數(shù)字邏輯電路-2邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化課件

第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化2.1邏輯代數(shù)2.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化

第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化2.1邏輯代數(shù)1849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治-布爾，布爾代數(shù)描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法1938年，克勞德-香農(nóng)，開關(guān)代數(shù)將布爾代數(shù)應(yīng)用到繼電器開關(guān)電路的設(shè)計(jì)，又稱為~。布爾代數(shù)成為數(shù)字邏輯電路分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，又稱為邏輯代數(shù)本章重點(diǎn)：邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)1849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治-布爾，布爾代數(shù)2.1邏輯代數(shù)2.1.1基本邏輯邏輯運(yùn)算是邏輯思維和邏輯推理的數(shù)學(xué)描述。具有“真”與“假”兩種可能，并且可以判定其“真”、“假”的陳述語句叫邏輯變量。一般用英文大寫字母A，B，C…表示。例如，“開關(guān)A閉合著”，“電燈F亮著”，“開關(guān)D開路著”等均為邏輯變量，可分別將其記作A，F(xiàn)，D；“開關(guān)B不太靈活”，“電燈L價(jià)格很貴”等均不是邏輯變量。2.1邏輯代數(shù)

一個(gè)結(jié)論成立與否，取決于與其相關(guān)的前提條件是否成立。結(jié)論與前提條件之間的因果關(guān)系叫邏輯函數(shù)。通常記作：F=f(A,B,C,…)

邏輯函數(shù)F也是一個(gè)邏輯變量，叫做因變量或輸出變量。因此它們也只有“1”和“0”兩種取值，相對(duì)地把A，B，C，…叫做自變量或輸入變量。2.1.1基本邏輯一個(gè)結(jié)論成立與否，取決于與其相關(guān)的前提條件是1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)

決定某一結(jié)論的所有條件同時(shí)成立，結(jié)論才成立，這種因果關(guān)系叫與邏輯，也叫與運(yùn)算或叫邏輯乘。圖2-1與門邏輯電路實(shí)例圖例如，對(duì)圖2-1所示電路的功能作如下描述：“開關(guān)A閉合，并且開關(guān)B閉合，則電燈F亮”。2.1.1基本邏輯1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)圖2-1與門邏輯電這三個(gè)陳述語句均具有“真”、“假”兩種可能，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2-1(a)所示。用“1”代表邏輯“真”，用“0”代表邏輯“假”，則表2-1(a)可改為表2-1(b)的形式。這種表格叫真值表。所謂真值表，就是將輸入變量的所有可能的取值組合對(duì)應(yīng)的輸出變量的值一一列出來的表格。它是描述邏輯功能的一種重要形式。表2-1與邏輯的真值表(a)(b)ABFABF假假假真真假真真假假假真0001101100011.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)這三個(gè)陳述語句均具有“真”、“假”兩種可能，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2

由表2-1可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于與邏輯。其邏輯表達(dá)式(也叫邏輯函數(shù)式)為：F=A·B讀作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情況下，可以把符號(hào)“·”省掉。在有些文獻(xiàn)中，也采用∩、∧、&等符號(hào)來表示邏輯乘。由表2-1的真值表可知，邏輯乘的基本運(yùn)算規(guī)則為：0·0=00·1=01·0=01·1=10·A=01·A=A

A·A=A1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)由表2-1可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于

實(shí)現(xiàn)“與運(yùn)算”的電路叫與門，其邏輯符號(hào)如圖2-2所示，其中圖(a)是我國(guó)常用的傳統(tǒng)符號(hào)，圖(b)為國(guó)外流行符號(hào)，圖(c)為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。圖2-2與門的邏輯符號(hào)1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)實(shí)現(xiàn)“與運(yùn)算”的電路叫與門，其邏輯符號(hào)如圖2-決定某一結(jié)論的所有條件中，只要有一個(gè)成立，則結(jié)論就成立，這種因果關(guān)系叫或邏輯。例如，對(duì)圖2-3所示電路的功能，作如下描述：“開關(guān)A閉合，或者開關(guān)B閉合，則電燈F亮”。顯然這三個(gè)語句都是邏輯變量，分別記作A，B，F(xiàn)。其真值表如表2-2所示。圖2-3或門邏輯電路實(shí)例圖2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)決定某一結(jié)論的所有條件中，只要有一個(gè)成立，則結(jié)論就成立，表2-2或邏輯的真值表(a)(b)ABFABF假假假真真假真真假真真真000110110111由表2-2可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于或邏輯。其邏輯表達(dá)式為：F=A+B讀作“F等于A加B”。有些文獻(xiàn)也采用∪、∨等符號(hào)來表示邏輯加。2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)表2-2或邏輯的真值表(a)(b)A邏輯加的運(yùn)算規(guī)則為：0+0=00+1=11+0=11+1=10+A=A1+A=1A+A=A實(shí)現(xiàn)“或運(yùn)算”的電路叫或門，其邏輯符號(hào)如圖2-4所示。圖2-4或門的邏輯符號(hào)2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)邏輯加的運(yùn)算規(guī)則為：圖2-4或門的邏輯符號(hào)2.若前提條件為“真”，則結(jié)論為“假”；若前提條件為“假”，則結(jié)論為“真”。即結(jié)論是對(duì)前提條件的否定，這種因果關(guān)系叫非邏輯。例如，對(duì)圖2-5所示電路的功能作如下描述：“若開關(guān)A閉合，則電燈F就亮”。把以上兩個(gè)陳述句分別記作A、F，則其真值表如表2-3所示。圖2-5非門邏輯電路實(shí)例圖3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)

若前提條件為“真”，則結(jié)論為“假”；若前提條件為“假”，(a)(b)AFAF假真真假0110表2-3非邏輯的真值表3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)由表2-3的真值表可知，上述兩個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于非邏輯，也叫非運(yùn)算或者叫邏輯反。其邏輯表達(dá)式為：讀作“F等于A非”。通常稱A為原變量，為反變量，二者共同稱為互補(bǔ)變量(a)(b)AFAF假真01完成“非運(yùn)算”的電路叫非門或者叫反相器，其邏輯符號(hào)如圖2-6所示。3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)非運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是：圖2-6非門的邏輯符號(hào)(a)常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)完成“非運(yùn)算”的電路叫非門或者叫反相器，其邏輯符號(hào)如圖2-62.1.2基本邏輯運(yùn)算1.邏輯加（或運(yùn)算）邏輯加的意義是A或B只要有一個(gè)為1，則函數(shù)值P就為1。它表示或邏輯的關(guān)系。在電路上可用或門實(shí)現(xiàn)邏輯加運(yùn)算，又稱為或運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則為：A＋0＝AA＋1＝1A＋A＝A推出0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝12.1.2基本邏輯運(yùn)算1.邏輯加（或運(yùn)算）A＋0

2.邏輯乘（與運(yùn)算）邏輯乘的意義是A或B都為1時(shí)，函數(shù)值P才為1。它表示與邏輯的關(guān)系。在電路上可用與門實(shí)現(xiàn)邏輯乘運(yùn)算，又稱為與運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則為：推出2.邏輯乘（與運(yùn)算）推出3.邏輯非（非運(yùn)算）邏輯非的意義是函數(shù)值為輸入變量的反。在電路上可用非門實(shí)現(xiàn)邏輯非運(yùn)算，又稱為非運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則為：推出3.邏輯非（非運(yùn)算）推出4.復(fù)合邏輯運(yùn)算

（1）與非邏輯

“與非”邏輯是“與”邏輯和“非”邏輯的組合。先“與”再“非”。其表達(dá)式為

實(shí)現(xiàn)“與非”邏輯運(yùn)算的電路叫“與非門”。其邏輯符號(hào)如圖2-7所示。常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)圖2-7與非門的邏輯符號(hào)4.復(fù)合邏輯運(yùn)算（1）與非邏輯實(shí)現(xiàn)“（2）“或非”邏輯“或非”邏輯是“或”邏輯和“非”邏輯的組合。先“或”后“非”。其表達(dá)式為：

實(shí)現(xiàn)“或非”邏輯運(yùn)算的電路叫“或非門”。其邏輯符號(hào)如圖2-8所示。常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)圖圖2-8或非門的邏輯符號(hào)（2）“或非”邏輯實(shí)現(xiàn)“或非”邏輯運(yùn)算的

(3)“與或非”邏輯

“與或非”邏輯是“與”、“或”、“非”三種基本邏輯的組合。其表達(dá)式為：

實(shí)現(xiàn)“與或非”邏輯運(yùn)算的電路叫“與或非門”。其邏輯符號(hào)如圖2-9所示。常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)圖2-9與或非門的邏輯符號(hào)(3)“與或非”邏輯實(shí)現(xiàn)“與(4)“異或”邏輯及“同或”邏輯兩變量的“異或”及“同或”邏輯若兩個(gè)輸入變量A、B的取值相異，則輸出變量P為1；若A、

B的取值相同，則P為0。這種邏輯關(guān)系叫“異或”邏輯，其邏輯表達(dá)式為：讀作“P等于A異或B”?！爱惢颉边\(yùn)算也叫“模2加”運(yùn)算。(4)“異或”邏輯及“同或”邏輯

實(shí)現(xiàn)“異或”運(yùn)算的電路叫“異或門”。其邏輯符號(hào)如圖2-10所示。常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)圖2-10異或門的邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)“異或”運(yùn)算的電路叫“異或門”。其邏輯符若兩個(gè)輸入變量A、B的取值相同，則輸出變量P為1；若A、B取值相異，則P為0。這種邏輯關(guān)系叫“同或”邏輯，也叫“符合”邏輯。其邏輯表達(dá)式為：⊙

實(shí)現(xiàn)“同或”運(yùn)算的電路叫“同或門”。其邏輯符號(hào)如圖2-11所示。常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)圖2-11同或門的邏輯符號(hào)若兩個(gè)輸入變量A、B的取值相同，則輸出變量P為1；若A、B兩變量的“異或”及“同或”邏輯的真值表如表2-4所示。表2-4“異或”及“同或”邏輯真值表AB0001101101101001⊙兩變量的“異或”及“同或”邏輯的真值表如表2-4所示。表“異或”和“同或”的運(yùn)算規(guī)則：0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1A⊙0=AA⊙1=AA⊙A=0A⊙A=1A⊙B=A⊙BA⊙B=A⊕BA⊕B=A⊙BA⊙B=A⊕B=A⊕BA⊕B=A⊙B=A⊙B“異或”和“同或”的運(yùn)算規(guī)則：0⊙0=1A⊙0=AA⊙B=A定義：對(duì)于輸入變量的所有取值組合，函數(shù)F1和F2的取值總是相反，則稱F1和F2互為反函數(shù)。記作：

由表2-4可知，兩變量的“異或邏輯”和“同或邏輯”互為反函數(shù)。即由對(duì)偶規(guī)則(見2.1.5)可知，AB和A⊙B互為對(duì)偶式。A⊙BA⊙B反函數(shù)定義：對(duì)于輸入變量的所有取值組合，函數(shù)F1和F2的取值總是相多變量的“異或”及“同或”邏輯多變量的“異或”或“同或”運(yùn)算，要利用兩變量的“異或門”或“同或門”來實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)電路分別如圖2-12和圖2-13所示。(1)n個(gè)變量的“異或”邏輯的輸出值和輸入變量取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：輸入變量的取值組合中，有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，“異或”邏輯的輸出值為1；反之，輸出值為0。利用此特性，可作為奇偶校驗(yàn)碼校驗(yàn)位的產(chǎn)生電路。(2)偶數(shù)個(gè)變量的“同或”，等于這偶數(shù)個(gè)變量的“異或”之非。奇數(shù)個(gè)變量的“同或”，等于這奇數(shù)個(gè)變量的“異或”。多變量的“異或”及“同或”邏輯(1)n個(gè)變量的“異或”邏圖2-12多變量的“異或”電路由圖2-12(a)得：由圖2-12(b)得：圖2-12多變量的“異或”電路由圖2-12(a)得：圖2-13多變量的“同或”電路由圖2-13(a)得：由圖2-13(b)得：Y1=A⊙BY=Y1⊙C=(A⊙B)⊙C=A⊙B⊙CY1=A⊙BY2=C⊙DY=Y1⊙Y2=(A⊙B)⊙(C⊙D)=A⊙B⊙C⊙D圖2-13多變量的“同或”電路由圖2-13(a)得：由2.1.3真值表與邏輯函數(shù)圖2-14

樓道燈開關(guān)示意圖ABadbc

在實(shí)際問題中，基本邏輯運(yùn)算很少單獨(dú)出現(xiàn)。開關(guān)A開關(guān)B燈

cd亮

cb滅

ad滅

ab亮2.1.3真值表與邏輯函數(shù)圖2-14樓道燈開關(guān)示意圖設(shè)邏輯變量開關(guān)A開關(guān)B燈

cd亮

cb滅

ad滅

ab亮取P=1表示燈亮

P=0表示燈滅開關(guān)A和B接a,b時(shí)為1開關(guān)A和B接c,d時(shí)為0ABP001010100111真值表邏輯函數(shù)表達(dá)式：設(shè)邏輯變量開關(guān)A開關(guān)B燈取P=1表示燈亮A與或表達(dá)式：

把每個(gè)輸出變量P=1的相對(duì)應(yīng)一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘的形式表示（用原變量表示變量取值1，反變量表示取0），再將所有P=1的邏輯乘進(jìn)行邏輯加，即得出P的邏輯表達(dá)式，這種表達(dá)式又稱為與或表達(dá)式，或稱為“積之和”式?；蚺c表達(dá)式：把每個(gè)輸出變量P=0的相對(duì)應(yīng)一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘的形式表示（用原變量表示變量取值0，反變量表示取1），再將所有P=0的邏輯加進(jìn)行邏輯乘，即得出P的邏輯表達(dá)式，這種表達(dá)式又稱為或與表達(dá)式，或稱為“和之積”式。與或表達(dá)式：把每個(gè)輸出變量P=1的相對(duì)應(yīng)一組輸入變量組合狀例2-1列出下述問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

有A、B、C3個(gè)輸入信號(hào)，當(dāng)3個(gè)輸入信號(hào)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上為高電平時(shí)，輸出為高電平，其余情況下，均輸出低電平。解A、B、C3個(gè)輸入信號(hào)共有8中可能的輸入組合，000，001，010，011，100，101，110，111根據(jù)問題的要求，可得到真值表如下：A01010101B00110011C00001111P00010111函數(shù)表達(dá)式為：表2-5真值表例2-1列出下述問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數(shù)表2.1.4邏輯函數(shù)相等

假設(shè)，F(xiàn)(A1,A2,……,An)為變量A1,A2,……,An的邏輯函數(shù)，G(A1,A2,……,An)為變量A1,A2,……,An的另一邏輯函數(shù)，如果對(duì)應(yīng)于A1,A2,……,An的任一組狀態(tài)組合，F(xiàn)和G的值都相同，則稱F和G是等值的，或者說F和G相等，記作F=G.F和G有相同的真值表F＝G2.1.4邏輯函數(shù)相等假設(shè)，F(xiàn)(A1,A2,…例2-2設(shè)F(A,B,C)=A(B+C)G(A,B,C)=AB+AC試證明：F=GABCF=A(B+C)G=AB+AC0000000100010000110010000101111101111111證明：真值表表2-6真值表例2-2設(shè)F(A,B,C)=A結(jié)論:在“相等”的意義下，A(B+C)和AB+AC是表示同一邏輯的兩種不同的表達(dá)式。（1）關(guān)于變量和常量關(guān)系的公式p24A+0=AA+1=1結(jié)論:在“相等”的意義下，A(B+C)和AB+AC是表示同一交換律A+B=B+AAB=BA（2）交換律、結(jié)合律、分配律p24結(jié)合律A+B+C=(A+B)+CABC=(AB)C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)交換律A+B=B+A（2）交換律、結(jié)合律、分配律（3）邏輯代數(shù)的一些特殊規(guī)律p24-25重疊律A+A=AAA=A反演律（3）邏輯代數(shù)的一些特殊規(guī)律p24-252.1.5三個(gè)規(guī)則1、代入規(guī)則2、反演規(guī)則3、對(duì)偶規(guī)則1、代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的地方都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。例2-3

已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現(xiàn)E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。

解：原式左邊＝A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)=AB+AC+AD

原式右邊＝AB+A(C+D)=AB+AC+AD

所以等式成立：A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)2.1.5三個(gè)規(guī)則1、代入規(guī)則2、反2、反演規(guī)則（德－摩根定理，互補(bǔ)規(guī)則）例2-4已知，求

解：可以推導(dǎo)直接用反演規(guī)則設(shè)F是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將F進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：0－>11－>0所有變量取反得到新的函數(shù)式，稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)

2、反演規(guī)則（德－摩根定理，互補(bǔ)規(guī)則）例3、對(duì)偶規(guī)則設(shè)F是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將F進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：0－>11－>0得到新的函數(shù)式，稱為原函數(shù)F的對(duì)偶式F=A(B+C)G=AB+AC則：3、對(duì)偶規(guī)則設(shè)F是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將F進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：2.1.6常用公式2.1.6常用公式證明：推廣之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB+=++=+++=++1吸收吸收證明p28常用公式4CAABBCAABCCAAB+=+++=證明：推廣之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCA⒈基本表達(dá)形式

按邏輯函數(shù)表達(dá)式中乘積項(xiàng)的特點(diǎn)以及各乘積項(xiàng)之間的關(guān)系，可分5種一般形式。例：與或式與非－與非式與或非式或與式或非－或非式2.1.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式⒈基本表達(dá)形式與或式與非－與非式與或非式或與式或非－或非

⑴最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“積”項(xiàng)包含全部n個(gè)變量,每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)“積”項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)，也叫標(biāo)準(zhǔn)積。假如一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)的和組成,那么該函數(shù)表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。⒉

最小項(xiàng)表達(dá)式⑴最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“積”變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)及其編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)編號(hào)規(guī)則:原變量取1,反變量取0。表

2-7三變量函數(shù)的最小項(xiàng)：變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 0對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)及例2-5將展開成最小項(xiàng)表達(dá)式解：例2-5將即n個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和恒等于1。所以=m2+m3+m6+m7注意：變量的順序.=m(2,3,6,7)即n個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和恒等于1。所以=m2+m3+2）當(dāng)時(shí)，。1）只有一組取值使mi＝1。3）全部最小項(xiàng)之和等于1，即∑mi＝1。⑵最小項(xiàng)的性質(zhì)：2）當(dāng)時(shí)，。1）只有一組取值使mi＝1。3）5）當(dāng)函數(shù)以最小項(xiàng)之和形式表示時(shí)，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表（在真值表中，函數(shù)所包含的最小項(xiàng)填“1”）。4）n變量的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。一對(duì)相鄰項(xiàng)之和可以消去一個(gè)變量。相鄰項(xiàng)：只有一個(gè)變量不同（以相反的形式出現(xiàn)）。5）當(dāng)函數(shù)以最小項(xiàng)之和形式表示時(shí)，可很容易列出4）n變量的最一般表達(dá)式：→除非號(hào)→去括號(hào)→補(bǔ)因子真值表除非號(hào)去括號(hào)補(bǔ)因子方法⑶最小項(xiàng)表達(dá)式的求法一般表達(dá)式：→除非號(hào)→去括號(hào)→補(bǔ)因子除非號(hào)去括號(hào)補(bǔ)因子方法例2-6：函數(shù)F=AB+ACABC F000 001 010 011 100 101 110 111 1111其余補(bǔ)00000表2-8用真值表求最小項(xiàng)表達(dá)式例2-6：函數(shù)F=AB+ACABC 例2-7：函數(shù)F=AB+AC所以:

F=∑m(1,3,4,5)由一般表達(dá)式直接寫出最小項(xiàng)表達(dá)式例2-7：函數(shù)F=AB+AC所以:F=∑m⑴最大項(xiàng)及最大項(xiàng)表達(dá)式如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“和”項(xiàng)包含全部n個(gè)變量,每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)“和”項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)，也叫標(biāo)準(zhǔn)和。假如一個(gè)函數(shù)完全由最大項(xiàng)的積組成,那么該函數(shù)表達(dá)式稱為最大項(xiàng)表達(dá)式。⒊

最大項(xiàng)表達(dá)式⑴最大項(xiàng)及最大項(xiàng)表達(dá)式如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“和”變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)及其編號(hào)最大項(xiàng)編號(hào)編號(hào)規(guī)則:原變量取0,反變量取1。表

2-9三變量函數(shù)的最大項(xiàng)變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 0對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)及所以與最小項(xiàng)類似，有注意：變量順序.例如：最大項(xiàng)表達(dá)式:F所以與最小項(xiàng)類似，有注意：變量順序.例如：最大項(xiàng)表達(dá)式:⒋兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換以最小項(xiàng)之和的形式表示的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積的形式，反之亦然。=m(2,3,6,7)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏M(0,1,4,5)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)同理⒋兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換以最小項(xiàng)之和的形式表示的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成例2-8ABCF00010011010101111001101011001110解表2-10例2-8ABCF解表2-10作業(yè)2-1P51～52習(xí)題

1.(3),2.(2),3.(1)(3),4.(1)(3),5.(4)(7),7.(1)小結(jié)2-1重點(diǎn)：常用公式三個(gè)規(guī)則（代入規(guī)則，反演規(guī)則，對(duì)偶規(guī)則）難點(diǎn)：反演規(guī)則作業(yè)2-1小結(jié)2-12.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)與邏輯圖圖2-15函數(shù)的邏輯圖2.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)與邏輯圖圖2-15從邏輯問題概括出來的邏輯函數(shù)式，不一定是最簡(jiǎn)式?；?jiǎn)電路，就是為了降低系統(tǒng)的成本，提高電路的可靠性，以便用最少的門實(shí)現(xiàn)它們。例如函數(shù)如直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如圖2-16所示。圖2-16F原函數(shù)的邏輯圖從邏輯問題概括出來的邏輯函數(shù)式，不一定是最簡(jiǎn)式?；?jiǎn)電路

但如果將函數(shù)化簡(jiǎn)后其函數(shù)式為F=AC+B只要兩個(gè)門就夠了，如圖2-17所示。圖2-17函數(shù)化簡(jiǎn)后的邏輯圖力爭(zhēng)“表達(dá)式簡(jiǎn)單”“電路使用元器件少”“設(shè)備簡(jiǎn)單”但如果將函數(shù)化簡(jiǎn)后其函數(shù)式為圖2-17函數(shù)化簡(jiǎn)后的邏邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的原則邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，并沒有一個(gè)嚴(yán)格的原則，通常遵循以下幾條原則：

(1)邏輯電路所用的門最少；

(2)各個(gè)門的輸入端要少；

(3)邏輯電路所用的級(jí)數(shù)要少；

(4)邏輯電路能可靠地工作。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的原則邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的方法邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，主要有三種方法：

(1)公式法化簡(jiǎn)；

(2)卡諾圖化簡(jiǎn)；

(3)計(jì)算機(jī)輔助系統(tǒng)化簡(jiǎn)。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的方法該方法運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換而進(jìn)行化簡(jiǎn)，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。有時(shí)很難判定結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。2.2.1公式化簡(jiǎn)法（代數(shù)法）該方法運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換2.1.6常用公式2.1.6常用公式

1.應(yīng)用吸收定律1

任何兩個(gè)相同變量的邏輯項(xiàng)，只有一個(gè)變量取值不同(一項(xiàng)以原變量形式出現(xiàn)，另一項(xiàng)以反變量形式出現(xiàn))，我們稱為邏輯相鄰項(xiàng)(簡(jiǎn)稱相鄰項(xiàng))。如AB與，ABC與都是相鄰關(guān)系。如果函數(shù)存在相鄰項(xiàng)，可利用吸收定律1，將它們合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去一個(gè)變量。1.應(yīng)用吸收定律1例2-9解

有時(shí)兩個(gè)相鄰項(xiàng)并非典型形式，應(yīng)用代入法則可以擴(kuò)大吸收定律1的應(yīng)用范圍。例2-10解令，則例2-9解有時(shí)兩個(gè)相鄰項(xiàng)并非典型形式，應(yīng)用例2-11解令例2-12解利用等冪律，一項(xiàng)可以重復(fù)用幾次。例2-11解令例2-12解利用等冪律，一項(xiàng)可以重復(fù)用幾次。例2-13其中與其余四項(xiàng)均是相鄰關(guān)系，可以重復(fù)使用。解所以例2-13其中與其余四項(xiàng)均是2.應(yīng)用吸收定律2、3

利用它們，可以消去邏輯函數(shù)式中某些多余項(xiàng)和多余因子。若式中存在某單因子項(xiàng)，則包含該因子的其它項(xiàng)為多余項(xiàng)，可消去。如其它項(xiàng)包含該因子的“反”形式，則該項(xiàng)中的“反”因子為多余變量，可消去。例2-14解2.應(yīng)用吸收定律2、3利用它們，可以例2-15解令,則例2-15解令,則例2-16解令例2-16解令3.應(yīng)用多余項(xiàng)定律例2-17解例2-18解3.應(yīng)用多余項(xiàng)定律例2-17解例2-18解例2-19

化簡(jiǎn)解例2-19化簡(jiǎn)解4.綜合例子例2-20化簡(jiǎn)解4.綜合例子例2-20化簡(jiǎn)解5.拆項(xiàng)法例2-21化簡(jiǎn)

解直接用公式已無法再化簡(jiǎn)時(shí)，可采用拆項(xiàng)法。拆項(xiàng)法就是用去乘某一項(xiàng)，將一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，再利用公式與別的項(xiàng)合并達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。5.拆項(xiàng)法例2-21化簡(jiǎn)解直接用公式6.添項(xiàng)法在函數(shù)中加入零項(xiàng)因子，利用加進(jìn)的新項(xiàng)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)函數(shù)。

例2-22化簡(jiǎn)

解6.添項(xiàng)法解：例2-23解：例2-23例2-24例2-24反演被吸收被吸收配項(xiàng)例2-25反演被吸收被吸收配項(xiàng)例2-25作業(yè)2-2P52-53習(xí)題

8.(1)(3)(5)小結(jié)2-2重點(diǎn)：常用公式的理解與熟練應(yīng)用難點(diǎn)：公式法化簡(jiǎn)如何得到一個(gè)最簡(jiǎn)的結(jié)果作業(yè)2-2小結(jié)2-22.2.2圖解法（卡諾圖化簡(jiǎn)）1、卡諾圖化簡(jiǎn)的基本原理

卡諾圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是需保證邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關(guān)系，即圖上的幾何相鄰關(guān)系?？ㄖZ圖上每一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。為保證上述相鄰關(guān)系，每相鄰方格的變量組合之間只允許一個(gè)變量取值不同。為此，卡諾圖的變量標(biāo)注均采用循環(huán)碼。

2.2.2圖解法（卡諾圖化簡(jiǎn)）1、卡諾圖化簡(jiǎn)的基本原理如圖所示：

一變量卡諾圖：有21=2個(gè)最小項(xiàng)，因此有兩個(gè)方格。外標(biāo)的0表示取A的反變量，1表示取A的原變量。二變量卡諾圖：有2２=4個(gè)最小項(xiàng)，因此有四個(gè)方格。外標(biāo)的0、1含義與前一樣。三變量卡諾圖：有23=8個(gè)最小項(xiàng)。圖2-181~5變量的卡諾圖(1)如圖所示：圖2-181~5變量的卡諾圖

四變量、五變量卡諾圖分別有24=16和25=32個(gè)最小項(xiàng)，其卡諾圖如圖2-18(d)和2-184(e)所示。圖2-181~5變量的卡諾圖(2)圖2-181~5變量的卡諾圖(2)2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

若將邏輯函數(shù)式化成最小項(xiàng)表達(dá)式，則可在相應(yīng)變量的方格中填上1，其余填0，以下函數(shù)可用卡諾圖表示成圖2-19。如邏輯函數(shù)式是一般式，則應(yīng)首先展開成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式。實(shí)際中，一般函數(shù)式可直接用卡諾圖表示。圖2-19邏輯函數(shù)用卡諾圖表示2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法若將邏輯函數(shù)式化成例2-

26將用卡諾圖表示。解我們逐項(xiàng)用卡諾圖表示，然后再合起來即可。：在B=1,C=0對(duì)應(yīng)的方格(不管A，D取值)填1；：在C=1,D=0所對(duì)應(yīng)方格中填1；：在B=0，C=D=1對(duì)應(yīng)方格中填1；：在A=C=0,D=1對(duì)應(yīng)方格中填1；ABCD：填1。圖2-20邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示例2-26將3、相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律

1.兩相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)取值不同的變量，保留相同變量；

2.四相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩個(gè)取值不同的變量，保留相同變量，標(biāo)注為1→原變量，0→反變量；

3.八相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)取值不同的變量，保留相同變量，標(biāo)注與變量關(guān)系同上。

4.按上規(guī)律，不難得16個(gè)相鄰項(xiàng)合并的規(guī)律。3、相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律圖2-21相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律圖2-21相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律注意：合并的規(guī)律是2n個(gè)最小項(xiàng)的相鄰項(xiàng)可合并，不滿足2n關(guān)系的最小項(xiàng)不可合并。如2、4、8、16個(gè)相鄰項(xiàng)可合并，其它的均不能合并；而且相鄰關(guān)系應(yīng)是封閉的，如m0、m1、m3、m2四個(gè)最小項(xiàng)，m0與m1，m1與m3，m3與m2均相鄰，且m2和m0還相鄰。這樣的2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可合并。而m0、m1、m3、m7，由于m0與m7不相鄰，因而這四個(gè)最小項(xiàng)不可合并為一項(xiàng)。注意：合并的規(guī)律是2n個(gè)最小項(xiàng)的相鄰項(xiàng)可合并，不滿足2n關(guān)系4、與或邏輯化簡(jiǎn)

運(yùn)用最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，在卡諾圖上進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，得到的基本形式是與或邏輯。其步驟如下：

(1)將原始函數(shù)用卡諾圖表示；

(2)根據(jù)最小項(xiàng)合并規(guī)律畫卡諾圈，圈住全部“１”方格；

(3)將上述全部卡諾圈的結(jié)果，“或”起來即得化簡(jiǎn)后的新函數(shù)；

(4)由邏輯門電路，組成邏輯電路圖。4、與或邏輯化簡(jiǎn)運(yùn)用最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，在卡諾圖例2-

27

化簡(jiǎn)解第一步：用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。：對(duì)應(yīng)m3、m11對(duì)應(yīng)m4、m5、m12、m13對(duì)應(yīng)m1、m5對(duì)應(yīng)m10、m11圖2-22例2-27函數(shù)的卡諾圖表示例2-27化簡(jiǎn)解第一步：用卡諾圖表示該邏輯函

第二步：畫卡諾圈圈住全部“１”方格。具體化簡(jiǎn)過程見圖2-23。為便于檢查，每個(gè)卡諾圈化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)標(biāo)在卡諾圖上。圖2-23例2-27的化簡(jiǎn)過程第二步：畫卡諾圈圈住全部“１”方格。圖

第三步：組成新函數(shù)。每一個(gè)卡諾圈對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，然后再將各與項(xiàng)“或”起來得新函數(shù)。故化簡(jiǎn)結(jié)果為第四步：畫出邏輯電路。圖2-24例2-27化簡(jiǎn)后的邏輯圖第三步：組成新函數(shù)。每一個(gè)卡諾例2-28

化簡(jiǎn)

解其卡諾圖及化簡(jiǎn)過程如圖2-11所示。在卡諾圈有多種圈法時(shí)，要注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時(shí)又要盡可能地使卡諾圈大。比較圖(a)、(b)兩種圈法，顯然圖(b)圈法優(yōu)于圖(a)圈法，因?yàn)樗僖粋€(gè)卡諾圈，組成電路就少用一個(gè)與門。故化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)為圖(b)，邏輯圖如圖2-12所示。其化簡(jiǎn)函數(shù)為例2-28化簡(jiǎn)解其卡諾圖及化簡(jiǎn)過程圖2-25例2-28化簡(jiǎn)過程圖2-25例2-28化簡(jiǎn)過程圖2-26例2-28邏輯圖圖2-26例2-28邏輯圖例2-

29

化簡(jiǎn)

解該函數(shù)的卡諾圖如圖2-27(a)所示，化簡(jiǎn)情況如圖(b)、(c)所示。圖(b)是初學(xué)者常圈成的結(jié)果，圖(c)是正確結(jié)果，即這二者的差別在于圖(b)將m6和m14圈為二單元圈。圖(c)將m4、m6、m12、m14圈成四單元圈。前者化簡(jiǎn)結(jié)果為BCD，而后者為BD，少了一個(gè)變量。例2-29化簡(jiǎn)解該函數(shù)的卡諾圖如圖圖2-27例2-29的化簡(jiǎn)過程圖2-27例2-29的化簡(jiǎn)過程例2-30

化簡(jiǎn)

解其卡諾圖及化簡(jiǎn)過程如圖2-28(a)所示，邏輯圖如圖(b)所示，化簡(jiǎn)函數(shù)為

此例在圈的過程中注意四個(gè)角m0、m2、m8、m10可以圈成四單元圈。例2-30化簡(jiǎn)解其卡諾圖及化簡(jiǎn)過程圖2-28例2-30化簡(jiǎn)過程及邏輯圖圖2-28例2-30化簡(jiǎn)過程及邏輯圖例2-

31

化簡(jiǎn)

解化簡(jiǎn)過程如圖2-29(a)、(b)所示，(a)中出現(xiàn)了多余圈。m5、m7、m13、m15雖然可圈成四單元圈，但它的每一個(gè)最小項(xiàng)均被別的卡諾圈圈過，是多余圈，此時(shí)最佳結(jié)果應(yīng)如圖(b)所示。化簡(jiǎn)結(jié)果的邏輯電路圖如圖2-29(c)所示，化簡(jiǎn)函數(shù)為例2-31化簡(jiǎn)解化簡(jiǎn)過程如圖2-圖2-29例2-31化簡(jiǎn)過程及邏輯圖圖2-29例2-31化簡(jiǎn)過程及邏輯圖5、其它邏輯形式的化簡(jiǎn)（1）與非邏輯形式所謂與非式，就是全由與非門實(shí)現(xiàn)該邏輯，前面講邏輯函數(shù)相互變換時(shí)已講過，將與或式兩次求反即得與非式。其化簡(jiǎn)步驟如下：第一步：在卡諾圖上圈“１”方格，求得最簡(jiǎn)與或式；第二步：將最簡(jiǎn)與或式兩次求反，用求反律展開一次，得到與非表示式；第三步：根據(jù)與非式，用與非門組成邏輯電路。5、其它邏輯形式的化簡(jiǎn)（1）與非邏輯形式

例2-32

將例2-27~2-31用與非門實(shí)現(xiàn)。 解例2-27與或結(jié)果為圖2-30例2-27用與非門實(shí)現(xiàn) 例2-32將例2-27~2-31用與非門實(shí)現(xiàn)。圖例2-29~例2-32各與非式為(例2-28)(例2-29)例2-29~例2-32各與非式為(例2-28)(例2-29)(例2-30)(例2-31)(例2-30)(例2-31)圖2-31例2-28~例2-31的與非邏輯圖圖2-31例2-28~例2-31的與非邏輯圖（2）或與邏輯形式首先從卡諾圖上求其反函數(shù)，其方法是圈“０”方格，然后再用摩根定律取反即得或與式。例2-33求的反函數(shù)和或與式。圖2-32求例2-33的反函數(shù)解求反函數(shù)過程如圖2-32所示。（2）或與邏輯形式圖2-32求例2-33的反函數(shù)解其次，再由反函數(shù)求得原函數(shù)，利用摩根定律就得或與式。圖2-33從卡諾圖上直接圈得或與式其次，再由反函數(shù)求得原函數(shù)，利用摩根定律就得或與式。圖

總結(jié)如下：在卡諾圖上圈“0”方格，其化簡(jiǎn)結(jié)果：變量為0→原變量；變量為1→反變量，然后變量再相“或”起來，就得每一或項(xiàng)，最后再將每一或項(xiàng)“與”起來而得或與式。故此例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到或與式(如圖2-33所示)：總結(jié)如下：其邏輯圖如圖2-34所示。圖2-34例2-33的或與邏輯圖其邏輯圖如圖2-34所示。圖2-34例2-33的或與邏輯（3）或非邏輯形式將或與邏輯兩次求反即得或非表示式：（3）或非邏輯形式按邏輯表達(dá)式即可畫出或非邏輯電路圖，如圖2-35所示。圖2-35例2-33的或非邏輯圖按邏輯表達(dá)式即可畫出或非邏輯電路圖，如圖2-35所示。圖2（4）與或非邏輯形式與或非邏輯形式可從兩種途徑得到：一種是從與或式得到，例2-27將結(jié)果兩次求反，不用摩根定律處理，即得與或非式。

另一種是求得反函數(shù)后，再求一次反，即不用摩根定律處理，也可得與或非式。例2-33的結(jié)果求反即得。其邏輯圖如圖2-36所示。一般前一種途徑所得電路要多用一個(gè)反相器，所以常用后一種方法得最簡(jiǎn)與或非式。（4）與或非邏輯形式另一種是求得反函數(shù)后，再求一次反，即不圖2-36例2-27、例2-33的與或非邏輯圖圖2-36例2-27、例2-33的與或非邏輯圖作業(yè)2-3P53習(xí)題

9.(1)(4)(5)(7)小結(jié)2-3重點(diǎn)：卡諾圖化簡(jiǎn)四變量邏輯函數(shù)難點(diǎn)：如何化簡(jiǎn)到最優(yōu)狀態(tài)作業(yè)2-3小結(jié)2-36、無關(guān)項(xiàng)及無關(guān)項(xiàng)的應(yīng)用

邏輯問題分完全描述和非完全描述兩種，對(duì)應(yīng)于變量的每一組取值，函數(shù)都有定義，即在每一組變量取值下，函數(shù)F都有確定的值，不是“１”就是“０”，如表2-5所示。邏輯函數(shù)與每個(gè)最小項(xiàng)均有關(guān)，這類問題稱為完全描述問題。在實(shí)際的邏輯問題中，變量的某些取值組合不允許出現(xiàn)，或者是變量之間具有一定的制約關(guān)系。我們將這類問題稱為非完全描述，如表2-6所示。該函數(shù)只與部分最小項(xiàng)有關(guān)，而與另一些最小項(xiàng)無關(guān)，我們用×或者d或用φ表示。6、無關(guān)項(xiàng)及無關(guān)項(xiàng)的應(yīng)用邏輯問題分完全描述和非表2-5完全描述ABCF00001111001100110101010100010010表2-6非完全描述ABCF000011110011001101010101010X1XXX表2-5完全描述AB對(duì)于含有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)可表示為也可表示為即不允許AB或AC或BC為1。對(duì)于含有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)可表示為也可表示為即不允許AB或AC或圖2-37不考慮無關(guān)項(xiàng)的化簡(jiǎn)圖2-38考慮無關(guān)項(xiàng)函數(shù)化簡(jiǎn)×11×××ABC000111100100圖2-37不考慮無關(guān)項(xiàng)的化簡(jiǎn)圖2-38考慮無關(guān)項(xiàng)⑴包含無關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)無關(guān)最小項(xiàng)：一個(gè)邏輯函數(shù),如果它的某些輸入取值組合因受特殊原因制約而不會(huì)再現(xiàn),或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn),但此時(shí)函數(shù)取值為1還是為0無關(guān)緊要,那么這些輸入取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)最小項(xiàng)。無關(guān)最小項(xiàng)用“d”或者“×”或者用φ表示。無關(guān)最小項(xiàng)可以隨意加到函數(shù)表達(dá)式中，或不加到函數(shù)表達(dá)式中，并不影響函數(shù)的實(shí)際邏輯功能。其值可以取1，也可以取0。⑴包含無關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)無關(guān)最小項(xiàng)：一個(gè)邏輯函數(shù),例2-34:十字路口紅綠燈,設(shè)控制信號(hào)G=1→綠燈亮；

控制信號(hào)R=1→紅燈亮；

則GR可以為GR=00、01、10，但GR≠11。例2-35:電動(dòng)機(jī)正反轉(zhuǎn)控制,設(shè)控制信號(hào)F=1→正轉(zhuǎn)；

控制信號(hào)R=1→反轉(zhuǎn)；

則FR可以為FR=00、01、10，但FR≠11。例2-36:

8421BCD碼中，從1010～1111的六種編碼不允許出現(xiàn)，可視為無關(guān)最小項(xiàng)。例2-34:十字路口紅綠燈,設(shè)控制信號(hào)G=1→綠燈亮；例ABCD F0000 d0001 10010 00011 10100 d0101 10110 00111 d1000 d1001 01010 11011 d1100 11101 01110 11111 d10001111000011110ABCD11111解：1)不考慮無關(guān)最小項(xiàng)：例2-37：給定某電路的邏輯函數(shù)真值表如下，求F的最簡(jiǎn)與或式。ABCD F1000111100ABCD F0000 d0001 10010 00011 10100 d0101 10110 00111 d1000 d1001 01010 11011 d1100 11101 01110 11111 d10001111000011110ABCD11111dddddd2)考慮無關(guān)最小項(xiàng)：ABCD F1000111100101狀態(tài)未給出，即是無所謂狀態(tài)。表2-11真值表例2-38：已知真值表如圖，用卡諾圖化簡(jiǎn)。101狀態(tài)未給出，即是無所謂狀態(tài)。表2-11真值表例2CAB00011110010011001φ化簡(jiǎn)時(shí)可以將無所謂狀態(tài)當(dāng)作1或0，目的是得到最簡(jiǎn)結(jié)果。認(rèn)為是1AF=ACAB00011110010011001φ化簡(jiǎn)時(shí)可以將無所謂例2-39

化簡(jiǎn)解化簡(jiǎn)過程如圖2-39所示，化簡(jiǎn)函數(shù)為圖2-39例2-39化簡(jiǎn)及邏輯圖例2-39化簡(jiǎn)解化簡(jiǎn)過程如圖2-39所示，化簡(jiǎn)函數(shù)為例2-40化簡(jiǎn)

解化簡(jiǎn)過程如圖2-40所示，由于m11和m15對(duì)化簡(jiǎn)不利，因此就沒圈進(jìn)。圖2-40例2-40化簡(jiǎn)及邏輯圖例2-40化簡(jiǎn)解化簡(jiǎn)過程如圖2-4例2-41化簡(jiǎn)

解AB=0即表示A與B不能同時(shí)為1，則AB=11所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)，應(yīng)視為無關(guān)項(xiàng)。其卡諾圖及化簡(jiǎn)過程如圖2-41所示。化簡(jiǎn)函數(shù)為圖2-41例2-41化簡(jiǎn)過程例2-41化簡(jiǎn)解AB=0即表示A對(duì)于多輸出邏輯函數(shù)，如果孤立地將單個(gè)輸出一一化簡(jiǎn)，然后直接拼在一起，通常并不能保證整個(gè)電路最簡(jiǎn)，因?yàn)楦鱾€(gè)輸出函數(shù)之間往往存在可供共享的部分。多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)：2）在滿足上述條件的前提下，各不同"與項(xiàng)"中所含的變量總數(shù)最少。1）所有邏輯表達(dá)式包含的不同"與項(xiàng)"總數(shù)最??；⑵多輸出邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)對(duì)于多輸出邏輯函數(shù)，如果孤立地將單個(gè)輸出一一化簡(jiǎn)，然后直接拼例2-42：多輸出函數(shù).對(duì)應(yīng)的卡諾圖為10001111001ABC11F110001111001ABC11F2F1,F2共含4個(gè)不同的與項(xiàng)。圖2-42卡諾圖例2-42：多輸出函數(shù).對(duì)應(yīng)的卡諾圖為1000111從多輸出函數(shù)化簡(jiǎn)的觀點(diǎn)來看，它們不是最佳的，應(yīng)該是：多輸出邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)考試不要求對(duì)應(yīng)的卡諾圖為：10001111001ABC11F11110001111001ABCF2F1,F2共含3個(gè)不同的與項(xiàng)，其中ABC為共享部分。圖2-43卡諾圖從多輸出函數(shù)化簡(jiǎn)的觀點(diǎn)來看，它們不是最佳的，應(yīng)該是：多輸出邏當(dāng)邏輯變量數(shù)目太多，人工化簡(jiǎn)的難度會(huì)大幅度上升，不便采用卡諾圖（K圖）；人們探求在邏輯化簡(jiǎn)中更適合于計(jì)算機(jī)求解的布爾代數(shù)算法，以適應(yīng)大規(guī)模集成電路的自動(dòng)化設(shè)計(jì)與應(yīng)用的過程。主要步驟是：1）列最小項(xiàng)表；2）搜索、合并相鄰項(xiàng)；3）列質(zhì)蘊(yùn)涵表；4）選取最小覆蓋。2.5.3列表化簡(jiǎn)法（Quine-McClusky法，奎因法）當(dāng)邏輯變量數(shù)目太多，人工化簡(jiǎn)的難度會(huì)大幅度上升，不便采用卡諾二變量合并項(xiàng)四變量最小項(xiàng)三變量合并項(xiàng)例2-43：用Q-M法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)√√√√√√√√√√√√√√√√表2-12二變量合并項(xiàng)四變量最小項(xiàng)三變量合并項(xiàng)例2-43：用Q-M法化質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)表P3對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)已被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)覆蓋，可以不選P3。P1,P2,P4和P5都含有一個(gè)獨(dú)立的最小項(xiàng)，因此它們是必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。表2-13質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)表P3對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)已被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)覆蓋，可以不選P3。一次質(zhì)蘊(yùn)涵表的必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)有P1和P3,再加上二次質(zhì)蘊(yùn)涵表的基本質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)P2，得到函數(shù)的化簡(jiǎn)式：例2-44：已知函數(shù)F的質(zhì)蘊(yùn)涵表如下，求最小覆蓋。P1和P3是必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，它們覆蓋了4，5，6，7和3，11共六個(gè)最小項(xiàng)。將重復(fù)覆蓋的P4和P8舍去，再歸納出二次質(zhì)蘊(yùn)涵表，如下：表2-14（1）表2-14（2）一次質(zhì)蘊(yùn)涵表的必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)有P1和P3,再加上二次質(zhì)蘊(yùn)涵表的四變量最小項(xiàng)√√√√√√√√√√√√√√√√√例2-45：用奎因法求的最簡(jiǎn)表達(dá)式P1P2P4P3表2-15四變量最小項(xiàng)√√√√√√√√√√√√√√√√√例2-45：用質(zhì)蘊(yùn)涵表：ABCD0001000111101110表2-16（1）表2-16（2）質(zhì)蘊(yùn)涵表：ABCD0001000111101110表2-12.1邏輯代數(shù)2.1.1基本邏輯：與、或、非，電路，真值表，邏輯符號(hào)2.1.2基本邏輯運(yùn)算：邏輯加、邏輯乘、邏輯非、復(fù)合邏輯運(yùn)算2.1.3真值表和邏輯函數(shù)2.1.4邏輯相等：基本公式、交換律、結(jié)合律、分配律、重復(fù)律、反演律2.1.5三個(gè)規(guī)則：代入規(guī)則、反演規(guī)則、對(duì)偶規(guī)則2.1.6常用公式2.1.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：最大項(xiàng)表達(dá)式、最小項(xiàng)表達(dá)式2.2邏輯代數(shù)化簡(jiǎn)2.2.1公式法化簡(jiǎn)：合并項(xiàng)法、消去法、吸收法、配項(xiàng)法2.2.2卡諾圖化簡(jiǎn)2.2.3系統(tǒng)化簡(jiǎn)法第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化復(fù)習(xí)2.1邏輯代數(shù)第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化復(fù)習(xí)重點(diǎn)：邏輯函數(shù)的基本公式、基本定理和基本定律常用公式最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的概念函數(shù)公式化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法難點(diǎn)：公式化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法怎樣化到最簡(jiǎn)形式第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化復(fù)習(xí)重點(diǎn)：第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化復(fù)習(xí)第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化2.1邏輯代數(shù)2.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化

第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化2.1邏輯代數(shù)1849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治-布爾，布爾代數(shù)描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法1938年，克勞德-香農(nóng)，開關(guān)代數(shù)將布爾代數(shù)應(yīng)用到繼電器開關(guān)電路的設(shè)計(jì)，又稱為~。布爾代數(shù)成為數(shù)字邏輯電路分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，又稱為邏輯代數(shù)本章重點(diǎn)：邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)1849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治-布爾，布爾代數(shù)2.1邏輯代數(shù)2.1.1基本邏輯邏輯運(yùn)算是邏輯思維和邏輯推理的數(shù)學(xué)描述。具有“真”與“假”兩種可能，并且可以判定其“真”、“假”的陳述語句叫邏輯變量。一般用英文大寫字母A，B，C…表示。例如，“開關(guān)A閉合著”，“電燈F亮著”，“開關(guān)D開路著”等均為邏輯變量，可分別將其記作A，F(xiàn)，D；“開關(guān)B不太靈活”，“電燈L價(jià)格很貴”等均不是邏輯變量。2.1邏輯代數(shù)

一個(gè)結(jié)論成立與否，取決于與其相關(guān)的前提條件是否成立。結(jié)論與前提條件之間的因果關(guān)系叫邏輯函數(shù)。通常記作：F=f(A,B,C,…)

邏輯函數(shù)F也是一個(gè)邏輯變量，叫做因變量或輸出變量。因此它們也只有“1”和“0”兩種取值，相對(duì)地把A，B，C，…叫做自變量或輸入變量。2.1.1基本邏輯一個(gè)結(jié)論成立與否，取決于與其相關(guān)的前提條件是1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)

決定某一結(jié)論的所有條件同時(shí)成立，結(jié)論才成立，這種因果關(guān)系叫與邏輯，也叫與運(yùn)算或叫邏輯乘。圖2-1與門邏輯電路實(shí)例圖例如，對(duì)圖2-1所示電路的功能作如下描述：“開關(guān)A閉合，并且開關(guān)B閉合，則電燈F亮”。2.1.1基本邏輯1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)圖2-1與門邏輯電這三個(gè)陳述語句均具有“真”、“假”兩種可能，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2-1(a)所示。用“1”代表邏輯“真”，用“0”代表邏輯“假”，則表2-1(a)可改為表2-1(b)的形式。這種表格叫真值表。所謂真值表，就是將輸入變量的所有可能的取值組合對(duì)應(yīng)的輸出變量的值一一列出來的表格。它是描述邏輯功能的一種重要形式。表2-1與邏輯的真值表(a)(b)ABFABF假假假真真假真真假假假真0001101100011.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)這三個(gè)陳述語句均具有“真”、“假”兩種可能，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2

由表2-1可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于與邏輯。其邏輯表達(dá)式(也叫邏輯函數(shù)式)為：F=A·B讀作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情況下，可以把符號(hào)“·”省掉。在有些文獻(xiàn)中，也采用∩、∧、&等符號(hào)來表示邏輯乘。由表2-1的真值表可知，邏輯乘的基本運(yùn)算規(guī)則為：0·0=00·1=01·0=01·1=10·A=01·A=A

A·A=A1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)由表2-1可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于

實(shí)現(xiàn)“與運(yùn)算”的電路叫與門，其邏輯符號(hào)如圖2-2所示，其中圖(a)是我國(guó)常用的傳統(tǒng)符號(hào)，圖(b)為國(guó)外流行符號(hào)，圖(c)為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。圖2-2與門的邏輯符號(hào)1.與邏輯(與運(yùn)算、邏輯乘)實(shí)現(xiàn)“與運(yùn)算”的電路叫與門，其邏輯符號(hào)如圖2-決定某一結(jié)論的所有條件中，只要有一個(gè)成立，則結(jié)論就成立，這種因果關(guān)系叫或邏輯。例如，對(duì)圖2-3所示電路的功能，作如下描述：“開關(guān)A閉合，或者開關(guān)B閉合，則電燈F亮”。顯然這三個(gè)語句都是邏輯變量，分別記作A，B，F(xiàn)。其真值表如表2-2所示。圖2-3或門邏輯電路實(shí)例圖2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)決定某一結(jié)論的所有條件中，只要有一個(gè)成立，則結(jié)論就成立，表2-2或邏輯的真值表(a)(b)ABFABF假假假真真假真真假真真真000110110111由表2-2可知，上述三個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于或邏輯。其邏輯表達(dá)式為：F=A+B讀作“F等于A加B”。有些文獻(xiàn)也采用∪、∨等符號(hào)來表示邏輯加。2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)表2-2或邏輯的真值表(a)(b)A邏輯加的運(yùn)算規(guī)則為：0+0=00+1=11+0=11+1=10+A=A1+A=1A+A=A實(shí)現(xiàn)“或運(yùn)算”的電路叫或門，其邏輯符號(hào)如圖2-4所示。圖2-4或門的邏輯符號(hào)2.或邏輯(或運(yùn)算、邏輯加)邏輯加的運(yùn)算規(guī)則為：圖2-4或門的邏輯符號(hào)2.若前提條件為“真”，則結(jié)論為“假”；若前提條件為“假”，則結(jié)論為“真”。即結(jié)論是對(duì)前提條件的否定，這種因果關(guān)系叫非邏輯。例如，對(duì)圖2-5所示電路的功能作如下描述：“若開關(guān)A閉合，則電燈F就亮”。把以上兩個(gè)陳述句分別記作A、F，則其真值表如表2-3所示。圖2-5非門邏輯電路實(shí)例圖3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)

若前提條件為“真”，則結(jié)論為“假”；若前提條件為“假”，(a)(b)AFAF假真真假0110表2-3非邏輯的真值表3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)由表2-3的真值表可知，上述兩個(gè)語句之間的因果關(guān)系屬于非邏輯，也叫非運(yùn)算或者叫邏輯反。其邏輯表達(dá)式為：讀作“F等于A非”。通常稱A為原變量，為反變量，二者共同稱為互補(bǔ)變量(a)(b)AFAF假真01完成“非運(yùn)算”的電路叫非門或者叫反相器，其邏輯符號(hào)如圖2-6所示。3.非邏輯(非運(yùn)算，邏輯反)非運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是：圖2-6非門的邏輯符號(hào)(a)常用符號(hào)；(b)國(guó)外流行符號(hào)；(c)國(guó)標(biāo)符號(hào)完成“非運(yùn)算”的電路叫非門或者叫反相器，其邏輯符號(hào)如圖2-62.1.2基本邏輯運(yùn)算1.邏輯加（或運(yùn)算）邏輯加的意義是A或B只要有一個(gè)