固體物理模擬試題參考答案

模擬試題參考答案一、名詞解釋.基矢、布拉伐格子為了表示晶格的周期性，可以取任一格點(diǎn)為原點(diǎn)，由原點(diǎn)到最近鄰的格點(diǎn)可得三個(gè)獨(dú)立的矢量arara3，則布拉伐格子中的任一格點(diǎn)的位置可以由原點(diǎn)到該格點(diǎn)的矢量 /?,2a2+卜3,I］、￡4為整數(shù)）來表示，這樣常稱，、%、％為基矢。由于整個(gè)晶體可以看成是基元（組成晶體的最小單元）的周期性重復(fù)排列構(gòu)成，為了研究晶體的周期性，常常把基元抽象成一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為格點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)），由這些格點(diǎn)在空間周期性的重復(fù)排列而構(gòu)成的陣列叫布拉格點(diǎn)陣（或布拉伐格子）。.晶列、晶面在布拉伐格子中，所有格點(diǎn)均可看成分列在一系列相互平行的直線上，這族直線稱之為晶列，一個(gè)布拉伐格子可以有無限多族方向不同的晶列。布拉伐格子中的所有格點(diǎn)也可看成分列在一系列相互平行的平面上，這族相互平行的平面稱為晶面。一個(gè)布拉伐格子也可以看成有無限多族方向不同的晶面。為了標(biāo)志各個(gè)不問族的晶面。3、格波與聲子晶格振動(dòng)模式具有波的形式，稱為格波。在簡諧近似下格波矢相互獨(dú)立的，這樣晶格振動(dòng)的能量是量子化的，聲子就是格波的能量量子，它不是真實(shí)存在的粒子，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。.能帶晶體中的電子，在零級(jí)近似中，被看成是自由電子，能量本征值E。作為左的函數(shù)，具有拋k物線的形式。晶格周期起伏勢的微擾，使蹴狀態(tài)與A+ （"為任意整數(shù)）狀態(tài)相互作用，這個(gè)作用的結(jié)果使得拋物線在2m0處斷開而形成一個(gè)個(gè)的帶，這些就稱為能帶。.Bloch函數(shù)晶體中電子的波函數(shù)具有這樣的形式，wG）=e，J“G）,其中“（亍+^^二鼠日是具晶格周n期性的函數(shù)。此處的W（；）就是Bloch函數(shù)。因此，Bloch函數(shù)是一個(gè)平面波和一個(gè)晶格周期函數(shù)的乘積.施主，N型半導(dǎo)體在帶隙中提供帶有電子的能級(jí)的雜質(zhì)稱為施主。主要含施主雜質(zhì)的半導(dǎo)體，導(dǎo)電幾乎完全依靠由施主熱激發(fā)到導(dǎo)帶的電子。這種主要依靠電子導(dǎo)電的半導(dǎo)體，稱為N型半導(dǎo)體。二.簡答題.能帶理論的三種近似分別是什么？怎樣定義的？答：絕熱近似、單電子近似和周期場近似絕熱近似：由于原子核質(zhì)量比電子的質(zhì)量大得多，電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于原子核的運(yùn)動(dòng)速度，即原子核的運(yùn)動(dòng)跟不上電子的運(yùn)動(dòng)。所以在考慮電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為原子實(shí)不動(dòng)。單電子近似：一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢場中運(yùn)動(dòng)。又稱hartree-Fock自洽場近似周期場近似：原子實(shí)和電子所形成的勢場是周期性的.原子結(jié)合成固體有哪幾種基本形式？其本質(zhì)是什么？答：原子結(jié)合成固體時(shí)主要有四種基本形式，即離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合和范德瓦爾結(jié)合。它們的結(jié)合本質(zhì)為，離子性結(jié)合，庫侖吸引作用和重疊排斥作用（泡利不相容原理）；共價(jià)結(jié)合，兩原子通過共有自旋相反的一對電子相互結(jié)合；金屬性結(jié)合，價(jià)電子離化形成的共有化負(fù)電子云與處在其中的正離子實(shí)通過庫侖作用相互束縛：范德瓦爾結(jié)合，與電子分布起伏有關(guān)的瞬時(shí)電偶極矩的感應(yīng)作用使具有球?qū)ΨQ電子分布的中性分子或原子聚合。.晶格熱容的愛因斯坦模型和德拜模型各自的假設(shè)是什么？兩個(gè)模型各自的優(yōu)缺點(diǎn)分別是什么？答：愛因斯坦模型假設(shè)晶格振動(dòng)的3N個(gè)頻率相等；德拜模型則把晶格看作連續(xù)媒質(zhì)。愛因斯坦模型的優(yōu)點(diǎn)是第一次從非經(jīng)典物理學(xué)的角度解釋了固體的熱容問題，所得的理論結(jié)果在能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性的相符。缺點(diǎn)是在低溫下理論值下降的太快；德拜模型的優(yōu)點(diǎn)是在低溫下是嚴(yán)格正確的，缺點(diǎn)是在高溫下理論完全失效。.畫出面心立方晶格的單元結(jié)構(gòu)，并用陰影表示出（110）晶面，畫出該晶面上原子分布。

5、能帶理論中的近自由電子近似和緊束縛近似的基本假設(shè)各是什么？兩種近似方法分別適合何種對象？答：近自由電子近似的基本假設(shè)：1）、電子在晶格中受到的作用用一個(gè)周期勢場來表征；2）、該周期勢場的起伏很小，電子可以在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，理論上可以用量子力學(xué)中圍繞論來處理。緊束縛近似的基本假設(shè)：1）、電子被束縛在單個(gè)原子內(nèi)，幾乎不能在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)；2）、電子在晶體中的軌道是該電子的原子軌道的線性組合。近自由電子近似適合于金屬晶體；緊束縛近似適合于半導(dǎo)體、絕緣體等。三.解答與計(jì)算題（共40分）1、寫出倒格子定義并證明面心立方晶格的倒格子是體心立方o（10分）證：倒格子基矢定義為：b=2n

3axa

i a—

a3xd1 2b=2n

3axa

i a—

a3xd1 2 ：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/7=2五 a -b=2n i 1-a-axa2a-axaI2 3 I2 3面心立方格子原胞基矢\o"CurrentDocument"a=a(j+E)/2,a=a(『+7)/2,a=a(f+j)/2I 2 3故其倒格子基矢為:j-c。xa2兀-r-r尸、b=2兀七―^―=——(-z+j+k)\o"CurrentDocument"a-axaa

I2 3\o"CurrentDocument"27r —2兀 一同理，b=—(f-j+k).b=—(f-J+￡)oa 3 a可見由6,5為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子。證明完畢。I2 32.考慮一維雙原子鏈，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地等于。和10。，令兩種原子的質(zhì)量相等并且最近鄰的間距為W2。試求在4=0和［=碗處的3（4）,并粗略地畫出色散關(guān)系曲線。（15分）解：all10px2n+2?/2Ym-=10p(x-x)-p(x-x)dt2 2n+l2n 2n2n-\d2Xn cin =p(x-x)+10p(x-x)出2 2n+2 2n+\ 2n+\2nHPLoHPLo代入方程組，可以得到—CO2]A——7Oeiqa/2+g-iqa/2)miqai2+\Qe-i?ai\+[^_-CO23=0°in從A、B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得1C02—CO2)+C04(0eiqa/2+eTqa])(qaJ2+1()6-3/2)=00 0可得(02=32(1±J20cosqa+io)4=0時(shí)，cosqa=1,co=^22co,co=0+o-兀 q=一時(shí)，cosqa=-1,co=^/20(o,co=^/2(oG)光學(xué)支r~ 5/220。>/20^o聲學(xué)支：一加 0 成L3.設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫出E（k）=（l-coska+Icos2to）ma28 8其中a為晶格常數(shù)，計(jì)算1）能帶的寬度；2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；3）能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量。（15分）TOC\o"1-5"\h\z解：1）能帶的寬度的計(jì)算E（女）=A-（W-coska+wCos2版）“28 8能帶底部女=0 E（0）=0,71 ?兀、2力2能帶頂部女=— E（一）= a a ma2能帶寬度bE=E（l）-E（0）=—a ma22）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度八、1dE（k）方.., 1.2、電子的速度：v（^）= =——（smhf-二sin2k。）hdkma43）能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量E(k)= (——cos —cos2ka)mai8 8電子的有效質(zhì)量%*=加/diE既2mcoska-[\!2)cos2ka能帶底部Z=0有效質(zhì)量加*=2加能帶頂部女=兀〃有效質(zhì)量加*=-2〃?/3第一章晶體結(jié)構(gòu).試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特征性質(zhì)。解：晶態(tài)固體材料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長程有序。非晶態(tài)固體材料中的原子不是長程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序。準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體材料，其特點(diǎn)是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完全一致的晶體稱為單晶體；而多晶體則是由許多取向不同的單晶體顆粒無規(guī)則堆積而成的。.晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基元質(zhì)心的位置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被具體的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣+基元=實(shí)際晶體結(jié)構(gòu).晶體結(jié)構(gòu)可分為Bravais格子和復(fù)式格子嗎？解：晶體結(jié)構(gòu)可以分為Bravais格子和復(fù)式格子，當(dāng)基元只含一個(gè)原子時(shí)，每個(gè)原子的周圍情況完全相同，格點(diǎn)就代表該原子，這種晶體結(jié)構(gòu)就稱為簡單格子或Bravais格子；當(dāng)基元包含2個(gè)或2個(gè)以上的原子時(shí)，各基元中相應(yīng)的原子組成與格點(diǎn)相同的網(wǎng)格，這些格子相互錯(cuò)開一定距離套構(gòu)在一起，這類晶體結(jié)構(gòu)叫做復(fù)式格子。.圖1.34所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那類布喇菲格子？如果不是，請說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？(a)(b)(c)(d)(a)(b)(c)(d)“面心+體心也方；(b)“邊心”立方；(c)“邊心+體心”立方；(d)面心四方解：(a)“面心+體心”立方不是布喇菲格子。從“面心+體心”立方體的任一頂角上的格點(diǎn)看，與它最鄰近的有12個(gè)格點(diǎn)；從面心任一點(diǎn)看來，與它最鄰近的也是12個(gè)格點(diǎn)；但是從體心那點(diǎn)來看，與它最鄰近的有6個(gè)格點(diǎn)，所以頂角、面心的格點(diǎn)與體心的格點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，即不滿足所有格點(diǎn)完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子?！斑呅摹绷⒎讲皇遣祭聘褡?。從“邊心”立方體豎直邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有八個(gè)；從“邊心”立方體水平邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子也有八個(gè)。雖然兩者最鄰近的點(diǎn)數(shù)相同，距離相等，但他們各自具有不同的排列。豎直邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn)子處于相互平行、橫放的兩個(gè)平面上，而水平邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn)子處于相互平行、豎放的兩個(gè)平面上，顯然這兩種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，即不滿足所有格點(diǎn)完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。“邊心+體心”立方不是布喇菲格子。從“邊心+體心”立方任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有6個(gè)；從邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有2個(gè)；從體心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有12個(gè)。顯然這三種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，因而也不是布喇菲格子，而是屬于復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。“面心四方”從“面心四方”任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有4個(gè)，次最鄰近點(diǎn)子有8個(gè)；從“面心四方”任一面心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有4個(gè)，次最鄰近點(diǎn)子有8個(gè)，并且在空間的排列位置與頂點(diǎn)的相同，即所有格點(diǎn)完全等價(jià)，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它屬于體心四方布喇菲格子。5.以二維有心長方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說出它們各自的特點(diǎn)。解：以下給出了了二維有心長方晶格示意圖：

由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞如下圖（a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞如下圖（b）所示：(b)(b)從上圖（a）和（b）可以看出，在固體物理學(xué)原胞中，只能在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，而在結(jié)晶學(xué)原胞中，既可在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心位置上存在結(jié)點(diǎn)。6.倒格子的實(shí)際意義是什么？一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對應(yīng)的關(guān)系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對應(yīng)的點(diǎn)子。TOC\o"1-5"\h\z設(shè)一種晶體的正格基矢為a、a、、a,根據(jù)倒格子基矢的定義:

I2 3. 2n[axa]b= 2 3i Q,2n[axa1b= a 1->2 。.2n[axa]式中Q是晶格原胞的體積，即C=a.[axa],由此可以唯一地確定相應(yīng)的1 2 3倒格子空間。同樣，反過來由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一對應(yīng)的關(guān)系。.為什么說晶面指數(shù)（力力6）和Miller指數(shù)（hkl）都能反映一個(gè)平行晶面族的123方向？解：晶面指數(shù)Chhh）是以固體物理學(xué)原胞的基矢a、a,、a為坐標(biāo)軸來123 1 2 3表示面指數(shù)的，而Miller指數(shù)（秘/）是以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢a、b、c為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)的，但它們都是以平行晶面族在坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)來表示的，而這三個(gè)截距的倒數(shù)之比就等于晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角余弦之比，從而反映了一個(gè)平行晶面族的方向。.試畫出體心立方、面心立方的（100）,（110）和（111）面上的格點(diǎn)分布。解：體心立方（100）,（110）和（111）面上的格點(diǎn)分布為：

面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面解：對于一個(gè)物體或體系，我們首先必須對其經(jīng)過測角和投影以后，才可對它的對稱規(guī)律，進(jìn)行分析研究。如果一個(gè)物體或體系含有的對稱操作元素越多，則其對稱性越高；反之，含有的對稱操作元素越少，則其對稱性越低。晶體的許多宏觀物理性質(zhì)都與物體的對稱性有關(guān)，例如六角對稱的晶體有雙折射現(xiàn)象。而立方晶體，從光學(xué)性質(zhì)來講，是各向同性的。正八面體中有3個(gè)4度軸，其中任意2個(gè)位于同一個(gè)面內(nèi)，而另一個(gè)則垂直于這個(gè)面；6個(gè)2度軸；6個(gè)與2度軸垂直的對稱面；3個(gè)與4度軸垂直的對稱面及一個(gè)對稱中心。.各類晶體的配位數(shù)（最近鄰原子數(shù)）是多少？晶體結(jié)構(gòu)

面心立方

六角密積

體心立方

簡立方配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)12氯化鈉型結(jié)構(gòu)氯化的型結(jié)構(gòu)

金剛石型結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)

面心立方

六角密積

體心立方

簡立方配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)12氯化鈉型結(jié)構(gòu)氯化的型結(jié)構(gòu)

金剛石型結(jié)構(gòu).利用剛球密堆模型，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為（1）簡單立方上6；（2）體心立方任；（（1）簡單立方上6；（2）體心立方任；（3）面心立方跑（4）六角密積旦；（5）金剛石包。1671(2R” 6（2）在體心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中,設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)解：（1）在簡立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a=2R,則簡立方的致密度（即球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比）為：4 41?一兀/?3 1?—兀/?33 3a= = ?3(4R/回 8?3(4R/回 8（3）在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中,設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a=4R/6，則體心立方的致密度為:42?一成33a=—— a=2y[2R,則面心立方的致密度為:44-71/?33

a=—— （4）在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為（4）在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a=2R,c=(2#/3)a=(4^/3)R,則六角密積的致密度為:,46?—兀/?33於,46?—兀/?33於0 -C4,46-71/?33$向2R”（5）在金剛石的結(jié)晶學(xué)原胞中,4271l 6?(4V6/3)/?設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a=（8/j3）7?,則金剛石的致密度為:48-兀/?348-兀/?3a= 8?兀/?3rr。3 (8/我3/?3 。3 (8/我3/?3 16.試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。解：我們知體心立方格子的基矢為：

a=g(-i+J+k)a=^(i-j+k)22a=?(i+j-k)3 2根據(jù)倒格子基矢的定義，我們很容易可求出體心立方格子的倒格子基矢為：2n[axa]2nb= 2 i-=——(j+k)?Qa2n[axa]2n..<b= s l-=——(i+k)Ca

2n[axa]2n

b= 4-__2-=—(i+j)Qa由此可知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子為一體心立方格子，所以體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。13.對于六角密積結(jié)構(gòu)，固體物理學(xué)原胞基矢為試求倒格子基矢。解：根據(jù)倒格子基矢的定義可知：axa (-"+￥aj)x(ck)b=2n 23一=2n 尸工 - a[axa] H。?晶…1 2 3 (1+^ i+aj)x(ck)]=27rJ3ac.ac=27r—a2c '2.caxa.b=2k.caxa.b=2k i 1—=2k2a-|axa]1 2 3乙 乙 乙 乙

=2=2兀_axa=2ti 1 2—a-[axa]_axa=2ti 1 2—a-[axa]TOC\o"1-5"\h\zc2 2幾=2兀 =——J3 c—a^c2

14.一晶體原胞基矢大小a=4xlO-io,",b=6x10-io/n,c=8x10-io/n,基矢間夾角a=90。，p=90。，y=120。。試求：（1）倒格子基矢的大??；（2）正、倒格子原胞的體積；（3）正格子（210）晶面族的面間距。解：（1）由題意可知，該晶體的原胞基矢為：a=az1a2=2*+f，）由此可知:b=2niaxarb=2niaxarajlaj3—=2n ? ?—aIV3,

3 —abc2所以|b|=—?^12+(_1_)2 =1.8138xlOio/n-ilbI=—?Th"— =0.7854xlOio/n-i131c C(2)正格子原胞的體積為：Q=a-[axa]=(ai)-[^(--i+—j)x(ck)]=—abc=1.6628x10-28/7?3123 2 2 2倒格子原胞的體積為：Q，=b-[bxb]=2^.(i+^j)?[—x—(k)]— 3=1.4918xlO^o/n-s123a乖b小c 用abc(3)根據(jù)倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知，正格子(210)晶面族的面間距為：15.如圖1.36所示，試求：(1)晶列￡￡>,尸￡>和。尸的晶列指數(shù)；(2)晶面AGK,FG〃/和MNLK的密勒指數(shù);(3)畫出晶面020),-(131)。解：(1)根據(jù)晶列指數(shù)的定義易求得晶列EO的晶列才旨數(shù)為［111］,晶列FO的晶列指數(shù)為［110］,晶列。尸的晶列指數(shù)為［011］。(2)根據(jù)晶面密勒指數(shù)的定義晶面AGK在x,y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1，-1和1,則其倒數(shù)之比為l：_L：l=l：j：l,故該晶面的密勒指數(shù)為(111)。1-11晶面尸G〃/在x,y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1/2,8和1,則其倒數(shù)之比為= 故該晶面的密勒指數(shù)為(201)o1/2oo1晶面MNLK在無，y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1/2,-1和8,則其倒數(shù)之比為」—：L：'=2:i:0,故該晶面的密勒指數(shù)為(210)o1/2-1oo(3)晶面(120),一(131)分別如下圖中晶面AMLk和晶面ABC所示：a,b,c構(gòu)成簡單正交系。證明晶面族(〃H)的面間距為解：由題意可知該簡單正交系的物理學(xué)原胞的基矢為:由此可求得其倒格子基矢為:

2兀[axa] 2冗八，、2兀，= 2 3—= (bci)=——Ia[axa]abc ai7t[a-xa3] 2ti, 27t.= 2 1—= (〃cj)=——ja.[axa|abcb

2;t[a2xa1 2兀，，.、2兀.= 1 2—= (abk)=——ka?[axa]abccTOC\o"1-5"\h\z1 2 3根據(jù)倒格子矢量的性質(zhì)有:2兀_ 2兀同~|K|一|油+kb+/b|1hW1 1 1 2 3117.設(shè)有一簡單格子，它的基矢分別為a=3i,a=3j?a=1.5（i+j+k）o試求:1 2 3（1）此晶體屬于什么晶系，屬于哪種類型的布喇菲格子？（2）該晶體的倒格子基矢；（3）密勒指數(shù)為（T21）晶面族的面間距；（4）原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)是多少？（5）[111]與[fll]晶列之間的夾角余弦為多少？解：（1）由題意易知該晶體屬于立方晶系，并屬于體心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定義可知：,2n[axa|2k-4.5（i-k）2兀”.、TOC\o"1-5"\h\z'a.[axa] 13.5 3in[a2xa']2n.4.5（j-k）2兀

<b= 3 1—= =—（j-k）a-laxa] 13.5 3. 2n[axa']2n-9k2兀.D= 1 2= =Ka*[axa] 13.5 1.5l1 2 3（3）根據(jù)倒格矢的性質(zhì)，可求得密勒指數(shù)為（121）晶面族的面間距為,2ti 2冗7T— —_ 2兀 _3 J30^（i+2j-5k聞10（4）由于面密度p=pd,其中〃是面間距，p是體密度。對布喇菲格子，p等于常數(shù)。因此，我們可設(shè)原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)為（〃〃力），則該晶123面族的面間距d應(yīng)為最大值，所以有

, 271a=- W.K\hb+力b+/?\hb+力b+/?bIIII22 331—[hi+hj+(2〃i-h)k]3 1 2 3 1 2IV+hj+(2〃-h「々）k|=max由此可知，對面指數(shù)為（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面間距3/0,因而這些面即為原子排列最緊密的晶面族。（5）［111］與［T11］晶列之間的夾角余弦為=48.53,(4.51+4.5j=48.53=arccos-； ；—； -|4.5i+4.5j+1.5k|.|1.5i+1.5j-1.5k|XlO-lQrio試求:（1）晶格常數(shù)；（2）固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；（3）密勒指數(shù)為（110）晶面族的面間距；（4）密勒指數(shù)為（11。）和（ni）晶面法向方向間的夾角。解：⑴由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心立方晶格，其原胞包含一個(gè)Ga原子和一個(gè)As原子，其中Ga原子處于面心立方位置上，而As原子則處于立方單元體對角線上距離Ga原子1/4體對角線長的位置上，如左圖所示：由此可知：■故GaJ到3d 殳號(hào)^5x10-10/77=5.59x10-106V3V3(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為:a=f.(j+k)=2.795x10-io(j+k)a=f.(k+i)=2.795x10-io(k+i)22a=^.(i+j)=2.795xlO-io(i+j)其倒格子基矢為:

b=——(-i+j+k)=1.124xlOio(-i+j+k)a2kb=一(i-j+k)=1.124xlO-io(i-j+k)a2冗b=一(i+j-k)=1.124xlO-io(i+j-k).3a(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：-=2.795xlO-iom2_2n_-=2.795xlO-iom2noIKI11-b+lb+0b1IIO1? 1 2 3（4）根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為（iro）和（ni）晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢K矛1K.之間的夾角，設(shè)為a,則有:11UlnKK.(i?b+1b+0?b)?(l?b-lb+1b)a=arccos—tiQ ui—= 1 2 3 1 2 |KJ.|K.|卜,+l-b,+0.b卜卜,_1.，+1>|=arccos(-0.3015)=107.5519.如圖1.37所示，設(shè)二維正三角形晶格相鄰原子間距為a,試求：（1）正格子基矢和倒格子基矢；（2）畫出第一布里淵區(qū)，并求出第一布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑。解：（1）取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使a?的方向和i的方向相同，于是有：a=oia+I22 2那么有：（2）根據(jù)第一布里淵區(qū)的定義，可作圖如下所示:n/an/a上圖中的陰影部分即為第一布里淵區(qū)，且由圖中可以求出第一布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑為:r」b,|_2兀1-11J，2J3a20.試求面心立方結(jié)構(gòu)、體心立方結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子；并討論其衍射相消條件。解：(1)在面心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有4個(gè)原子，其坐標(biāo)為000,llo,lol,oil22 22 22由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為F=Z/e『R，=Zf￡i2nn(hu+kv.+iw,)

hkl j j4]=j44-ei^(h+k)+ee(h+n+eMk+n」/.|FB=/2%+cos7Ui(/z+k)+cosm(h+/)+cositn(k+/)11hkl1+Lin7in(h+k)+sinnn(h+/)+sinTtn(k+/)!’由于人、氏、/和〃都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有If|2=/2&1hkl'J+cos7t>?(/i+k)+cos7tn(A+/)+cosTtn(kIf|2=/2&1hkl'J由此可知，當(dāng)〃6、欣和奇偶混雜時(shí)，即〃〃、欣和〃/不同為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，此時(shí)忸1時(shí)，此時(shí)忸1hkl2=0,即出現(xiàn)衍射相消。(2)在體心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有2個(gè)原子，其坐標(biāo)為

000^1-1222

由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為27t VnF=乙于=乙/o2M㈣+勺+/%)

/向 j j+elm(分+&+/)+elm(分+&+/)]4-cos7tn(/z+k+Z)14-由于力、左、/和〃都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有2b+cos?！?力+A+/)1由此可知，當(dāng)〃（人+女+/）為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)有叱/2=0,即出現(xiàn)衍射相消。（3）在金剛石結(jié)構(gòu)的原胞中含有8個(gè)原子，其坐標(biāo)為000,TOC\o"1-5"\h\z133 331 313000,444*444J444由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為F e'/'=Zfei2nn(h“j+kVj+hVj)hkl j j=/1+eV(h+k+l)八.z,.._. ... 八產(chǎn)〃(3/?+3左+/),八產(chǎn)〃=/1+eV+2沏(%+&)+e皿(力+/)+eg(?+/)+62 +62 +《2+/沏(力+&)+/必(〃+/)+Ci沏(￡+/)]711+711+cos—n(h+^+/)+sin——n(h+i+/)」口+cosm(力+k)++COSK/?(/?+/)+COS7T〃(A+/)1+Isin7in(h+COSK/?(/?+/)+COS7T〃(A+由于力、攵、/和〃都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有|F^|2=f2l+COsg〃(〃+k+/)b|F^|2=f2l+COsg〃(〃+k+/)由此可知，當(dāng)〃6、欣和奇偶混雜時(shí)，即〃〃、欣和〃/不同為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)或者當(dāng)山I、成和山全為偶數(shù)，且〃（人+k+/）=4（2小+1）（其中加為整數(shù)）時(shí),有有吃此。，即出現(xiàn)衍射相消。K°,已知NaCl晶胞中Na卜與Cl-X10-10W求:a

(1)X射線的波長；(2)阿伏加德羅常數(shù)。解：(1)由題意可知NaCI晶胞的晶胞參數(shù)4=2x2.82x10-1。=5.64x10-iom,又應(yīng)為NaCI晶胞為面心立方結(jié)構(gòu)，根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律可知，其一級(jí)反射所對應(yīng)的晶面族的面指數(shù)為(111),而又易求得此晶面族的面間距為，12+12+12 ◎又根據(jù)布拉格定律可知：入=2dsin0=2x3.26x1O-iosin5.9=6.702x10-9m111(2)由題意有以下式子成立NaCI4M AWa3P=4M AWa3P=6.038x1023(5.64x1O-io)3x2.16x106第一章晶體的結(jié)構(gòu)測試題.以堆積模型計(jì)算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)目之比.解理面是面指數(shù)低的晶面還是面指數(shù)高的晶面？為什么？.與晶列口心。］垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？.高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對于同級(jí)衍射，哪一晶面族衍射光弱？為什么？.以剛性原子球堆積模型，計(jì)算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為：市冗(1)簡立方，Ji/6； (2)體心立方，8 ； 元 元(3)面心立方，6(4)六角密積,乖

兀

(5)金剛石結(jié)構(gòu)，16.試證面心立方晶格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方.ck.求其倒格r V3：Cl~T.ck.求其倒格CL- CUd—b二.六角晶胞的基矢 2 2基矢。.求晶格長數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面族(帖丸)的面間距.第一章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題解答1.［解答］設(shè)原子的半徑為R,體心立方晶胞的空間對角線為4R,胞的邊長為4兄/百，晶胞的體積為(4X/6)3,一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子，一個(gè)原子占的體積為(4石)3/2,單位體積晶體中的原子數(shù)為2/(4式/折5；面心立方晶胞的邊長為4/2/歷,晶胞的體積為(4&/4)3,一個(gè)晶胞包含四個(gè)原子，一個(gè)原子占的體積為(4&/&)3/4,單位體積晶體中的原子數(shù)為444尺，J5)3.因此，同體積的體心和面心立方體晶體中原子數(shù)之比為：(上方)“2=0909。晶體容易沿解理面劈裂，說名平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大。因?yàn)槊骈g距大的晶體晶面族的指數(shù)低，所以解理面是面指數(shù)低的晶面。.［解答］正格子與倒格子互為倒格子。正格子晶面（%%用）與倒格式kh=hh+h2bl+h2k工擊皿㈤,日-…八 垂直，則倒格晶面'L2〃與正格4=仙+也+4%正交。即晶列［4&I與倒格面制4）垂直。.［解答］對于同級(jí)衍射，高指數(shù)的晶面族衍射光弱，低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng)。低指數(shù)的晶面族間距大，晶面上的原子密度大，這樣的晶面對射線的反射（衍射）作用強(qiáng)。相反，高指數(shù)的晶面族面間距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式2dsin9=nX可知,面間距d大的晶面，對應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角8面間距d 小的晶面，對應(yīng)hk1 hk1一個(gè)大的光的掠射角0。0越大，光的透射能力就越強(qiáng)，反射能力就越弱。.［解答］設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成。一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。設(shè)n為一個(gè)晶胞中剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示晶胞體積，則致密度（1）對簡立方晶體，任一個(gè)原子有6個(gè)最近鄰