大工15春《復(fù)變函數(shù)與積分變換》開卷考試期末復(fù)習(xí)題

大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院第PAGE第7頁共21頁大工15春《復(fù)變函數(shù)與積分變換》開卷考試期末復(fù)習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共60小題，每小題2分，共120分）1i2i12i

的共軛復(fù)數(shù)是（ ）21A21C、

21i

B、02121

21i答案：D答案：D2、下列選項(xiàng)中為解析函數(shù)的是（）A、f(z)x2yiB、C、f(z)xy2x2yiD、f(z)2x33y2if(z)sinxchycosxshyi答案：D

sin3、設(shè)C為正向圓周|f(z) 6 d，則f（ ）C(z)2A、336

1

3B36i

C、 i332

D、 i24、設(shè)z i 1A、15C、2答案：C

，則zz（ ）

B、-1D、525、設(shè)C為正向圓周|z1，則

zdz（ ）CA、i

B、i C、i D0答案：C6f(zA、0答案：C

Rez|z|

，當(dāng)z0時的極限為（ ）B、1 C、不存在 D、-127、1 （ ）22A、cos2

isin

B、cos(2 2k)isin(2 2k)22C、isin228、設(shè)C為正向圓周|z1|2，則 ezCz2

D、cos2dz（ ）2A、e2 B、e2i C、答案：B9、設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析為D內(nèi)一條正向閉曲線，則必有（

D、2e2iA、Im[f(z)]dz0B、Re[f(z)]dz0C、[f(z)]2dz0D、f(z)dz0CCCC答案：D10、Ln(-1)=（）A、1答案：CB、2C、πiD、1+πif(z

1z2)2

在z0處展成泰勒級數(shù)，其收斂區(qū)域?yàn)椋?）A、|z1 B、|z1 C、|z1答案：A12、冪級數(shù)!zn的收斂半徑是（ ）n0A0 B、1 C、2答案：A

D、不確定D、3

1n213、冪級數(shù)

1

zn的收斂半徑是（ ）n1

nA0 B、1C、e答案：D14z1f(z)(z1)5sin

1z1

1D、e的（ ）A、可去奇點(diǎn) B、二階極點(diǎn) C、五階零答案：D

D、本性奇點(diǎn)15、設(shè)C為正向圓周|z1，則 dzCz2A0 C、iB、1

（ ）

D、i答案：A16、函數(shù)eiazeibz(a,b為實(shí)數(shù)，ab)在z0處的留數(shù)為（ ）z2A、i(bC、ab答案：D17、映射wez2在點(diǎn)zi處的伸縮率為（ ）A1 2B、e答案：B

B、baD、i(ab)1 D、eC、e18、函數(shù)tanzz

處的留數(shù)為（ ）2A、-1 B、2答案：A

C、3 D119z0f(z

sinzz

的（ ）A、可去奇點(diǎn) B、本性奇點(diǎn)答案：A

C、二階極點(diǎn) D、都不正確20、函數(shù)w

1的奇點(diǎn)是（ ）zA1 B、-1答案：C

C、0 D2t2,|t21、函數(shù)f(t)

的傅氏變換為（ ）0,|t1A、2sin-4cos4sin B、4sin4cos 2 3 2 2C、4sin-4cos D、4sin4cos 答案：A22、下列變換中不正確的是（ ）A、F[u(t)]1i

()

B、F(t1C、F ()]1答案：D23、若F[f(t)]F)，則F[F(t)]（ ）A、f() B、f

D、F-1[cost)0 0 0C、f() D、f答案：B24、下列選項(xiàng)中不正確的是（ ）AL[u(t1(Res0)s1

B、L[(t)]11C、L[eat] (ResRea)s-a

DL[t]

(Res0)s答案：D25、cos2at的拉氏變換為（ ）A、 s 1 B、 s -12(s24a2) 2s 2(s24a2) 2ss 1C、s2 4a2 s答案：A

s 1D、 -s2 4a2 s26、設(shè)f(t)cost，則其傅氏像函數(shù)F[f(t)]（ ）0A、(-0

)-)0

B、iC、[(0

)-)]0

D、[(0

)--)]0答案：C27、函數(shù)(t)的傅氏變換F(t)]（ ）A、-2 B、-1答案：C28、在下列函數(shù)中不存在拉氏變換的是（ ）

C、1 D2A、et2答案：A

sin2C B、u(t) D、eat(aC 29、若F[f(t)]F(),t為實(shí)常數(shù)，則F[f(t-t)]（ ）0 0A、e-it0F) B、eit0F) C、e-2it0F) D、e2it0F)答案：A30、函數(shù)t22的拉氏變換為（ ）A、232

B、2-32

C、2-3-2

D、23-2s3 s2 s答案：A

s3 s2 s

s3 s2 s

s3 s2 s1 31、已知z 1 i 1iA、0答案：C

，則Rez（ B、12

C、32

D、無法確定32、下列函數(shù)中，為解析函數(shù)的是（ ）A、x2y22xyi B、x2xyiC、2(x1)yi(y2x22x) D、x3iy3答案：C33、設(shè)zA、3答案：A

i,z2，則arg（ ）33B、6

C、6

D、3(1 (1 3i)(1i)

(i1)2

的模為（ ）2A0 C、22B、1 D、答案：D35、 ez|z2|1z2

dz（ ）A、2e B、e C、e2答案：Di B、 i C、 i D、 i B、 i C、 i D、 ixyyxx xyxA、

D、e2i答案：B37、設(shè)ez1i，則Imz（ ）A、4

B、2k4

C4

D、2k4x1i(y38、若等式 5

1i成立，則(x,y)的值是（ ）A、(1,11) B、(0,11) C、(1,10)答案：A

D、(0,10)a39、數(shù)列

1 i)enin

的極限為（ ）A0 B、1 C、-1答案：B

D、240z

11

，則z100z75z50（ ）A、i B、i C、1答案：B41、設(shè)C為正向圓周|z|1，則 coszdz（ ）C zA、i B、i C、0D

D、-1答案：B42、Rez(z2i)2

,2i]（ ）A、2i B、C、-1答案：D

D、143、設(shè)f(z)n0

azn在|zRk為正整數(shù)，那么Ren

f(z),0]（ ）zkA、a B、k!a C、ak k k答案：C

D、(k1)!ak144、映射3zizzi

2i處的旋轉(zhuǎn)角為（ ）A0 C、B、2

D、2答案：D45、若冪級數(shù)cn

zn在z1處收斂，那么該級數(shù)在z2處（ ）n0A、絕對收斂 B、收斂 C、發(fā)答案：A

D、不能確定46、C為正向圓周：|z|2，則

ezCz(z1)2

dz（ ）A、i B、2i C、i答案：B47、將點(diǎn)zi,1分別映射為點(diǎn)的分式線性變換為（ ）z1

D、4iA、

eiz1

eiz12 2z 1 C

21z D

z1B、z11z答案：C48z0

sinzz3

的極點(diǎn)，其階數(shù)為（ ）A1 B、2 C、3答案：B

D、449、以z0為本性奇點(diǎn)的函數(shù)是（ ）sinzA、z

1B、z(z1)2

1C、ez1D、答案：C

ez12 150、設(shè)f(z)的羅朗展開式為

(z1)2

z12(z1)2n(z1)n，則z1Ref（ ）A、-2答案：B

B、-1 C、1 D251、已知f(t)costsint，則F[f(t)]（ ）A、i2)2)] B、i2)(2)]2C、22)]答案：A52、已知f(t)sin3t，則F[f(t)]（ ）Ai1B、 --1)-C、 -1)D、 --1)-4答案：B53、已知f(t))，則F[f(t)]（ 3

2D、i[(2)(2)]3Ai5532Bi523Ci55323Di5532

[(5)(5)]23[(5)(325)5)]25)5)]2大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院答案：大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院答案：C第PAGE第9頁共21頁t254f(tt2u(tg(t

其他

，則函數(shù)的卷積f(t)g(t)（ ） t1 2A、B、23C、23D、

(t1)3,1t23[t)3t3],t22t12(t1)3,1t23[t)3t3],t22t12(t1)3,1t23[t)3t3],t22t12(t1)3,1t23[t)3t3],t2答案：D

2,0t255f(t

，則f(t)的拉普拉斯變換L[f(t)]（ ）3,t2A1(2e2s)s

B、1(2e2s) Cs

1(2e2s)s

D1(2e2s)s答案：A56f(tsint22

，則f(t)的拉普拉斯變換L[f(t)]（ ）2 2 1A4s21

B4s21

C2s21

D4s21答案：B57F(s

1s(s1)2

f(t的拉普拉斯逆變換

1[F(s)]（ ）A、1ettet B、1ettet C、1ettet D、1ettet58F(s1

s(sa)(s1

f(t的拉普拉斯逆變換1

1[F(s)]（ ）1Aa

(eataebtb)

Ba

(eataebtb)

Ca

(eataebtb)

Da

(eataebtb)答案：D59、像函數(shù)A1sinaC、sinat答案：A

1s2a2

的拉氏逆變換為（ ）

B1sinaD、sint60、在區(qū)間[0,]上的卷積sinktsinkt(k0)（ 1 sinkt

sinktA、tcoskt2 2k

B、

tcoskt2kC、1tcosktsinkt2 2k答案：B

sinktD、tcoskt2k二、判斷題（本大題共60小題，每小題2分，共120分）1、z1

55i,z2

34i，則z1z12

71i。5 5A、正確答案：A

B、錯誤1 22、設(shè)f(z)(z32z1)5 ，則f(z)5(3z22)(z32z1)4 。A3、積分

sinz|z|2(z1)2

z2 z3B、錯誤dz2icos14、 zezdzei1A、正確答案：B

B、錯誤B、錯誤5、當(dāng)n

時，zn

n zA、正確答案：A

B、錯誤大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院第PAGE第21頁共21頁6zz250。A、正確答案：B

B、錯誤7、設(shè)C為從點(diǎn)z1

i至點(diǎn)z2

0I

zdz1。C 2A、正確答案：A

B、錯誤8zxiyx1iy2)1i)(1iz3。A、正確答案：A

B、錯誤9、方程|zi|2所表示的曲線為中心為i2的圓。A、正確答案：A10Ln(34iln5i(2karctan4)3A、正確答案：A

B、錯誤B、錯誤11、區(qū)域0argz

在映射wz3下的像為0argz34 4A、正確答案：A12f(zA、正確答案：B

1z3z2z1

1在奇點(diǎn)處的留數(shù)只有4

B、錯誤B、錯誤13f(z

1z2(1z)

在圓環(huán)域0|z1內(nèi)的羅朗展開式為znn2A、正確答案：A14、冪級數(shù)

()nn!

zn的收斂半徑為

B、錯誤A、正確答案：A

n1

B、錯誤15、冪級數(shù) znn3

的收斂半徑是1n1A、正確答案：A

B、錯誤16、冪級數(shù)(z)nn

的收斂半徑R1n1A、正確答案：Aa

a n

B、錯誤21217、設(shè)lim

n1

1i，則冪級數(shù)

n z的收斂半徑為 。nanA、正確答案：A

n0

n1

B、錯誤18f(z

1cos1z

在其奇點(diǎn)zk

1k

(k0,1,)處的留數(shù)2Ref(z),zkA、正確答案：A

] (1)k(k )22

(k

B、錯誤19、映射wez將帶形域0ImzA、正確答案：A

映射為角形域0argw4 4B、錯誤20A

1z2

在點(diǎn)z4處的泰勒級數(shù)的收斂半徑為R2B、錯誤0,-t-1t0 2(1-cos)t 21f(tt

1 的傅氏變換F[f(t)] A、正確答案：A

1t

B、錯誤122f(te2t

(t的拉氏變換Lf(t5

s-2

(Res2)A、正確答案：A

B、錯誤23yyy(0)1y(t3et

-2。A、正確答案：A

B、錯誤

6 6 3 1524、函數(shù)f(t)3(t1)25e-2tsin3t的拉普拉斯變換L[f(t)]

s3 s2 s (s2)29A、正確答案：A25、函數(shù)u(1-e-t)的拉氏變換為s

B、錯誤A、正確答案：B

t0

B、錯誤26f(t

t1的傅氏變換Ff(t

2i(cos-1)A、正確答案：A

其他

B、錯誤27、cost的拉氏變換L[costA、正確答案：A

s (Ress21

B、錯誤28FpLy(ty(ty(00，則Ly(tF(s。A、正確答案：B

y-y2cost

B、錯誤29、已知常微分方程的初值問題 y(0) 0A、正確答案：A

，則利用拉氏變換解得y(t)sint-costet。B、錯誤30（t-1)2etA、正確答案：A

s2-4s(s-1)3

B、錯誤31、33i

27e2k(cosln3isinln3)(k為整數(shù)）A、正確答案：A32、設(shè)C為正向單位圓周在第一象限的部分，則積分A、正確答案：B

B、錯誤(z)3zdz1i。CB、錯誤33、積分 1

2

6i|z|4z1 z3A、正確答案：A34、復(fù)數(shù)方程ez1 3i的解為ln2i(A、正確答案：A352i(3z1)dz137i

B、錯誤52k)(k)3B、錯誤0 2A、正確答案：A

B、錯誤1 x36、已知f(z)i是解析函數(shù)，其中

ln(x2y22

。y x2y2A、正確答案：A37、在復(fù)數(shù)域內(nèi)，方程cosz0的全部解為2A、正確答案：A

B、錯誤k(k。B、錯誤38f(zA、正確答案：B

zcosz，則 f(z)dzi。z2 |z|1

B、錯誤39f(0)f(0)1i，則limz0

f(z11i。zA、正確 B、錯誤答案：A40、|z-2i|=|z+2|所表示的曲線的直角坐標(biāo)方程是x=-y。A、正確 B、錯誤答案：A41、設(shè)C為正向圓周|z2A、正確答案：A

|1，則 coszC(z 2

dz0。B、錯誤42、F(z)zed在z0處的泰勒展開式為0n0A、正確答案：A

z2n1,|z。1n!(2n1)1B、錯誤43、函數(shù)tanz在zA、正確答案：A

2處的留數(shù)為-1

B、錯誤44z=0f(zA、正確答案：A

sinzz

的可去奇點(diǎn)

B、錯誤45、函數(shù)wA、正確答案：A

10z

B、錯誤46A

1z21

在點(diǎn)z=4處的泰勒級數(shù)的收斂半徑為R=2。B、錯誤47、函數(shù)sinz的極點(diǎn)是一階極點(diǎn)。A48ω=z+bA、正確49ω=az,a≠0是一個平移映射。A、正確

B、錯誤B、錯誤B、錯誤50、分式線性映射wA、正確

1通常稱為反演映射。z

B、錯誤51(tf(t)dtf(t)-A、正確答案：B52、(t)(t)

B、錯誤A、正確答案：A53、F(t(teitdteitA、正確

1t0

B、錯誤B、錯誤154、F1A、正確答案：A

eitt)

B、錯誤55、F)0A、正確答案：B56、積分te2tdt10 4A、正確答案：A1

B、錯誤B、錯誤57f(tektA、正確

sk

(ResRek)

B、錯誤答案：A58、函數(shù)1u(t在區(qū)間[0,上的卷積為tA、正確答案：A59f(t(t6)，則Lf(te6s。

B、錯誤A、正確答案：A1

B、錯誤160F(s)A、正確答案：A

s(s4)

，則L

1[F(s (1e4t。4B、錯誤三、填空題（本大題共20小題，每小題3分，共60分）1、將冪函數(shù)51i表示成三角形式 答案：eln5[cos(ln5)isin(ln5)]考點(diǎn)：復(fù)數(shù)各種表示方法及其運(yùn)算課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第二節(jié)復(fù)數(shù)幾何表示2、將冪函數(shù)ii表示成指數(shù)形式 e2k(k答案： 2 為整)考點(diǎn)：復(fù)數(shù)各種表示方法及其運(yùn)算課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第二節(jié)復(fù)數(shù)幾何表示3、設(shè)C為正向單位圓周在第一象限的部分，則積分C答案：1+i考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的計算

(z)3zdz 。課件出處：第3章復(fù)數(shù)函數(shù)的積分，第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概4、Ln(2)的主值 答案：ln2考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的計算課件出處：第3章復(fù)數(shù)函數(shù)的積分，第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念eiz5f(z

1z2

在極點(diǎn)處的留數(shù)

i和ie2e 2考點(diǎn)：留數(shù)定理課件出處：第5章留數(shù)，第二節(jié)留數(shù)6、

(2z2ez

cosz)dz |z|5答案：0考點(diǎn)：柯西—古薩基本定理課件出處：第3章復(fù)變函數(shù)的積分，第二節(jié)柯西—古薩基本定7、函數(shù)1u(t)在區(qū)間[0,]上的卷積 答案：t考點(diǎn)：卷積定理課件出處：第7章傅里葉變換，第四節(jié)卷積定理與相關(guān)函數(shù)8、當(dāng)

nzn

zn 的極限是 。z答案：不存在考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的極限課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性9、區(qū)域0argz

在映射wz3下的像為40argz34考點(diǎn)：分式線性映射課件出處：第6章共形映射，第二節(jié)分式線性映射10、假設(shè)C是圓周|z1|1的下半圓周，z從-2到0，則積分答案：sin2考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的計算

coszdz C課件出處：第3章復(fù)數(shù)函數(shù)的積分，第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念11、i)6的值答案：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘冪課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根12、2的三角形式為 。arctan 答案：2 2(cosisin)ln5i( 4arctan 4 4 3考點(diǎn)：復(fù)數(shù)各種表示方法及其運(yùn)算課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第二節(jié)復(fù)數(shù)幾何表示y1 vy13f(zuiv是解析函數(shù)，其中u

2ln(x2y2)，則

。答案：

xx2y2考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)課件出處：第2章解析函數(shù)，第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件14f(0)f(0)1i，則limz0

f(z1 z答案：1i考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)課件出處：第2章解析函數(shù)，第一節(jié)解析函數(shù)的概念15、判斷級數(shù)n1答案：條件收斂

in的斂散性為（若收斂，請回答是絕對收斂還是條件收斂） 。n考點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)課件出處：第2章解析函數(shù)，第一節(jié)解析函數(shù)的概念16z1f(z)

z的 級極點(diǎn)。(z 答案：2考點(diǎn)：極點(diǎn)課件出處：第5章留數(shù)，第一節(jié)孤立奇點(diǎn)17、分式線性映射答案：反演考點(diǎn)：分式線性映射

1通常稱為 映射。z課件出處：第6章共型映射，第二節(jié)分式線性映射18、映射wz2在z01下的旋轉(zhuǎn)角為0，伸縮率答案：2考點(diǎn)：伸縮率課件出處：第6章共型映射，第三節(jié)唯一決定分式線性映射的條件2,0t219f(t

t2

，則f(t)的拉普拉斯變換L[f(t)] 。答案：

1(2e2s)s考點(diǎn)：伸縮率課件出處：第6章共型映射，第三節(jié)唯一決定分式線性映射的條件120F(s

s(s1)2

F(s的拉普拉斯逆變換

[F(s 。答案：1ettet考點(diǎn)：拉普拉斯變換與其逆變換的方法課件出處：第8章拉普拉斯變換，第三節(jié)拉氏逆變換四、計算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）1、解方程組

2zz i1 2i)ziz 43i1 2

2x

2iy

iy i解：

xiy,z

x

，所給方程組可寫為

1 1 2 21 1 1 2 2 2

i)(xiy)i(x iy)43i1 1 2 2 2x

i(2

y)i1即xyy11 1

2 1i(xx1

2y)41

（2分） 2xx 0 21 2利用復(fù)數(shù)相等的概念可知

yy 11 21xyy 1

（2分）xx

1 2y 31 2 13 6 6 17解得x （1分）y （1分）x （1分）y （1分）1 5 1 5 2 5 2 53 6 6 17故z i1分）z1 5 5

5 5

i（1分）考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算課件出處：第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算2I

zdz

，其中C

是（1）|z1

1（）|z3。C(2z1)(z2) 2（）被積函數(shù)在|z11內(nèi)處處解析，故I05分）21（2）被積函數(shù)在|z3內(nèi)有兩個奇點(diǎn)z ,z2，由復(fù)合閉路原理，知12z zI

z2 dz

2z1dzi1( z )

i( z

（3分）C C C1 2

2(z12

C z22

2 z2

z2

2z1 z2i

i

i（2分）5 5考點(diǎn)：復(fù)合閉路定理課件出處：第3章復(fù)變函數(shù)的積分，第三節(jié)基本定理的推廣—復(fù)合閉路定理3解：因?yàn)?/p>

1 分別在圓環(huán)1z2及2z內(nèi)的洛朗級數(shù)展式(z1)(z2)11zz2z3zn |z111zz 1（1）由1z2，有| 1（2分）2 z所以1 所以

1

1

zn 1(z1)(z2) z2 z1

2(1

z) z(1

1) n0

2n1

n0

（3分）zn12 z2 1（2）由2|z|，有|

1（2）z z所以1 所以

1

1

2n 1(z1)(z2) z2 z1

z(1

2) z(1

1) n0

zn1

n0

（3分）zn1z z考點(diǎn)：用間接方法將簡單的函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)課件出處：第4章解析函數(shù)的級數(shù)，第四節(jié)洛朗級數(shù)1 14F(s

s1 s

的拉普拉斯逆變換L

1[F(s)]解：由拉普拉斯變換性質(zhì)1 1L1[F(s)]L

]（5）ets1 s1

et（5）考點(diǎn)：拉普拉斯變換與其逆變換的方法課件出處：第8章拉普拉斯變換