圖形變換的矩陣方法

關(guān)于圖形變換的矩陣方法1第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日2圖形變換幾何變換投影變換又稱坐標(biāo)變換:它是將點(diǎn)集的坐標(biāo)變換達(dá)到改變位置、形狀幾何變換基本變換組合變換：上述變換的連續(xù)實(shí)施投影變換正投影變換斜投影變換中心變換：三面正投影圖、軸測圖：斜軸測圖變位變換變形變換：旋轉(zhuǎn)、鏡像、：比例、錯(cuò)切周分布、陣列、線框圖的變換——通常以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點(diǎn)作一系列的幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)系列即可產(chǎn)生新的圖形。用參數(shù)方程描述的圖形的變換——通過參數(shù)方程作幾何變換實(shí)現(xiàn)。我們在這只討論圖形拓?fù)潢P(guān)系不變的幾何變換。重點(diǎn)討論線框圖的變換。：透視圖

由于顯示器和繪圖機(jī)只能用二維空間來表示圖形，要顯示三維圖形就要用投影方式來降低其維數(shù)。第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日31.二維平面上點(diǎn)的表示法改變頂點(diǎn)坐標(biāo),也就是對向量的變換,向量運(yùn)算必須用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。2.圖形變換的矩陣表示一對坐標(biāo)(x,y)一個(gè)向量[xy]設(shè):點(diǎn)P(x,y)點(diǎn)P’(x’,y’)其數(shù)學(xué)表達(dá)方法矩陣表達(dá)方法變換后的位置矢量矩陣變換矩陣位置矢量矩陣4.1二維圖形變換第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日4就是將圖形放大或縮小的變換方法。變換式為：x’=Sx*xy’=Sy*y討論：1.Sx＝Sy＝1，點(diǎn)的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換2.Sx＝Sy>1，點(diǎn)的位置變了、圖形放大了Sy倍。3.Sx＝Sy<1，點(diǎn)的位置變了、圖形縮小了Sy倍。圖形變化：原有圖形放大或縮小的變換參數(shù)值：主對角線上元素至少有一個(gè)不為1，次對角線上元素全為0。xOy(x,y)(x',y')Sx＝1,Sy>14.SxSy，圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向作非均勻比例變換。4.1.1比例變換第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日5xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x',y')(x,y)xOy=-x(x,y)(x',y')y4.1.2對稱變換第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日62.關(guān)于y軸的對稱變換3.關(guān)于45度平分線的對稱變換4.關(guān)于-45度平分線的對稱變換5.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換1.關(guān)于x軸的對稱變換第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日7沿x軸方向的錯(cuò)切變換沿y軸方向的錯(cuò)切變換1.沿X軸方向的錯(cuò)切變換4.1.3錯(cuò)切變換(1)變換過程中,點(diǎn)的y坐標(biāo)保持不變,而x坐標(biāo)值發(fā)生線性變化;(2)平行于X軸的線段變換后仍平行于X軸;(3)平行于Y軸的線段變換后錯(cuò)切成與Y軸成角的直線段(4)X軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。（2）沿Y軸方向錯(cuò)切（1）沿X軸方向錯(cuò)切(x,y)(x',y')(x,y)(x',y')第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日8(1)變換過程中,點(diǎn)的x坐標(biāo)保持不變,而y坐標(biāo)值發(fā)生線性變化;(2)平行于Y軸的線段變換后仍平行于Y軸;(3)平行于X軸的線段變換后錯(cuò)切成與X軸成角的直線段(4)Y軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。2.沿Y軸方向的錯(cuò)切變換第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日9其矩陣表示法：4.1.4繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日10變換過程為：x’=x＋ly’=y+m變換矩陣為如變換矩陣改為：則點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y)（x,y,1)P’=P*T==xO(x,y)(x',y')y4.1.5平移變換第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日11它是用一個(gè)n+1維向量表示一個(gè)n維向量的方法如：二維點(diǎn)[xy]用[XYH]表示如：空間點(diǎn)[xyz]用[XYZH]表示正?；R次坐標(biāo)怎樣由齊次坐標(biāo)求正常化齊次坐標(biāo)?H可以任意選取,齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。如二維平面上的一點(diǎn)[3,4],用齊次坐標(biāo)表示為[3,4,1][6,8,2][1.5,2,0.5]通常將H=1的齊次坐標(biāo)稱為x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)，可以防止溢出能將上述的所有變換統(tǒng)一用一個(gè)矩陣描述4.1.6齊次坐標(biāo)與變換通式第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日12比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切投影變換平移總體比例變換4.1.7二維圖形變換矩陣的一般形式二維圖形變換矩陣的通式T:第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日13(1)復(fù)合平移(2)復(fù)合比例組合變換:由多個(gè)基本變換的連續(xù)實(shí)施而成的復(fù)雜變換,又稱基本變換的級連.4.1.8二維組合變換第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日14(3)復(fù)合旋轉(zhuǎn)第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日15

先平移,再旋轉(zhuǎn)

先旋轉(zhuǎn),再平移級聯(lián)的順序不同,最終的圖形不同由于矩陣乘法不滿足交換率,(4)級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日163.將圖形從原點(diǎn)平移到p(m,n)1.將圖形從點(diǎn)p(m,n)平移到原點(diǎn)O2.繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5)繞平面上任意點(diǎn)P(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日17T1*T2*T3T＝==繞平面上任意點(diǎn)p(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日18設(shè)直線方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0-C/B-C/AEFF‘E’G’G則：x軸上的截距為-C/Ay軸上的截距為-C/B斜率為-A/B2.讓直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，使之與X軸重合1.將直線沿X軸平移C/A，使之過原點(diǎn)對任意直線的對稱變換可分解為以下五步:(6)對任意直線的對稱變換第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日193.圖形對直線的對稱變換變成對x軸的對稱變換4.讓直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，恢復(fù)到原來的傾斜位置5.將直線平移回原來的位置組合變換矩陣第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日20三維圖形變換矩陣通式為4x4方陣比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切平移投影變換總體比例變換空間點(diǎn)[xyz]的四維齊次坐標(biāo)[XYZH]表示三維空間點(diǎn)的變換為[xyz1]T=[x’y’z’1]變換前點(diǎn)的坐標(biāo)變換后點(diǎn)的坐標(biāo)三維圖形的變換矩陣[lmn]1x3

[pqr]T[s]1x14.2三維圖形變換第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日21三維圖的基本變換4.2.2軸向比例變換變換矩陣主對角線上的元素a、e、j、s的作用是是圖形產(chǎn)生比例變換。0<S<1，為圖形整體放大S>1，為圖形整體縮小S<0，為對稱變換＋比例變換S＝1，為恒等變換[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1][xyz1]T=[axeyjz1]=[x’y’z’1]若a=e=j,，則圖形三方向的縮放比例相同若aej,，則圖形將產(chǎn)生類似變形zxy4.2.1全比例變換第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日221.對OXY平面的反射特點(diǎn)：xy值不變，z坐標(biāo)符號改變[xyz1]T=[xy－z1]2.對YOZ平面的反射特點(diǎn)：zy值不變，x坐標(biāo)符號改變[xyz1]T=[-xyz1]3.對XOZ平面的反射特點(diǎn)：xz值不變，y坐標(biāo)符號改變[xyz1]T=[x-yz1]4.2.3對稱變換第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日23指空間的立體從一個(gè)位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，其形狀、大小都不發(fā)生變換的變換。[xyz1]T=[x＋ly+mz+n1]x’xz’zy’yxzy4.2.4平移變換第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日24例：一單位立方體，現(xiàn)將它沿x方向移動(dòng)3單位，y方向移動(dòng)2單位，z方向移動(dòng)3.5單位00010011010101111001101111011111[S]*T==323.51324.51333.51334.51423.51424.51433.51434.51第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日25三維旋轉(zhuǎn)變換指空間立體繞一軸旋轉(zhuǎn)角，且角的正負(fù)按右手定則決定。1.繞X軸旋轉(zhuǎn)角X坐標(biāo)不變Y、Z坐標(biāo)發(fā)生變化2.繞Y軸旋轉(zhuǎn)角Y坐標(biāo)不變X、Z坐標(biāo)發(fā)生變化3.繞Z軸旋轉(zhuǎn)角Z坐標(biāo)不變X、Y坐標(biāo)發(fā)生變化XYZXYZXYZ4.2.5旋轉(zhuǎn)變換第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日26設(shè)ON為過原點(diǎn)的任一直線，它對三根坐標(biāo)軸的方向余弦分別為：如立體繞ON軸旋轉(zhuǎn)角，變換可分為以下幾步：1.假設(shè)在Z軸上取單位矢量K，使K繞Y軸旋轉(zhuǎn)1角，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)2角，使其與ON軸重合。=[0011][n1n2n31]=[sin1cos2sin1sin2cos11]2.將立體隨軸ON一起，作上面所述相反的旋轉(zhuǎn)(1)先繞Z軸旋轉(zhuǎn)－2角；(2)再繞Y軸旋轉(zhuǎn)－1角，使ON軸與OZ軸重合；n1＝cos=sin1cos2

n2＝cos=sin1sin2

n3＝cos=cos1

(3)變換后的元素繞OZ軸旋轉(zhuǎn)角；(4)繞Y軸旋轉(zhuǎn)1角；(5)繞Z軸旋轉(zhuǎn)2；XYZPP′4.2.6繞過坐標(biāo)原點(diǎn)的任意傾斜直線旋轉(zhuǎn)第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日27其變換矩陣為：T＝繞Z軸旋轉(zhuǎn)角2

繞Y軸旋轉(zhuǎn)角1０繞Z軸旋轉(zhuǎn)角繞Y軸旋轉(zhuǎn)角1繞Z軸旋轉(zhuǎn)角2第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日28XYZOVWHZXXZOOnl4.2.7正投影變換第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日291.正面投影變換矩陣TV2.水平投影變換矩陣THX、Z坐標(biāo)值不變Y＝01)X、Y坐標(biāo)值不變、Z＝02)再將得到的投影繞X軸旋轉(zhuǎn)－90，3)然后沿Z軸方向平移一段的距離。第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日303.側(cè)面投影變換矩陣TW將空間幾何元素向YOZ平面(即W面)作垂直投影，x=0再將得到的投影繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，然后沿X軸方向平移一段的距離第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日31它的產(chǎn)生過程是：1)