第九章-風險偏好與投資儲蓄行為-《金融經濟學》課件

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者組合配置優(yōu)化問題投資者擁有初始財富w0，a投資于風險資產（?r），剩余的w0-a投資于無風險資產（rf），期末投資者的財富為投資者通過選擇風險資產上的投資量a來最大化他的期望效用優(yōu)化問題一階條件a*是使期望效用最大的風險資產投資量1(9.1)

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者組合配置優(yōu)化問題投

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件命題9.1：如果a*是優(yōu)化一階條件(9.1)式的解，投資者風險厭惡且其效用函數可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)a*>0當且僅當Er?>rf

(ii)a*=0當且僅當Er?=rf

(iii)a*<0當且僅當Er?<rf

證明：定義值函數如下

投資者最優(yōu)化的一階條件又可以寫為

由于投資者是風險厭惡的，所以必然有u''(?)<0。因此對任何a都必然有2

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件（續(xù)）證明（續(xù)）：這意味著V‘(a)是一個減函數（V’(a)隨a的增大而減?。Ｋ援斍覂H當V‘(0)>0時才會有a*>0。因為如果V'(0)<0，那么隨a從0開始增大，V'(a)會變得更小，一階條件就不可能成立。而V'(0)可以寫為

其中的u'(w0(1+rf))是個正數。要使得V'(0)>0，就必須要有

這樣，就證明了等價關系(i)。另兩個等價關系類似可證。命題得證。■

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9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件

9.1投資者參與風險資產的條件

命題9.1背后的直覺對一個之前完全持有無風險資產的投資者來說，把一些財富a重新分配到風險資產上的行為會對投資者效用帶來兩方面的影響一方面，由于風險資產的期望回報率會高于無風險利率，所以消費者的效用會因為其總投資期望回報率的上升而上升——效用上升幅度與a成正比（Arrow-Pratt近似）另一方面，由于風險資產的回報存在不確定性，所以投資者效用會因為這種不確定性的上升而下降——效用下降幅度與a2成正比（Arrow-Pratt近似）當a很小的時候，期望回報率上升帶來的正面效應總是壓倒不確定性上升帶來的負面效應所以，只要風險資產的期望回報率高于無風險利率，投資者就一定會在風險資產上投入一些財富

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9.1投資者參與風險資產的條件

命題9.1背后的直覺對一

9.2風險資產上的投資量

風險資產投資量與絕對風險厭惡系數之關系命題9.2：如果a*是優(yōu)化一階條件(9.1)式的解，Er?>rf，投資者風險厭惡且其效用函數二階可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)a*'(w0)>0當且僅當R'A(?)<0（DARA） (ii)a*'(w0)=0當且僅當R'A(?)=0（CARA） (iii)a*'(w0)<0當且僅當R'A(?)>0（IARA）投資者的絕對風險厭惡系數隨初始財富的增加而下降（上升）時，初始財富越大，投資者投資于風險資產上的財富量越多（越少）——錢越多越不怕風險的話，錢越多、投在風險資產上的錢也越多

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9.2風險資產上的投資量

風險資產投資量與絕對風險厭惡系

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明證明：證明DARA（R’A(w0)<0）情形的必要性。消費者優(yōu)化問題之一階條件為

其中

一階條件式左右兩邊對w0求導，并注意到a*本身是w0的函數，可得由于da*/dw0不是隨機變量（因為a*在一開始就會被確定下來），所以可以從期望符號中提出來。因此可以解出由于u''(?)<0，分式中的分母總是負的，da*/dw0的正負號與E[u’’(?w)(?r-rf)]的符號相同

6(9.2)

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明（續(xù)1）證明（續(xù)）：用絕對風險規(guī)避系數來替換效用的二階導數（u''=-RA?u’）其中的rn為第n種可能性發(fā)生時，風險資產報酬率的實現值，wn為在這種情況下投資者期末財富的實現值，pn為第n種可能性發(fā)生的概率。對任意一種狀態(tài)n，只能有rn≥rf或rn≤rf兩種可能rn≥rf的情況。由于a*>0，所以如果rn≥rf，則必有wn≥w0(1+rf)。考慮到DARA的性質，因而必然有RA(wn)≤RA(w0(1+rf))。因此，必然有RA(wn)(rn-rf)≤RA(w0(1+rf))(rn-rf)rn≤rf的情形。此時必有wn≤w0(1+rf)，以及RA(wn)≥RA(w0(1+rf))。由于此時rn-rf<0所以也有RA(wn)(rn-rf)≤RA(w0(1+rf))(rn-rf)因此對任何n，都有以下不等式成立

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9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明（續(xù)2）證明（續(xù)）：由于邊際效用u'(wn)總是正的，所以對任何n都有又由于風險資產的回報率不是無風險利率，所以在某些可能性下，會有rn≠rf。在這種可能性下，上面的不等號取嚴格不等號。于是上面這個不等式的右邊可以再寫回期望符號，并將其中常數提出，從而得到上面最后等于0的這一步用到了一階條件式。所以，E[u’’(?w)(?r-rf)]>0，從而da*/dw0>0。這樣便證明了DARA情形下的必要性結論。CARA與IARA情形類似可證?！?

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證9.3風險資產投資占總財富的比重定義a*對初始財富的彈性為e(w0)命題9.3：如果a*是優(yōu)化一階條件（9.1）式的解，Er?>rf，投資者風險厭惡且其效用函數二階可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)e(w0)>1當且僅當R'R(?)<0（DRRA） (ii)e(w0)=1當且僅當R'R(?)=0（CRRA） (iii)e(w0)<1當且僅當R'R(?)>0（IRRA）CRRA與現實世界更相符當投資者是相對風險厭惡程度不變時（CRRA），其投資在風險資產上的財富比例不隨財富的變化而變化，是一個常數在現實世界的持續(xù)經濟增長中（財富隨之持續(xù)增長），投資在風險資產上的財富比例大致保持不變，與CRRA的結論更相近99.3風險資產投資占總財富的比重定義a*對初始財富的彈性為9.4風險中性投資者的特例風險中性投資者具有線性的效用函數：u(c)=αc，u'(?)=α，u''(?)=0風險中性投資者的組合優(yōu)化問題只要E(r?)>rf，風險中性投資者會盡可能多地買入風險資產如果風險中性投資者可以以無風險利率隨意借貸，那就會借入盡可能多的錢投入到風險資產上。在這種情況下，風險中性投資者會承擔社會中所有的風險，而給其他風險厭惡的投資者提供無風險資產的供給109.4風險中性投資者的特例風險中性投資者具有線性的效用函數9.5風險與儲蓄

確定性情況消費者的優(yōu)化問題一階條件左右兩邊同時對R求導，并注意到s是R的函數導數的符號由分子的符號決定RR(sR)<1（>1）時，ds/dR>0（<0），儲蓄隨回報率的增加而增加（減少）——風險厭惡度越低，儲蓄越是隨著回報率率的增加而增值119.5風險與儲蓄

確定性情況消費者的優(yōu)化問題119.5風險與儲蓄

必要的說明：不同時間與狀態(tài)間的平滑配置回報率的上升會給消費者帶來兩重影響替代效應（substitutioneffect）：R越高，今天的儲蓄在明天產生的財富更多，促使消費者今天多儲蓄、少消費收入效應（incomeeffect）：R越高，今明兩天可用來消費的總財富就更多，今天就應該消費更多、儲蓄更少對風險厭惡度高的人來說，收入效應更占優(yōu)風險厭惡度高→（跨時間和跨狀態(tài)）平滑消費意愿強→更愿意因為未來消費的增加而增加當前消費（減少當前儲蓄）→儲蓄回報率越高、儲蓄越少風險厭惡度低→（跨時間和跨狀態(tài)）平滑消費意愿弱→更不愿意因為未來消費的增加而增加當前消費（減少當前儲蓄）→儲蓄回報率越高、儲蓄越替代效應越占優(yōu)，儲蓄越多不同的經濟力量（跨時平滑消費與跨狀態(tài)平滑消費）對應相同的控制參數（相對風險規(guī)避系數）——應該會帶來問題吧？129.5風險與儲蓄

必要的說明：不同時間與狀態(tài)間的平滑配置回9.5風險與儲蓄

不確定狀況下的儲蓄資產的總回報率R?是一個隨機變量，當R?的風險變大時儲蓄會怎樣變化？消費者優(yōu)化問題一階條件為定義函數g(R)≡Ru‘(sR)，要使R?的波動方差變大后儲蓄s增加，g(R)需要是個凸函數（g''(R)>0）139.5風險與儲蓄

不確定狀況下的儲蓄資產的總回報率R?是一9.5風險與儲蓄

不確定狀況下的儲蓄（續(xù)）可以計算定義絕對審慎系數PA(y)與相對審慎系數PR(y)為有命題9.4：令R?A與R?B是兩個隨機收益，且R?B是R?A的保均展形（R?B風險更高）。若sA與sB分別是初始財富為w的風險厭惡投資者分別在面對R?A與R?B兩種情況時做出的儲蓄，那么有以下三個等價關系成立： (i)sA>sB，當且僅當PR(sR)<2； (ii)sA=sB，當且僅當PR(sR)=2； (iii)sA<sB，當且僅當PR(sR)>2；149.5風險與儲蓄

不確定狀況下的儲蓄（續(xù)）可以計算149.5風險與儲蓄

CRRA效用函數的情形CRRA效用函數可以計算對CRRA型效用函數，相對風險規(guī)避系數和絕對審慎系數都是常數159.5風險與儲蓄

CRRA效用函數的情形CRRA效用函數1

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者組合配置優(yōu)化問題投資者擁有初始財富w0，a投資于風險資產（?r），剩余的w0-a投資于無風險資產（rf），期末投資者的財富為投資者通過選擇風險資產上的投資量a來最大化他的期望效用優(yōu)化問題一階條件a*是使期望效用最大的風險資產投資量16(9.1)

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者組合配置優(yōu)化問題投

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件命題9.1：如果a*是優(yōu)化一階條件(9.1)式的解，投資者風險厭惡且其效用函數可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)a*>0當且僅當Er?>rf

(ii)a*=0當且僅當Er?=rf

(iii)a*<0當且僅當Er?<rf

證明：定義值函數如下

投資者最優(yōu)化的一階條件又可以寫為

由于投資者是風險厭惡的，所以必然有u''(?)<0。因此對任何a都必然有17

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件

9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件（續(xù)）證明（續(xù)）：這意味著V‘(a)是一個減函數（V’(a)隨a的增大而減?。?。所以當且僅當V‘(0)>0時才會有a*>0。因為如果V'(0)<0，那么隨a從0開始增大，V'(a)會變得更小，一階條件就不可能成立。而V'(0)可以寫為

其中的u'(w0(1+rf))是個正數。要使得V'(0)>0，就必須要有

這樣，就證明了等價關系(i)。另兩個等價關系類似可證。命題得證?！?/p>

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9.1投資者參與風險資產的條件

投資者參與風險資產的條件

9.1投資者參與風險資產的條件

命題9.1背后的直覺對一個之前完全持有無風險資產的投資者來說，把一些財富a重新分配到風險資產上的行為會對投資者效用帶來兩方面的影響一方面，由于風險資產的期望回報率會高于無風險利率，所以消費者的效用會因為其總投資期望回報率的上升而上升——效用上升幅度與a成正比（Arrow-Pratt近似）另一方面，由于風險資產的回報存在不確定性，所以投資者效用會因為這種不確定性的上升而下降——效用下降幅度與a2成正比（Arrow-Pratt近似）當a很小的時候，期望回報率上升帶來的正面效應總是壓倒不確定性上升帶來的負面效應所以，只要風險資產的期望回報率高于無風險利率，投資者就一定會在風險資產上投入一些財富

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9.1投資者參與風險資產的條件

命題9.1背后的直覺對一

9.2風險資產上的投資量

風險資產投資量與絕對風險厭惡系數之關系命題9.2：如果a*是優(yōu)化一階條件(9.1)式的解，Er?>rf，投資者風險厭惡且其效用函數二階可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)a*'(w0)>0當且僅當R'A(?)<0（DARA） (ii)a*'(w0)=0當且僅當R'A(?)=0（CARA） (iii)a*'(w0)<0當且僅當R'A(?)>0（IARA）投資者的絕對風險厭惡系數隨初始財富的增加而下降（上升）時，初始財富越大，投資者投資于風險資產上的財富量越多（越少）——錢越多越不怕風險的話，錢越多、投在風險資產上的錢也越多

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9.2風險資產上的投資量

風險資產投資量與絕對風險厭惡系

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明證明：證明DARA（R’A(w0)<0）情形的必要性。消費者優(yōu)化問題之一階條件為

其中

一階條件式左右兩邊對w0求導，并注意到a*本身是w0的函數，可得由于da*/dw0不是隨機變量（因為a*在一開始就會被確定下來），所以可以從期望符號中提出來。因此可以解出由于u''(?)<0，分式中的分母總是負的，da*/dw0的正負號與E[u’’(?w)(?r-rf)]的符號相同

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9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明（續(xù)1）證明（續(xù)）：用絕對風險規(guī)避系數來替換效用的二階導數（u''=-RA?u’）其中的rn為第n種可能性發(fā)生時，風險資產報酬率的實現值，wn為在這種情況下投資者期末財富的實現值，pn為第n種可能性發(fā)生的概率。對任意一種狀態(tài)n，只能有rn≥rf或rn≤rf兩種可能rn≥rf的情況。由于a*>0，所以如果rn≥rf，則必有wn≥w0(1+rf)。考慮到DARA的性質，因而必然有RA(wn)≤RA(w0(1+rf))。因此，必然有RA(wn)(rn-rf)≤RA(w0(1+rf))(rn-rf)rn≤rf的情形。此時必有wn≤w0(1+rf)，以及RA(wn)≥RA(w0(1+rf))。由于此時rn-rf<0所以也有RA(wn)(rn-rf)≤RA(w0(1+rf))(rn-rf)因此對任何n，都有以下不等式成立

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9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證明（續(xù)2）證明（續(xù)）：由于邊際效用u'(wn)總是正的，所以對任何n都有又由于風險資產的回報率不是無風險利率，所以在某些可能性下，會有rn≠rf。在這種可能性下，上面的不等號取嚴格不等號。于是上面這個不等式的右邊可以再寫回期望符號，并將其中常數提出，從而得到上面最后等于0的這一步用到了一階條件式。所以，E[u’’(?w)(?r-rf)]>0，從而da*/dw0>0。這樣便證明了DARA情形下的必要性結論。CARA與IARA情形類似可證?！?3

9.2風險資產上的投資量

命題9.2（i）必要性部分之證9.3風險資產投資占總財富的比重定義a*對初始財富的彈性為e(w0)命題9.3：如果a*是優(yōu)化一階條件（9.1）式的解，Er?>rf，投資者風險厭惡且其效用函數二階可導（u''(?)<0），那么有以下3個等價關系成立： (i)e(w0)>1當且僅當R'R(?)<0（DRRA） (ii)e(w0)=1當且僅當R'R(?)=0（CRRA） (iii)e(w0)<1當且僅當R'R(?)>0（IRRA）CRRA與現實世界更相符當投資者是相對風險厭惡程度不變時（CRRA），其投資在風險資產上的財富比例不隨財富的變化而變化，是一個常數在現實世界的持續(xù)經濟增長中（財富隨之持續(xù)增長），投資在風險資產上的財富比例大致保持不變，與CRRA的結論更相近249.3風險資產投資占總財富的比重定義a*對初始財富的彈性為9.4風險中性投資者的特例風險中性投資者具有線性的效用函數：u(c)=αc，u'(?)=α，u''(?)=0風險中性投資者的組合優(yōu)化問題只要E(r?)>rf，風險中性投資者會盡可能多地買入風險資產如果風險中性投資者可以以無風險利率隨意借貸，那就會借入盡可能多的錢投入到風險資產上。在這種情況下，風險中性投資者會承擔社會中所有的風險，而給其他風險厭惡的投資者提供無風險資產的供給259.4風險中性投資者的特例風險中性投資者具有線性的效用函數9.5風險與儲蓄

確定性情況消費者的優(yōu)化問題一階條件左右兩邊同時對R求導，并注意到s是R的函數導數的符號由分子的符號決定RR(sR)<1（>1）時，ds/dR>0（<0），儲蓄隨回報率的增加而增加（減少）——風險厭惡度越低，儲蓄越是隨著回報率率的增加而增值269.5風險與儲蓄

確定性情況消費者的優(yōu)化問題119.5風險與儲蓄

必要的說明：不同時間與狀態(tài)間的平滑配置回報率的上升會給消費者帶來兩重影響替代效應（substitutioneffect）：R越高，今天的儲蓄在明天產生的財富更多，促使消費者今天多儲蓄、少消費收入效應（inc