數學與統(tǒng)計學院高等數學A1第一學期期末考試試卷1及答案_第1頁
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PAGE5PAGE數學與統(tǒng)計學院2009—2010第一學期《高等數學A1》期末考試試題一、（42分）試解下列各題：1、計算.2、求解微分方程的通解。3、計算.4、計算.5、求曲線自至一段弧的長度。6、設，求.二、（8分）已知，其中由方程確定，求.三、（8分）設,，試證明數列收斂，并求.四、（15分）已知函數，求：1、函數的單調增加、單調減少區(qū)間，極大、極小值；2、函數圖形的凸性區(qū)間、拐點、漸近線。五、（12分）已知函數滿足微分方程，且軸為曲線在原點相切，在曲線（）上某點處作一切線，使之與曲線、軸所圍平面圖形的面積為，試求：（1）曲線的方程；（2）切點的坐標；（3）由上述所圍圖形繞軸旋轉一周所得立體的體積。六、（10分）設在上連續(xù)，在內可導，且，證明：（1）存在，使;（2）對任意實數，必存在，使.七、（5分）設函數滿足下列兩個等式：，求證：，.數學與統(tǒng)計學院2009—2010第一學期《高等數學A1》期末考試試題參考答案（42分）試解下列各題：1、解：原極限=2、解：齊次方程的特征方程為，它有復數根，故原方程的通解為：3、解：原式=4、解：5、解：6、解：二、（8分）解：，方程兩邊微分得：故有三、（8分）解：,，因此設，則單調增加，且,故存在設，則:解得.因為非負，∴四、（15分）解：定義域為令駐點，不可導點故單調增加區(qū)間為：，單調減少區(qū)間為：極小值為：，無極大值。2）下凸區(qū)間為：，無拐點，由，故為函數圖形的鉛直漸近線。又故為函數圖形的斜漸近線。五、（12分）解：（1）由觀察法知曲線方程為：或解微分方程：特征方程為，故對應齊次方程的通解為，由于，所以微分方程的特解設為，從而有：，故為微分方程的通解，又，由題設知，所以微分方程滿足初值條件的解為，即曲線方程為：（2）設切點B的坐標為，則過點B的切線斜率為，于是切線方程為，和軸交點為，由，得a=1，因此切點坐標為(1,1)。（3）六、（10分）證明：（1）令，則故，使得，即（2）設，則，由羅爾定理：，即即七、（5份）證：應用泰勒公式，我們有：（1）（2）分別得：（3）（4

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