2021-2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二(下)期末數(shù)學(xué)

試卷一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)1.對(duì)變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(如%)(i=1,2，…,10),得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量”，v,有觀測數(shù)據(jù)(%，%)。=1,2，…,10),得散點(diǎn)圖(2),由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()30252015105O1234567? 6i234567u困(1) 圖(2)A.變量A.變量x與y正相關(guān)，n與I;正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，”與。負(fù)相關(guān)C.變量C.變量x與y負(fù)相關(guān)，a與V正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與"負(fù)相關(guān)2.從數(shù)字1,2,3,4,5中，取出3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))，組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等2.于6,這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.7BA.7B.9C.10D.133.3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且EX=1.6,則b-a等于()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4.已知函數(shù)/(x) 在下列區(qū)間中，包含/(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4).已知直線a在平面口上，則“直線I1a”是“直線I1/?M的條件()A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要.設(shè)sin(：+0)= 貝I]sin28=()

.設(shè)向量W=（H,1）,b=（x,-3）.且Z_L由則向量W-石與五的夾角為（）A.30° B,60° C.120° D.150°.已知a,b為正實(shí)數(shù),函數(shù)y=2ae'+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1），則;+：的最小值為（）A.3+2V2 B.3-2V2C.4 D.2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）.在△ABC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a=2、b=3、c=4,下面說法錯(cuò)誤的是（）sinA：sinB：sinC=2：3：4△ABC是銳角三角形△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍△ABC內(nèi)切圓半徑為g.下列命題正確的是（）A.若向量五，石滿足五=—3石，則乙另為平行向量B.已知平面內(nèi)的一組基底可，詼，則向量百+石，百-石也能作為一組基底C.模等于1個(gè)單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D.若△ABC是等邊三角形，則〈加BC>=y.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）A.BMA.BM與平行C.CN與BE是異面直線12.已知x,yCR且4x-4y<y3—》3,x<y B.x-3<y~34尸與CN垂直D.CN與BM成60。角則()lg(y-x)>0D.(5y<3-r三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400,300名學(xué)生.為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為..已知(1+2x)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則兀=..在一次期末考試中某學(xué)校高三全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(〃r2),若P(X>90)=0.5,且P(X>110)=0.2,則P(70<X<90)=..若tan(2x-§W1,則x的取值范圍為：.四、解答題(本大題共6小題，共70.0分).在二項(xiàng)式(/-x)n的展開式中，若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,求展開式的三次項(xiàng)..在北京冬奧會(huì)期間，某項(xiàng)比賽中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名.(1)從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種？(2)從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù)，每個(gè)崗位一人，且男志愿者甲與女志愿者乙至少有1人在內(nèi)，有多少種不同的安排方法？.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，且bc=2asinC.⑴求4;(2)若a=V7,b=2,求c；(3)若cosB=I，求sin(2B-4)的值..某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是全且每題正確完成與否互不影響.(I)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；(口)求乙正確完成面試題數(shù)7/的分布列及其期望..很多人都愛好抖音，為了調(diào)查手機(jī)用戶每天使用抖音的時(shí)間，某通訊公司在一廣場隨機(jī)采訪男性，女性用戶各50名，將男性，女性平均每天使用抖音的時(shí)間(單位，①分成5組：(0,2),(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)男性平均每天使用抖音的時(shí)間；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(2)若每天玩抖音超過4%的用戶稱為“抖音控”，否則稱為“非抖音控”，完成如下列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否是“抖音控”與性別有關(guān).抖音控非抖音控總計(jì)男性女性總計(jì)附表:P(x2>k)50.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635n{ad-bc')2(參考公式:X2=,其中n=q+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).已知函數(shù)/(x)=/ogjax-1)(。>0，且aWl).(1)當(dāng)a=：時(shí)，求函數(shù)/(x)的定義域:(2)當(dāng)a>1時(shí)，求關(guān)于x的不等式/(x)<f(1)的解集；(3)當(dāng)a=2時(shí),若不等式/'(x)-log2(l+2Z)>m對(duì)任意實(shí)數(shù)x€[1,3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.答案和解析.【答案】C【解析】【分析】通過觀察散點(diǎn)圖得出：y隨X的增大而減小，U隨口的增大而增大，即可得出其相關(guān)性.本題考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用問題，通過讀圖來解決問題，是基礎(chǔ)題.【解答】解：由題圖1可知，y隨x的增大而減小，各點(diǎn)整體呈下降趨勢，x與y負(fù)相關(guān)，由題圖2可知，u隨"的增大而增大，各點(diǎn)整體呈上升趨勢，”與v正相關(guān).故選：C..【答案】C【解析】解：從1,2,3,4,5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1,1,4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：114,141,411共3個(gè)；②由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：123,132,213,231,312,321共6個(gè)；③由2,2,2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù)，即222.*共有3+6+1=10個(gè)，故選：C.分情況討論其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，計(jì)算其可能的情況數(shù)目即可求出結(jié)論.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，涉及古典概型的計(jì)算，解題時(shí)需分類討論，注意要按一定的順序，做到不重不漏..【答案】C【解析】解：由題意得：{a+b+0.2=1E(X)=a+2b+3x0.1=1.60<a<l '0<b<l解得a=0.3,b=0.5,：?a—b=-0.2.故選：C.利用離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列方程組求出a",由此能求出b-a.本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】D【解析】解：/(1)=6-log2l=6>0,f(2)=3-log22=2>0,/(3)=2-log23>0,/(4)=1-2<0,???f(3)/(4)<0,.??函數(shù)/(x)在(3,4)內(nèi)存在零點(diǎn).故選。.計(jì)算各區(qū)間斷點(diǎn)的函數(shù)值，利用零點(diǎn)的存在性定理判斷.本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題..【答案】B【解析】解：直線a在平面0上，則“直線I_La"成立時(shí)，"直線110”不一定成立；“直線110”="直線11a”，???直線a在平面￡上，則“直線l_La”是“直線的必要非充分條件.故選：B.“直線a”成立時(shí)，“直線，10”不一定成立；“直線，10”="直線，la"，由此能求出結(jié)果.本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查空間中線與面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間立體感和推理論證能力，屬于中檔題..【答案】A［解析】解：由sin(：+0)=sin：cos。+cos：sin。=*(sin0+cos0)=7兩邊平方得：1+2sin6cos3=^2sin0cos9=-則sin29=2sin6cos9=-g.故選：A.根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化簡已知條件，然后兩邊平方利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可sin20的值.此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的第6頁，共14頁三角函數(shù)值化簡求值，是一道基礎(chǔ)題..【答案】B【解析】【分析】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式以及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.先根據(jù)向量的垂直求出x的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出.【解答】解：向量五=(6,1)，b=(x,—3)?且五_Lb，??V3x-3=0?解得x=V3?a-b=(V3,1)-(V3,-3)=(0,4)，|a-K|=4?|a|=2,(a-b)a=4?設(shè)向量五一石與日的夾角為0，TOC\o"1-5"\h\z介(a-b)H4 1ACOSt/=_-_= =-?|a-b||a| 4x2 2??0°<0<180°,??e=60°.故選：B..【答案】A【解析】解：,函數(shù)y=2ae"+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),???1=2q?e0+b,BP2a+b=l(a>0,b>0)..q+\=(W1=G+$?(2a+b)=(2+1+T+韻N3+2夜(當(dāng)且僅當(dāng)b=/a=&-1時(shí)取到“=”).故選：A.將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入y=2aex+b,得到a,b的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式即可.本題考查基本不等式，將點(diǎn)(。,1)的坐標(biāo)代入y=2ae》+b,得到a,b的關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題..【答案】BCD【解析】解：因?yàn)閝=2,b=3,c=4,asinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4,故4正確；可得c為最大邊，。為最大角，由余弦定理可得cosC= ="竺=-1<0,TOC\o"1-5"\h\z2ab2x2x3 4可得C為鈍角，即△ABC的形狀是鈍角三角形.故8錯(cuò)誤；對(duì)于C,由cosA=史巴貯=上至型=Z,2bc 24 8由cos24=2cos2A-1=2x(-)2-1=—*-i=cosC,故24HC,故C錯(cuò)誤；8 32 4由cosC=~~tsinC=—**?Sa.apr=-cibsiTiC=—x2x3x——=———?4 4 3以2 2 4 4設(shè)AABC內(nèi)切圓半徑為r,???；(Q+b+c)-r=SMBc，???丁=正，故。錯(cuò)誤；故選：BCD.利用正弦定理可判斷4由已知可得C為最大角，由余弦定理可得cosC<0,可得C為鈍角，即可判B.求得cos24HcosC,可判斷C；利用：(a+b+c)?r=Saabc，可求r,可判斷D.本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查內(nèi)切圓的半徑的求法，屬中檔題..【答案】ABD【解析】解：對(duì)于4,若向量蒼了滿足方=-3反根據(jù)向量平行的充要條件，滿足倍數(shù)關(guān)系，則五萬一定平行，故A正確；對(duì)于8,因?yàn)槎袨槠矫鎯?nèi)的一組基底，所以可，石為非零向量，且不共線，所以向量瓦+石，瓦?-行為一組非零且不共線向量，可以作為一組基底，故B正確；對(duì)于C,向量有大小與方向，單位向量大小相等，方向不一定相同，所以單位向量不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于。，如圖所示：B'

AB=BB7.所以=<而，耳？>=g,故。正確.故選：ABD.對(duì)于力，根據(jù)向量平行的充要條件判斷即可；對(duì)于B,根據(jù)基底向量的定義判斷即可;對(duì)于C,根據(jù)相等向量的定義判斷即可：對(duì)于。，數(shù)形結(jié)合，求角即可.本題考查基底向量，相等向量及向量夾角，屬于基礎(chǔ)題..【答案】BD【解析】解：把平面展開圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質(zhì)可知，與ED異面且垂直，故4錯(cuò)誤；易得EB//CN,又EB14F,所以4F1CN,故8正確.CN與BE平行，故C錯(cuò)誤：連接BE,貝IJBE〃CN,"BM為CN與BM所成角，連接EM,可知ABEM為正三角形，則NEBM=60°,故O正確.故選：BD.把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義、異面直線所成角逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案.本題考查異面直線，直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的折疊與展開，屬基礎(chǔ)題..【答案】AD【解析】解：根據(jù)題意，4x-4y<y3-x3=>4(x-y)+(x3-y3)<0=>(x-y)(4+x2+xy+y2)<0,又由4+/+4,+y2=J+今2+平+4>0,必有x-y<o,即x<y,則4正確；對(duì)于B,當(dāng)*=0、y=-l時(shí)，/沒有意義，8錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)y=2,x=l時(shí)，y-x=1時(shí)，lg(y-幻=0,C錯(cuò)誤；對(duì)于C,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<y時(shí)，有。正確;故選：AD.根據(jù)題意，利用作差法分析可得x<y,可得4正確，利用特殊值法舉出反例，可得8c錯(cuò)誤，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得。正確，即可得答案.本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】16人【解析】【分析】本題考查分層抽樣方法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的依據(jù)是在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，這種題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考卷中.根據(jù)四個(gè)專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)藬?shù)，根據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，利用丙專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到丙專業(yè)要抽取的人數(shù).【解答】解：???高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，二本校共有學(xué)生150+150+400+300=1000(人)，??用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，??每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是焉=2，??丙專業(yè)有400人，要抽取400X￡=16人故答案為：16人.【答案】4【解析】解：令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2尸=3n=81,得n=4,故答案為：4.x=l得各項(xiàng)系數(shù)和，建立方程進(jìn)行求解即可.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用變量等于1可得各項(xiàng)式系數(shù)和是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題..【答案】0.3【解析】解：由P(X290)=0.5,知”=90,因?yàn)镻。>110)=0.2,所以P(90<X<110)=0.5-0.2=0.3,由對(duì)稱性知，P(70<X<90)=P(90<X<110)=0.3.故答案為：0.3.易知〃=90,再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，由P(70<X<90)=P(90<X<110),即可得解.本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】怎一看,？+曲,kez【解析】解：由tan(2x-，)41,可得時(shí)一]<2x-牌kw+彳，kEZ,求得把-巴<xW竺+四，...x的取值范圍為(包一二也+二],kez,2 6 2 24 2 62 24故答案為：(y-;,y+g],keZ.由tan(2x—勺41,可得"一三<2x—W"+三kez,由此求得x的范圍.本題主要考查正切函數(shù)的圖象特征，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：???展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,=46,an2+n—90=0,n=9或幾=一10(舍去)，??(^-X)n=七一”)9的展開式的通項(xiàng)公式為：Tk+1=C^9-k(-X)k=C怨)9-k(_l)O2k-9,令2k-9=3,則k=6,二展開式的三次項(xiàng)為璘G)3(_1)6x3=弓》3.【解析】先求出n=9,再求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，再令2k—9=3,求出k即可.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題..【答案】解：(1)根據(jù)題意，從7人中選2名志愿者代表，有G種選法，從中選2名志愿者代表，沒有女志愿者的選法有廢=6種，所以從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者的不同選法共有片-量=21-6=15(種)答：必須有女志愿者的不同選法有15種.(2)根據(jù)題意，分3種情況討論：第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi)，有以外=240種.第二類女志愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi)，有底外=240種；第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi)，有盤用=240種；由分類計(jì)數(shù)原理得N=240+240+240=720種；共有720種不同選法.【解析】(1)根據(jù)題意，利用間接法分析：先計(jì)算“從7人中選2名志愿者代表”的選法，排除其中“沒有女志愿者”的選法，即可得答案；(2)根據(jù)題意，分3種情況討論：第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi)，第二類女志愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi)，第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi)，由加法原理計(jì)算可得答案.本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：(1)因?yàn)镵c=2asinC，則由正弦定理可得：y/3sinC=2sinAsinC>sinCH0,所以sin4=—，又因?yàn)?e(。5)，2 4所以(2)由余弦定理可得：a2=h2+c2—2bccosAf則7=44-c2—2c,ac2—2c—3=0,???解得(c-3)(c+1)=0,解得c=3或c=一1(舍去)；(3)因?yàn)閏osB=I，所以cos2B=2x(1)2-1=-i又2B6(0,7T),所以sin2B=小-(十=￥，所以sin(2B-A)=sin2Bcos--cos2Bsin-=-xi-(--)x—='國百.' ' 3 392、9， 2 18【解析】(1)利用正弦定理即可求解；(2)利用余弦定理即可求解：(3)利用已知求出cos2B,進(jìn)而可以求出sin2B,進(jìn)而可以求解.本題考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題..【答案】解：(I)甲恰好完成兩道題的概率p=21=31一戲_5(II)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為小則〃取值分別為0,1,2,3,PS=。)=*PS=1)=Cjx?)2x(=*P(L2)=廢x(孑xi=g,P(j;=3)=守=/考生乙正確完成題數(shù)7/的分布列為：0123p1276271227827F(f?)=0x±+lxA+2xg+3x^=2.【解析】(I)利用超幾何分布概念計(jì)算即可；(口)找出隨機(jī)變量??取值分別為0，1,2,3,利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算分布列即可.本題主要考查利用隨機(jī)事件的概率及二項(xiàng)分布的分布列，屬于中檔題.21.【答案】解：(1)由男性的頻率分布直方圖，可得2(0.04+a+0.14+2x0.12)=1,解得a=0.08；可知男性用戶平均每天使用抖音的時(shí)間為0.08x