第七講拉氏變換傅氏變換與Z變換-課件

第七講拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系序列的付里葉變換離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)

第七講拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系12.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系2.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系2圖1-34S平面與Z平面多值映射關(guān)系s=σ+jΩz=rejωr=eσTω=ΩT2.5.1拉普拉斯變換與序列的Z變換左——單位圓內(nèi)右——單位圓外虛軸——單位圓圖1-34S平面與Z平面多值映射關(guān)系s=σ+jΩz=r3第七講拉氏變換傅氏變換與Z變換-課件42.5.2連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換（頻譜）。2.5.2連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換采樣序列52.5.3序列的傅氏變換與Z變換數(shù)字頻率是模擬角頻率對(duì)采樣頻率fs的歸一化值.單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換數(shù)字頻譜是其被采樣的連續(xù)信號(hào)頻譜周期延拓后再對(duì)采樣頻率的歸一化。2.5.3序列的傅氏變換與Z變換數(shù)字頻率是模擬角頻率對(duì)采6因單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，用ejω代替z，得到序列傅里葉變換的定義為序列的傅里葉反變換公式其收斂條件為2.6序列的傅氏變換因單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，7圖1-35序列及其傅里葉變換圖1-35序列及其傅里葉變換8表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)9表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)10表2-4傅里葉變換對(duì)表2-4傅里葉變換對(duì)112.10離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Z域）在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)給定的輸入x(n)，其輸出y(n)為對(duì)等式兩端取Z變換，得則2.10離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Z域）12H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變換，即在單位圓上(z=ejω)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)。H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是13因果系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果序列的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括z=∞點(diǎn)的收斂域，即因果系統(tǒng)14穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為h(n)必須滿足絕對(duì)可和條件，即而Z變換的收斂域由滿足 的那些z值確定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ejω)存在。穩(wěn)定系統(tǒng)而Z變換的收斂域由滿足 的那些z值確定，因15因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最普遍、最重要的一種系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到∞的整個(gè)Z域內(nèi)收斂，即也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。因果穩(wěn)定系統(tǒng)也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。162.10.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)也可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表示，其N階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可以直接對(duì)上式兩端取Z變換，利用Z變換的線性特性和移位特性可得2.10.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可17系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別就是差分方程的系數(shù)。將其分別進(jìn)行因式分解，可得z=ck是H(z)的零點(diǎn)z=dk是H(z)的極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別18例2-23已知系統(tǒng)函數(shù)為2<|z|≤∞求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。解系統(tǒng)函數(shù)H(z)有兩個(gè)極點(diǎn)z1=0.5,z2=2。從收斂域看，收斂域包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)。但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可以判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于2nu(n)項(xiàng)是發(fā)散的，可見系統(tǒng)確實(shí)是不穩(wěn)定的。例2-23已知系統(tǒng)函數(shù)為2<|z|≤∞求系統(tǒng)的單19例2-24系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同。求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。

解收斂域包括單位圓但不包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的但是非因果的。由系統(tǒng)函數(shù)的Z反變換可得由于存在2nu(-n-1)項(xiàng)，因此系統(tǒng)是非因果的。例2-24系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同。求系統(tǒng)的單位202.10.3系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果輸入序列是一個(gè)頻率為ω的復(fù)正弦序列：x(n)=ejωn-∞<n<∞線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則其輸出為2.10.3系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義21式中:因此y(n)=ejωnH(ejω)上式表明，當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入是頻率為ω的復(fù)正弦序列時(shí)，輸出為同頻復(fù)正弦序列乘以加權(quán)函數(shù)H(ejω)。顯然，H(ejω)描述了復(fù)正弦序列通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后，幅度和相位隨頻率ω的變化。換句話說(shuō)，系統(tǒng)對(duì)復(fù)正弦序列的響應(yīng)完全由H(ejω)決定。故稱H(ejω)為線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是其單位脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。式中:因此y(n)=ejωnH(ejω)22線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù),是復(fù)函數(shù)。它可以寫成模和相位的形式式中，頻率響應(yīng)的模|H(ejω)|叫做振幅響應(yīng)（或幅度響應(yīng)），頻率響應(yīng)的相位arg|H(ejω)|叫做系統(tǒng)的相位響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(ejω)存在且連續(xù)的條件是h(n)絕對(duì)可和，即要求系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以223例2-27設(shè)輸入為的響應(yīng)為例2-27設(shè)輸入為24對(duì)的響應(yīng)為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知系統(tǒng)對(duì)正弦輸入Acos(ω0n+φ)的響應(yīng)為對(duì)25如果h(n)是實(shí)序列，則可證明H(ejω0)滿足共軛對(duì)稱條件，即因此有:可得響應(yīng)為如果h(n)是實(shí)序列，則可證明H(ejω0)26即從這個(gè)例子可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列，輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度|H(ejω)|加權(quán)，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。這正是線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性。正因如此，信號(hào)和系統(tǒng)的頻域（傅里葉變換）表示法在離散線性系統(tǒng)中是很有用的。即從這個(gè)例子可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列27利用傅里葉變換性質(zhì)得到F［y(n)］=F［x(n)*h(n)］即Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅里葉變換等于輸入序列的傅里葉變換與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積。|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)| arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］利用傅里葉變換性質(zhì)得到|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|28例2-28設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定設(shè)系統(tǒng)是因果的。（1）求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（2）由(1)的結(jié)果，求輸入x(n)=ejπn的響應(yīng)。例2-28設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定29解（1）對(duì)差分方程兩端分別進(jìn)行Z變換可得系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅有一個(gè)極點(diǎn)，z1=1/2，因?yàn)橄到y(tǒng)是因果的，故H(z)的收斂域必須包含∞，所以收斂域?yàn)閨z|>1/2。該收斂域又包括單位圓，所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。解系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅有30對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為或?qū)ο到y(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為或31（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為由于系統(tǒng)是線性時(shí)不變且因果穩(wěn)定的，故當(dāng)輸入x(n)=ejπn時(shí)，應(yīng)用公式（1-125），可得輸出響應(yīng)為（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為由于系統(tǒng)是32解法二：解法二：332.10.4頻率響應(yīng)的幾何確定法2.10.4頻率響應(yīng)的幾何確定法34頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)就等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積除以各極點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積，再乘以常數(shù)b0/a0。而頻率響應(yīng)的相位函數(shù)等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量的相角之和減去各極點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量相角之和。當(dāng)頻率ω由0到2π時(shí)，這些向量的終端點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈，從而可以估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)。頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)就等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積除以各極35頻率響應(yīng)的幾何表示法頻率響應(yīng)的幾何表示法36例2-29設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|<1,a為實(shí)數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解將差分方程等式兩端取Z變換，可求得單位脈沖響應(yīng)為例2-29設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程37該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為38一階離散系統(tǒng)的各種特性一階離散系統(tǒng)的各種特性39例2-30設(shè)系統(tǒng)的差分方程為這是M-1個(gè)單元延時(shí)及M個(gè)抽頭相加所組成的電路，常稱之為橫向?yàn)V波器。試求其頻率響應(yīng)。

解令x(n)=δ(n)，將所給差分方程等式兩端取z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)為例2-30設(shè)系統(tǒng)的差分方程為這是M40H(z)的零點(diǎn)滿足zM-1=0,即這些零點(diǎn)等間隔地分布在單位圓上，其第一個(gè)零點(diǎn)為z0=1(i=0)，它正好和單極點(diǎn)zp=1相抵消，所以整個(gè)函數(shù)有(M-1)個(gè)零點(diǎn)，而在z=0處有(M-1)階極點(diǎn)。當(dāng)輸入為x(n)=δ(n)時(shí)，系統(tǒng)只延時(shí)(M-1)位就不存在了，故單位脈沖響應(yīng)h(n)只有M個(gè)值，即H(z)的零點(diǎn)滿足zM-1=0,即這些零點(diǎn)等間隔地分布在41圖1-39橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)與特性（a）零-極點(diǎn)分布;（b）單位脈沖響應(yīng);(c)幅度響應(yīng);(d)相位響應(yīng);(e)橫向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖M=6圖1-39橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)與特性M=6422.10.5有理系統(tǒng)函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)（IIR，F(xiàn)IR）對(duì)于一個(gè)N階的系統(tǒng)函數(shù)，它的一般表示式為該系統(tǒng)函數(shù)是z-1的有理函數(shù)，如果它僅僅具有一階極點(diǎn)，那么它通?？梢哉归_成如下形式:2.10.5有理系統(tǒng)函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)（IIR，F(xiàn)IR）該43H(z)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，分成兩類不同的系統(tǒng)：若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)延伸到無(wú)窮長(zhǎng)，稱之為“無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡(jiǎn)寫為IIR系統(tǒng)。若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，稱之為“有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡(jiǎn)稱為FIR系統(tǒng)。H(z)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，分成兩類不44分母多項(xiàng)式除a0外至少有一個(gè)系數(shù)ak≠0，則在有限Z平面0<|z|<∞就會(huì)出現(xiàn)極點(diǎn)，IIR系統(tǒng)。H(z)在有限Z平面0<|z|<∞沒有極點(diǎn)，只存在零點(diǎn)。FIR系統(tǒng)有反饋環(huán)路無(wú)反饋環(huán)路遞歸型結(jié)構(gòu)非遞歸型分母多項(xiàng)式除a0外至少有一個(gè)系數(shù)ak≠0，則在有限Z平面0<45例2-25考慮一個(gè)因果系統(tǒng)，其輸入輸出滿足差分方程y(n)=0.5y(n-1)+x(n)顯然，其系統(tǒng)函數(shù)為因系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，故其收斂域?yàn)閨z|>0.5。該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為因h(n)為無(wú)限長(zhǎng)，故為IIR系統(tǒng)。例2-25考慮一個(gè)因果系統(tǒng)，其輸入輸出46例2-26一個(gè)FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為則系統(tǒng)函數(shù)為(1-22)其零點(diǎn)k=0,1,…,(N-1)例2-26一個(gè)FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為則系統(tǒng)函數(shù)47

z=a處有一極點(diǎn)。假設(shè)a是正實(shí)數(shù)，顯然z=a的極點(diǎn)被z=a的零點(diǎn)抵消。若N=8，則極-零點(diǎn)圖如圖所示。其差分方程為線性卷積，即z=a處有一極點(diǎn)。假設(shè)a是正實(shí)數(shù)，顯然z=48第七講拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系序列的付里葉變換離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)

第七講拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系492.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系2.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系50圖1-34S平面與Z平面多值映射關(guān)系s=σ+jΩz=rejωr=eσTω=ΩT2.5.1拉普拉斯變換與序列的Z變換左——單位圓內(nèi)右——單位圓外虛軸——單位圓圖1-34S平面與Z平面多值映射關(guān)系s=σ+jΩz=r51第七講拉氏變換傅氏變換與Z變換-課件522.5.2連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換（頻譜）。2.5.2連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換采樣序列532.5.3序列的傅氏變換與Z變換數(shù)字頻率是模擬角頻率對(duì)采樣頻率fs的歸一化值.單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換數(shù)字頻譜是其被采樣的連續(xù)信號(hào)頻譜周期延拓后再對(duì)采樣頻率的歸一化。2.5.3序列的傅氏變換與Z變換數(shù)字頻率是模擬角頻率對(duì)采54因單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，用ejω代替z，得到序列傅里葉變換的定義為序列的傅里葉反變換公式其收斂條件為2.6序列的傅氏變換因單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，55圖1-35序列及其傅里葉變換圖1-35序列及其傅里葉變換56表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)57表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)58表2-4傅里葉變換對(duì)表2-4傅里葉變換對(duì)592.10離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Z域）在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)給定的輸入x(n)，其輸出y(n)為對(duì)等式兩端取Z變換，得則2.10離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Z域）60H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變換，即在單位圓上(z=ejω)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)。H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是61因果系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果序列的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括z=∞點(diǎn)的收斂域，即因果系統(tǒng)62穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為h(n)必須滿足絕對(duì)可和條件，即而Z變換的收斂域由滿足 的那些z值確定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ejω)存在。穩(wěn)定系統(tǒng)而Z變換的收斂域由滿足 的那些z值確定，因63因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最普遍、最重要的一種系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到∞的整個(gè)Z域內(nèi)收斂，即也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。因果穩(wěn)定系統(tǒng)也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。642.10.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)也可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表示，其N階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可以直接對(duì)上式兩端取Z變換，利用Z變換的線性特性和移位特性可得2.10.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可65系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別就是差分方程的系數(shù)。將其分別進(jìn)行因式分解，可得z=ck是H(z)的零點(diǎn)z=dk是H(z)的極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別66例2-23已知系統(tǒng)函數(shù)為2<|z|≤∞求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。解系統(tǒng)函數(shù)H(z)有兩個(gè)極點(diǎn)z1=0.5,z2=2。從收斂域看，收斂域包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)。但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可以判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于2nu(n)項(xiàng)是發(fā)散的，可見系統(tǒng)確實(shí)是不穩(wěn)定的。例2-23已知系統(tǒng)函數(shù)為2<|z|≤∞求系統(tǒng)的單67例2-24系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同。求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。

解收斂域包括單位圓但不包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的但是非因果的。由系統(tǒng)函數(shù)的Z反變換可得由于存在2nu(-n-1)項(xiàng)，因此系統(tǒng)是非因果的。例2-24系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同。求系統(tǒng)的單位682.10.3系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果輸入序列是一個(gè)頻率為ω的復(fù)正弦序列：x(n)=ejωn-∞<n<∞線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則其輸出為2.10.3系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義69式中:因此y(n)=ejωnH(ejω)上式表明，當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入是頻率為ω的復(fù)正弦序列時(shí)，輸出為同頻復(fù)正弦序列乘以加權(quán)函數(shù)H(ejω)。顯然，H(ejω)描述了復(fù)正弦序列通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后，幅度和相位隨頻率ω的變化。換句話說(shuō)，系統(tǒng)對(duì)復(fù)正弦序列的響應(yīng)完全由H(ejω)決定。故稱H(ejω)為線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是其單位脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。式中:因此y(n)=ejωnH(ejω)70線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù),是復(fù)函數(shù)。它可以寫成模和相位的形式式中，頻率響應(yīng)的模|H(ejω)|叫做振幅響應(yīng)（或幅度響應(yīng)），頻率響應(yīng)的相位arg|H(ejω)|叫做系統(tǒng)的相位響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(ejω)存在且連續(xù)的條件是h(n)絕對(duì)可和，即要求系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以271例2-27設(shè)輸入為的響應(yīng)為例2-27設(shè)輸入為72對(duì)的響應(yīng)為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知系統(tǒng)對(duì)正弦輸入Acos(ω0n+φ)的響應(yīng)為對(duì)73如果h(n)是實(shí)序列，則可證明H(ejω0)滿足共軛對(duì)稱條件，即因此有:可得響應(yīng)為如果h(n)是實(shí)序列，則可證明H(ejω0)74即從這個(gè)例子可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列，輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度|H(ejω)|加權(quán)，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。這正是線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性。正因如此，信號(hào)和系統(tǒng)的頻域（傅里葉變換）表示法在離散線性系統(tǒng)中是很有用的。即從這個(gè)例子可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列75利用傅里葉變換性質(zhì)得到F［y(n)］=F［x(n)*h(n)］即Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅里葉變換等于輸入序列的傅里葉變換與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積。|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)| arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］利用傅里葉變換性質(zhì)得到|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|76例2-28設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定設(shè)系統(tǒng)是因果的。（1）求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（2）由(1)的結(jié)果，求輸入x(n)=ejπn的響應(yīng)。例2-28設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定77解（1）對(duì)差分方程兩端分別進(jìn)行Z變換可得系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅有一個(gè)極點(diǎn)，z1=1/2，因?yàn)橄到y(tǒng)是因果的，故H(z)的收斂域必須包含∞，所以收斂域?yàn)閨z|>1/2。該收斂域又包括單位圓，所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。解系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅有78對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為或?qū)ο到y(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為或79（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為由于系統(tǒng)是線性時(shí)不變且因果穩(wěn)定的，故當(dāng)輸入x(n)=ejπn時(shí)，應(yīng)用公式（1-125），可得輸出響應(yīng)為（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為由于系統(tǒng)是80解法二：解法二：812.10.4頻率響應(yīng)的幾何確定法2.10.4頻率響應(yīng)的幾何確定法82頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)就等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積除以各極點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積，再乘以常數(shù)b0/a0。而頻率響應(yīng)的相位函數(shù)等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量的相角之和減去各極點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量相角之和。當(dāng)頻率ω由0到2π時(shí)，這些向量的終端點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈，從而可以估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)。頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)就等于各零點(diǎn)至ejω點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積除以各極83頻率響應(yīng)的幾何表示法頻率響應(yīng)的幾何表示法84例2-29設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|<1,a為實(shí)數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解將差分方程等式兩端取Z變換，可求得單位脈沖響應(yīng)為例2-29設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程85該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為86一階離散系統(tǒng)的各種特性一階離散系統(tǒng)的各種特性87例2-30設(shè)系統(tǒng)的差分方程為這是M-1個(gè)單元延時(shí)及M個(gè)抽頭相加所組成的電路，常稱之為橫向?yàn)V波器。試求其頻率響應(yīng)。

解令x(n)=δ(n)，將所給差分方程等式兩端取z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)為例2-30設(shè)系統(tǒng)的差分方程為這是M88H(z)的零點(diǎn)滿足zM-1=0,即這些零點(diǎn)等間隔