288下圖a所示為一白噪聲信號(hào)中夾雜一個(gè)脈沖信12/19/20228912/16/20229圖2STFT滑動(dòng)示意圖12/19/202290圖2STFT滑動(dòng)示意圖12/16/202210

這樣，就可以在時(shí)頻表面得到一個(gè)信號(hào)能量的三維分布。這種分布類似于功率譜是信號(hào)能量在頻率軸上的二維分布。這種信號(hào)的分析方法就稱之為信號(hào)的時(shí)頻分析。

12/19/202291這樣，就可以在時(shí)頻表面得到一個(gè)信號(hào)能量的（2）測不準(zhǔn)原理

時(shí)間-帶寬乘積定理，即測不準(zhǔn)原理，是傅立葉變換對(duì)之間互相制約的關(guān)系表述。它在聯(lián)合時(shí)頻分析的討論、抽象及其他方面起著重要的作用。在信號(hào)分析中，測不準(zhǔn)原理就是一個(gè)眾所周知的數(shù)學(xué)事實(shí)：窄波形產(chǎn)生寬頻譜，寬波形產(chǎn)生窄頻譜，時(shí)間波形和頻率頻譜不可能同時(shí)使其任意窄。

12/19/202292（2）測不準(zhǔn)原理時(shí)間-帶寬乘積定理，即

（3）短時(shí)傅立葉變換的特點(diǎn)一方面，為了獲取信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換，把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，但這種間隔是否越細(xì)越好？回答是否定的。因?yàn)樵谧冋揭欢ǔ潭戎?，得到的頻譜就變得沒有意義，而且表明與原信號(hào)的頻譜完全不相符。原因在于把一個(gè)完全好得信號(hào)劃分成短持續(xù)時(shí)間信號(hào)。但是，短持續(xù)時(shí)間信號(hào)有固有的寬頻帶，而這樣的短持續(xù)時(shí)間信號(hào)幾乎與原信號(hào)的特性沒有關(guān)系。另一方面，為了獲取高的頻率分辯率，采用寬時(shí)窗做信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換。但是，加大時(shí)窗寬度是與短時(shí)傅立葉變換的初衷相背的，因?yàn)樗鼇G失非平穩(wěn)信號(hào)中小尺度短信號(hào)的時(shí)間局部信息。12/19/202293（3）短時(shí)傅立葉變換的特點(diǎn)12/16/202213

由此可見，短時(shí)傅立葉變換由于采用固定窗，當(dāng)非平穩(wěn)信號(hào)中所含信號(hào)分量尺度范圍很大時(shí)，采用多大的時(shí)窗寬度都無法正確揭示信號(hào)的時(shí)頻譜，這是由于測不準(zhǔn)原理對(duì)采用固定窗的短時(shí)傅立葉變換方法的制約。

盡管有上述困難，但短時(shí)傅立葉變換方法在許多方面是理想的。它的意義是明確的，基本合理的物理原理，而且對(duì)于許多信號(hào)和情況，它給出了與我們的直觀感知相符的極好的時(shí)頻構(gòu)造。

12/19/202294由此可見，短時(shí)傅立葉變換由于采用固定窗，當(dāng)非平（4）存在問題

“短時(shí)博氏變換”方法雖然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了這種方法在工程中的廣泛應(yīng)用。以下從三個(gè)方面對(duì)其局限性進(jìn)行分析。

12/19/202295（4）存在問題

“短時(shí)博氏變換”

窗函數(shù)選擇的限制對(duì)一個(gè)待定的信號(hào)來說，一個(gè)特定的窗可能比所有其他的窗都更為合適、即具有較好的分析精度。但若一個(gè)信號(hào)是由兩個(gè)信號(hào)構(gòu)成，就有可能每一個(gè)信號(hào)都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很顯然，僅有一個(gè)窗用于這兩個(gè)信號(hào)是很難獲得最佳分析精度的。如圖9-5a所示為一合成信號(hào)．是兩個(gè)頻率分別為64Hz相194Hz的兩個(gè)正弦信號(hào)的合成。圖9-5b是一個(gè)頻率為128Hz的正弦信號(hào)，但有一個(gè)64個(gè)采樣點(diǎn)的間隙。12/19/202296窗函數(shù)選擇的限制對(duì)一個(gè)待定的信號(hào)來說，一個(gè)特12/19/20229712/16/20221712/19/20229812/16/202218

圖9-6、圖9-7均為上述兩個(gè)信號(hào)的STFT分析結(jié)果，其中圖a為窗函數(shù)具有128個(gè)采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果，圖b為窗函數(shù)具有32個(gè)采樣點(diǎn)寬度的分析結(jié)果。由分析結(jié)果可見．當(dāng)窗函數(shù)的寬度較大．為128個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，對(duì)圖9-5a所示的兩個(gè)正弦信號(hào)的合成信號(hào)具有較好的頻域分辨率，即頻域分析精度較高，但時(shí)域分辨率較差。12/19/202299圖9-6、圖9-7均為上述兩個(gè)信號(hào)的STFT

當(dāng)窗函數(shù)的寬度較小，為32個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，對(duì)圖9-5b所示的具有間隙的單一頻率正弦信號(hào)來說，其分析結(jié)果具有較好的時(shí)域分辨率，即具有較好的時(shí)域分析精度，但頻域精度較差。由此可見，STFT方法的窗函數(shù)寬度對(duì)分析結(jié)果至關(guān)重要．而且時(shí)域與頻域的精度不可能都為最佳。

12/19/2022100當(dāng)窗函數(shù)的寬度較小，為32個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的選擇將會(huì)直接影響時(shí)域或頻域的精度。為改進(jìn)時(shí)域精度可以選擇一個(gè)較短的窗，但是短窗將會(huì)導(dǎo)致傅氏變換計(jì)算時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)目的減少，因此，頻域中離散頻率數(shù)也將減少，從而引起頻域精度的降低。

12/19/2022101STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的

可以證明時(shí)域精度的提高將以損失頻域精度為代價(jià)，而提高頻域精度將以損失時(shí)域精度為代價(jià)，二者不可兼得。對(duì)STFT來說．重要的是窗函數(shù)一經(jīng)選定，則時(shí)頻精度在整個(gè)時(shí)頻表面都是固定的，因?yàn)橥粋€(gè)窗函數(shù)將被用于信號(hào)中所有頻率。所以STFT的窗函數(shù)對(duì)時(shí)頻分析是剛性的。12/19/2022102可以證明時(shí)域精度的提高將以損失頻域精度

如果一個(gè)信號(hào)是由一些小的脈沖與較長的偽穩(wěn)態(tài)成份所組成，則每一個(gè)信號(hào)組成部分可以有較好的時(shí)域或頻域分析精度，但并不是二者兼有。對(duì)STFT分析來說．一般認(rèn)為Gaussian窗函數(shù)是最佳選擇。當(dāng)合成信號(hào)較為簡單且變換參數(shù)選取合理，STFT也可有較好的分析結(jié)果。下圖為其分析結(jié)果。12/19/2022103如果一個(gè)信號(hào)是由一些小的脈沖與較長的12/19/202210412/16/20222412/19/202210512/16/2022252、小波分析（1）從傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換如前所述，傅里葉變換可以將時(shí)域信號(hào)變換到頻域中的譜。就振動(dòng)分析來說，各頻段的譜分量可以告訴我們信號(hào)的各個(gè)組成部分，表征著信號(hào)的不同來源和不同特征。FFT算法和現(xiàn)代譜理論的發(fā)展使得信號(hào)譜估計(jì)可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測信號(hào)的實(shí)時(shí)分析。頻譜估計(jì)現(xiàn)已成為信號(hào)分析與處理領(lǐng)域中十分重要的特征分析工具。傅里葉變換的不足之處在于它只適用于穩(wěn)態(tài)信號(hào)分析，而非穩(wěn)態(tài)信號(hào)在工程領(lǐng)域中是廣泛存在的，另外，非穩(wěn)態(tài)信號(hào)很可能在一個(gè)短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對(duì)整個(gè)頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號(hào)的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。12/19/20221062、小波分析（1）從傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換12/也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號(hào)的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號(hào)很難用傅氏變換進(jìn)行分析。

由此采用了“短時(shí)傅立葉變換”來對(duì)非穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析。窗函數(shù)w(t)在整個(gè)信號(hào)上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號(hào)頻譜的描述。在時(shí)頻面上構(gòu)建了三維譜圖。（2）從短時(shí)傅里葉變換到小波變換但短時(shí)傅立葉變換的主要缺陷是：對(duì)所有的頻率都用同一個(gè)窗，使得分析的分辨率在時(shí)間-頻率平面的所有局部都相同，如下圖所示。如果在信號(hào)內(nèi)有短時(shí)（相對(duì)于時(shí)窗）、高頻成分、那么短時(shí)12/19/2022107也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．傅立葉變化就不是非常有效了?？s小時(shí)窗（選取更集中的窗函數(shù)）、縮小采樣步長固然可以獲得更多的信息，但是受到測不準(zhǔn)原理的約束，在時(shí)間和頻率上均有任意高分辨率是不可能的。12/19/2022108傅立葉變化就不是非常有效了?？s小時(shí)窗（選取更集中的窗函數(shù)）、

在信號(hào)分析中，為能精確地得到高頻信息。采樣間隔應(yīng)相對(duì)的小些；而為了完整地得到低頻信息。采樣間隔應(yīng)相對(duì)地大些。換言之，重要的是需要一個(gè)“柔性”時(shí)頻窗、其在較高的頻率處時(shí)域窗可以自動(dòng)地變窄，而在較低的頻率處時(shí)域窗又可以自動(dòng)地變寬。見下圖所示。而某些所謂“基本小波”的積分變換(IntegralWaveletTransform)便正具有這種所需的細(xì)化功能。因此，小波分析是目前信號(hào)分析中一種十分有用的時(shí)頻局部化分析方法。12/19/2022109在信號(hào)分析中，為能精確地得到高頻信息。采

小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)的小波函數(shù)替代短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。也就是說小波變換在時(shí)頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨（率）分析方法。其目的是“既要看到森林（信號(hào)的概貌），又要看到樹木（信號(hào)的細(xì)節(jié)）”，因此，它又稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。它是將信號(hào)交織在一起的多種尺度成分分開，并能對(duì)大小不同的尺度成分采用粗細(xì)的時(shí)域或空域采樣步長，從而能夠不斷地聚焦到對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。這就是小波優(yōu)于短時(shí)傅立葉變換的地方。（3）小波分析發(fā)展簡介12/19/2022110小波分析其基本思想是采用時(shí)窗寬度可調(diào)的

小波分析作為一門新的學(xué)科分支目前正在眾多研究領(lǐng)域掀起研究熱潮。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、它被認(rèn)為是調(diào)和分析近半個(gè)世紀(jì)的工作結(jié)晶．能夠壓縮奇異積分算子，求解偏微分方程．構(gòu)造近似慣性流形并被廣泛用于逼近論；在量子力學(xué)中，一個(gè)量子場的基于正交小波基的相細(xì)胞簇的展開具有一系列良好的性質(zhì)，為研究量子場結(jié)構(gòu)提供了新方法，在流體力學(xué)中，它被用來模擬湍流的流動(dòng)．得到湍流流動(dòng)的某些分解；在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域，小波與多分辯率濾波、正交景象濾波以及分波段編碼等緊密聯(lián)系，在數(shù)據(jù)壓縮編碼、持征提取等方面取得了重要進(jìn)展；小波分析也為計(jì)算機(jī)視覺處理提供了新的模型．在圖象的壓縮、邊緣檢測和紋理識(shí)別等方面發(fā)揮著重要的作用、對(duì)自相似過程和分形信號(hào)的研究，小波方法也提供了強(qiáng)有力的工具。小波分析可以認(rèn)為是Fourier分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。12/19/2022111小波分析作為一門新的學(xué)科分支目前正在眾多

小波分析的歷史可以追朔到本世紀(jì)中葉。在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，Calderon于1964年在調(diào)和分析中的恒等算子分解理論。物理學(xué)中Aslaken和Calland于1968年在量子力學(xué)對(duì)仿射群所構(gòu)造的凝聚態(tài)，以及在工程界Esterban和Calland于1977年提出的QMF濾子都涉及到小波分析。1983年法國地質(zhì)學(xué)家J．Morlet在處理地質(zhì)資料時(shí)偶然中又重新發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的工作。隨后，理論物理學(xué)家A.Grossmann：和數(shù)學(xué)家Y.Meyer等在理論上對(duì)小波分析做了一系列深入研究，將Morlet的想法作了出色的數(shù)學(xué)描述，大大豐富了調(diào)和分析的內(nèi)容。12/19/2022112小波分析的歷史可以追朔到本世紀(jì)中葉。在

90年代初期，在信號(hào)處理界I.Daubechies和S.mallat最先注意到小波分析在信號(hào)分析領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景，并作出開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，發(fā)展了快速算法．使小波分析的研究者在不同學(xué)科間搭起橋梁。在他們的推動(dòng)下小波分析在信號(hào)處理、圖象處理等很多方面獲得應(yīng)用。1987年在法國召開了第一屆小波分析的國際會(huì)議，之后有關(guān)小波分析的會(huì)議和論文如雨后春筍此起彼伏．人們稱之為“小波熱潮”，我國也于1992年在武漢大學(xué)召開了“中法首屆小波分析研討會(huì)”。12/19/202211390年代初期，在信號(hào)處理界I.Daub①連續(xù)小波變換

根據(jù)小波的計(jì)算和表達(dá)式形式，其可分為各種形式。而連續(xù)小波（ContinuousWaveletTransform-CWT）則定義為：如果基本小波滿足“相容性”條件（1）12/19/2022114①連續(xù)小波變換

根據(jù)小波的計(jì)算和表達(dá)式形式，其可分

式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏變換（母小波），參數(shù)a稱為尺度因子（尺度與頻率是相關(guān)聯(lián)的，可以認(rèn)為尺度的倒數(shù)1/a與頻率具有正比關(guān)系），b為時(shí)移因子、而（Wf)(b，a)則稱為小波變換系數(shù)。信號(hào)的連續(xù)小波變換所提供的信息是高度冗余的，適合于諸如濾波這些對(duì)頻率分解要求比較高的場合。連續(xù)小波變換的物理意義可簡述為通過變換，將二維的時(shí)間信號(hào)變換到由尺度因子、時(shí)間因子和小波變換系數(shù)所決定的立體空間（如下圖）。以獲得更多、更清晰的信號(hào)的信息量。由伸縮與頻移構(gòu)成L2（R）的規(guī)范正交基。12/19/2022115式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏變

小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。常常決定于實(shí)際應(yīng)用函數(shù)是因?yàn)樵趲缀涡螒B(tài)上小波函數(shù)一般都具有以下兩個(gè)特征：必須是振蕩函數(shù)；必須是迅速收斂的函數(shù)。下圖a所示正弦函數(shù)振蕩但不收斂。因此不是小波函數(shù)。下圖b所示函數(shù)迅速收斂但不振蕩，因此也12/19/2022116小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。不是小波函數(shù)。下一頁圖所示為幾種常見的小波函數(shù)。圖兩種函數(shù)（a）正弦函數(shù)，（b）迅速收斂的函數(shù)12/19/2022117不是小波函數(shù)。下一頁圖所示為幾種常見的小波函數(shù)。圖

圖幾種常見的小波函數(shù)

a)Lemarie小波，b)具有20個(gè)系數(shù)的Danbechies小波，c)具有4個(gè)系數(shù)的Danbechies小波，d)Morlet小波

小波變換式中的小波集b、a(f)可由一個(gè)基本小波經(jīng)尺度平移和時(shí)間平移而得到尺度因子a和時(shí)移因子b的不同會(huì)給小波函數(shù)的幾何形態(tài)帶來很大的變化。下圖為因子a、b取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)。12/19/2022118圖幾種常見的小波函數(shù)

a)Lemarie小波，b)具尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)12/19/2022119尺度因子和時(shí)移因子取不同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函數(shù)12/1小波變換利用小波在不同的

時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察

12/19/2022120小波變換利用小波在不同的

時(shí)移和尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察12②連續(xù)小波變換的時(shí)頻窗的精度

基本小波可以看作是一個(gè)窗函數(shù)。連續(xù)小波變換可由如下的時(shí)間窗得到信號(hào)f（t）時(shí)域局部信息[at*+b-aw，at*+b+aw]

其窗函數(shù)中心為at*+b，其半徑為aw。這個(gè)時(shí)域窗相對(duì)于較小的a值變窄，而相對(duì)于較大的a值變寬。類似的在頻域中，小波函數(shù)的中心和半徑分別由*和來定義。應(yīng)用帕斯維爾定理來定義連續(xù)小波變換的頻域窗為：[*/a-/a，*/a+/a]12/19/2022121②連續(xù)小波變換的時(shí)頻窗的精度基本小波可若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是

現(xiàn)在若at*被看作是時(shí)間變量，而*／a被看作是頻率變量，則在時(shí)頻表面我們已經(jīng)具有矩形的時(shí)頻窗[at*+b-aw，at*+b+aw][*/a-/a，*/a+/a]顯然，該比值與尺度因子a無關(guān)。因此，連續(xù)小波變換可被視為由上式給定通帶的自適應(yīng)帶通濾波器，其頻率變量可由與1／a的常數(shù)的乘積得到。值得注意的是該濾波器具有其中心頻率與帶寬之比與中心頻率的位置無關(guān)的特性。12/19/2022122若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是

該窗的寬度為2a，高度為2/a(圖10-5)。所以，在時(shí)域中對(duì)于高頻信號(hào)(即較小a值)，這種窗可自動(dòng)變窄以達(dá)到較好的檢測效果，而對(duì)于低頻現(xiàn)象(即較大的a值)則可自動(dòng)變寬，仍具有較好的檢測效果。而在頻域，窗寬度的變化正好相反，因而同樣具有較好的檢測效果，即對(duì)高頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變寬的，而對(duì)低頻現(xiàn)象，窗是自動(dòng)變窄的。正是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有這種“柔性”窗，才使其在時(shí)域和頻域同時(shí)良好的局部化特性，因而對(duì)信號(hào)具有良好的檢測能力。12/19/2022123該窗的寬度為2a，高度為2/a(圖10-12/19/202212412/16/202244圖10-6從另一角度說明了上述小波變換的時(shí)頻窗的柔性性質(zhì)。圖b所示STFT的時(shí)域窗相對(duì)于其時(shí)移參數(shù)t0的窗寬度t是等寬的。而連續(xù)小波變換(CWT)的時(shí)域窗(圖a)相對(duì)于其時(shí)移參數(shù)t0的窗寬度卻是三角形的，隨著尺度參數(shù)a的增大而變寬。a值的增大意味著頻率f的減小，即CWT的時(shí)域窗對(duì)于頻率變化緩慢的時(shí)間信號(hào)具有放大窗寬度的性能，因此可以更好地檢測緩變信號(hào)。

12/19/2022125圖10-6從另一角度說明了上述小波變換的時(shí)頻窗的柔性性質(zhì)。圖在頻域，如圖d所示，STFT的頻域窗的寬度f相對(duì)于各中心頻率是等寬的，而CWT的窗寬度(圖c)卻是隨中心頻率按對(duì)數(shù)形式變化，即相對(duì)于低頻信號(hào)，窗寬度較窄、而相對(duì)于高頻信號(hào)，窗寬度變寬。這恰好符合低頻信號(hào)需要較窄的頻域窗而高頻信號(hào)需要較寬的頻域窗以提高頻域分辨率的要求。12/19/2022126在頻域，如圖d所示，STFT的頻域窗的寬度f相對(duì)于各中若將STFT和小波變換（WT）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如下圖所示：12/19/2022127若將STFT和小波變換（WT）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如③信號(hào)f（t）的重構(gòu)

若信號(hào)f（t）是連續(xù)的，且滿足一定條件，我們可以利用小波變換系數(shù)來重構(gòu)任何能量有限的信號(hào)f（t）（2）式與（1）式就構(gòu)成了一個(gè)連續(xù)小波變換對(duì)。類似于STFT的分析結(jié)果，小波變換的結(jié)果也在三維空間進(jìn)行描述。這是因?yàn)檫B續(xù)小波變換在變換中沒有能量泄露，保存了信號(hào)的能量（2）12/19/2022128③信號(hào)f（t）的重構(gòu)

若信號(hào)f（t）是連續(xù)的，且滿式中Ex為信號(hào)能量。這就導(dǎo)致我們可以用小波變換系數(shù)的模的平方來進(jìn)行小波變換結(jié)果的三維描述，它是信號(hào)在時(shí)頻表面的三維分布。與STFT所不同的是，此處信號(hào)的能量是以多重分析精度的形式在時(shí)頻表面進(jìn)行分布的。

如同傅里葉變換結(jié)果可以表示為幅頻特性和相頻特性一樣，小波變換的結(jié)果——小波變換系數(shù)（Wf）（b，a）也可以用幅值和相位加以表示。下圖即為一個(gè)矩形信號(hào)的小波變換結(jié)果的幅值、相位和實(shí)部表示。12/19/2022129式中Ex為信號(hào)能量。這就導(dǎo)致我們可以用小波變換系數(shù)的12/19/202213012/16/202250④小波分析與其他時(shí)頻分析的比較

這里給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例．以作為小波分析方法和時(shí)頻分析方法結(jié)果的比較。合成信號(hào)的分析如前圖所示的合成信號(hào)，由于STFT方法對(duì)同一寬度的窗來說不可能同時(shí)具有較好的時(shí)域和頻域分析精度，因而就不可能同時(shí)具有較好的分時(shí)和分頻特性，這也是STFT方法的主要缺陷。下圖為同一合成信號(hào)的小波變換結(jié)果。由圖可見、無論是小波變換系數(shù)的幅值還是相位都同時(shí)具有良好的分時(shí)和分頻特性。即同時(shí)具有良好的時(shí)域和頻域分析精度。12/19/2022131④小波分析與其他時(shí)頻分析的比較

這里給出兩個(gè)應(yīng)用