自動控制原理答案

1自動控制系統(tǒng)的基本概念11.1內(nèi)容提要11.2習(xí)題與解答172.1內(nèi)容提要72.2習(xí)題與解答83.1內(nèi)容提要3.2習(xí)題與解答4根軌跡法4.1內(nèi)容提要4.2習(xí)題與解答55.1·5.26.1內(nèi)容提要6.2習(xí)題與解答7非線性系統(tǒng)7.1內(nèi)容提要7.2習(xí)題與解答8.1內(nèi)容提要8.2習(xí)題與答案I自動控制系統(tǒng)的基本概念題1-1 答1-11-1直流電動機開環(huán)控制系統(tǒng)示意1-2開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時（電位器對應(yīng)的輸出電壓用UR表示n1-3直流電動機閉環(huán)控制系統(tǒng)示意1-4閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)Uf，然后反饋到輸入端與給定電壓UR1-2答閉環(huán)自動控制系統(tǒng)主要由控制對象（或調(diào)節(jié)對象，執(zhí)行機構(gòu)，檢測裝置（或傳感器題1-3 圖P1-1所示，為一直流發(fā)電機電壓自動控制系統(tǒng)示意圖。答環(huán)節(jié)：電壓源U0。用來設(shè)定直流發(fā)電機電壓的給定值。檢測環(huán)節(jié)：跨接在發(fā)電機電樞兩端、且與電壓源U 反極性相接到比例放大器輸入端1-5系統(tǒng)結(jié)假設(shè)在系統(tǒng)恒定運行狀態(tài)下，發(fā)電機輸出的電壓與給定的電壓U0相等，也就是擾動：系統(tǒng)長時間工作是電源電壓U0降低，執(zhí)行機構(gòu)、器等的機械性能的改變等。題1- 圖1-6所示為閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)示意圖，如果將反饋電壓U1的極性接反，成為正反1-6閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)示意答正反饋系統(tǒng)的比較環(huán)節(jié)是是反饋電壓U1于給定電壓UR相加。加給控制器的信號u=U1+Ug必然給定電壓基礎(chǔ)上增大，系統(tǒng)將不具備調(diào)節(jié)能力，各環(huán)節(jié)的輸出量將1-5P1-2為倉庫大門自動控制系統(tǒng)示意圖。試說名自動控制大門開啟和關(guān)閉的工作圖P1- 動端對應(yīng)的電壓為uf。，可將自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型RRRRCC 圖p2-12-1解：（1）2-1（a）所示電路可得cI(s) Ur(s) U(s)I(s)1 Ur(s)c

1 Ur RLs 所以：w(s)=Uc(s) Ur Lcs2RCs

RLs Cs Lcs2RCsz1

R1Cs2CCS

CRs11z C2 1 R1 C

CRs2 Cs(CRSSU Z RRC2s22RCsW(s) 122 U ZZ RRCsC(R2R)s 1 R 2R1 2RC1sZ2

C1 2R

2RC1S2-2p2-1c的等效電1U Z2C CCR2s22RCs1W(s)

2 12 Z1Z2C 2

Rp2-

解R RCs C (RCs1)(RCsW(s) C 1 0R0 //R0

R0C C

0R0C0Ur (1a)R(R )//aRR1 C C W(s)= RCs1aRCs

(R1C1s R

1 C

1(1a)R

RCs1aRCs 1 1=

(RCs1aRCs)(1a)a(RCs1 1= aRC 1 1 0=R1C1sa(1a)RC1sR1a(1a)RC1s=Ur

C2 R(R1)// R1 C C C C =1R RCs RCCsCR 1

112 0 1 C1s = (RCCs R2s(R1C1C2sC1C2)R1= (RCCsRC RCCsC 11 0 11 RRCCs2(RCRCRC)sW(s) c211 1 2 2 題2-3求圖P2-3所示各機械運動系統(tǒng)的傳XcXcXr

XcXXcX2X2X1

求圖(c)

FmB

圖p2-解t dxtxt ft K2xctft2-32-3（1）KXrsX1sFBsX1sFK2XcsFXsXrsX1sX1sXc

Xcs

Xcs Xrs 2K21 BK1K2sK1K2 設(shè)外力為f(t),

ftBdxrtxctft

t

dxt 2c2 dtFsBsXsms2Xs (2- 消去中間變量F(s),Xc(s) Xr smsB1B2

ftBdx1tx2tKxtxt 1 (2- K K 2FsB1sX1sXcsK1X1sX2FsB2sX2sK2X2

(2-消去中間變量F(s),

X2s B1s X1 (B1B2)sK1（4）同理可以列出方程組，如式（2-6）所示。消去中間變量X2s,整理X1sB1B2sK1K2F (B1sK1)B2sK2題2-4圖P2-4所示為一齒輪傳動系統(tǒng)。設(shè)此機構(gòu)無間隙、無變形。列出以力矩Mr為輸入列出以力矩Mr為輸入量，轉(zhuǎn)角1為MMrJ,f2,3,解設(shè)各傳動部件的轉(zhuǎn)矩分別為M1M2M3M4 d 1 1M1dt d 2 2M3M dtJ dJ 3 dt

McM

MiM 1 2 D1 D1M4i2 （2-消去式（2-7）中的中間變量1、2、M1、M2、M3M4，并且將轉(zhuǎn)動慣量和黏性d 3

d3

（2- dt

33 Ji2Ji2i2 2 12 fi2fi2i2 2 12M3 3

JMJ

(s)Mc

[(s

)1]

, 3 (2-M3(s)Mc (Ts1)2-42-4系統(tǒng)的方框圖

d 21

1Mc

J2

1fff2 f3 i2 1 1 （2-

(s)1rcrc。

2-52-4系統(tǒng)的方塊題2- 磁繞組上，輸出為電機位移，求傳遞函數(shù)W(s) ?Mf ?MfJP2-解ur(t)Rfif(t)

dif

d2 d M(t) Cki(t)IJ m1 dt M(s)CkII(s)KI(s)(Js2 m1a m式中KmCmk1Ia

(s)U (Js2fs)(RLs)I (Js2fs)(RL 數(shù)Wc(s)W(sUrRMRMMC 原動P2-解設(shè)勵磁回路電流為if，發(fā)電機兩端電壓為egur(t)Rfif(t) fe(t)K f

dif

（2-e(t)

duc

u U(s)

L

fE(s) f

(2- Uc

Eg(s)

Eg R

RCs

W(s)Uc(s)KfIf KUr RCs1(RfLfs)If (RCs1)(RfLfX1(s)Xr(s)W1(s)W1(s)[W7(s)W8(s)]XcX2(s)W2(s)[X1(s)W6(s)X3X3(s)[X2(s)Xc(s)W5(s)]W3Xc(s)W4(s)X3解2-62-7系統(tǒng)的2-72-7系統(tǒng)等效的方框

123 123 1WWWWWWWWWW(WW23 34 123 _W1W2_+__W1W2_圖P2- 圖P2-解W 1HWWWH1 1212-8P2-7的等效方框

W(s) 1W1H1W2H2W3H3W1H1W3題2- 求如圖P2-9所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，W(s)XC(s)，W(s)XCX X(s)X W(s)XC(S) X 1WHWW 1 2-9P2-8的等效方框H2-++_WX1Wc2P2-2-102-9（1）的等效方框Xrs=0P2-92-112-112-9（2）的等效方框2-12P2-10的化簡過W(s) (1HW)(1HWWWH)WWWH(WWWWH 15 P2-

UrUc R R R/ R 1 2 W(s)Uc(s) U RRRRRCs(RCs 1 023 12-12圖P2-12所示為一位置隨動系統(tǒng)，如果電機電樞電感很小可忽略不計，并且不計系統(tǒng)的負(fù)載和黏性摩擦，設(shè)urrufc，其中r、c分別為位置給定電位計及 ?M ?MP2-解的角位移分別為1.2.34。ur(t)uf

uk ur(t)rufcUr(s)Uf(s)Uk R R UR(s)r

(s)R1[(s)ua(t)KsukUa(s)KsUku(t)Ri(t)CnRi(t)C30d1(t)Ri(t)K a

a2

a M(t)Ci(t)(JJ)

M

30

m dt M(s)CI(s)(JJ)(s)s2M(s) m M11(t)M22(t)121 (t) 2 d22M2(J2J3M(t)M dt

M3(t)3(t) N (t) 42M4 dtM11(s)M22 2 (s)3M(JJ)(s)s2 M(s)M3(s)3(s) N c(s)4c(s) U {[(JJ 1(JJ)N2]N2N1N3J lN 3NN NN NNs 4

N1N3

1N2 R[JJ) (JJ3) (N/N)2

(N/N)2

/N

J4]ss K

N2

NNeNN

R[JJ) (JJ) J (N/N (N/N)2(N/N l Kc則c(s)1 Ua s(12-152-12系統(tǒng)中齒輪部分的結(jié)構(gòu)Wscs Ts2s KR1K

s2-162-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)題2-13畫出圖P2-13所示結(jié)構(gòu)圖的信號流圖，用梅遜增益公式來求傳遞函數(shù)drW(s)Xc(s)，W(s)Xc(s)drXr XdP2-2-172-13的信號流令N=0，應(yīng)用梅遜增益

XX

1k

Tk其中1LaLbLc，LaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3LcW3H31W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H321W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H

T1W1W2W3，11，T2W4

Wr(s)

XcX

W1W2W3W41W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H31WWWHHWWHHW 12 2 Xr=0W(s)Xc1nTdkdX k其中1LaLbLc，LaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3LcW3H31W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H3，T1W3，1

c (s)X c X 1WWWHHWWHHW 12 2 題2-14畫出圖P2-14Xc1(s)Xr1c2s)Xr2 解2-182-14系統(tǒng)（a）的信號流Xr2=0

kLa Lb LcL1LnLbLcW1W2

L2

1L1L21W1W2W1W2

T1W1，T211W2，2 Xc11TT W11W2 1 1WWWWW 1 3令Xr1=0，由梅遜公式得

kXr k（11W1W2W1W2T1W2，T211W1，2 Xc21TT W21W1 1 2 1WWWWWr 1 3（b）系統(tǒng)（b）2-192-192-14系統(tǒng)（b）得信號流Xr2=0

kkLaR1W1 LbR2W2 LcR1R2R3R4 LdW1W2W3W4LeR1R2R3W1W2W4LfR1R2L1LaLbLcLdLeLf R1W1R2W2+R1R2R3R4+L2LaLbLcLdR1R2W1W2R1R21L11R1W1R2W2R1R2R3R4

T1T2R1R211 2k k令Xr1=0，由梅遜公式得

Xr

kk1R1W1R2W2R1R2R3R4W1W2W3W4R1R2

T1T2R1R211 2 Xr

kk自動控制系統(tǒng)的時域分析3.11階系統(tǒng)欠阻尼情況又是本書的重點，這種情況下的主要指標(biāo)有：上升時間tr%、調(diào)節(jié)時間ts、峰值時間tm等，這些指標(biāo)均與系統(tǒng)的阻尼比和自然振蕩角頻率n這兩個參數(shù)有關(guān)，應(yīng)熟練掌握它們的物理含義、計算公式和相互關(guān)系等。3.12E X數(shù)總是如下形式，即We(s)Xr

1Wks13-1一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Wk(ss(s1試求：（1）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及性能指標(biāo)%,tr,ts,和輸入量xr（t）= 輸入量xr(t) Wk(s)s(s1)

s(s

2nn2 nn

1211

11.15e2sin0886t 112）% *100%e181*100% 1n3)t 1n4）ts nt(2%)

8 w5)tmwd

1nlt2 1nl11uts(5%)t

1 Xr2(s)s2， (s)W(s) (s) c rAB

s2s2sCs s2sAXc2(s)|s0Bd

CsDXe2(s)(s2s1)|s05j03 130.5 C1,D 所 X(s) s2s11

ss0.52

s0.5213133 t1e05t3

e05t 3c xr2t01tdt0xr t xc2(t)xc1dt11.15e2sin(0.86660 0 t1e05t

e05t 3313c 313當(dāng)輸入量xr3(t)t 輸入量的拉氏變換為Xr3s) Xc3sWB(sXr3ss2s1s0.52

(t) e05t 323323因

(t)(t)d1(t)dxr1 d11.15e2sin0.866T60

(t)dxe1t 23 e05t 3232題3-

(s) s(s tm 。試確定系統(tǒng)參數(shù)kk 值 11. 解:P3-1t t(12(12(12%xmx()100%1.251100%25%(12

解得

(s)KK/ s(s1/與標(biāo)準(zhǔn)形式W 相 s(s2n

2 得1

20.4KK題3- 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W(s)

n

s(s2n xr(t)=1(t) ,誤差時間函數(shù)為e(t)1.4e107t0.4e373t,,求系統(tǒng)的阻尼比ξ、自然振蕩角頻率n，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由典型系統(tǒng)的暫態(tài)性可知，當(dāng)1p(21),p(2 e(t)x(t)xc

X(s) n s(s22s2n 22222c所 x(t) 222c

e(21)nt x(t)22122所 e(t) e(21)n221221.4e107t0.4e3

21)nn21)nn

n424W(s) s(s2n s(s

W W(s) 1W s22s s24.8s e()lime(t)

KK ，試選擇Ks(s

及值以滿xr(t)t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e()0.02xr(t)1(t時，系統(tǒng)的%30%ts(50.3s解從系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

(s) s(s3-11Kxr(t=t時，eKK

所 KK

W(sWK(s) B1B

s21s 11)% 100%解得32）ts(5%)3n

w2

K K 題3-5 為常數(shù)、ξ為變數(shù)時，系統(tǒng)特征方程式

(s)

s22s

征方ns22s22

（|1 p1,2n （|1以n為半徑的圓，如圖3-1所示。 圖3- 題3-5根軌跡分布解：

(s)

，W(s)

s22s s(s2wn (s) 0.2s10.4s

0.08s20.6s

0.08s20.6s1K

s27.5s

1(KK) 1 1 s27.5s1 12.5(1KK1 s27.5s12.5(1KK6.257.5 7.5246.25

0.083.752KK=1p1,23.75j3.3KK=7p1,23.75KK值時wn與ξ的計算KK=1

(s) s27.5s2wn=7.5，得ξ=0.75KK=3

(s) s27.5s 2wn=7.5，得ξ=0.53KK=7

(s) s27.5s2wn=7.5，得ξ=0.375

sin(wdt1111其中w ，11 1KK=11wd141.4xc(t)0.511.5375tsin(3.31tKK=31wd158xc(t)0.7511.179375tsin(6.0tKK=71wd16811%

trrnn nnwtmwd

ts(5%)

ts(2%)2.84%(KK

0.73(KK

t 0.949(KKt

ts穩(wěn)態(tài)誤0.5(KK() 題3- e--（1）求當(dāng)%20%、ts(51.8s時，系統(tǒng)的參數(shù)k1及（2）求上述系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)kp、速度誤差系數(shù)kv、加速度誤差系數(shù)ka及相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解：（1）環(huán)傳 W(s) K1K1 s(sK1K

S s2 2n KK00由 2000，00ln2ln2(ln由ts1.8n

K

K1即

KK由WK(sI3-1并根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)ep() kp1Kev()1KK

0.25 kven() ka00求（1）10，20.1時，系統(tǒng)的 、ts(500)0000（2）10，20時，系統(tǒng)的 ；ts(500)00解：（1）10，20.1時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為BW(s) Bs2(1102)s

s22sn 11000 000

350 ts(5 n10，20W(s)10(0.1s s22s2(s1) 2(sz)W(s) s22s z(s22s2

z1 n

(z(z)2nn12rnz11

z

arctan 11 00求最大超調(diào)量00

000 xcmaxxc()100000xc

00 ，00dxc

t

mxc(t)ttxc m1x(t) entlsin(12t 1 00 00

22rr2

(

11

00700xxc()xc(t) 或xxc()xc(t) t(5%)(3 ln) zt(2%)(4 ln) z7t(5%)(3 1ln) z

rxc(t)tt r1t(1

nt()11n1）10，20.1W(s) s(0.5sep() kpve()11v

k

evven() v

ea10，20W(s)10(0.1s s(sep() kp1ev()1

1

k vevv

e()

ea(函數(shù)。如果被控對象為Wg(s)

1)T1T2,系統(tǒng)要求的指標(biāo)為：位置穩(wěn)態(tài)誤（a）W(sK（b）W(sK(s1)（c）W(sK1s1) Wk(s)Wc(s)WgWk(s)Wc(s)Wg=

(ss

12(Ts1)(Ts12KpKg(s=s(T1s1)(T2s按照系統(tǒng)最小實現(xiàn)原則，應(yīng)選T1或T2（1）當(dāng)T1(s) (s) s(Ts

KpKg/T2s(s1/T 1112由% 100%4.3%，得

2nn即1

將此結(jié)果代入公式ts nts1（2）當(dāng)T2(s) (s) s(Ts

KpKg/T1s(s1/T 1112由% 100%4.3%，得

n2n即1

將此結(jié)果代入公式ts nts2因為T1T2，所以ts16T2ts26T1。因此，當(dāng)T1時，調(diào)節(jié)時間最短。 KpKg n Kp2TK

2g222n 即n 2 2

2 2

2T2K3-10有閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式如下，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明特征根在（1）S320S24S50S320S24S100S42S36S28S82S5S415S325S22S7S63S59S418S322S212S12解（1）S320S24S50S S 2S （2）S320S24S1001414-00SS168216828208F(s)=2S28SS2S5S415S325S22S72-22-21--SSS 16 - -S -191933SSS 0（12）

F(s)3s415s212F(s)12s3S S 勞斯表出現(xiàn)某一行（S3行）為零的情況，并且第一列元素?zé)o變號，表明該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，W(s) KK(0.5s s(s1)(0.5s2s試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的KK值的范圍1

s1 KK0.5S 0S(S1)(0.5S2Ss(s1)(0.5s2s1)KK(0.5s1)0.5s41.5s32s2s0.5KKsKKs43s34s22sKKs2KK 5(10.1K 10.5KK0.1KK

10 0KK 510.1KKK10.5K K0.1KK

解得

KKKK3-12已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖P3-6所示，試用勞斯判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kf值范圍。s11

開環(huán)傳遞函數(shù)：W SS2110K 閉環(huán)傳遞函數(shù)：WBs

fWKS1WKS系統(tǒng)特征方程為：1WKs

10(1S S2S110KfS3110Kf)S210S10 s 1 10s

110K當(dāng)10

110K

Kf解：該系統(tǒng)的特征方程為：1WKs1S 0 S(S 10

所以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為K題3-14 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Wk(s)s(10.33s)(10.167s)，要求閉環(huán)特征根的實部均小于-1，求K值應(yīng)取的范圍。Ks(0.33s1)(0.167s1)K 0.055s30.497s2sK0.055Z130.497Z12Z1K0整理得：0.055z30.032z20.171zK0.5580z z 0.265z K

K0 W(s) s(s4)(5s

W(s) 10(s s2(s4)(5sxr(ttxr(t24t5t2

s(0.25s1)(5s（1）xr(t)1(te(

（2）x(t24t5t221(t4t101t2re()204

2102.5(s 0.25(10s將原式整理得Wk(ss20.25s1)(5s1)s20.25s1)(5s1）xr(t1(te(02）x(t24t5t221(t4t101t2re()204010

240題3-16有一單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W(s) ，求當(dāng)輸入信號 X(t1t2X(tsinwt

(s)Xr(s)1Wk

(t1t22r

(s) 1e()limsE(s)limsXr(s)

s s01Wk s01s

s0s(sKkwXr(tsinwtXr(ss2w2wE(s)Xr(s)Xc(s)1Xr 2w W sw1W 3s2xr(t=1+t1/2t時，穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)e（t解：E(s)

sXr 1Wk 13ss5s

102sE(s)

s

2 3 4rX 102s r11s

1s2

1s3

1s4動態(tài)位置誤差系數(shù)為k0k110，k2e(t)1x(t)1x'(t)1x''(t)...01x'(t)13x''(t) 2xr(t=1+t1/2tx'r(t)1tx''r(t)1x'''r(t)

e(t)

1(1t) t 題3-18一系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖，并設(shè)W(s)K1(1T1s)，W(s) K

s(1T2s分別以Xd(ss、2作用于系統(tǒng)時,s+-W(s)Xc(s) W2 N 1W1(s)W2e()limx(t)limsW(s)N(s)lims W2 N(s)12t s01W12

當(dāng)擾動量N(s)

s22e()limx(t)lim W 1lim W 22

s01W(s)W(s)

1W(s)W

s(1

s01K1(1 s(1lim s0s(1Ts)K1K2(12

K2s0(K1K2T 1當(dāng)擾動量N(s)s2時，帶入（3-23）e()lim W2 1lim W2s01W(s)W(s) s0s1W(s)W s0s2(1Ts)KKKKT K 1 12 1 （2）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，及其%,tsXrXcs(T2sKP3-93-28解

W(s) 2(0.5s s(0.25s1)0.25s2s2X 1（1）xt1Xss，代入式（3-24）1E(s) 0.25s2se()limsE(s) s00.25s2s1xttXss21e()limsE(s)lim 0 s00.25s2sx(t1t2X(s1 e()limsE(s)

s00.25s2sW(s)Xc(s) s 4sBX 0.25s2s s24sB2(s1) 2(sz)W(s) s22s z(s22s2 8(s即W(s) 2(s24s8n812 12(z)(z)212nnrnz1 1

4n1 arctan2n1z

1x(t) entlsin(12t1

z2e2tsin(2t34t(5%)(3

1ln) z

%

22r2

(

1100%1W(s)as2bs,W(s)

c

s(10.1s)(1P3-解1W 10as2bsBW(s) g B1 s(0.1s1)(0.2s1)EsXr(s)Xc(s)[1WB(s)]Xe()lime(t)limsE(s)lims(1WB(s))X t 11

(s)

e()lims(1W(s))X lim 10(as2bs ] s(0.1s1)(0.2s1)10lims2(15500a)s50 s15s5s令e(015500a

a50500b0b 根軌跡數(shù)變?yōu)?1，其特征方程的形式有如下4種可能性mK*(szi n (spj

m(szi m （K*0 K K(spj和pj分別為等 Kg(s（1）WK(s)(s1)(s p11、p2D'(S)N(S)N'(S)D(S即s22 1(6 3628)1(68)32 根軌跡如圖4-1所示。4-14-1（1）根軌跡Kg(s（2）WK(s)s(s3)(s解起點：Kg0時，起始于開環(huán)極點，即 p00、p12。實軸上的根軌跡區(qū)間為5~3和2~由公式18001n

（ pj k nk1800900 k2

3250314-24-1（2）根軌跡D'(S)NS)N'S)D(S即 s310s225s15解 s10.89,s22.5964,s3

Kg(sWK(s) (s1)(s5)(s解 p01、p15、p22）實軸上的根軌跡區(qū)間為10,5，3,

1800(1n由公式 p （ n1800(12) 3 k510136.531D'S)NS)N'S)D(Ss1s5s10s3s5s10s1s10s1s2s325s296s145因為分離點在10,5區(qū)間內(nèi)，所以取 Kg(s（1）Wk(s)s22s解22 p1 j、p2 22實軸上的根軌跡區(qū)間為,2

1800(1n由公式 p （ n1800(12k222

D'(S)NS)N'S)D(S)s22s3s22s33解得s12 s22333由于實軸上的根軌跡在2,區(qū)間內(nèi)，所以分離點應(yīng)為s12 3sc

0n1

mimjj j

180090054.70sc2144.70。根軌跡如上（2）Wk(s)s(s2)(s22s解p10,p22,p31j,p41

1800(1n由公式

p

（

n180012)4504k2114

D'(S)N(S)N'(S)D(S s13解 s1,2,3sc

0n1

mimjj jsc11800 450sc2900gs44s36s24sKg4 4 g gg 44Kg5 s1行為零，即5s250得4s1行為零，即45Kg=0s4即根軌跡與虛軸的交點為s1,2j,此時Kg5。根軌跡如圖4-5所示 D'(S)N(S)N'(S)D(SKg(sWK(s)s(s3)(s22s解1）起點：四個開環(huán)極點p0 p1 p21j、p31終點：系統(tǒng)有一個開環(huán)零點z1實軸上根軌跡區(qū)間為,3,2,0

1800(12) 04 0n1

m

k2324sc

ij

1800 26.60450sc226.605)與虛軸的交點s45s38s2(6Kg)s2Kg 2 6+ 86 g 6Kg

406 2 根軌跡如圖4-6所示。Wk(s)

Kg(s2

s(s1)(s4s33解33起點：四個開環(huán)極點p0

p1 p22 p323)

1800(12)6004k12214 D'(S)N(S)N'(S)D(S即ss1(s24s=（s+1）2s1s24s16ss12s3s410s321s224s16因為分離點與會合點分別在,1和0,1區(qū)間內(nèi)s10.45,s22.220n1

m由sc

ij sc11800 49.10180073.90sc254.805)求得根軌跡與虛軸的交點s43s312s2Kg16sKgg g Kg3

Kg- K Kg 圖4- 11Kg135.7Kg223.3。分別代入輔助方程3g

s1,22.56j（Kg135.7s3,41.56j（Kg223.3K(0.1sWK(s) s(s1)(0.25s解gg

16Kg(s(s) Kg(0.1s

K(s s(s1)(0.25s

s(s1)(s

s(s1)(sp0 p1 p2p3Kg時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)零點為z1為~10和1~0D（s）=s4+ 所以D’(s)N(s)-N’(s)D(s)=43+272+48s+16（s+10）（s4+9s3+24s2+16s=3s4+58s1 s2漸進線傾角為：1800(12)1800(12)600 n 4jipji

22112n 4 題4- Wk

sTs1s22s解當(dāng)選Kg為可變參量時，特征方程為1Wks1

NsDs

0式中，Wks為系統(tǒng)環(huán)傳遞函數(shù)；NsDs分別為開環(huán)傳遞函P程化為1

Qs

0的形式，并以所選可變參量代替Kg的位置，得到等效開環(huán)傳遞K數(shù)K

s

PQs

1

s

4sTs1s22ss2s22sss22s2

Ts sT(s22ss ss22s2起點：系統(tǒng)有三個極點-P12= 2終點：系統(tǒng)有四個零點-Z1=0，-Z2=0，-Z3,4=-1

3223由公D'sNsN'sDss2s22s22ss2s22s22s22ss22s2s22ss54s48s324s228s16s1=-3.1461，s2,3=0.3177j2.2.2802,s4,5=-0.7446根據(jù)題意，實軸上的根軌跡不在（-2，0）區(qū)間內(nèi)，所以分離點s1=-3.1461. j 出射角計算由 1800n1 j j 1800900arctan2arctan 1arctan =-35.22 2 2 由sr

inmj nm 1800 0arctan 1900arctan 450

2 2（900900450900450同理，sr2=-1800W(s)K(s s2(sK解

4

s2s1Ksa即K4

31s2s1K31 11 =1 1 4ss1 ss2 4 1所以 21

2，其中14 1 1sss

1 4 ss ss 2 2起點：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點P=0，P1，P1 180012 600n

3由公D'sNsN'sDs3s2+2s+14 1系統(tǒng)特征方程式為ss

1 2

4 1-14令1-=0，得1，即 將1-代入s2=0，解得 =j1 1即根軌跡與虛軸的交點為s1,2j2W(s) (s16)(s22s試用根軌跡法確定使閉環(huán)主導(dǎo)極點的阻尼比0.5和自然角頻率n2Kg值。起點：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點p1,21 p216

1800(1 60,

n1615 sc180jij

180(90arctan1)（s+16）(s22s2)Kg(s318s234s32K 2 32+K2 1834(32Kg)s 1834(32令

=0Kg(18s232K11)Kg(nj12n (nj121j)(j121j K(n 3n16)(n 3n1j)(n 3n1j) 令等式兩邊實部與實部相等，虛部與虛部相等，解得n1.90（舍去）則當(dāng)0.5時，Kg=25.46.當(dāng)n2111Kg(2 16)(2 1j)(2111令實部實部相等，虛部虛部相等，解得15.94(舍)20.3931（舍）將20.39代入，計算得Kg=36.4。系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。W(s) (s1)(s1)(s

0WK(s的形式可知，應(yīng)按0起點：系統(tǒng)有四個開環(huán)極點p121,p3,44360nk11444Ds)N(sNS)D(s(4s324s230s8s12.22,s24,s30.224-7

WK(s)

Kg(ss2(s2)(s系統(tǒng)有四個開環(huán)極點（起點）p1,20,p32,p4

1800(1 60,n241 將 代入系統(tǒng)特征方程1+WK(s)=0，(j)2(j2)(j4)Kg(j1)

482Kg63Kg解得22,2,Kg6212s1,2j2。4-13642ImagImag---- - - - - - Real4-134-73600 n

120 241 D(s)=s2(s2)(sN'(s)D'(s)s2(s2)2s(s2)(s4)s2(s=s2(2s6)2s(s26sDs)N(sNS)D(s)0(4s318s216)(s1)s2(s26s8)s(3s316s226s16)s1=-3.1s2=0,s3,41.1248j0.68144-144-7圖）和對數(shù)頻率特性（Bode-Plot）的畫法，在此基礎(chǔ)上才能建立頻域或是時KkKkTs1Ts2Ts2 l wks

sNTis1T2ks22kTksj k環(huán)節(jié)（實數(shù)零點）h個二階微分環(huán)節(jié)（共軛零點。傳遞函數(shù)為Ts1,而實際情況可能是Ts1——44種形式所對應(yīng)的幅頻特性相同，相角的變化范圍都是90，相頻率特性卻各異：Ts1arctanTTs1arctanTTs12arctanTarctanTTs1arctanT

s（1）xr1(t)sin(t300（2）xr2(t)2cos(2t450（3）xr3(t)sin(t300)2cos(2t450

W(s) WK

s 1WK 1s

sXr1tsint

Xr1s

e6 s2

sjsjeXc1sWBsXc1e es11sjsj a es sj sj11t 11t

jtj

jt6Xc1tLXc1s a2e a2e txc1t的第0 j6

6xc1ta2e a2e 6s11sj其中a2Xc1ssjs11sjsj 2 11a2

ssj

s

s11sj

s

12

1110

所 xc1t 2j11

jt6e

11

jt6e j j 6

jt 6

j1 e e11e e112j 10sint 110.91sint302A ,2121AA1121(1)arctan

xc1tAejxc1t0.905sint30（2）xr2t2cos2txr2t2cos2t452sin2txr

s22s2Xc2sWBsXr2s10s

s2xc2t

s ss ae11t11aej2t1aej2t c 穩(wěn)態(tài)時，t,ae11t10，所以x taej2t1aej2t1，故只需求a和a。 a2Xc2ss c j211 j2j2a

t

1

j2 ej2t1

j2 ej2t1c 2j j2

1j2t1jarctan j2t1jarctan2121121j21.788sin2t45

11 111.788cos2t45xr2t2cos2t452sin2t121所 AA2121

w2arctan

xc2tAejxr2t0.8942sin2t451.788cos2t45xr3tsint302cos2txc3t0.905sint305.191.788cos2t45（1）W（s）=KsN

0.1s（3）W（s）=KsN

s(s

(s1)(s

ssss(s（9）W（s）=T2s2+2Ts+1(

25((0.2s1)s2+2s+1（1）W（s）=KsNN=1

W（jw）=10=-j N=2

wA（w）=

ww

W(s)

0.1s

j(=0.01w21(1j0.1w)=A(w)

時P(w)=0.01w2

(w)arctanw=0 w w

時 ，w(180arctanw=10時P(w)=-

w wW(s)Ks (K10,NN=1時W(jw)=j10w,A(w)=10w,wN=2時W(jw)=10(jw)2 w2,w（4）W(s)100.1s

5-35-2（3）W(jw)=10(0.1jw1)jwW(jw)=jw10P(w)= w100100w=0

warctan w Q(w)=A(w)= w當(dāng)W(jw)=jw-10P(w)=- 100ww=0P(w)=- wP(w)=- Q(w)=A(w)= w

w180-arctan

=s(s

s(0.5s5-45-2（4） 2jw(j0.5w2= 0.25w2

jw0.25w2P(w)=0.25w2

w(0.25w22w0.25w2 ,(w)902w0.25w22

w=0 P(w)=- Q(w)=-A(w)=w P(w)= Q(w)= w4W(s)4(s1)(s

(s1)(s/2 2(jw1)(j2w2w2w2(w)-arctanw-arctan2w0～時，A(w)=2～0,(w0～180w=0 W(jw)= 0=25-55-2（5）的幅相頻率特w= W(jw)=0(nm)900 s3

5-65-2（6）的幅相頻率特1s s 201sjw

k3 3

3

=A(w)ej( 3w2

(w)=arctan-arctan ＞0(0＜w＜ 3w=0時，W(jw)=kk0=m

1kw時，W(jw)=k

3m 0=m

3

=15-75-2（7）的幅相頻率特s s(s

0.02s(50s

105ss50sW(jw)= j5w1=jwj50w

ej( (5w)2w50w2 (w) (5w)2w50w2w=0時，W(jw)=

w=時 (nm)90=0 =- 22w0150w5-85-2（8）的幅相頻率特（9）W(s)=T2s22Ts1 與式(5-1)N=0，n=0,m=2,kk1。

1T2w2+j2Tw= ej((1T2w2)(1T2w2)1Tw=022w=1時 22T

w時，W(jw(nm905-95-2（9）的幅相頻率特（10）W(s)=25(0.2s1)=25(0.2ss2s

(s25(0.2w)2 w21 w=0時，W(jw)=kk25(0.2w)2w時，W(jw)=0(nm90=05-105-2（10）的幅相頻率特解（1）W(s)=KsN 、

，(w)wwwAwcwc

=1,解得wc=10即對數(shù)幅頻特性 5-115-3（1）時的對數(shù)頻率特N=2

W(jw)=10(

A(w)=

(w)A(wc)=1wc

0.1s

交接

=

時jw(3)WsN=1時，Wjw

5-125-3（2）N=2的對數(shù)頻率特j10w,Aw10w,wLw20lgAw2020lg1wc1

N=2時，Wjw10(jw)2Aw10w2wLw20lgAw2040lgwc

5-135-3（2）W2jw時的對數(shù)頻率特（4）WsKTs Wjw10(j0.1w1)jwW1jw10(j0.1w1)W2jw10(j0.1w1)100A1wA2100

jwjw0.1w2L1wL2w200.1w21

warctan5-145-3（3）N=2時的對數(shù)頻5-155-3(3)N=1時的對數(shù)頻率特 2ww180arctan交接頻w1w=0Aw10,w45,www1時，w45,wwAw,ww（5）Ws ss s0.5s5-175-3（4）W1jw的對數(shù)頻率特 題5-3（4）W2jw的對數(shù)頻率特Aw

Wjw jwj0.5w 2w10.5w2w2w10.5w20.5w2Lw20lg220lg0.5w2交接頻w1w=1Lw20lg26作斜率為-20dB/decw=2處時，特性頻率變w=0www1www4 W(s)4(s1)(s

(s1)(0.5sW(jw) (jw1)(j0.5w2212210.52arctanarctan20.52L2020.52交接頻率為11,22 12，特性斜率為-2,特性斜率為-40dB/dec。相應(yīng)得對數(shù)頻率特性繪于圖5-20.（7）W(s)s3 s/3s 20s/20(jwW(jw) 20jw3/3/320 圖5- ()arctanarctan3()w21320lg L(()w21320lg

w) w)21交接頻率為w1=3w2=2030<w<w1,高度20

ww1w2,特性斜率為w2w,0dB/dec。相應(yīng)的對數(shù)頻率特性繪于圖5-21。s 105s（8）W(s) s(s s50sW(jw)w

5-215-3（7）的對數(shù)頻率特j5wj50w 100.2 A() ()900arctan5warctan2 (5w)2(50w)2L(w)2020lgw(5w)2(50w)2當(dāng)=1L(w2020lgw20，過此點可確定低頻段漸近線的（9）W(s)T2s22Ts1(0.707W(jw)(1T2w2)(1T2w2)2(A(1T2w2)2(1T(1T2w2)2(1T2w2)2(1交接頻w1=5-225-3（8）的對數(shù)頻00(Tw)4((Tw)2[(Tw)2w>w1時，(Tw)4((Tw)2[(Tw)21T21T2()

90,w （10）W(s)

5-235-3（9）的對數(shù)頻25s25(0.2s W(jw)

s2+2s+25(j0.2w(jw

s2+2s+5 122(w)arctan0.2w2arctanw

0,w90,w 90,w(0.2w)2L(w)20lg2520 20(0.2w)2w11w25。5-245-3（10）的對數(shù)特性頻WS KT3S (1TTT ST1S1T2S KT3S SS2SWKS

e02s解（1）WS KT3S (1TTT ST1S1T2S WjN90時,Wj0nm900KjT312Wkj12

jjT1jTjK(1jT3w)(1jT1w)(1jT2 w(1T2w2)(1T2w2 K(TTTTTTw2 12 (1T2w2)(1T2w2 PwjQxlimPwK(T1T2T3)w0分析P(w)和Q(w)w為有限值時，總有P(w)<0,且Q(w)中的T1由1 11(TTTTTT)w1 1Wj得

TT12 TT12 P(wj) 1 1 2 T

T 1 1 ()90arctanT1arctanT2arctan5-255-4（1）的幅相頻率特(Tw(Tw)23(Tw)21(Tw)2(Tw)22 (w)90arctanTwarctanTwarctan (Tw)21(Tw)22(Tw)(Tw)21(Tw)22(Tw)231

1T，w2T2

1T，w3T3

（2）WK(s)s(s2s100)s(0.01s20.01sW(jw)N90W(jw)(nm)900

500(100w2WK(s)[(100w2)2w2]jw[(100w2)2w2]P(w)jQ(w)P(

W(s) s[(0.1s)20.1sw[1(0.1w)2]2w[1(0.1w)2]2(w)90L(w)201g5

1[1[1(0.1w)2]2交接頻率1WKS

e02Sej0

5-28的對數(shù)頻率特WKj

j2A ,0.220 A()1, A0,當(dāng)0 A10,02A ,0.222L2交接頻率為11 （1）W（s）= K(T3s （TTT s(T1)(T 2（2）Wk（s）=s(s1)(0.2s(3)

100(0.01ss(s解(1)W（s）= K(T3s （TTT s(T 2W(j)= K(jT3 j(

=A()ej()=P()+jQ(K1K11(T1)21(T2 12 ()90arctanT3arctanT1 12 P()

K(TTTT2TT) K[TT21(TT)T2 1 1(TT)23(1TT 1令P（）=0,即2T3(T1T2Q（Q（）=0，即2(TTTTTT 1 1 2分析的解可知，因為TTT(TT,0< 1 3 軸相交，即1=（相當(dāng)于代數(shù)方程無解=0時，P，Q，()=0時，P（）=K(TTT Q()= () =時 P( Q()=0,() （2）Wk（s）=s(s1)(0.2skW(j) kj(j1)(j0.2221(0.2)2()90180arctanarctanP() (21)(0.042Q()

10(0.22(21)(0.042由Q()、P()的表達式知，曲線不穿過實=0A(0A(

()=180() =時,A() () 270xlimP()5-325-5（2）的幅相頻率特（3）Wk

100(0.01ss(s100110011()arctan0.0190180arctan=0A(0A(

()=180() =時,A() () 270P() Q()100(10.0121 (2xlimP()從P()中知曲線不與虛軸相交。相應(yīng)的幅相頻率特性曲線繪于圖5-令Q(=0，得j=100，P（j）=5-335-5（3）的幅相頻率特5-6P5-1所示，試寫出開環(huán)傳遞函數(shù)的形式，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。圖中P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s有半平面的極點數(shù)。解 推出與之相對應(yīng)的Wk(j)。這相當(dāng)于由一個已知的()擬合出一個Wk(j)。需要讀0,W(j)K,W(j)0分析頻率特性曲線 ，可得出()=180arctanK由此推得Wk(sTsK，N=-1P=-1，Z=1+1=2，即有兩個閉環(huán)極點在s右半面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。因為P=1，所 分析可知，當(dāng)=0時，()從()=180arctanT1arctanT2arctanT3arctan (T1s1)(T2s 0,W(j)K,W(j)0()=180arctanT1arctanT2arctan所以Wks

(T1s1)(T2s1)(T3s

，其中T1T2p5-1dP=0，N=0，()180arctanT1arctanT2arctan所以Ws K(T1s ，TTT s2(Ts1)(Ts P5-1e由圖得(18090arctanT1180arctanT2當(dāng)時，Wj即()18090arctanT1180arctanT2x=x9090180x9090 90(180arctanT1