初等數(shù)學(xué)研究期末試題及答案A

課程名稱：初等數(shù)學(xué)研究任課教師姓名：左曉虹卷面總分：100分考試時(shí)長(zhǎng)：100分鐘考試類別：閉卷V開卷口其他口注：答題內(nèi)容請(qǐng)寫在答題紙上，否則無(wú)效.一、單選題(4*10=40分).設(shè)a,b是向量，命題“若a=-b,則i**b”的逆否命題是()(A)若a#_b,則i：9bi(B)若n,則i：罔bi(C)若i：用［,則aO-b(D)若i：i=ibi,則:=-b.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=—2,則拋物線的方程是()(A)y2=—8x(B)y2=8x(C)y2=-4x(D)y2=4x.設(shè)函數(shù)f(x)(xwR)滿足f(—x)=f(x),f(x+2)=f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖像是()是().(4x-2")6(xWR)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(A)-20(B)-15(C)15(D)20.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是_2二8--3ji8——38-2二二.函數(shù)f(x)=4—cosx在［0,收)內(nèi)()(A)沒(méi)有零點(diǎn)(B)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(A)沒(méi)有零點(diǎn)~~(C)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(D)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).設(shè)集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,xwR},N={x||x」|c亞，i為虛數(shù)單位，xwR),則MnN為()i(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1].右圖中，Xi,x2,x3為某次考試三個(gè)評(píng)閱人對(duì)同一道題的獨(dú)立評(píng)分，p為該題的最終得分，當(dāng)K=6,x2=9,p=&5時(shí)，x3等于()(A)11(B)10(C)8(D)7.設(shè)(為,乂),(乂2,y2),…，(x3,y3)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸方程(如右圖)，以下結(jié)論中正確的是()x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間(C)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同.甲乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是()TOC\o"1-5"\h\z1151(A)1(B)1(C)5(D)-369366二、解答題(10*5=50分，選做5道題目即可).如右圖，/B=/D,AE_LBC,/ACD=900,且AB=6AC=4AD=12求BE的長(zhǎng)度.A

1.設(shè)函數(shù)f(x)定乂在(0,一)上，f(1)=0,導(dǎo)函數(shù)「(x)=,g(x)=f(x)+f1x).x(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；1(2)討論g(x)與g(，)的大小關(guān)系；x.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，求這個(gè)最小值..敘述并證明余弦定理..(1)作出相應(yīng)圖像，敘述“三垂線定理”及其逆定理的內(nèi)容；(2)請(qǐng)至少列出與三角形相關(guān)的5個(gè)性質(zhì)命題..就感興趣的某節(jié)課，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出你認(rèn)為最好的開課語(yǔ)及結(jié)束語(yǔ).三、證明題(10分)如圖，直三棱柱ABC-ABG中，AB_LAC,D、E分別為AA1、BC的中點(diǎn)，DE_L平面BCC平面BCC1,求證：AB=AC.一、選擇題（4*10=40分）1.C2,B3.B4.C5.AB7,C8.C9.D10.D二、解答題（10*5=50分，選做5道題目即可）.如圖，/B=/D,AE_LBC,ZACD=90,且AB=6,AC=4AD=12求BE解：因?yàn)锳E_LBC,所以/AEB=/ACD=900,又因?yàn)?B=ZD,所以^解：因?yàn)锳E_LBC,所以/AEB=/ACD=900,又因?yàn)?B=ZD,所以^AEB^AACtD……5分所以ACADAEAB64c64c二2,12ABAC所以AE=-AD在RSAEB中，BE=Jab2-AE2=d6-22=4啦.,，八-~~1.設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0,y)上，f⑴=0,導(dǎo)函數(shù)f?(x)=,g(x)=f(x)+f'(x).x(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；,1(2)討論g(x)與g(—)的大小關(guān)系；x_..._.1一.一一..一一解：(1)f'(x)=—，??.f僅)掃xc(c為常數(shù))，又???f(1)=0,所以ln1+c=0,即c=0,x1?1-f(x)=lnx；g(x)=lnx+-,xTOC\o"1-5"\h\zx-1,x-1，g'(x)=2，令g(x)=0,即2=0,解得x=1,2分xx當(dāng)xw(0,1)時(shí)，g'(x)<0,g(x)是減函數(shù)，故區(qū)間在(0,1)是函數(shù)g(x)的減區(qū)間；當(dāng)xw(1,")時(shí)，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)，故區(qū)間在(1,十比)是函數(shù)g(x)的增區(qū)間；3分“、111(2)g(—)=-lnx+x,設(shè)h(x)=g(x)-g(-)=2lnx-x+-,xxx則h(x)=-(^H,x，.一一~1當(dāng)x=1時(shí)，h(1)=0,即g(x)=g(—),x當(dāng)xW(0,1)U(1,~)時(shí)，h'(x)<0,h'(1)=0,因此函數(shù)h(x)在(0,收)內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)0cx<1時(shí)，h(x)>h(1)=0,g(x)>g(-)；x1當(dāng)x>1時(shí)，h(x)<h(1)=0,g(x)<g().5分x3.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，求這個(gè)最小值為.解：(方法一)設(shè)樹苗放在第i個(gè)樹坑旁邊(如圖)，12…i…1920那么各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑距離的和是s=(i-1)10(i-2)10HI(i-i)10[(i1)-i]10III(20-i)10=10[ii-i(i1)-i(20-i)(20-i)(i120)]22

=10(i2-21i+210),所以當(dāng)i=10或11時(shí)，s的值最小，最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000米.2分(方法二)根據(jù)圖形的對(duì)稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和即可。樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，則有19(119)路程總和是10父(1+2+|||+19)乂2=10父」)x2=3800;樹苗放在第10個(gè)(或第11個(gè))2樹坑旁邊時(shí)，路程總和是10(12|||9)10(12|||10)2=109(19)221010(110)2父2=900+1100=2000,所以路程總和最小為2000米.10分4.敘述并證明余弦定理.解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸赹ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有2,22=109(19)221010(110)2父2=900+1100=2000,所以路程總和最小為2000米.10分4.敘述并證明余弦定理.解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸赹ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有2,22a=bc-2bccosA,222b=ca-2cacosB,c2=a2b2-2abcosC.如圖，c2=BC=AC-AB?AC-AB證明：(證法一)=AC-2AC*ABAB=AC-2AC?ABcosAAB.22=b-2bccosAc222即a=bc-2bccosA同理可證,222b=c+a-2cacosB,22,2c=ab-2abcosC(證法二)已知MBC中,A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C(bcosA,bsinA),B(c,0),.22222222.2.a習(xí)BC|=(bcosA-c)(bsinA)=bcosA。2bccosAcbsinA

,22=b+c-2bccosA,222__即a=bc-2bccosA同理可證b2=c2-a2-2cacosB,c2=a2b2-2abcosC5分.（1）“三垂線定理”復(fù)述正確3分“三垂線逆定理”復(fù)述正確2分5個(gè)命題每題1分。.開課語(yǔ)5分：其中正確性……3分；藝術(shù)性……2分。結(jié)束語(yǔ)5分：其中正確性……3分；藝術(shù)性……2分。三、證明題（10分）如圖，直三棱柱ABC—AB1cl中，AB_LAC,D、E分別為AA、B1C的中點(diǎn)，DE_L平面BCC1,證明：AB=AC證明：方法1：連結(jié)BE,,ABC-A4G為直三棱