FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件

第四章FIR濾波器的設(shè)計方法線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

窗口設(shè)計法IIR與FIR數(shù)字濾器的比較第四章FIR濾波器的設(shè)計方法線性相位FIR數(shù)字濾波器的特學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練掌握FIR線性相位濾波器的幅頻特性；會用窗口法設(shè)計FIR濾波器。學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練掌握FIR線性相位濾波器的1、FIR數(shù)字濾波器

FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述

對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

1、FIR數(shù)字濾波器 FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述對應(yīng)的FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)：

優(yōu)點

（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；

（2）永遠(yuǎn)穩(wěn)定，如果它的有限長單位脈沖響應(yīng)是非因果的，總能夠通過適當(dāng)?shù)囊莆坏玫揭蚬模圆淮嬖谑欠窨蓪崿F(xiàn)的問題；

FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點

FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計方法大不相同，對IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計結(jié)果是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)，而FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計結(jié)果是其單位脈沖響應(yīng)h(k)。 FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計方法大不相同，對IIR數(shù)§4.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

4.1.1線性相位特性

1、線性相位特性

相位特性是系統(tǒng)的一個特性，要研究系統(tǒng)的相位特性可求其傅立葉變換。

§4.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性4.1.1 例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵f(t)的關(guān)系如下圖。f(t)y(t)=Af(t-t0)求其傅立葉變換得：而： 例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵f系統(tǒng)的幅頻特性為：相頻特性：A圖一：幅頻特性圖二：相位特性系統(tǒng)的幅頻特性為：相頻特性：A圖一：幅頻特性圖二：相位特性

線性相位：指是w的線性函數(shù)， 即群時延是一個常數(shù)。（常數(shù)）線性相位類別：第一類線性相位：第二類線性相位： 線性相位：指是w的線性函數(shù)，（常數(shù)）線性相2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件

條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點偶對稱，即h(k)=h(N-1-k)。計算其頻率響應(yīng)得（計算過程見板書）：2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件 條件：h(k)是因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù) 所以，只要h(k)是實序列，且h(k)為N/2點偶對稱，則該濾波器就一定具有第一類線性相位。因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù) 3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件

條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點奇對稱，即h(k)=-h(N-1-k)。其頻率響應(yīng)為：幅度函數(shù)相位函數(shù)3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件 條件：h(k)是綜上，線性相位的條件：

即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)，且具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。綜上，線性相位的條件： 即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)4、線性相位FIR濾波器的幅度特性

N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱的幅度函數(shù)：奇對稱的幅度函數(shù)：4、線性相位FIR濾波器的幅度特性N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱的FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性 1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

w=0,π,2π偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。 2、h(n)偶對稱，N為偶數(shù)

w=π,H(w)=0，不能用這種情況設(shè)計高通、帶阻濾波器。

3、h(n)奇對稱，N為奇數(shù)

w=0,π,2π時H(w)=0，不能用作低通、高通或帶阻，只能設(shè)計帶通。 4、h(n)奇對稱，N為偶數(shù) w=0,2π時H(w)=0，不能設(shè)計低通和帶阻，可設(shè)計高通和帶通。 1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

表4.1

四種線性相位FIR濾波器特性

第一種情況，偶對稱、奇數(shù)點，四種濾波器都可設(shè)計；

第二種情況，偶對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計低、帶通濾波器不能設(shè)計高通和帶阻；

第三種情況，奇對稱、奇數(shù)點，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計；第四種情況，奇對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計高、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻。

表4.1

四種線性相位FIR濾波器特性

總結(jié)：

可見，四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)，其幅度特性取決于h(n)，所以，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。

總結(jié)：§4.2窗口設(shè)計法（時間窗口法）

FIR濾波器的一般設(shè)計過程總是先給定一理想頻率響應(yīng)為

，然后設(shè)計一FIR濾波器用它的頻率響應(yīng)

去逼近

。 在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時域入手，這就是本節(jié)要講的時間窗口設(shè)計法，另一種從頻域入手，即下節(jié)講的頻率采樣法。

§4.2窗口設(shè)計法（時間窗口法） FIR濾波器的一般

時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲得。

時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n) 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為：即：1、FIR低通濾波器的設(shè)計 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形

由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。 最直接簡單的辦法是直接截取其一段得到可實現(xiàn)的有限長因果序列。 為了構(gòu)造線性相位濾波器，應(yīng)使截取的一段對N/2對稱，如：

h(n)=hd(n)RN(n)

其中RN(n)為矩形序列，也稱為窗函數(shù)。見下圖。 由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗

所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為：我們用一個有限長序列h(n)來代替hd(n)，肯定會引起誤差。對實際得到的h(n)取頻率響應(yīng)得其幅頻圖如下： 所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為：我們用一個有限Hd(w)1w-wcwc圖七：理想的幅頻特性曲線圖六：實際濾波器的幅頻特性曲線圖Hd(w)1w-wcwc圖七：理想的幅頻特性曲線圖六：實際濾 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比較，可見加窗對理想頻響的影響：

1、在w=wc附近形成過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù)的主瓣寬度。 2、通帶內(nèi)增加了波動，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余震并減少了阻帶的衰減。這是由窗函數(shù)旁瓣的作用引起的。這種誤差表現(xiàn)在頻域上，稱為吉布斯效應(yīng)。 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比較，可見如何減少吉布斯效應(yīng)？加大N，只能使過渡帶變窄；要減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶衰減，就需要選擇合適的窗函數(shù)。如何減少吉布斯效應(yīng)？加大N，只能使過渡帶變窄；

為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足以下兩點要求：

①

窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；

②

相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。

但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足2、幾種典型的窗函數(shù)1）矩形窗窗函數(shù)為：2、幾種典型的窗函數(shù)1）矩形窗窗函數(shù)為：FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件2）漢寧窗（升余弦窗）窗函數(shù)為：2）漢寧窗（升余弦窗）窗函數(shù)為：FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗）窗函數(shù)為：3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗）窗函數(shù)為：它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在主瓣內(nèi)。

它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）4）布萊克曼窗窗函數(shù)為：4）布萊克曼窗窗函數(shù)為：增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過渡帶。

增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬5）凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減,如圖。

5）凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁窗函數(shù)為：其中窗函數(shù)為：其中FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件四種窗函數(shù)的比較

四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.6，幅度譜如圖4.7，用四種窗函數(shù)所設(shè)計的濾波器的頻響特性如圖4.8。四種窗函數(shù)的比較 四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.

從(a)→(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。

從(a)→(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。（N=51，=0.8π）

（N=51，=0.8π） 圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶最小衰減也最小，僅-21dB；布萊克曼窗設(shè)計的阻帶最小衰減最大，達(dá)-74dB，但過渡帶最寬，約為矩形窗的三倍。

圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶最小3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n);2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估算窗口的長度N；3)計算濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如果要求是線性相位，則hd(n)和w(n)均對N/2點對稱。 對于FIR濾波器，得h(n)就設(shè)計好了，當(dāng)然要驗證指標(biāo)的話，還應(yīng)求出頻率響應(yīng)。3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件另一個FIR濾波器參數(shù)表另一個FIR濾波器參數(shù)表(模擬指標(biāo))(模擬指標(biāo))優(yōu)點：1.無穩(wěn)定性問題；2.容易做到線性相位；3.可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器；4.方法特別簡單。缺點：1.不易控制邊緣頻率；2.幅頻性能不理想；3.較長；改進(jìn)：1.使用其它類型的窗函數(shù)；

2.改進(jìn)設(shè)計方法。FIRDF設(shè)計的窗函數(shù)法的特點：優(yōu)點：1.無穩(wěn)定性問題；缺點：1.不易控制邊緣頻率窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計 (第一類線性相位)理想高通的頻率響應(yīng)為：第二類線性相位（有相移）(略)窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通其單位抽樣響應(yīng)為： 相當(dāng)于用一個截止頻率在π處的低通濾波器（實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率在ωc處的低通濾波器。其單位抽樣響應(yīng)為： 相當(dāng)于用一個截止頻率在π處的低通濾波器

例2:根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字高通濾波器：wp=0.6π,ws=0.4π,Ap=0.25dB,As=40dB。選擇一個合適的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng)。（ex4_hp.m）窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減矩形4π/N1.8π/N-21漢寧8π/N6.2π/N-44漢明8π/N6.6π/N-53布萊克曼12π/N11π/N-74課本P150表4.2幾種窗函數(shù)的性能 例2:根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字高通濾波器：w解：wp=0.6π;ws=0.4πtr_width=wp-ws=0.2πN=6.2π/tr_width=31wc=(ws+wp)/2=0.5π;理想高通選擇漢寧窗漢明窗函數(shù)為所以，h(n)=hd(n)w(n)注意與上次課例子做比較解：wp=0.6π;ws=0.4π理想高通選擇漢寧窗漢明窗函 2、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計 理想帶通的頻率響應(yīng)為： 2、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計其單位抽樣響應(yīng)為：可見，帶通濾波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1)其單位抽樣響應(yīng)為：可見，帶通濾波器(w1,w2)=低通(w2 習(xí)題1：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶通濾波器：wpl=0.4π,wph=0.6π,wsl=0.2π,wsh=0.8π,Apl=1dB,Aph=1dB,Asl=60dB,Ash=60dB。選擇一個合適的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng).(ex4_bandpass.m) 習(xí)題1：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶通濾波器：w 3、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計 理想帶阻的頻率響應(yīng)為： 3、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計其單位抽樣響應(yīng)為：可見，帶阻濾波器(w1,w2)=高通(w2)+低通(w1)其單位抽樣響應(yīng)為：可見，帶阻濾波器(w1,w2)=高通(w2 習(xí)題2：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶阻濾波器：wpl=0.2π,wph=0.8π,wsl=0.4π,wsh=0.6π,Apl=1dB,Aph=1dB,Asl=40dB,Ash=40dB。選擇一個合適的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng)。(ex4_stop.m) 習(xí)題2：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶阻濾波器：w總結(jié)： 低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器的設(shè)計步驟是一樣的，區(qū)別在于取的理想單位抽樣響應(yīng)hd(k)不同，并關(guān)注線性相位時，各類濾波器對應(yīng)的N奇偶情況要求。總結(jié)： 低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器的設(shè)計步驟是一樣§4.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較

§4.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件第四章FIR濾波器的設(shè)計方法線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

窗口設(shè)計法IIR與FIR數(shù)字濾器的比較第四章FIR濾波器的設(shè)計方法線性相位FIR數(shù)字濾波器的特學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練掌握FIR線性相位濾波器的幅頻特性；會用窗口法設(shè)計FIR濾波器。學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練掌握FIR線性相位濾波器的1、FIR數(shù)字濾波器

FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述

對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

1、FIR數(shù)字濾波器 FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述對應(yīng)的FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)：

優(yōu)點

（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；

（2）永遠(yuǎn)穩(wěn)定，如果它的有限長單位脈沖響應(yīng)是非因果的，總能夠通過適當(dāng)?shù)囊莆坏玫揭蚬模圆淮嬖谑欠窨蓪崿F(xiàn)的問題；

FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點

FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計方法大不相同，對IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計結(jié)果是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)，而FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計結(jié)果是其單位脈沖響應(yīng)h(k)。 FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計方法大不相同，對IIR數(shù)§4.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

4.1.1線性相位特性

1、線性相位特性

相位特性是系統(tǒng)的一個特性，要研究系統(tǒng)的相位特性可求其傅立葉變換。

§4.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性4.1.1 例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵f(t)的關(guān)系如下圖。f(t)y(t)=Af(t-t0)求其傅立葉變換得：而： 例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵f系統(tǒng)的幅頻特性為：相頻特性：A圖一：幅頻特性圖二：相位特性系統(tǒng)的幅頻特性為：相頻特性：A圖一：幅頻特性圖二：相位特性

線性相位：指是w的線性函數(shù)， 即群時延是一個常數(shù)。（常數(shù)）線性相位類別：第一類線性相位：第二類線性相位： 線性相位：指是w的線性函數(shù)，（常數(shù)）線性相2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件

條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點偶對稱，即h(k)=h(N-1-k)。計算其頻率響應(yīng)得（計算過程見板書）：2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件 條件：h(k)是因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù) 所以，只要h(k)是實序列，且h(k)為N/2點偶對稱，則該濾波器就一定具有第一類線性相位。因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù) 3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件

條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點奇對稱，即h(k)=-h(N-1-k)。其頻率響應(yīng)為：幅度函數(shù)相位函數(shù)3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件 條件：h(k)是綜上，線性相位的條件：

即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)，且具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。綜上，線性相位的條件： 即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)4、線性相位FIR濾波器的幅度特性

N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱的幅度函數(shù)：奇對稱的幅度函數(shù)：4、線性相位FIR濾波器的幅度特性N為奇數(shù)N為偶數(shù)偶對稱的FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性 1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

w=0,π,2π偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。 2、h(n)偶對稱，N為偶數(shù)

w=π,H(w)=0，不能用這種情況設(shè)計高通、帶阻濾波器。

3、h(n)奇對稱，N為奇數(shù)

w=0,π,2π時H(w)=0，不能用作低通、高通或帶阻，只能設(shè)計帶通。 4、h(n)奇對稱，N為偶數(shù) w=0,2π時H(w)=0，不能設(shè)計低通和帶阻，可設(shè)計高通和帶通。 1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

表4.1

四種線性相位FIR濾波器特性

第一種情況，偶對稱、奇數(shù)點，四種濾波器都可設(shè)計；

第二種情況，偶對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計低、帶通濾波器不能設(shè)計高通和帶阻；

第三種情況，奇對稱、奇數(shù)點，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計；第四種情況，奇對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計高、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻。

表4.1

四種線性相位FIR濾波器特性

總結(jié)：

可見，四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)，其幅度特性取決于h(n)，所以，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。

總結(jié)：§4.2窗口設(shè)計法（時間窗口法）

FIR濾波器的一般設(shè)計過程總是先給定一理想頻率響應(yīng)為

，然后設(shè)計一FIR濾波器用它的頻率響應(yīng)

去逼近

。 在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時域入手，這就是本節(jié)要講的時間窗口設(shè)計法，另一種從頻域入手，即下節(jié)講的頻率采樣法。

§4.2窗口設(shè)計法（時間窗口法） FIR濾波器的一般

時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲得。

時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n) 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為：即：1、FIR低通濾波器的設(shè)計 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形

由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。 最直接簡單的辦法是直接截取其一段得到可實現(xiàn)的有限長因果序列。 為了構(gòu)造線性相位濾波器，應(yīng)使截取的一段對N/2對稱，如：

h(n)=hd(n)RN(n)

其中RN(n)為矩形序列，也稱為窗函數(shù)。見下圖。 由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗

所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為：我們用一個有限長序列h(n)來代替hd(n)，肯定會引起誤差。對實際得到的h(n)取頻率響應(yīng)得其幅頻圖如下： 所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為：我們用一個有限Hd(w)1w-wcwc圖七：理想的幅頻特性曲線圖六：實際濾波器的幅頻特性曲線圖Hd(w)1w-wcwc圖七：理想的幅頻特性曲線圖六：實際濾 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比較，可見加窗對理想頻響的影響：

1、在w=wc附近形成過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù)的主瓣寬度。 2、通帶內(nèi)增加了波動，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余震并減少了阻帶的衰減。這是由窗函數(shù)旁瓣的作用引起的。這種誤差表現(xiàn)在頻域上，稱為吉布斯效應(yīng)。 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比較，可見如何減少吉布斯效應(yīng)？加大N，只能使過渡帶變窄；要減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶衰減，就需要選擇合適的窗函數(shù)。如何減少吉布斯效應(yīng)？加大N，只能使過渡帶變窄；

為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足以下兩點要求：

①

窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；

②

相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。

但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足2、幾種典型的窗函數(shù)1）矩形窗窗函數(shù)為：2、幾種典型的窗函數(shù)1）矩形窗窗函數(shù)為：FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件2）漢寧窗（升余弦窗）窗函數(shù)為：2）漢寧窗（升余弦窗）窗函數(shù)為：FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗）窗函數(shù)為：3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗）窗函數(shù)為：它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在主瓣內(nèi)。

它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）4）布萊克曼窗窗函數(shù)為：4）布萊克曼窗窗函數(shù)為：增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過渡帶。

增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬5）凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減,如圖。

5）凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁窗函數(shù)為：其中窗函數(shù)為：其中FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件四種窗函數(shù)的比較

四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.6，幅度譜如圖4.7，用四種窗函數(shù)所設(shè)計的濾波器的頻響特性如圖4.8。四種窗函數(shù)的比較 四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.

從(a)→(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。

從(a)→(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。（N=51，=0.8π）

（N=51，=0.8π） 圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶最小衰減也最小，僅-21dB；布萊克曼窗設(shè)計的阻帶最小衰減最大，達(dá)-74dB，但過渡帶最寬，約為矩形窗的三倍。

圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶最小3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n);2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估算窗口的長度N；3)計算濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如果要求是線性相位，則hd(n)和w(n)均對N/2點對稱。 對于FIR濾波器，得h(n)就設(shè)計好了，當(dāng)然要驗證指標(biāo)的話，還應(yīng)求出頻率響應(yīng)。3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求FIR濾波器以及窗口設(shè)計解析課件另一個FIR濾波器參數(shù)表另一個FIR濾波器參數(shù)表(模擬指標(biāo))(模擬指標(biāo))優(yōu)點：1.無穩(wěn)定性問題；2.容易做到線性相位；3.可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器；4.方法特別簡單。缺點：1.不易控制邊緣頻率；2.幅頻性能不理想；3.較長；改進(jìn)：1.使用其它類型的窗函數(shù)；

2.改進(jìn)設(shè)計方法。FIRDF設(shè)計的窗函數(shù)法的特點：優(yōu)點：1.無穩(wěn)定性問題；缺點：1.不易控制邊緣頻率窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計 (第一類線性相位)理想高通的頻率響應(yīng)為：第二類線性相位（有相移）(略)窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通其單位抽樣響應(yīng)為： 相當(dāng)于用一個截止頻率在π處的低通