經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)二元函數(shù)的極值配套課件

23十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)與思考練習(xí)18十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值第六章(23十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有18十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則23十二月20223說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故定理1(必要條件)18十二月20223說(shuō)明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐23十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)這個(gè)定理不加證明.時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)定理2(充分條件)18十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二23十二月2022518十二月2022523十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別.時(shí),具有極值1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.18十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別23十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)的極值其次，考察函數(shù)在三角形區(qū)域的邊界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)23十二月20228

從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜.

在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景往往可以斷定函數(shù)的最大值與最小值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，這時(shí)就可以不考慮函數(shù)在區(qū)域邊界上的取值情況了.如果又求得函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么則可直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值或最小值.說(shuō)明:18十二月20228從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x23十二月2022918十二月2022923十二月20221018十二月20221023十二月20221118十二月20221123十二月20221218十二月20221223十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化18十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問(wèn)23十二月202214如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有方法2拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202214如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一23十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗23十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件推廣18十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和23十二月202217解設(shè)所求平面的方程為18十二月202217解設(shè)所求平面的方程為23十二月202218解方程組18十二月202218解方程組23十二月20221918十二月20221923十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：18十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格23十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法18十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步23十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).3.函數(shù)的最值問(wèn)題第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)18十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值23十二月202223習(xí)題6－4課外練習(xí)已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.思考練習(xí)解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則18十二月202223習(xí)題6－4課外練習(xí)已知平面上兩定點(diǎn)23十二月202224設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停18十二月202224設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面23十二月202225第四節(jié)二元函數(shù)的極值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)與思考練習(xí)18十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值第六章(23十二月202226一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有18十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則23十二月202227說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故定理1(必要條件)18十二月20223說(shuō)明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐23十二月202228時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)這個(gè)定理不加證明.時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)定理2(充分條件)18十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二23十二月20222918十二月2022523十二月202230提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別.時(shí),具有極值1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.18十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別23十二月202231提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)的極值其次，考察函數(shù)在三角形區(qū)域的邊界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)23十二月202232

從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜.

在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景往往可以斷定函數(shù)的最大值與最小值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，這時(shí)就可以不考慮函數(shù)在區(qū)域邊界上的取值情況了.如果又求得函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么則可直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值或最小值.說(shuō)明:18十二月20228從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x23十二月20223318十二月2022923十二月20223418十二月20221023十二月20223518十二月20221123十二月20223618十二月20221223十二月202237二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化18十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問(wèn)23十二月202238如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有方法2拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202214如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一23十二月202239引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗23十二月202240拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件推廣18十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和23十二月202241解設(shè)所求平面的方程為18十二月202217解設(shè)所求平面的方程為23十二月202242解方程組18十二月202218解方程組23十二月20224318十二月20221923十二月202244提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：18十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格23十二月202245內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法18十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步23十二月202246設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).3.函數(shù)的最值問(wèn)題第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)18十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值23十二月202247習(xí)題6－4