2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南）-考點01平面向量的概念（解析版）

考點01 平面向量的概念一、單選題(共12小題)1?設(shè)Z,E為單位向量，且la-bl=l,貝i?a+2b1=()A.V3 B.V? c.3 D.7【答案】B【分析】通過向量的模，求出向量的數(shù)量積，然后轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：；，石為單位向量，且lZVl=l,可得；2-2之用+薩=1，可得a?b=/,Ia+2b1=Va2+4a-b+4b2=^1+2+4=夜-故選：B.【知識點】向量的概念與向量的模、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.設(shè)a,b為單位向量，且.a-bl=1,貝11a+2b=( )A.3 B. C.7 D.y/l【答案】D【分析】通過向量的模，求出向量的數(shù)量積，然后轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：a,E為單位向量，且所以$一2；兀+薩=1，所以。E得，所以1：+2工=V；2+4I-b+4b2=Vl+2+4=V7.故選：D.【知識點】向量的概念與向量的模、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是( )? ? ? ? 9 1 . ? ?A.AB=3BCB.AC=2BC C. D.AC=2CB【答案】D【分析】根據(jù)共線向量的定義即可得結(jié)論.【解答】解：由題，點C是線段AB靠近點B的三等分點,AB=3CB=-3BC，所以選項A錯誤；AC=2CB=-2BC,所以選項B和選項C錯誤，選項D正確.故選：D.【知識點】平行向量（共線）、向量數(shù)乘和線性運算.下列關(guān)于向量的命題正確的是（ ）若|a|=lbI，則a=b B.若Ia1=IbI，則IaI"IbIa=b,b=c,則a=c D.若a//b,b//c,則a"c【答案】C【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷A錯誤，根據(jù)向量長度的定義即可判斷B錯誤，C顯然正確，對于選項D,當(dāng)5=萬時，便得不出；4V即得出選項D錯誤.【解答】解：A.向量的長度相等，方向不一定相同，從而得不出即該選項錯誤：B.長度不能相互平行，.?.該選項錯誤；C?Z=E, 顯然可得出a=c,???該選項正確；a//b,EI晨得不出；R；比如彳，W不共線，且5=萬，...該選項錯誤?故選：C.【知識點】向量的概念與向量的模、平行向量（共線）.設(shè)向量a,b不共線，向量a+b與2a-kb共線，則實數(shù)k=（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算和共線定理，利用向量相等列方程求出k的值.【解答】解：向量a,b不共線，向量a+b與2a-kb共線，則2a-kb=入（a+b）,（2-X）a-（k+入）b=0,f2-X=01k+人=0,解得入=2,k=-2.故選：A.【知識點】平行向量（共線）

.已知平面向量；=(i,m),己=(-1,y)，且Ia-b1=Ia+bI，貝iJm=( )A.3區(qū) B.1 c.V3 D.3>/33 3【答案】B【分析】根據(jù)G-EI=|Z+EI即可得出；?E=0,然后進行向量坐標的數(shù)量積運算即可求出m的值.【解答】解：???l=l；+EI，,?(a-b)=(a+b)?即a+b-2a?b=a+b+2a?b'a?b=-l+V3m=0,解得o故選：B.【知識點】向量的概念與向量的模TOC\o"1-5"\h\z7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且標=Z,AD=b,則血=( )A, A tD fC一L TL r T1-A.b--^-a B.b+=a C.a+=b D.a-=b2 2 2 2【答案】A【分析】由條件利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求得【解答】解：由題意可得，BE=BA+AD+DE=-a+b+±a=b-3a,2 2故選：A.【知識點】向量的概念與向量的模8.下列說法正確的是(8.下列說法正確的是( )A.若|>后I，則C.若@=1>,則a,b共線B.若|a|=|bI,貝Ua=bd.若ZwE,則Z,E不共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題分析、判斷正誤即可.【解答】解：對于A,向量是矢量，不能比較大小，；.A錯誤；對于B,向量相等時，模長相等且方向相同，...B錯誤；對于C,若a=b時，a與b方向相同，則a、b共線，C正確;對于D,若aWb時，也可能a與b方向相同或相反，即a、b可能共線，D錯誤.故選：C.【知識點】向量的概念與向量的模9.下列說法正確的是（ ）A.零向量沒有方向B.向量就是有向線段C.只有零向量的模長等于0D.單位向量都相等【答案】C【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線段的定義即可判斷出結(jié)論.【解答】解：零向量的方向是任意的，故A選項錯誤：有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；只有零向量的模長等0,故C選項正確；單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤.故選：C.【知識點】向量的概念與向量的模10.已知點P是AABC的中位線EF上任意一點，且EF平行BC,實數(shù)x,y滿足證+*而刊同=3，設(shè)△ABC,△PBC,APCA,ZkPAB的面積分別為S,Si,S2,S3,若Si=CS,S2=X2S,S3=X3S,則一?入3取最大TOC\o"1-5"\h\z值時，xy的值為（ ）A.— B.— C.— D.—3 4 5 6【答案】B【分析】由題意，先用面積表示出入廣入3,再利用基本不等式計算出入的最大值，根據(jù)基本不等式等號成立的條件判斷出P是中點，再取點M是BC的中點，結(jié)合平面基本向量定理得出x,y的值，得出正確選項.【解答】解：由題意，點P在中位線上，故Si=/s,即人產(chǎn)方，S2+S3=/s,Sn So S9S0 1 So+Sq , 1 1 , 1A2.x3^_￡x-i=—（—_-）2=-4rX（4s）2=-r~,等號當(dāng)且僅當(dāng)Sz=S Ss2 s2 2s2 4 16Sa時成立，即入2?入3取最大值ug,TOC\o"1-5"\h\z??? ? ? ? ? 1 ■??? ?由于s2=s3,所以P點是EF的中點，取BC的中點為M,貝IJPB+PC=2PM,AP=PM=方（PB+PC）又X+x麗+y同=3,即屈=x而+y同，故萬（PB+PC）=x^4y同，故x=y=《，即xy的值為\o"CurrentDocument"2 4故選：B.【知識點】平面向量的基本定理、平行向量（共線）.在AABC中，點D,E分別為邊AB,AC的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有（ ）A.一組 B.二組 C.三組 D.四組【答案】A【分析】根據(jù)相等向量的定義，找出大小相等，方向相同的向量.【解答】解：AABC中，點D,E分別為邊AB,AC的中點，在如圖所示的向量中，相等向量是質(zhì)和瓦，有1組.故選：A.【知識點】平行向量（共線）.已知點A（3,2）,B（5,1）,則與旋反方向的單位向量為（ ）A.（ ,-在）B.（-2^5（在）c.（-逅,D.（在，-2VS）5 5 5 5 55 5 5【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義，運算求解即可.【解答】解：由題，屈=（2,-1）,:.-AB=（-2>1）,二與標反方向的單位向量為：一==-1一===即（一選，逅）.V（-2）2+l2V（-2）2+l25 5故選：B.【知識點】向量的概念與向量的模二、填空題（共8小題）13.已知ir=(-2,1),n=(6,y),若2it+h與it-2H平行，則|2ir+n|=.【分析】利用平面向量坐標運算法則求出2m+n=(2,2+y),m-2n=(-14,1-2y),再由2it+h與ir-2n平行，求出y=-3.從而2m+r)=(2,-1),由此能求出|2ir+rd.【解答】解：???彳=(-2,1),n=(6,y),.*?2m+n=(2,2+y),m-2n=(-14,1-2y),,**2ir+ri與n-2n平行，2X(1-2y)-(-14)X(2+y)=0,解得y=一3./.2m+n=(2,-1),?*-l2ir+nl=^22+(-i)2=V5.故答案為：娓.【知識點】平行向量(共線)14.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1,則|正-而|=.【分析】連接AE,EC,利用正六邊形的性質(zhì)和余弦定理即可得出菽與血的夾角為60°,求得AC的長度,再利用數(shù)量積的定義即可得出.【解答】解：連接AE,EC,則AAEC是等邊三角形，正與麗的夾角為60°,?正六邊形ABCDEF的邊長為1,AB=1,ZABC=120°,在AABC中，由余弦定理可得|菽|2=[2+]2_2xixiXcosl20°=3,IACi-1iBDI=AC*BD=V3XV3Xcos60°=看.*—，? ?一 . ?-??，? o則lAC-BDl2=(AC-BD)2=IACl2-2AC-BD+IBDI2=3-2X-^+3=3.則I菽-前l(fā)=V3.故答案為：M.【知識點】向量的概念與向量的模.已知向量a=(4,3),貝!!|a：=.【答案】5【分析】根據(jù)平面向量的模長公式，計算即可.【解答】解：由向量；=(4,3),所以al=^42+32=5-故答案為：5.【知識點】平面向量的坐標運算、向量的概念與向量的模, ,Q.在aABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90°,D在邊BC上，延長AD到P,使得AP=9.若PA=mPB+(―2-m)同(m為常數(shù))，則CD的長度是.t分析】以A為坐標原點，分別以AB,AC所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系，求得B與C的坐標,再把笆的坐標用m表示.由AP=9列式求得m值，然后分類求得D的坐標，則CD的長度可求.【解答】解：如圖，以A為坐標原點，分別以AB,AC所在直線為x,y 軸建立平面直角坐標系，則B(4,0),C(0,3),由PA=mPB+(5-m)PC,^PA=m(PA+AB)+(^—m)(PA+AC)>整理得：PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).由AP=9,得64m'+(6m-9)2=81,解得田=：右或m=0.25當(dāng)m=0時，p^=(O,-9)，此時C與D重合，|CD=0；當(dāng)m=E時，直線PA的方程為丫=邑詈:25 8m直線BC的方程為亳專=1，聯(lián)立兩直線方程可得x=^m,y=3-2m.or7221即D(篇令)，2525—符超旨喑...CD的長度是。或孕.5故答案為：0或單.5【知識點】向量的概念與向量的模.已知向量彳=(1,x+i),t=(x,2)＞若滿足a"b，且方向相同，則x=【答案】1t分析】由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，求出x的值.【解答】解：???向量；=(1,x+1),b=(x,2)＞若滿足Z//E，且方向相同,...工=左支，求得x=l,或x=-2(此時a=-且，不合題意，舍去),x2 2故答案為：1.【知識點】平行向量(共線).已知AB=a+2b,BC=-5a+6b.CD=7a-2b,則點A、B、C、D中一定共線的三點是【答案】A、B、D【分析】先求出向量菽，觀察其與向量司是否共線，再求出向量麗觀察其與向量屈是否共線，若兩向量過同一點且共線則兩表示兩向量的有向線段的端點是共線的.【解答】解：?.?菽=標+前=-4；+8總找不到一個實數(shù)X使得菽=人而成立，故A,C,D三點不共線.VBD=BC+CD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,.?.而與或共線，...三點A、B、D共線故應(yīng)填A(yù)、B、D.【知識點】平行向量(共線).點C在線段AB上，且售=輸，則AC= AB,BC=- AB.Cd2【分析】利用黑■=]■,及其向量共線定理即可得出.CB2【解答】解：唔=:，CB2/.AC=-^-AB,BC=-AB.TOC\o"1-5"\h\z5 5故答案為：w5 5A C 'B【知識點】平行向量(共線).向量a=(-1.2),b=(m,4),若向量2a+b與a-2b平行，貝！Im=.【答案】-2【分析】由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算法則，求得m的值.【解答】解：,向量a=(-1.2),b=(m,4),若向量2a+b與a-2b平行，向量2a+b=(-2+m,8),a-2b=(-1-2m,-6),(-2+m)(-6)-8(-1-2m)=0,求得m=-2,故答案為：-2.【知識點】平行向量(共線)三、解答題(共8小題).設(shè)A,B,C,D為平面直角坐標系中的四點，且A(2,-2),B(4,1),C(1,3).(1)若標=而，求D點的坐標及|標；(2)設(shè)向量：=標，b=BC,若k；-E與二+3石平行，求實數(shù)k的值.【分析】(1)可設(shè)D(x,y),然后根據(jù)而=而即可得出D(3,6),進而可得出向量方的坐標，進而求出|而|的值；(2)可求出kZ-E=(2k+3,3k-2)'I+3b=(-7.9)>然后根據(jù)與？+3三平行即可求出k的值.【解答】解：⑴設(shè)D(x,y),則而=(x-l,y-3)?且屈二(2,3)?AB=CD,???(2,3)=(x-1,y-3),.,Jx-1=2,解得卜=3,ly-3=3Iy=6(3,6)>AD=(1,8)?AD|=V65>2)a=(2,3),b=(-3,2)-ka-b=(2k+3,3k-2),a+3b=(-7,9),且ka-b與a+3b平行，二9(2k+3)+7(3k-2)=0,解得k].o【知識點】平行向量(共線)、平面向量共線(平行)的坐標表示22.已知@=(1,2)?b=(~l>3)?c=(3,-2)-(1)求向量a與a+2b所成角的余弦值；(2)若G+2E)力G+kW),求實數(shù)k的值.【分析】(1)可求出；+2*=(-1,8)>可設(shè)：與Z+2E所成角為o,然后即可根據(jù)cos8=要奔警?即laIla+2bI可求出向量a與a+2b所成角的余弦值：(2)可求出；+2石=(-1,8)，E+kW=(3k-l,3-2k)，然后根據(jù)(；+2E)//6+k3)即可求出k的值.【解答】解：(1),**a=(l,2)，b=(~l?3)? a+2b=(-l,8)?設(shè)向量a與a+2b所成角為。，則cos8.。6+2芯)_ 15 =則cos8laIla+2bIV5XV6513...向量；與Z+24所成角的余弦值為雙亙.13⑵a+2b=(-l?8)，b+kc=(3k-l,3-2k)>又(a+2b)“(b+kc),二(-1)X(3-2k)-8(3k-1)=0,解得22【知識點】平行向量(共線)、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角23.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).⑴求3a+b-2c；(2)若(a+kc)//(2b-a))求實數(shù)k.【分析】(1)根據(jù)題意，由向量的坐標計算公式計算即可得答案.(2)根據(jù)題意，求出(Z+k3)和(25-a)的坐標，由向量平行的坐標計算公式可得2義(3+4k)-(-5)X(2+k)=0,解可得k的值，即可得答案.【解答】解：(1)根據(jù)題意，向量a=(3,2),b=(-L2),c=(4,1),則3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6)；(2)向量a=(3,2),b=(-1.2),c=(4,1),則(a+kc)=(3+4k,2+k),(2b-a)=(-5,2),若(a+kc)//(2b-a).貝U2X(3+4k)-(-5)X(2+k)=0,解可得k=-；!：上bi— 16故—亙【知識點】平面向量的坐標運算、平行向量(共線).設(shè)兩個非零向量屆不共線，ab=7?+27Z,66=217+8^,00=77-2^-(1)求證：A、B、D共線;（2）試確定實數(shù)k,使k3+4司和4+k6共線?【分析】（1）利用向量的加法法則求出而，得到前=3瓦，利用向量共線充要條件知三點共線.（2）利用向量共線充要條件設(shè)出參數(shù)X,利用平面向量基本定理，在基底上的分解是唯一的列出方程組求出k.【解答】證明：⑴?.,兩個非零向量二■^不共線，AB=T+2^,BC=2l7+8^Z,CD=I7-2Z-BD=BC+CD=377+6T*=3AB,ele2???A、B、D共線（2）要使k%7+43和％7+k￡共線，只需存在實數(shù)人使得卜17+43=入（％7+kgp；.??產(chǎn)，14=k入.'.k=2或-2.【知識點】平行向量（共線）.已知向量a=(4,3cosa),b=(L2tana).(1)關(guān)a"求sina的值；—f TT TT(2)若&_1卜且a￡(-k，0),求cos(2a+—)的值.2 3【分析】(1)結(jié)合向量平行的坐標表示及同角平方關(guān)系即可求解，(2)結(jié)合向量垂直的坐標表示及二倍角公式，和角公式即可求解.【解答】解：(1)Va=(4,3cosa),b=(1,2tana),若a〃b,則8tana-3cosa=0,.".8sina=3cos2a=3-3sin2a,.\3sin2a+8sina-3=0,即(3sina-1)(sina+3)=0,?.1..sina=一,3(2)Va±b,且aw(--5-,0),2—?一:.a-b=4+6cosatana=0,9 Jr..sina= ,cosa=JL±l,3 3/.cos2a=2cosa-1=—,9Acos(2a+工)=3及＞＜返=上迎92 9 2 18【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、平行向量(共線)26.已知向量a=(1.2),b=(-3,2).(1)當(dāng)k為何值時，向量kZ+E與；+3石垂直？(2)當(dāng)k為何值時，向量ka+b與a+3b平行？【分析】(1)向量kZ+E與W+3E垂直，則(kZ+E)?(Z+3E)=0,解方程即可；(2))向量kZ+E與Z+3E平行時，-8(2k+2)=8(k-3),解方程即可.【解答】解：???向量：=(1,2),b=(-3,2),ka+b=(k-3,2k+2),a+3b=(-8,8)?(1)當(dāng)ka+b^a+3b垂直時，(ka+b)?(a+3b)=-8(k-3)+8(2k+2)=0,?\k=-5；(2)向量ka+揖a+3b平行時，-8(2k+2)=8(k-3),Ak=—.J【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、平行向量(共線)27.如圖，平行四邊形ABCD中，E,F分別是AD,AB的中