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第七章

約束最優(yōu)化的理論與方法一般形式的約束最優(yōu)化問題可行域一般形式的無約束最優(yōu)化問題全局極小點(diǎn)設(shè)則稱x*為問題的全局極小點(diǎn)；如果成立，則稱x*為嚴(yán)格全局極小點(diǎn).進(jìn)一步，如果成立，(總體極小點(diǎn))有效約束、無效約束與內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)有效(起作用)約束：對(duì)于可行點(diǎn)，，如果就稱不等式約束在點(diǎn)是有效約束。并稱可行點(diǎn)位于約束的邊界。無效約束：對(duì)于可行點(diǎn)就稱不等式約束是無效約束的內(nèi)點(diǎn).E:等式約束指標(biāo)集I:不等式約束指標(biāo)集x點(diǎn)處的有效約束集(有效集)是在x點(diǎn)處的有效約束是在x點(diǎn)處的非有效約束假設(shè)已知有效約束A(x)定理（一階必要條件）定理（凸最優(yōu)性定理）定理（二階必要條件）定理（二階充分條件）定義設(shè)f(x)為定義在空間上的連續(xù)函數(shù)，點(diǎn)，若對(duì)于方向存在數(shù)使成立則稱s為f(x)在處的一個(gè)下降方向.在點(diǎn)處的所有下降方向的全體記為序列可行方向可行方向如果所有的約束函數(shù)都在處可微，則有序列可行方向可行方向線性化可行方向序列可行方向線性化可行方向√引理在局部極小點(diǎn)處沒有可行下降方向證明:反證法.假設(shè)存在可行序列的序列可行方向d并且序列矛盾引理在局部極小點(diǎn)處沒有可行下降方向Farkas引理的另一種形式設(shè)l.l’是兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，a0,ai(i=1,…,l)和bi

(i=1,…,l’)是Rn中的向量，則線性方程組和不等式組無解當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)使得KKT定理駐點(diǎn)條件可行性條件乘子非負(fù)條件互補(bǔ)松弛條件KKT條件證明方程組無解線性函數(shù)約束規(guī)范條件(LFCQ):線性無關(guān)約束規(guī)范條件(LICQ):可以證明(1)如果LFCQ成立，則CQ成立(2)如果LICQ成立，則CQ成立定理:一階最優(yōu)性充分條件定理證明:不失一般性，我們可假定矛盾線性化零約束方向集定理(二階必要性條件)定理(二階充分性條件)二次罰函數(shù)法引例：求解等式約束問題:解:圖解法求出最優(yōu)解構(gòu)造：但是性態(tài)極壞，無法用有效的無約束優(yōu)化算法求解．設(shè)想構(gòu)造：其中求解此無約束問題得：當(dāng)時(shí)，

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