2022屆福建省莆田（莆田市）高三畢業(yè)班三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆福建省莆田市高三畢業(yè)班三模數(shù)學(xué)試題一、單選題.設(shè)集合A=k，+x-12<0|},8={xeN|-2Vx<5},則4口3=( )A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由題意得4=卜|-40<3},B={0,1,2,3,4},則4「8={0,1,2}.故選：B.z+3.若復(fù)數(shù)z=l+2i,貝4二=( )Z4-1A.1-i B.3-i C.l+3i D.3+3i【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】Qz=l+2iz+3l+2i+34+2i(4+2i)(l+i)4-2+6i2+6i,>— = = = = = =1+31z+il-2i+i1-i (l-i)(l+i) 2 2故選：c3.芝諾是古希臘著名的哲學(xué)家，他曾提出一個著名的悖論，史稱芝諾悖論.芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母傎愔?，他的速度為烏龜?shù)氖?，烏龜在他前?00米爬，他在后面追，但他不可能追上烏龜.原因是在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時，烏龜已經(jīng)向前爬了10米.于是一個新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追完烏龜爬的這10米時，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追這1米.就這樣，烏龜會制造出無窮個起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜試問在阿略琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，?dāng)阿喀琉斯與烏龜相距0.001米時，烏龜共爬行了( )A.11.111米 B.11.11米 C.19.99米 D.111.1米【答案】A【分析】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{《J,利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求出總距離S..【詳解】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{/},且a.=10,o=—,a=0.00110"_.lO-O.OOlx—所以烏龜?shù)呐佬芯嚯xS,,=『￡= L^=11.111（米）.1-410故選：A4.已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例計(jì)算方法，分別求出抽取人數(shù)中的男女職工人數(shù)即可求解.【詳解】抽取的女職工人數(shù)為：會x28=12人560抽取的男職工人數(shù)為：28-12=16人則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差為：16-12=4人故選：B.."tana=2"是"9sin2<z+sin2a-8=0”的（ ）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式可得sin2a+2sinacosa-8cos2a=0>再除以cos?cr可得關(guān)于tana的方程，求解即可判斷.【詳解】由題，9sin2a+sin2a-8=0,則9sin2c+2sinacosa-8（sin2a+cos2a）=0,即sin2a+2sinacosa-8cos2a=0，所以tan2a+2tana-8=0?解得tana=4或lana=2,所以"皿。=2”是“941?0+§足2。-8=0”的充分不必要條件，故選：B.已知。=2°」,b=log43,c=log52,貝ij（ ）A.a>c>b B.b>c>aC.a>b>c D.b>a>c【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.【詳解】a=20l>2°=l?11?.-4>3>2=4?，?,-l>*=log43>log44-=-,j_ -1 |?.?2<5?,?c=log52<log552=-：.a>b>c故選：C.7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線E：V=2px(0<p<4),一條平行于x軸的光線從點(diǎn)48,2p)射出，經(jīng)過拋物線E上的點(diǎn)8反射后，與拋物線E交于點(diǎn)C,若aABC的面積是10,則P=()3A.y B.1 C.- D.2【答案】D【分析】根據(jù)AB〃x軸知8點(diǎn)縱坐標(biāo)為2p,代入拋物線方程可求8點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用8和尸求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長公式可求BC長度，利用點(diǎn)到直線距離公式可求A到直線BC的距離d,根據(jù)Lbc=?|BC|M=1O即可求出p.【詳解】由題知拋物線焦點(diǎn)為AB〃x軸，將y=2p代入y2=2px得x=2p,則B為(2p,2p),由題可知8、F,C三點(diǎn)共線，8C方程為：>=1"7卜一9，即丫=柒-勺，“一萬 3v1)代入拋物線方程消去y得，8x2-17px+2p2=0,設(shè)方程兩根為4%,則占+七=?，則忸。=%,+%+。=乎+。=等。，O O O又A(8,2p)到BC：4x-3y-2p=O的距離為：4=以絲二立L必二契，二由S△枷=1。得:忸C|d=10n等p?%券=2O=p=2.2 8 5故選：D..已知函數(shù)/(x)=(x+l)2+cos(x+l)+a的最小值是4.則。=( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可，這里需要用到f(x)的二階導(dǎo)數(shù)【詳解】由題，/'(x)=2(x+l)-sin(x+l),r(x)=2-cos(x+l)>0,所以/'3)單調(diào)遞增，又r(-l)=O,所以x>-l,/(x)>0,故x=-l為最小值點(diǎn)，即/(-l)=l+a=4,解得a=3,故選：A二、多選題.下列說法正確的是()(x-2)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-32(x-21展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1(x-2)5展開式中『的系數(shù)為4。(x-2)5展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32【答案】ACD【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法可知A正確，利用賦值法判斷B,根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式判斷C,根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A,常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為C；x(-2)5=-32,則A正確；對于選項(xiàng)B,令x=l,得(1-2)5=-1,即*-2)5展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為-1,則B錯誤；對于選項(xiàng)C,(x-2)5展開式的通項(xiàng)公式為J=C；-x5-r-(-2)r=(-2『C；/,，令5-r=3,得r=2,則7；=(-2)，=40/,即(x-2》展開式中V的系數(shù)為40,則C正確；對于選項(xiàng)D,(x-展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2$=32,故D正確.故選：ACD.將函數(shù)y=2sin(2xj)的圖象向右平移夕”＞0)個單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的得到函數(shù)“X)的圖象，若/(X)的圖象關(guān)于直線x=f對稱，則。的取值可能為()TOC\o"1-5"\h\zn -5兀 _5兀 -7兀A.— B.— C.— D.—12 24 12 12【答案】AD【分析】根據(jù)圖象的變換規(guī)律求出f(x)的解析式，進(jìn)而求出對稱軸，即可得到夕的取值情況.【詳解】函數(shù)y=2sin(2x-?的圖象向右平移夕(3＞0)個單位長度，得到函數(shù)y=2sin(2x-2嶗)的圖象，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的\,得到函數(shù)f(x)=2sin(4x-2g-1]???f(x)的圖象關(guān)于直線x=:對稱4..4x2(p——=kit+~gZ:.(p=———￡Z乂,夕＞0137r 77r 兀當(dāng)左=-2時，/=巖；當(dāng)”=一1時，°="；當(dāng)女=0時，＞=看；故選：AD.11.已知函數(shù)/*)=?J ,函數(shù)g(x)=/(x)-。，則下列結(jié)論正確的是—4r+16x—13,xN1()A.若g(x)有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是U,2)B.若g(x)有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0,1)C.若g(x)有4個不同的零點(diǎn)為,毛,七,毛&＜毛＜用＜與)，則》3+匕=4D.若g(x)有4個不同的零點(diǎn)看,電,電,S(占<x2<x3<x4),則與乙的取值范圍是(【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與丫=。圖像交點(diǎn)個數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.【詳解】解：令g(x)=/(x)-a=O得/(x)=a,即所以g(x)零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)y=/(X)與y=。圖像交點(diǎn)個數(shù)，故，作出函數(shù)y=/(x)圖像如圖，g(x)有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0,1),故B選項(xiàng)正確；g(x)有4個不同的零點(diǎn)看,玉,毛,與(為<天<x4),此時工3，七關(guān)于直線x=2對稱，所以x,+X4=4,故C選項(xiàng)正確；由C選項(xiàng)可知X3=4-匕，所以七毛=(4-七卜4=：+4々，由于g(x)有4個不同的零13 7點(diǎn)，a的取值范圍是(0,1),故0<-4寸+16匕-13<1,所以彳<一：+45<5，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD12.已知正四面體ABC。的棱長為2面.點(diǎn)E，/滿足而=4而，而=2而，用過A,E,尸三點(diǎn)的平面截正四面體ABCC的外接球O,當(dāng)兀eU,3］時，截面的面積可能為( )A.6兀 B.7兀 C.87t D.9兀【答案】CD【分析】作出當(dāng)4=3時的圖象，問題轉(zhuǎn)化為截面AEF從平面ARS轉(zhuǎn)動到平面ACQ的過程中截球所截得圓面的面積范圍，利用球的截面的性質(zhì)產(chǎn)=N得出圓面的半徑平方的范圍即可求解.【詳解】如圖1,在棱8c上取點(diǎn)R,在棱8。上取點(diǎn)S,使得配=3而，麗=3而，取CC的中點(diǎn)G,連接AR,AS,RS,BG,AG,記RSCIBG=M,連接AM.過點(diǎn)A作A，_L平面8c垂足為〃，則，為ABC。的中心，正四面體ABCO外接球的球心。在A”上，A。為球。的半徑.由題中數(shù)據(jù)可得AM=AG=3HG-3HM=3y/2,AH=4.設(shè)球。的半徑為R,則/MIA"-。，)？=B〃2+O〃2,解得R=3,o”=i當(dāng)時，截面4EF從平面ARS轉(zhuǎn)動到平面4CZ),要求截面的面積只需考慮球心O到截面的距離的取值范圍即可.由題意可知CD7RS且CD1平面A8G,如圖2,過點(diǎn)。作QNL40,垂足為M則0NJ.平面ARS.因?yàn)椤鰽ON?△AM”,所以O(shè)N=A2M”=i,即球心。到截面的距離de[O,l],AM則截面圓的半徑r2=R2-d2e18,9],故所求截面的面積Se際,9句.故選：CD三、填空題.已知向量￡=(-4,3)石=(1,⑼，若(￡+2B)_lB,則m=.【答案】一2或或—2【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的數(shù)量積表示求解即可.【詳解】vo=(-4,3),&=(l,m),—>—>:.=(-2,3+2加)，v(a+2h)J_b,：.(^+2b)b=-2+m(3+2m)=0'解得機(jī)=-2或m=g.故答案為：-2或.在正方體ABC￡)-AB|G2中，E,F,G,”分別是棱AO,CR,BC,A耳的中點(diǎn)，則異面直線EF與G4所成角的余弦值是.【答案w【分析】異面直線EF與GH所成角轉(zhuǎn)化為直線與OC所成角即可求出答案.【詳解】如圖連接取中點(diǎn)為點(diǎn)。，連接OA,OC,???HO//GC^HO=GC???四邊形HOCG為平行四邊形..HG//OC同理40〃所異面直線EF與GH所成角即為直線與OC所成角設(shè)正方體的棱長為2,則4c=2四，0A=瓜,OC="在aQAC中，AC2=OC2+OA2-2OA-OCcosZAOC8=6+6-2x>/6x-V6cosZ.AOCcosZ.AOC=-3故答案為：g.15.五一期間，某個家庭（一共四個大人，三個小孩）一起去旅游，在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率是.【答案】5【分析】根據(jù)全排列求出7人總的排法種數(shù)，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】7個人全排列有A；種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法有A：A；種，A4A3 1所以小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率A；35故答案為：（2 216.已知雙曲線與=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F.圓O:f+y2=/與雙曲線cab~的漸近線在第一象限交于點(diǎn)P,直線口與雙曲線C交于點(diǎn)。，且而=而，則雙曲線c的離心率為.【答案】6【分析】根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理可求解.【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為耳,

設(shè)直線0尸的傾斜角為。，則tane=2=8se=￡,a c由題意可知|OP|=%則IQ用=2%則雙曲線的定義有|。尸|-|。61=2”，從而|尸產(chǎn)|=2%所以在aPO/中，由余弦定理有cos6=匕!士生=q=>5￡=c2=>e=6.2acc故答案為：\/5四、解答題17.在①。=2同，②4='-,③"=(-1)"5.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.設(shè)等差數(shù)列佃,｝的前〃項(xiàng)和為S“,且%=5,S$=5.(1)求5”的最小值；(2)若數(shù)列｛〃｝滿足,求數(shù)列｛〃,｝的前10項(xiàng)和.【答案】(DY(2)答案見解析【分析】(1)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求得4,d,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；2?“n<2(2)選①，判斷〃= '- 進(jìn)而求解；選②，利用裂項(xiàng)相消法即可求解；選22"~5,n>3ZeN*,利用分組求和法即可求解.4=W+4d=5 (【詳解】(1)由題,【詳解】(1)由題,所以q=-3+2(〃-1)=2〃-5,Ss=5q+"^d=5'[d=22則Slt=—3〃+〃(〃-1)=〃2-4〃，所以當(dāng)〃=2時，s”的最小值為T.⑵設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為1，

選①，由(1),〃=呼"7,令2〃-5>0,即〃>g,f25-2mn<2所以或="2.5'[22"5,n>3所以7；0=2'+2+2]+2,+???+2”= =43700；1-4選②，由⑴，〃=(2〃一5)；2〃二3廠1/一右｝105?…T 1(1 1 1111 1 11 1/1 1105?10 2t-3 -1-1113 15 17J 2^3 17Ja-, 、，,…/2，\ -n2+4n,n=2k.-\選③，由(1),bn=(-l)"(n--4n)=^, ,keN；' / ?1~-A>-?M—fir所以1o=(-『+4x1+2?-4x2)+(-3?+4x3+4?-4x4)+…+(-92+4x9+102-4x10)=(1+2-4)+(3+4-4)+…+(9+10-4)(1+10)x10=- 4x52=3518.在aABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a9b,c.已知a=2bcos8cosC+2ccos2B.(1)求3的值；(2)若c—a=l,且cosC=13,求3c的面積.13冗【答案】(1)女；⑵班.【分析】(1)由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式化簡求出cosB即可得解；(2)由已知求出sinA=sin(B+C),再由正弦定理可得4a=3c,聯(lián)立已知求出。，J利用三角形面積公式求解.【詳解】⑴,.?q=2萬cos8cosc+2ccos?B,/.sinA=2sinBcosBcosC+2sinCcos2B=2cosB(sin8cosc+sinCeosB)=2cosBsin(B+C),vA+B+C=n,sinA=sin(B4-C),又sinAwO,TOC\o"1-5"\h\zJicosB=1,即cosB=—,又。<8<兀，「.^二一.2 3(2)因?yàn)閏osC=—―>且0<C<7t,所以sinC=2 ,13 13貝(Isin4=sin(8+C)=sin8cosc+cos8sinC=.由正弦定理可得asinC=csinA,即名叵a=土畫°,化簡得4a=3c,13 26又c-a=l,聯(lián)立可解得。=3,c=4.故^ABC的面積為—acsin8=3y/i..如圖，在四棱錐P-AB8中，四邊形A8CD為矩形，且E,尸分別為棱A8,PC的中點(diǎn)，BC=2AB=4,PA=PB=PC=PD=3.(1)證明：PE_L平面PCC.(2)求平面包尸與平面DEF的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析⑵-善【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出相關(guān)平面的法向量及瓶，再運(yùn)用向量的共線及向量的夾角公式可求解.【詳解】(【詳解】(1)矩形ABC。對角線的交點(diǎn)記為。，可知04=08=0。=0。,又因?yàn)橐?也＞,可知「。，山^同理可得/1。，4。，4(708￡)=0,且4(7,8。＜=底面48。，所以PO_L底面ABCD,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,2),E(0,-2,0),C(l,2,0),ZX-1,2,0),F(1,1,1),從而有屋=(0,-2,-2),即定=(1,2,-2),麗=(-1,2,-2),5￡=(1,＜0),麗=§-1,1).設(shè)平面PCD的法向量為m=(占,乂，4),貝?。萦校?,可取加=(0,1,1),+2^-2z(=0所以星=-2記，所以PEJ■平面PCD(2)記平面包尸、平面OEF的法向量分別為3、1.由(1)中的數(shù)據(jù)，同理可得平面刊沙、平面。即的法向量分別為7=(-4,1,7)、7=(4,1,-5),根據(jù)法向量的方向，可知平面尸EF與平面OE尸的夾角的余弦值即為cos(n,i)=n4cos(n,i)=n4-16+2+5>/42xVi8y[2\.點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢.某配餐店為擴(kuò)大品牌能響力，決定對新顧客實(shí)行讓利促銷.促銷活動規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈10元，15元或者20元代金券一張，中獎率分別為:、g和!，每人限點(diǎn)一餐.且100%中獎.現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位員工決定點(diǎn)餐試吃.(1)求這五人中至多一人抽到10元代金券的概率；(2)這五人中抽到15元，20元代金券的人數(shù)分別用a,b表示,記X=a6,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3【答案】(1)77；(2)分布列見解析，期望為2.【分析】(D設(shè)''這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件A,由互斥事件的概率求和公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；(2)由題意可知X可取0,1,2,3,4,6,求得相應(yīng)的概率值，列出分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】(1)設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件A,易知”五人中至多一人抽到10元代金券''的概率:

p(4)+p(A)=c；i』_色_』p(4)+p(A)=c；i』_色_』3232-32-16(2)由題意可知X的可能取值為0,1,234,6.7 S 1 717尸(X=0)=C；Xa+C；X(|)5YX(1)5=需，, 1, .11 5P(X=l)=C^x(-)3xC^x-x-=-,P(X=2)=C"(g)2xC^x(1)2xl+C；x|x(l)2=/，P(X=3)=C'xixC'x-x(l)3+dx(-)3xi=—,52L36 3 6J324P(X=4)=C；x3(5、C；x(!￡+C；xgxC：x(撲點(diǎn)噓,在橢圓C上.P(X=6)=C嗎2x$+c在橢圓C上.故X的分布列為:X012346p21743253652425324254325324皿…、八21715c5425yl254 5 10故E(X)=0x nix—+2x i-3x i-4x +6x =——432 36 24 324 432 3249r2v2 、621.已知橢圓。：1+\=1(。＞人＞0)的離心率為之，點(diǎn)crb 2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線/與橢圓C相切于點(diǎn)。，且與直線x=2交于點(diǎn)E.試問在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以線段DE為直徑的圓上？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.請說明理由.【答案】嗚+y、l(2)存在，尸(1,0).【分析】(1)由題意，列出方程可直接求解；(2)先得到切線方程，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再寫出圓的方程后代入點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求解.￡=變a21 2【詳解】⑴由題意得｛=+r=1=/=20=i,a~2ba2=b2+c2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為、+y2=i.(2)由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點(diǎn)為"毛,%),切線方程為號+?。=1,下面證明:所以=0,及直線/與橢圓只有一個公共點(diǎn)。(小,%),直線/與橢圓相切，所以橢圓上切點(diǎn)為。(%,%)的切線方程為號+雙=1.切線方程竽+?。=1與X=2聯(lián)立得E(2，