放縮法典型例題

放縮法典型例題數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中， 是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力. 本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法， 而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和.一.先求和后放縮例1,正數(shù)數(shù)列瓦｝的前域項的和工,滿足/收=/41,試求：（1）數(shù)列的通項公式；6- ] wJ⑵設(shè)* ,數(shù)列儀｝的前抬項的和為鞏,求證：*2解：（1）由已知得4s一（%+1廠，是之2時，41.]二（*+1）,作差得：4%二點+況一及1-2%,所以況---2）=0,又因為為正數(shù)數(shù)列，所以%―/-I=2,即（%）是公差為2的等差數(shù)列，由2國二的41,得畫=1,所1二1二1（11）112Q印+1)(2)隊趣』（2…Q+1）5方一12庫112Q印+1)(2)注：一般先分析數(shù)列的通項公式.如果此數(shù)列的前 厚項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式. 求和的方式一般要用到等差、 等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列14）滿足條件"研1-%=/（國））求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和.二.先放縮再求和.放縮后成等差數(shù)列，再求和2 ~"i1例2.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列（/）的前吊項和為M，且%+.=2邑.（2）求證:

（2）求證:J解：（1）在條件中，令司=1,得知+為之對=2%，"]>0?口]=1,又由條件j 2 r瑪+叫-2凡有叫十1+叫+1.2slp;+1,上述兩式相減，注意到—工+i.工得（/J4）（k-/-D二°=知二，°二即川一4>。，%+「4=1普（總+1）所以，一.’'_[.所以…界02+1)<1.田、+(用+1)（2）所以…界02+1)<1.田、+(用+1)（2）因為是獻(xiàn)卯+1）川(葡+1)制+1-2-<-VT所以焚+愿十…歷二1x22x3?S(K+ <, +?.十■■■十一2 72V2短%%?=—.?.公比■_X+比_邑土]-1 iT-L.k上由一-1_1_2 圈_雙耳+1）_&.放縮后成等比數(shù)列，再求和例3.（1）設(shè)a,nCN*,a名證明：/一D*之依+D城；_1 i=_^_⑵等比數(shù)列｛an｝中， ，前n項的和為An,且A,A9,A8成等差數(shù)列.設(shè)1.￡數(shù)列｛bn｝前n項的和為Bn,證明：Bnv'.解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，an通于是，產(chǎn)一D*三占*（。禺+D3S+D,口調(diào).當(dāng)n為偶數(shù)時，a—1當(dāng)，且an刃2,于是_（-$）* /-1）之（『-1）--=（a41）（（5-i）s*之g+i）也"(2).A?A=%+gA?4=-%%+%=-%(2).〉))

.1門」」1 1 1 15 5 1門1、1M 1門」」1 1 1 15 5 1門1、1M Fm+…H - =-(1 )<—3.2鞏2*S2a3「J3 2" 3?4=瓦+%+…紇 ~23.放縮后為差比數(shù)列，再求和「、 1%也=0十二）%5=123…）例4.已知數(shù)列［即』滿足：血L=】， 2* ,求證:證明：因為%+】。+"％所以*與%同號,又因為%=所以/二，U>0 _1,即4+1>%,所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以冬主%二1%+i心即埠2"，累加得:J2 ”1窗*一之一+「7+■"+ 11t12匯I2期一1= + +",,+ 2口尹丁,兩式相減得:I1I1 -1二一++——+■■■+ - 22a2^2修2*4二2一二，所以r￡司+1%+1>aK-3-~^7丁故得 14.放縮后為裂項相消，再求和例5.在m（m或）個不同數(shù)的排列PiP2-Pn中，若IWVj前時P>P（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱P與Pj構(gòu)成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列5+1.5-1）…紀(jì)1的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù)4'I排列321的逆序數(shù)%=6j(1)求a4、(1)求a4、a5,并寫出an的表達(dá)式;(2)即I戛』*巴，證明沏叫+瓦+，也3，n=1,2,….(2)A因為」_.巴吩(2)A因為」_.巴吩=2/=12…杵+2nX十之%二又因為綜上，二’一二十?，「'>+> '一：…注：常用放縮的結(jié)論:2X十之%二又因為綜上，二’一二十?，「'>+> '一：…注：常用放縮的結(jié)論:2__i___1_j_] __j_（i）廠戶加/口⑵.2 ?1< 2\[k+我+1我/+Tjfc-1在解題時朝著什么方向進行放縮， 是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式. 如K2+3/2盟5+1)例2要證明的結(jié)論2雙、2點為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型， 則把通項放縮為等差數(shù)-(1-—)<-列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論3 2* 3為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通內(nèi)+13-