北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件（2022年12月修訂）

北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊全冊教學(xué)課件第一章三角形的證明1等腰三角形第1課時

全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)了哪些判定三角形全等的方法？邊邊邊（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

角角邊（ASA）：想一想我們已經(jīng)探索過“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論，你能用有關(guān)的基本事實和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定理證明它嗎？新課探究已知：如圖，∠A

=∠D，∠B

=∠E，BC

=

EF.求證：△ABC≌△DEF.ABCDEF證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）.∴∠C=180°－（∠A+∠B），∠F=180°－（∠D+∠E），∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F（等量代換）.∵BC=EF（已知）.∴△ABC≌△DEF（ASA）.ABCDEF

定理

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.（AAS）根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.議一議（1）還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？（2）請你選擇等腰三角形的一條性質(zhì)進(jìn)行證明，并與同伴交流.ABC頂角底角底角腰腰底邊

先自己折紙觀察探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再小組交流，互相彌補不足.ABC（B）定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡述為：等邊對等角.練習(xí)在△ABC中，AB=AC.（1）若∠A=40°，則∠C

等于多少度？（2）若∠B=72°，則∠A

等于多少度？ABC（1）70°（2）36°已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

AC.求證：∠B

=∠C.ABC取BC的中點D，連接AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.證法一：DABCD證法二：作△ABC頂角∠A的角平分線AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.證法三：ABC在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.想一想ABCD在圖中，線段AD

還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論？

推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.可分解成下面三個方面來理解：1.等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高?！逜B

＝AC，∠1

＝∠2（已知）∴BD

＝DC，

AD⊥BC（等腰三角形三線合一）ABCD122.等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線?！逜B

＝AC

BD＝DC

（已知）∴AD⊥BC

∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）ABCD123.等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。∵AB＝ACAD⊥BC

（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）ABCD12隨堂演練1.（1）已知等腰三角形的一個角為40°，則其它兩個角分別為

。（2）已知等腰三角形的一個外角為70°，則這個三角形的三個內(nèi)角分別為

。70°、70°或40°、100°110°、35°、35°2.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D

在BC

上，且BD=AD，DC=AC，求∠B

的度數(shù).ABCD解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對等角）.同理可得∠B=∠BAD，∠CDA=∠CAD.設(shè)∠B=x，則∠C=∠BAD=x，∴∠CAD

=∠CDA

=2x.在△ADC

中，∠C+∠CDA+∠CAD=180°，即x

+

2x

+2x

=180°，∴x=36°，即∠B=36°.3.△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，DF⊥AC于F，DE⊥AB

于E.

求證：DE＝DF。ABCDEF證明：連接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC（已知）∴AD是∠BAC的平分線.（等腰三角形三線合一）又∵DE⊥ABDF⊥AC，∴DE＝DF（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）.ABCDEF4.已知：如圖，點B，E，C，F(xiàn)

在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.

求證：∠A=∠D.ADBECFADBECF證明：

∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC，∴BC=EF.又∵AB=DEAC=DF，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.∴∠A=∠D.5.如圖，在△ABC

中，AB=AC，點D，E

都在邊BC

上，且AD=AE，那么BD

與CE

相等嗎？請證明你的結(jié)論.ABCDEABCDE解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對等角）.同理可得∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.∴△ABD

≌△ACE（AAS）.∴BD=CE.課堂小結(jié)1.等腰三角形的兩個底角相等；2.等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高線三條線重合；等腰三角形的性質(zhì)課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時

等邊三角形的性質(zhì)北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？新課探究ABC等腰三角形兩個底角的角平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等.

已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的角平分線.例1

證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.求證：BD

=

CE.證明：∵AB

=

AC，∴∠ABC

=∠ACB（等邊對等角）.∵∠1

=∠ABC，∠2

=∠ACB，∴∠1

=∠2.在△BDC

和△CEB

中，∵∠ACB

=∠ABC，BC

=

CB，∠1

=∠2.∴△BDC

≌△CEB（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.1212你還能用其他方法證明嗎？證明：∵AB

=

AC，∴∠ABC

=∠ACB.∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4.在△ABD

和△ACE

中，∵∠3

=∠4，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.1212練一練

已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的高.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD

=

CE.ABCED證明：∵BD、CE

是△ABC

的高.∴∠AEC=∠ADB=90°.在△ABD

和△ACE

中，∵∠AEC=∠ADB=90°，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（AAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.ABC

已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的中線.求證：BD

=

CE.ED證明：

∵BD、CE

是△ABC

的中線.∵AE=AB，AD=AC，∴AE=AD.在△ABD

和△ACE

中，∵AE

=

AD，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（SAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.1212議一議如圖，在△ABC

中，AB=AC，點D，E

分別在邊AC

和AB上.EDABC（1）如果∠ABD

=∠ABC，∠ACE

=∠ACB，那么

BD

=

CE

嗎？如果∠ABD

=∠ABC，∠ACE

=∠ACB

呢？由此你能得到一個什么結(jié)論？13131414EDABCBD=CE（2）如果

AD

=AC，AE

=AB，那么

BD

=

CE

嗎？如果

AD

=AC，AE

=AB

呢？由此你得到什么結(jié)論？12121313BD=CE想一想等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢？

定理

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

BC

=

AC.求證：∠A

=∠B

=∠C

=

60°.證明：∵AB

=

AC，∴∠B

=∠C（等邊對等角）.同理：∠C

=∠A，∴∠A

=∠B

=∠C（等量代換）.又∵∠A

+∠B

+∠C=180°∴∠A

=∠B

=∠C=60°.ABC等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎？為什么？

結(jié)論：等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的平分線都三線合一。ABC等邊三角形是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？ABC等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱.隨堂演練1.等邊三角形的對稱軸有（）A.1條B.2條C.3條D.4條2.等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（）A.3條B.6條C.9條D.7條CA3.等邊三角形ABC

的周長等于21cm，求：（1）各邊的長；（2）各角的度數(shù).ABC解：（1）∵AB=BC=CA，又∵AB+BC+CA=21cm（已知）∴AB=BC=CA=21÷3=7（cm）（2）∵AB=BC=CA，（已知）∴∠A=∠B=∠C=60°（等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°）4.如圖，已知△ABC

和△BDE

都是等邊三角形，求證：AE

=

CD.ABCDE證明：∵△ABC

和△BDE

都是等邊三角形，∴AB

=

BC，∠ABC

=∠DBE

=

60°，

BE

=

BD，∴△ABE

≌△CBD.∴AE

=

CD.5.已知：如圖，D，E

分別是等邊三角形ABC

的兩邊AB，AC上的兩點，且AD=CE.求證：CD=BE.ABCDEABCDE證明：∵△ABC

是等邊三角形，∴AB=AC.在△ADC和△CEB中，AC=CB，AD=CE，∠A=∠BCE，∴△ADC

≌△CEB，∴CD=BE.課堂小結(jié)等邊三角形的性質(zhì)2.等邊三角形的內(nèi)角都相等，且等于60°.3.等邊三角形各邊上中線，高和所對角的平分

線都三線合一.4.等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.1.三條邊相等.

課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選?。?.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第3課時

等腰三角形的判定及反證法北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？等腰三角形的兩個底角相等.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立嗎？思考新課探究ABC前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？已知：在△ABC

中∠B

=∠C，求證：AB

=

AC.ABC證明：作

AD⊥BC

于點D，∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB

≌△ADC（AAS），∴AB=AC.D定理

有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊.ABC幾何語言：∵∠B=∠C

（已知）∴AB=AC（等角對等邊）

例2已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD

與CA

相交于點E.求證：△AED

是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD

≌△DCA（SSS）.∴∠ADB=∠DAC，∴AE=ED（等角對等邊）.∴△AED

是等腰三角形.練習(xí)1如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個等腰三角形？練習(xí)ABCD3個練習(xí)2已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．ABCDE12證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.想一想

小明認(rèn)為，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？ABCABC

如圖，在△ABC

中，已知∠B

≠∠C，此時

AB

與

AC

要么相等，要么不相等.假設(shè)

AB

=

AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C

=∠B，這與已知條件∠B

≠∠C

相矛盾，因此AB

≠

AC.反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.我們把它叫做反證法.

例3

用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C

中不能有兩個角是直角.

證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B

是直角，即∠A=90°，∠B=90°.

于是∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°.

這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B

是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個三角形中不能有兩個角是直角.隨堂演練1.下列兩個圖形是否是等腰三角形？75°30°40°40°是是2.如圖，在△ABC

中，BD

平分∠ABC，交AC

于點D，過點D

作BC

的平行線，交AB

于點E，請判斷△BDE的形狀，并說明理由.解：△BDE

是等腰三角形.∵BD

平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴△BDE

是等腰三角形.3.如圖，上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達(dá)B處，從A、B望燈塔C，測∠NAC=40°，∠NBC=80°，求從B處到燈塔C的距離.80°40°NBAC北80°40°NBAC北解：∠C=∠CBN–∠A=80°–40°=40°，∴∠C=∠A，∴AB=BC，AB=20×（12–10）=40（海里），∴BC=40海里4.求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：∠A___60°，∠B___60°，∠C___60°,則∠A+∠B+∠C

＞180°.這與_____________________相矛盾.所以______不成立，所求證的結(jié)論成立.＞＞＞三角形內(nèi)角和等于180°假設(shè)5.已知五個正數(shù)的和等于1，用反證法證明：這五個數(shù)中至少有一個大于或等于.15

證明：假設(shè)這五個數(shù)是a1，a2，a3，a4，a5全部小于

，那么這五個數(shù)的和

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

就小于

1.這與已知這五個數(shù)的和等于1

相矛盾.因此假設(shè)不成立，原命題成立，即這五個數(shù)中至少有一個大于或等于

.1515課堂小結(jié)今天你學(xué)到了什么?1.等腰三角形的判定定理：等角對等邊.2.會運用等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計算和證明.課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第4課時等邊三角形的判定北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是什么？2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個三角形是等邊三角形呢？新課探究

一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形？請證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.ABC（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形證明：∵∠B=∠A=60°，∴AC=BC（等角對等邊）.∵∠B=∠C=60°，∴AC=AB

，∴AC=AB=BC.（2）有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明：若AB＝AC，∠A＝60°，則∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB＝AC＝BC（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）.ABC證明：若AB＝AC，∠B＝∠C=60°，則∠A=180°–∠B

–∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB＝AC＝BC（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）.ABC定理

三個角都相等的三角形是等邊三角形.定理

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.練習(xí)已知：如圖，△ABC

是等邊三角形，與BC

平行的直線分別交AB

和AC

于點D，E.求證：△ADE

是等邊三角形.ABCDEABCDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，

∠AED=∠C=60°，∴∠ADE=∠AED=∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形.做一做用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎?定理

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠BAC

=

30°.求證：BC

=AB.12ABC證明：延長

BC

至

D，使

CD

=

BC，連接

AD.

∵∠ACB

=

90°∴∠ACD

=

90°

∵AC

=

AC，∴△ABC

≌

△ADC（SAS）.

∴AB

=

AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

∴△ABD

是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.

∴BC

=

BD

=

AB.

ABCD1212例4求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°.CD是腰AB上的高.求證：CD=AB.12BADC

證明：在△ABC中，

∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°（等邊對等角）.∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴CD=AC（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）∴CD=AB.1212隨堂演練1.如圖，折疊直角三角形紙片，使點C

落在AB

邊上的點E處，已知BC=12，∠B=30°，∠C=90°，則DE

的長是________.4AEBDC2.如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD

是△ABC

的高，且BD=1，求AD

的長.BCDABCDA解：在△BCD

中，∠BDC=90°，∴∠BCD=30°，∴

BC=2BD=2，在△ABC

中，∠ACB=90°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB–BD=4–1=3.3.房梁的一部分如圖所示，其中，BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，點D

是AB

的中點，且DE⊥AC，垂足為

E，求BC，DE

的長.解：在△ABC

中，∠A=30°，BC⊥AC，∴BC=AB=3.7m.又∵點D

是AB

的中點，∴AD=BD=3.7m，在△ADE

中，∠A=30°，DE⊥AC，∴DE=AD

=

1.85m.12124.如圖，△ABC

是等邊三角形，且∠1＝∠2＝∠3.判斷△DEF

的形狀，并簡要說明理由.123ABCDEF123ABCDEF∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C，

又∵∠1=∠2=∠3，

∴∠DAC=∠FCB=∠ABE.

∵∠DFE=∠DAC+∠3，

∠FED=∠2+∠FCB，∠EDF=∠1+∠ABE，

∴∠DFE=∠FED=∠EDF，

∴△DEF是等邊三角形.解：△DEF是等邊三角形.課堂小結(jié)定理

三個角都相等的三角形是等邊三角形.定理

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.定理

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。2直角三角形第1課時

勾股定理及其逆定理北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入我們學(xué)過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？與同伴交流.ABC想一想新課探究（1）直角三角形的兩個銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？（2）如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？

定理

直角三角形的兩個銳角互余.

定理

有兩個角互余的三角形是直角三角形.ABC∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.

勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面積=（a–b）2即c2=a2+b2.=c2–4×ab勾股定理的證明：DEFGHIABCabc如圖，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分別以Rt△ABC

的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG.連接EB，CH.EFGMNHIABCabc過點C

作

AB的垂線，分別交

AB

和HI

于點M，N.DEFGMNHIABCabc∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.DEFGMNHIABCabc又∵S正方形ACDE=2S△EAB，S長方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S長方形AHNM.同理a2=S長方形MNIB.∴c2=a2+b2.D練習(xí)

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.解：根據(jù)圖形正方形E的邊長為:故E的面積為：252=625.反過來，在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎？已知：如圖，在△ABC

中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.ABC證明：如圖作Rt△A'B'C'，A'B'C'使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C'=AC，則A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠A=∠A'=90°.因此，△ABC

是直角三角形.ABC

定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.判斷下列三邊組成的三角形是不是直角三角形.（1）a=2，b=3，c=4.（）（2）a=9，b=7，c=12.（）（3）a=25，b=20，c=15.（）××√練習(xí)議一議觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系？在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎？

上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件．再觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.想一想你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都是真命題嗎？逆命題：如果兩個有理數(shù)的平方相等，那么這兩個有理數(shù)相等.原命題是真命題，逆命題是假命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.隨堂演練1.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b，c.2.已知直角三角形的兩邊長分別為

3，2，求另一條邊長.解：當(dāng)斜邊的長為3時，另一條邊長當(dāng)兩條直角邊長分別為3、2時，斜邊長3.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假:（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）如果

ab=0，那么a=0，b=0.

解：（1）多邊形是四邊形.原命題是真，逆命題是假.（2）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.原命題是真，逆命題是真.（3）如果那么a=0，b=0，那么ab=0.原命題是假，逆命題是真.4.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E

為

BC上的一點，且∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3，求AD

的長.解：∵AB∥CD，∴

∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BAE=25°，∠CDE=65°，∴∠EAD+∠

ADE=90°，根據(jù)勾股定理，AD2=AE2

+DE2

=22+32=13,∴AD=解：由題意得：(a+b)(a–

b)(a2+b2–

c2)=0，∴a–

b=0或a2+b2–

c2=0.5.已知

a、b、c

是△ABC

的三邊長，且滿足

，試判斷△ABC

的形狀.當(dāng)a=b時，△ABC為等腰三角形;當(dāng)a≠b時，△ABC為直角三角形.6.一個零件的形狀如圖所示，工人師傅量得這個零件各邊尺寸如下(單位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出這個零件的面積嗎？解：如圖，連接

BD.

在Rt△ABD

中，在△BCD

中，BD2

+

BC2

=

52

+

122

=

132

=

CD2.∴△BCD

為直角三角形，∠DBC

=

90°.課堂小結(jié)定理

直角三角形的兩個銳角互余.定理

有兩個角互余的三角形是直角三角形.

勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.互逆命題互逆命題課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時

直角三角形全等的判定北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS新課探究做一做已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.已知：如圖，線段a，c（a＜c），直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.ab（1）作∠MCN=∠α=90°.MCN（2）在射線CM

上截取

CB=a.MCNB（3）以點B

為圓心，線段c

的長為半徑作弧，交射線CN

于點A.MCNBA（4）連接AB，得到Rt△ABC.MCNBA

定理

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”.已知：如圖，在△ABC

與△A'B'C'

中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求證：△ABC≌△A'B'C'.證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2–AC2（勾股定理）.同理，B'C'2=A'B'2–A'C'2.∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.ACBA'C'B'判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?1.一個銳角及這個銳角的對邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形.全等（AAS）2.一個銳角及這個銳角相鄰的直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形.全等（ASA）3.兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形.全等（SAS）4.有兩邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形.情況1：全等（SAS）情況2：全等（HL）

例

如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC

與右邊滑梯水平方向的長度DF

相等，兩個滑梯的傾斜角∠B

和∠F

的大小有什么關(guān)系？解：根據(jù)題意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC

≌Rt△EDF（HL）.∴∠B=∠DEF（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的兩銳角互余）.∴∠B+∠F=90°.練習(xí)如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，要明證△ABC≌△BAD，需要添加一個什么條件？請說明理由．（1）

（）；（2）

（）；（3）

（）；（4）

（）．AD=BCAC=BD∠DAB=∠CBA∠DBA=∠CABHLHLAASAAS隨堂演練1.在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB=B′A′，則下列結(jié)論正確的是（）A.AC=A′C′ B.BC=B′C′C.AC=B′C′ D.∠A′=∠AC2.如圖，在△ABC

中，∠C

＝90°，AC

＝

BC，AD

平分∠CAB，交BC

于D，DE⊥AB

于E，且AB＝6cm，則△DEB

的周長為_______cm.ACBDE63.如圖，在△ABC

和△A'B'C'

中，CD，C'D'分別是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.求證：△ABC≌△A'B'C'.ABCDA'B'C'D'證明：∵CD、C'D'分別是△ABC

和△A'B'C'的高∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC

和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'，CD=C'D'，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∴∠A=∠A'(全等三角形的對應(yīng)角相等)．在△ABC

和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AC=A'C'，∠ACB=∠A'C'B'，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．ABCDA'B'C'D'4.如圖，B、E、F、C在同一直線上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你認(rèn)為AB平行于CD嗎？說說你的理由.ABDEFCABDEFC解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB和∠DEC都是直角，又BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在Rt△ABF

和Rt△DCE

中，AB=CD，BF=CE，∴Rt△ABF

≌Rt△DCE（HL），∴∠B=∠C，AB∥CD.5.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，EF是過點A的直線，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，試探求線段BE、CF、EF之間的關(guān)系，并加以證明.AEFBC解：BE+CF=EF，證明如下：∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠BEA=∠AFC=90°.又∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=180°–∠BAC=90°，∴∠EAB=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC，∠EAB=∠FCA，AB=CA，∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE=AF，AE=CF，∴BE+CF=AF+AE=EF.AEFBC課堂小結(jié)NMC′A′B′

定理

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。3線段的垂直平分線第1課時線段垂直平分線的的性質(zhì)與判定北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點P，連結(jié)PA、PB；量一量PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？ABMNCP新課探究

定理

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一點.

求證：PA=PB.ABCMNPABCMNP證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵

AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴

PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

判斷：如圖直線MN垂直平分線段AB

，則

AE=AF.（）練習(xí)ABMNFE×想一想你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.即到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．

定理

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P

點在AB

的垂直平分線上．ABCP證明一：過點P作已知線段AB

的垂線

PC，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC=BC，即

P點在AB

的垂直平分線上．ABCP證法二：取AB

的中點C，過P，C

作直線.∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）.∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即

PC⊥AB.∴P點在

AB的垂直平分線上.ABCP證法三：過P

點作∠APB的角平分線交

AB于點C.∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC（SAS）.∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P點在線段

AB的垂直平分線上.ABCP例1已知：如圖，在△ABC

中，AB=AC，O是△ABC

內(nèi)一點，且OB=OC.

求證：直線AO

垂直平分線段

BC.ABCOABCO證明：∵AB=AC.∴

點A

在線段BC

的垂直平分線上.（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.∴直線AO

是線段BC

的垂直平分線（兩點確定一條直線）.同理，點O

在線段BC

的垂直平分線上.已知：如圖，D

是

BC延長線上的一點，BD=BC+AC.求證：點C

在

AD的垂直平分線上.練習(xí)ABCD證明：因為點D

在BC

延長線上，

所以BD=BC+CD，

又因為BD=BC+AC，∴AC=DC，

所以點C

在AD

的垂直平分線上.

ABCD隨堂演練

1.如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______.8ABCDE

2.到三角形三個頂點的距離相等的點是（

）A.三條角平分線的交點B.三邊垂直平分線的交點C.三邊高線的交點D.沒有這樣的點B3.在△ABC中，AB的中垂線與

AC邊所在直線相交所得的銳角為50°，則∠A的度數(shù)為（

）A.50° B.40°C.40°或140° D.40°或50°C4.已知：如圖，在△ABC

中，邊AB、BC

的垂直平分線交于P.求證：點P

在AC的垂直平分線上.BACMNM′N′PBACMNM′N′P證明：∵點P

在線段

AB的垂直平分線MN

上，∴PA=PB.同理

PB=PC.∴PA=PC.∴點P

在AC

的垂直平分線上;∴AB、BC、AC

的垂直平分線相交于點P.

5.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC.

∴AB=AC=CE.∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE.ABCDE課堂小結(jié)

定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.互逆命題課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時三角形三邊的垂直平分線北師版八年級數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入作三角形三條邊的垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

P三條邊的垂直平分線交于一點P新課探究例2求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.PABC已知：如圖，在△ABC

中，邊AB的垂直平分線與邊BC

的垂直平分線相交于點P.求證：邊

AC的垂直平分線經(jīng)過點

P，且PA=PC.

證明：∵點P

在線段AB

的垂直平分線上，∴

PA=PB（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）.

同理，PB=PC.

∴PA=PB=PC.

∴

點

P在線段

AC

的垂直平分線上（到一條線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上），即

邊

AC

的垂直平分線經(jīng)過點P.PABC三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.議一議（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫出滿足條件的三角形嗎？如果能，能畫出幾個？所畫出的三角形都全等嗎？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1可以畫出無數(shù)個三角形（2）已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能畫出幾個？所畫出的三角形都全等嗎？可以畫出無數(shù)個三角形

（3）已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè).例3已知一個等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個等腰三角形.已知：如圖，線段a，h.求作：△ABC，使

AB=AC，且

BC=a，高AD=h.ah作法：（1）作線段BC=a.（2）作線段

BC的垂直平分線l，交BC于點D.（3）在l

上作線段DA，使DA=h.（4）連接

AB，AC.△ABC為所求的等腰三角形.BCDA做一做

已知直線l和l上一點P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P.ABm你明白這個作法嗎？ABPmlPl

如果點P是直線l外一點，那么怎樣用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P呢？說說你的作法，并與同伴交流.ABmPl議一議隨堂演練1.如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長.ABEDC解：因為DE為AB的垂直平分線，

所以AE=BE.

△BCE的周長為d=EC+BE+BC

=EC+AE+BC

=AC+BC

=27+BC

=50.

所以BC=23.ABEDC2.分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.在三角形內(nèi)在斜邊中點在三角形外3.如圖，在△ABC

中，BC=2，∠BAC

＞90°，AB

的垂直平分線交

BC于點

F，請找出圖中相等的線段，并求出△AEF的周長.ABCEFABCEF

解：AE=BE，AF=CF.（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=24.如圖，已知線段

a，求作以a

為底邊、以a

為高的等腰三角形，這個等腰三角形有什么特征？12ABPaa12這是個等腰直角三角形5.已知：△ABC

中，AB=AC，AD

是

BC邊一上的中線，AB

的垂直平分線交

AD

于

O.

求證：OA=OB=OC.ABCDO

證明：∵AB=AC，

AD

是BC的中線，∴AD

垂直平分

BC（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.

又∵AB的垂直平分線與交于點

O，∴OB=OC=OA（三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等）.ABCDO課堂小結(jié)三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.已知一個等腰三角形的底邊及底邊上的高，作這個等腰三角形：課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律