安徽省十校聯盟2022屆高三下學期4月期中聯考理科數學試題（含答案與解析）

安徽省十校聯盟2022屆高三4月期中考試卷

數學（理科）（時間：120分鐘分值：150分）注意事項：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合^:卜及二7^},b={x|2.2<4},則如人（）A.朋 B.1,2） C.你4） D.加52.設復數 實部與虛部分別為a,b,則（）-3-i-2 B.-1 C.1 D.23.2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，下面兩圖分別顯示是2017-2021全國居民人均可支配收入及其增長速度和2021年全國居民人均消費支出及其構成，則下列說法正確的是（）2017—2021年全國居民人均可支配收入及其增長速度2021年全國居民人均消費支出及其構成2017—2021年全國居民人均可支配收入及其增長速度醫(yī)療保健靜灑熬耨務食品煙酒7178元,29.8%教育文化娛樂2599食品煙酒7178元,29.8%教育文化娛樂2599元，10.8%交通信息3456元，13.1%衣著1419元，5.9%生活用品及服務生活用品及服務1423元，5.9%5641元，23.4%A.2021年全國居民人均可支配收入為35128元，比上年實際增長6%2017年?2021年五年時間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實際增長先減小后增大2021年全國居民人均消費支出，食品煙酒和居住占比不足50%D2021年全國居民人均消費支出，教育文化娛樂占比最小

4.斐波那契數列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，此數列在現代物理、準晶體結構、化學等領域都有著廣泛的應用.斐波那契數列｛/｝可以用如下方法定義：4+2=4+|+。“，且4=4=1，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列｛2｝，則數列｛2｝的第2022項為()A.0 B.1 C.2 D.3.已知/(x)=2cos(x-5+/'(0)cosx,則曲線y=/(x)在點|普,/(?處切線的斜率為()A.V2 B.-V2 c.2V2 D.-2y[2.已知拋物線C：V=4x的焦點為F,過點尸的直線與C交于M,N兩點，若|MN|=10,則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為()A.8 B.6 C.4 D.2.己知x=logo/7,y=|gJ7,對于命題〃：x+y<Ay;4：x+y>。，下列為真命題的是()Apcq B.〃A(r) C.(rp)vq D.(―^7)八(r)8.2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口正式舉行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者將被隨機分配到北京和張家口賽區(qū)參加冬奧服務工作，要求每個賽區(qū)至少一人，每人只分配到一個賽區(qū)，則甲、乙被分在同一賽區(qū)的概率為()B.C.D.9.已知函數/(x)B.C.D.9.已知函數/(x)=2cos<yx+2Gcos3兀CDX+-oeN*),若對V4eR,在[/U+3]上至少存在兩個不等的實數叫〃，使得””)/(〃)=16,則。的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5.已知正三棱柱A8C-A8cl的側面積為246，若三棱柱ABC-A旦6的各個頂點均在球。的球面上，則球。的表面積的最小值為()A.16) B.32% C.I。? D.8+兀3.已知函數/(x)=log2(4*+l)-x,設a=/(ln；),Z?=/(lg5),c=/(log63),貝i]a,b,c的大小關系為()A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c2 212.已知雙曲線。：=一27=](。〉0,/?>0)的左、右焦點分別為6，F2,焦距為4,點"在圓a~b-E:x2+y2+4x-8y+16=0±,且C的一條漸近線上存在點M使得四邊形0MN6為平行四邊形，0為坐標原點，則C的離心率的取值范圍為()A.[2,+oo) B.[百,+<?) C.[4,+oo) D.(1,61第II卷(非選擇題共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22題~第23題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.).已知忖=2,1|=3,若卜+q=&7,則,一,=..已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.4正視圖 側視圖4俯視圖.已知正項數列｛(｝的前〃項和為S,，2s則數列[(一1)”《,｝的前101項的和為 1%<1.已知函數/(6=彳1一%' ,若函數g(x)=/(x)—Mx-l)有4個零點，則實數4的取值范Inx,x>1圍為?三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.).在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=5,c=Ji6，acosB+bco^A=V2ccosB-(1)求a；3(2)已知點M在線段3C上，若tan/AM8=-,求tanNMAC的值.418.已知甲、乙、丙3人參加黨史知識答題比賽，每個人按順序各回答三個問題，每正確回答一題可以獲得50元圖書換購券，換購券可用于購買黨史學習教育類書籍.已知甲答對第一題的概率為:，答對后兩題的概率均為乙回答三題正確的概率依次為1, I;丙答對每題的概率均為甲、乙、丙回答問2 3 3 2 3題相互獨立.(1)求甲、乙兩個人獲得的圖書換購券總額為250元的概率；(2)試通過計算均值，估計甲、乙、丙三人中誰獲得圖書換購券金額最少..在aABC中，ACLBC,ZBAC=30°,AB=4,E,尸分別為AC,A8的中點，aPE尸是由△AE尸繞直線E尸旋轉得到，連接AP,BP，CP,得到如圖所示的幾何體.(1)求證：8C_L平面P4C；(2)若AP=3,求平面PBC與平面PEF所成銳二面角的大小..已知橢圓C：I+《=l(a>b〉0)的左、右焦點分別為耳，鳥，離心率為立，P為C上一點,ab~ 2且△尸耳工面積的最大值為4.(1)求C的方程；(2)若直線丁=丘+?，/0)與。交于A5兩點，過點B作直線y=3的垂線，垂足為。，若直線AO與y軸的交點為定點Q，求，的值及定點。的坐標..已知函數/(x)=(x+B)nx.(1)求證：函數/(X)在(0,+向上單調遞增：(2)若w一對xe(0,網恒成立,求實數機的取值范圍.emA請考生在第22、23題中任選一題作答.注意：只能做選定的題目，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號..在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為< (r為參數).以坐標原點。為極點，x軸[y=~l的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

(1)求宜線/的極坐標方程與曲線C的宜角坐標方程;\0M\(2)若過極點。的直線4交/于點交C于點N,求同才的最小值..已知函數“力=|2x-l|+|5-x|的最小值為m.(1)求m的值;2 1 1 7(2)若。N0,且〃=-m，求證： 1 N―.3 。+1b+23參考答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1,已知集合A1,已知集合A=［W='2x-3},B={x|2-<4)A?加 B.加 C【答案】D【解析】【分析】分別解出4,8集合的范圍，求出交集即可.【詳解】A={x|y=j2x-3}={x|2x-3N0}=B={x|2'-2<4}={x|x-2<2}=(^o,4),所以Ac8=T"),故選D.2.設復數lJ的實部與虛部分別為a,b,則a-b=-3-1A.-2 B.-1 C【答案】A【解析】【分析】利用復數的運算法則，直接計算求解5 -5(3-i) -15+5i3i［詳解］ — — — +,-3-i(3+i)(3-i) 10 22,則()()1 D.23 1所以，a=一二，b=2 2a-b=-Q.故選：A3.2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，下面兩圖分別顯示的是2017-2021全國居民人均可支配收入及其增長速度和2021年全國居民人均消費支出及其構成，則下列說法正確的是（）2021年全國居民人均消費支出及其構成2017-2021年全國居民人均可支配收入及其增長速度醫(yī)療保健2115元,8.8%教育文化娛樂2021年全國居民人均消費支出及其構成2017-2021年全國居民人均可支配收入及其增長速度醫(yī)療保健2115元,8.8%教育文化娛樂2599元，10.8%生活用品及服務1423元，5.9%交通信息3456元，13.1%食品煙酒7178元，29.8%其他用品及服務569元，2.4%衣著1419元，5.9%居住5641元，23.4%2021年全國居民人均可支配收入為35128元，比上年實際增長6%2017年?2021年五年時間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實際增長先減小后增大2021年全國居民人均消費支出，食品煙酒和居住占比不足50%2021年全國居民人均消費支出，教育文化娛樂占比最小【答案】B【解析】【分析】根據統(tǒng)計圖及其數據逐個分析判斷即可【詳解】對于A,2021年全國居民人均可支配收入為35128元，2020年全國居民人均可支配收入為3218935128—32189元，所以2021年比2020年增長 -xl00%?9%,所以A錯誤，3218928228-25974對于B,由統(tǒng)計圖可知2018全國居民人均可支配收入比2017增長 x100%b8.7%,259742019全國居民人均可支配收入比2018增長 士絲x100%a6.4%,28228□71 —300332020全國居民人均可支配收入比2019增長 = X100%X7.2%,3003335128—321892021全國居民人均可支配收入比2020增長 xlOO%?9%,32189所以2017年?2021年五年時間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實際增長先減小后增大，所以B正確,對于C,2021年全國居民人均消費支出，食品煙酒和居住占比為29.8%+23.4%=53.2%>50%,所以C錯誤,對于D,由右圖可知，2021年全國居民人均消費支出，其他用品及服務占比最小，為2.4%,所以D錯誤，故選：B4.斐波那契數列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，此數列在現代物理、準晶體結構、化學等領域都有著廣泛的應用.斐波那契數列｛《,｝可以用如下方法定義：%+2=見+|+。“，且6=%=1，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列｛〃｝,則數列｛勿｝的第2022項為()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據數列各項的規(guī)律可知｛4｝是以6為周期的周期數列，由此可得4022=%=0.【詳解】由題意知：數列｛《,｝為：1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，則數列也｝為：LL2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,11,…,即數列｛2｝是以6為周期的周期數列，..?％22=437*6=4=0?故選：A..已知〃x)=2cos[x-])+r(0)cosx,則曲線y=/(x)在點處的切線的斜率為A.72 B,-V2 C.272 D.-272【答案】D【解析】【分析】根據導數的幾何意義，寫出切線方程的公式，直接計算求解即可【詳解】對/(x)=2cos(x-1)+/'(0)cosx=2sinx+/'(0)cosx,求導可得，/,(x)=2cosx-/,(0)sinx,得到尸(0)=2,所以，/(x)=2sinx+2cosx,所以，/'(%)=2cosx-2sinx,「/3乃、- 37r_.3zr _rrf—=2cos 2sin—=-2J2) 4 4故選D.己知拋物線C:/=4x的焦點為R過點尸的直線與C交于M,N兩點，若|MN|=10,則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為()A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義及其組成的直角梯形的幾何特征，得到線段MN的中點到準線的距離，再減去準線到了軸的距離，即可得到結果

【詳解】【詳解】由圖，MN中點、為D,MA,MB,。。分別垂直準線于A,B,C,CO交y軸于￡,易得CO為直角梯形ABNM的中位線，^CD=MA+MB2由橢圓定義易得，MA+MB=MN=\Q,：.CD=5,又準線為x=-l,，慮=1,故線段的中點到y(tǒng)軸的距離?！?C￡>-CE=4,故選：C.已知X=logoj7,y=|gJ7,對于命題p：x+y<_xy；q:x+y>0,下列為真命題的是（）A.PMB.A.PMB.D.(np)A(-^r)【答案】【解析】【分析】【詳解】根據對數運算法則，求出x+y,xy,判斷出p,4命題真假，即可得解.【分析】【詳解】解：?.?x=logo",y=1g5/7.x+y=log(J17+lgV7=-lg7+l|g7=-1lg7-^=(log0l7)-(lg>/7)=-1(lg7)2,- 1 1 7V1g1=0<1g7<1=1g10, (lg7)*<1g7,--Ig7<--(lg7/即x+y<Ay,故0為真命題，f假命題;X+y=-g|g7<0,故q為假命題，r為真命題.0a（f）為真命題，故選：B.2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口正式舉行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者將被隨機分配到北京和張家口賽區(qū)參加冬奧服務工作，要求每個賽區(qū)至少一人，每人只分配到一個賽區(qū)，則甲、乙被分在同一賽區(qū)的概率為（）【答案】C【解析】【分析】由題意可知兩個賽區(qū)分配的人數為1個和3個，或者是每個賽區(qū)2人，由此求出分配的總的分配方法數，再求出甲、乙被分在同一賽區(qū)的方法數，根據古典概型的概率計算求得答案.【詳解】根據題意可知兩個賽區(qū)分配的人數為1個和3個，或者是每個賽區(qū)2人，當兩個賽區(qū)分配的人數為1個和3個時，共有C：A；=8種分配方法，C2、當兩個賽區(qū)分配的人數均為2個時，共有/-A；=6種分配方法，因此共有8+6=14種分配方法，甲、乙被分在同一賽區(qū)的分配方法有2+C；A；=6種，A2故甲、乙被分在同一賽區(qū)的概率為尸=一=一,147故選：C.己知函數/(x)=2cos@x+2Gcos［3x+-^)3eN*),若對V4eR,在［2,2+3］上至少存在兩個不等的實數見"，使得〃m)/(〃)=16,則。的最小值為()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】化簡/(x)為4sin(<yx+&),將/(6)/(〃)=16化為sin(@m+生)=1且sin(?y〃+&)=1,或者6 6 6sin(①加+馬=-1且sin(加+工)=-1,將問題轉化為對VAeR,函數y=sin(5+1)的圖象與直線6 6 6y=l在［%,4+3］上至少存在兩個交點，或者對函數y=sin(5+$的圖象與直線y=-l在［/U+3］上至少存在兩個交點，根據函數丫=癡(3自的圖象列式|t43,其中T=‘，可求出結果.【詳解】/a)=2cos<yx+2>/3cos"+|7)=2coss+2Anox=4(cos5?g+sin@x?等)=4sin(69x+^),由/(6)/(〃)=16得4sin(com+—)-4sin(d?n+—)=16,TOC\o"1-5"\h\z所以sin（com4——）?sin（69nH——）=1,所以sin（3〃zH—）=1且sin（69nH——）=1,或者s\n（a）mH——）=-16 6 6 6 6且sin（麗+令=-1,則問題轉化為對V4gR,函數尸sin（s+*的圖象與直線y=l在pM+3］上至少存在兩個交點，或者對XMgR,函數y=sin（@x+*的圖象與直線y=-1在［2,2+3］上至少存在兩個交點，3 2乃所以巳743,其中7=二，2 CD32乃所以不乂—<3,所以。之乃=3.14,又geN"，所以①的最小值為4.2co故選：C.已知正三棱柱A8C-A用G的側面積為246，若三棱柱A8C-A4￡的各個頂點均在球。的球面上，則球。的表面積的最小值為（）A.16萬 B.32乃 C..在" D.86兀3【答案】B【解析】【分析】設正三棱柱ABC—A4c的底面邊長為。，側棱長為/Z,根據題意求得a〃=8百，取上下底面的中心分別為。,。2,取QU的中點為。，得到外接球的半徑為R,得到尺=|。4|,結合基本不等式求得其最小值，結合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設正三棱柱ABC-AUG的底面正三角形的邊長為a,AAy=BBt=CCi=h,因為正三棱柱ABC-的側面積為24百，可得3。%=24石，即a/z=8jj，取底面正aABC和4G的中心分別為a，。?，連接qa，取qa的中點為。，則正三棱柱ABC-AgG外接球的球心為O,設其外接球的半徑為R,所以R=|OA|="O；+AO；=Jgf+g,一（9嚇=杵+'722a2 11a當且僅當幺=上-時，即7=F時，即。=2百,人=4時，等號成立,4 3 2V3此時球。的表面積為5=4萬/?2=4萬x（20>=32萬.故選：B..已知函數f(x)=log2(4*+l)-x,設Z?=/(lg5),c=/(log63),貝i]a,b,c的大小關系為()A.c<b<a B.h<c<a C.a<c<b D.a<b<c【答案】A【解析】【分析】根據題意得了(力=1。82(4工+1)-%在(-8,+8)上是偶函數，然后判斷了'(X)的正負性，得到f(x)的單調性，又因為/(lng)=/(In3),最后比較In3,lg5,log63之間的大小即可得到答案1.l4x【詳解】解：因為函數定義域為(f0，+8),f(-x)=log2(^―)+X=log2(4v+1)-log24X4-X=log2(4r+x)-2x+X=log2(4r+1)-X=/(x),故函數/(x)為偶函數，所以，/(ln1)=/(ln3),又因為加)=4-4-(4*加2=(41加2=々(4v+l)ln2 (4A+l)In24，+1當xe(0,+8),/'(x)>0,f(x)單調遞增，當xe(-8,0),f'(x)<0,f(x)單調遞減，所以，xe(0,+o。)時，比較In3/g5,log63之間的大小，得到ln3>l,且1>lg5>0,1>k)g63>0,所以，再比較1g5和log63的大小，因為lg5=lg(W)=l-Ig2,2log63=log6(1)=l-log62,明顯可見，Ig2<log62Ig5=l-lg2>l-log62=log63,得到In3>lg5>log63,根據/(x)的單調性，可得/^n^=/(ln3)>/(lg5)>/(log63)=>a>/?>c故選:A2 212.已知雙曲線c：[—2r=1(。>0,方>。)的左、右焦點分別為耳，尸2,焦距為%點”在圓a1b-

E:*2+y2+4尤_8y+16=0上，且C的一條漸近線上存在點N,使得四邊形。MN5為平行四邊形，0為坐標原點，則C的離心率的取值范圍為()A.[2,+oo) B, C.[4,+oo) D.(1,5/3]【答案】A【解析】【分析】設雙曲線的一條漸漸近線方程y=2X，設出M點坐標，求出中點坐標B,建立方程進行轉a化求解即可.h【詳解】由題意，設雙曲線一條漸近線方程為y=-x,因為￡:/+/+4]一8丁+16=0,a1 Fi則MF2中點坐標為3(4)21 Fi則MF2中點坐標為3(4)22?*2=4="=02_],aa a2.、2_1=(^_)2=%,=x0+2 (x0+2)2I128,一一r+ 1%%.1[11]/設，=->則re—,則% l_62j'/t6一,—, -12(/—)"+-62 3>X),代入漸近線方程2.2±2=及，即a2 2 ax0+24一(%-4>-Jo+8y0-127= [ = ]一3+a-1_12(z_1)2+13 3卜0,；,則e2-le[3,+oo),解得ew[2,+co),所以點M在圓E:(x+2y+(y—4)2=4上，設"(毛，兒)，則24%46,四邊形。時叫為平行四邊形，令ONcM&=B,故選：A第II卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22題?第23題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）.已知忖=2,慟=3,若卜+q=67,則卜一B卜.【答案】3【解析】【分析】根據已知將Z+同平方，可求得【分析】根據已知將Z+同平方，可求得￡石，再根據rra-b=即可得解.【詳解】解：因為卜|=2,忖=3,卜+q=>/萬,/ —?\2-2—2 —?—?所以(a+b)=a+b+2ab=\J,.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.4正視圖 側視圖44正視圖 側視圖4俯視圖【答案】168+6乃##6乃+168【解析】【分析】根據三視圖可以確定該幾何體是長方體中挖去一個圓錐，結合表面積公式進行求解即可.【詳解】由三視圖可以確定該幾何體是長為6,寬為4,高為6的長方體中挖去一個底面半徑為3,高為4圓錐，如下圖所示：圓錐的側面積為4.3.J42+3z=15乃，所以該該幾何體表面積為:2x6x4+2x4x6+6x6+6x6—乃?3?+15%=168+6乃，故答案為：168+6715.已知正項數列｛勺｝的前〃項和為S“，2Sn=an(an+l),則數列｛(—1)"4｝的前101項的和為【答案】-51【解析】【分析】根據題意和S“與。”的關系求出數列｛《,｝的通項公式，利用分組求和法與等差數列前〃項求和法計算即可.【詳解】由2sa 得即q2-q=0,由?！?gt;0,解得4=1,當〃22時，2s“_I=+%,有2。,,=2Sn-2sz=?n2~?n-i2+an-an-\>即(4-??-!)(??+ )=4,+%,由凡+a.T>0，得6-1，即數列｛4｝為公差為1等差數列，所以《,=〃，當〃=1時，4=1符合題意，故4=〃，則數列｛(一l)"aj的前101項和為+a2—a3+a4—???—0tM+q0G—q。1=—1+2—3+4——99+100—101=-(1+3+5+-..+101)+(2+4+64--??+100)1+101-2+100“一 x51+ x50=-51故答案為：-51.16.已知函數〃力=<1一—16.已知函數〃力=<1一x' ,若函數g(x)=/(x)-Mx-l)有4個零點，則實數上的取值范Inx,x>1

圍為【答案】(0。【解析】【分析】圍為【答案】(0。【解析】【分析】轉化求f(x)=匚1一”Inx,的圖像與y=k^x-1)圖像交點，求出直線與%>1【詳解】f(x)= 1相切時的k,進而得到有4個交點時k的范圍即可1-X因為g(x)=/(x)-A(xT)有4個零點,所以方程"x)=Mx-l)有4個實數根, 1, 1,X<1X的圖像，以及y=k1x-1),Inx,x>1則兩函數的圖象有4個公共點.其中直線y=4(*-1)經過定點(1,0),斜率為AV= 1 1當直線與f(x)相切時，聯立〈? 1-X ,△=(1一2幻2-442=0,可求出&當直線與f(x)相切時，聯立〈y=A(D0<x<；時，方程/(x)=&(x-l)有4個交點，故女的取值范圍為(0,；)【點睛】方法點睛：根據函數零點個數求參數取值范圍的注意點:(1)結合題意構造合適的函數，將函數零點問題轉化成兩函數圖象公共點個數的問題處理；(2)在同一坐標系中正確畫出兩函數的圖象，借助圖象的直觀性進行求解；(3)求解中要注意兩函數圖象的相對位置，同時也要注意圖中的特殊點，如本題中直線y=k(x-D經過定點(1,0)等.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)17.在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=5,c=回,acosB+bcosA=V2ccosB?(1)求4；(2)已知點M在線段8c上，若tanNAA"=一,求tan/M4c的值.4【答案】(1)a=3非tanZ.MAC=—11【解析】【分析】(1)由正弦定理化簡求出8,再由余弦定理求解(2)由兩角和的正切公式求解【小問1詳解】acosB+bcosA=v2ccosfl，由正弦定理化簡得：sinAcosB+sinBcosA=夜sinCcosfi-而sinAcosB+sinBcosA=sin(A+8)=sinC,故cos8=^―,2由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB<即/一2后一15=0，解得a=36(。=一右舍去)【小問2詳解】由題意得tanZMAC=-tan(ZAMC+ZC),3而tanZAMC=-tanZAMB=——，4TOC\o"1-5"\h\z-a2+b2-c245+25-10275 ??1由余弦定理得cosC= = 7=——= ,故tanC=1,2ab30V5 5 2_3+j_故tan(NAMC+ZC)=-42 ,)-(-4)X2tanZMAC=—11

18.已知甲、乙、丙3人參加黨史知識答題比賽，每個人按順序各回答三個問題，每正確回答一題可以獲2得50元圖書換購券，換購券可用于購買黨史學習教育類書籍.已知甲答對第一題的概率為答對后兩題的概率均為g；乙回答三題正確的概率依次為工，丙答對每題的概率均為；，甲、乙、丙回答問3 3 3題相互獨立.(1)求甲、乙兩個人獲得的圖書換購券總額為250元的概率：(2)試通過計算均值，估計甲、乙、丙三人中誰獲得圖書換購券金額最少.【答案】(1)-9(2)乙獲得圖書換購券金額最少【解析】【分析】(1)分別計算出甲和乙獲得150元、100元的概率，再得出甲、乙兩個人獲得的圖書換購券總額為250元的概率；(2)分別得出甲、乙、丙三人中獲得圖書換購券金額的可能取值，再求出相應概率，比較其均值即可.【小問1詳解】因為甲、乙兩個人獲得的圖書換購券總額為250元，所以“甲獲得150元，乙獲得100元”或“甲獲得100元，乙獲得150元111甲獲得150元的概率為:=：226甲獲得100元的概率為一x—x—I"一X—x—H—X—X—=一32232232212一……2211111217乙獲得100兀的概率為一x—x—F—x—x—I卜一X—X—=一332332332181211乙獲得150元的概率為-x-x—=-3329… _ _1751 12 1則甲、乙兩個人獲得的圖書換購券總額為250兀的概率/x-^+ -==—6181291089【小問2詳解】設甲、乙、丙可能獲得圖書換購券金額為X，X”X3,其中乂，*2，*3的可能取值為0,50,100,150P(X,=100)=A,p(x,=150)=11Z o則E(XJ=0則E(XJ=0x—+50xl+100x—+150x-=—1212P(X,=0)=-xlxl=l,P{X2=50)=-x-xl+-x-xl+-xlxl=——“3329v2 ,332332332187 1產"2=100）=6，P（X2=15O）=-1771 225則E（X2）=0x§+50x夜+100x布+150乂§=亍P（X3=0）P（X3=0）=1xlxl=±,P（X3=50）=C'J,2 6x-=—327P（X3=P（X3=100）=C^||xg卷，唳3=150）3=J_一27E（X,E（X,）=0x—+50x—+100x—+150x—=10027 27 27 27所以E（X3）>E（XJ>￡（X2）,即乙獲得圖書換購券金額最少.19.在aABC中，ACJ.BC,ZBAC=30°,AB=4,E,F分別為AC,A8的中點，aPEF是由△AEF繞直線EF旋轉得到,連接AP,BP，CP,得到如圖所示的幾何體.PBPB（1）求證：平面尸4C；（2）若AP=3,求平面尸8C與平面陽'所成銳二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）60°【解析】【分析】（1）由勾股定理證明PE_LEb，從而得出BC_LPE,再由AC_LBC結合線面垂直判定證明即可；（2）以點C為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，利用向量法得出所求二面角的大小.【小問1詳解】???PF=AF=2,EF=LbC=1,PE」AC=62 2PE2+EF2=PF2,.-.PE±EF又BC//EF,BC±PE又ACLBC,ACcPE=E,AC,PEu平面尸4。.，.§。，平面融。

【小問2詳解】必至工3+二」2AE-PE 2x-s/3x\/3 2;0°<ZAEP<180°NAEP=120°.NPEC=60°,PC=后:BC_L平面PAC,BCu平面ABC,..?平面ABC_L平面?AC以。為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系A(2G,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),E(6,0,0),戶(6,1,0),P^-,0,-、2 2 2 萬20.己知橢圓C:鼻+斗=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳，F2,離心率為上，P為C上一點,a"Zr 2且△Pf；工面積的最大值為4.（1）求C的方程；（2）若直線丫=依+?//0）與。交于兩點，過點B作直線y=3的垂線，垂足為。，若直線與N軸的交點為定點Q，求，的值及定點。的坐標.設平面P8C的法向量為萬=(x,y,z)—? —?fV33^1CB=(0,2,0),CP=一，0，;I22)(y—0L r-rrG3c，取x=G，則〃=(G,o,-i)—x+—z=02 2同理可得，平面PEb的法向量為玩=(JI0,1)cos(西萬)cos(西萬)fn-nI玩H萬I???平面P8C與平面PEF所成銳二面角的大小為60°.PyPy

2 2【答案】（1）—4-^-=18 413【解析】【分析】（1）當P為橢圓短軸端點時，面積最大，結合離心率和橢圓a,b,c關系可構造方程組求得結果;（2）將宜線A8與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式，利用直線兩點式可得直線AO方程，令x=0可表示出『0：由。為定點可構造方程求得續(xù)進而得到。點坐標.【小問1詳解】當P為橢圓短軸端點時，△尸耳人面積最大，即』?2c?/?=bc=4,2由,Cy/2a2be=4得:a=2^2b=由,Cy/2a2be=4得:a=2^2b=2 ，.二橢圓。的方程為:x2a2=b2+c2【小問2詳解】y=kx+t（1+2公）工2+4息工+2/-8=0,A=16公產一（4+8代乂2/一8）=64公-8/+32>0,即產<8公+4；設A（Xpy）,3（七,%），4k，X+ = 71+2公2/一8x.x2= -廠1+2&2由題意知：。（毛,3）,.?.直線4。方程為：y—3=3-Xx2-x]馬（y3）_3七+應一3%-2kr-8k1+2公4kt—4kt—2%）???Q為定點，.-2爐-8”（1+2公）。+3）即上心=出-Akt2t2-Akt此時產+4

2t13此時產+4

2t13~613~6則?！军c睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定點問題的求解，解題關鍵是能夠通過化簡所求點坐標，結合該點為定點確定方程，從而解得參數值，由參數值確定定點坐標.21.已知函數21.已知函數/(力=IV

x+—Iru.x(1)求證：函數“X)在(0,+8)上單調遞增;(2)若2/0?一".一對x￡(0,48)恒成立,求實數機的取值范圍.【答案】(1)證明見解析2(2)m>-e【解析】【分析】⑴求出了'(X),分0<xWl、x>l討論可得答案；(2)由2"：)-"W/〃得eM/ln^+iF + 構造函數g(x)=n*+x(xeR),利用導數/ Inr2可得g(x)為單調遞增函數，轉化為〃注旦(x>0).令〃(力=叱6>0),求出〃(x)的最大值可得答案.\nx,lnx(x>0)得r(x)=《+l+\nx,lnx(x>0)得r(x)=《+l+當0<xWl時，l-^WOJnxWO,所以I-)InxNO,且J+1〉。,X kXJ X所以r(6>o,函數單調遞增；當x>l時，l—>4>0,lnx>0,所以，一4?卜nx>0,且4+1>0,所以r(6>o,函數單調遞增，綜上所述，當x>0時，r(x)>0,所以/(X)在(0,+8)上單調遞增.【小問2詳解】由2/(x)二力w，〃得x+—llnx-m</nem,t,emt Ix)因為x>0,所以2x21nx+21nrW/me""+如，可得已皿口收+Inx所以，“2一.e【點睛】對于函數恒成立求參數的問題，可以直接法利用導數求參數的所以，“2一.e【點睛】對于函數恒成立求參數的問題，可以直接法利用導數求參數的范圍，還可以分離參數，再構造函數，利用導數求新函數的最值可得答案.請考生在第22、23題中任選一題作答.注意：只能做選定的題目，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號.22.在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為《 "為參數).以坐標原點。為極點，x軸[y=~l的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為。=2cosa(0<a<^).(1)求直線/的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程；\OM\(2)若過極點O的直線4交/于點M,交C于點N,求上高的最小值.ON轉化為對xw(O,+8)時e,nx2lnr2+Inx2<mxenix+〃優(yōu)恒成立，求實數m的取值范圍，令g(x)=疣"+x(xeR)，g'(x)=(x+l)e'+1’令—(x+l),加(x)=e'—1,當xNO時，/wr(x)=ev-l>0,/n(x)單調遞增，當x<0時，/n(x)=eA-l<0,單調遞減，所以加(工)之小(0)=€°—1=0,即e'N(x+l),所以g'(x)=(x+l