對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

關(guān)于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念（一）引例（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念（一）引例（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日變力沿曲線作功分割:求和:取極限:取近似:力

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在xoy面內(nèi)從點(diǎn)A沿曲線L移動(dòng)到點(diǎn)B變力所作的功?第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念（一）引例（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念（一）引例（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義類似地,如果總存在,則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分,記作設(shè)L為xOy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向曲線弧,函數(shù)在L上有界.在L上沿L的方向任意一點(diǎn)列把L分成n個(gè)有向小弧段設(shè)點(diǎn)為上任意取定小弧段長度的最大值時(shí),則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上積分,記作的點(diǎn),如果當(dāng)各的極限總存在,對(duì)坐標(biāo)x的曲線第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日注應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)組合形式的第二類曲線積分(1)(2)函數(shù)P(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí),存在.通常記為或其中即其中叫做被積函數(shù),叫做積分弧段.以上兩個(gè)積分也稱為第二類曲線積分.第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日函數(shù)在空間有向曲線弧Γ上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分通常將記作第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日線性性質(zhì)可加性與方向有關(guān)第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù),定理則曲線積分且存在,L的參數(shù)方程為（t=α對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)，t=β對(duì)應(yīng)L的終點(diǎn)）其中在以α及β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日注(1)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)定積分!(2)化為定積分中的三個(gè)變化在上述公式中,起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限α,終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限β.L[α,β]或[β,α]P(x,y)Q(x,y)(3)口訣:變量參數(shù)化、一小二起下.(4)dxdy第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日特例(1)L：(2)L：推廣空間曲線弧Γ：（x=a對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)，x=b

對(duì)應(yīng)L的終點(diǎn)）（y=c對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)，y=d

對(duì)應(yīng)L的終點(diǎn)）（t=α對(duì)應(yīng)Γ的起點(diǎn)，t=β對(duì)應(yīng)Γ的終點(diǎn)）第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算思路明確L的方程化為定積分三變、一注意積分弧段L被積函數(shù)積分元素一點(diǎn)注意起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限計(jì)算定積分[α,β]或[β,α]明確選擇參數(shù)方程確定起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分解題思路對(duì)坐標(biāo)的曲線積分解題模板L:…明確選擇確定…t由α變到β起點(diǎn)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值必寫!明確L的方程化為定積分計(jì)算定積分由得…L的方程為:…∴L的方程為:…第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日計(jì)算其中L是拋物線上點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.例1例2其中L

為計(jì)算(1)按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周.(2)從點(diǎn)沿x軸到點(diǎn)的直線段.注正確選擇L的方程對(duì)計(jì)算的繁簡(jiǎn)非常重要!注被積函數(shù)相同、起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但積分路徑不同，積分值可能不相等!第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3計(jì)算其中L為(1)拋物線上從到的一段弧.(2)拋物線上從到的一段弧.(3)有向折線坐標(biāo)依次為(0,0),(1,0),(1,1).注積分路徑不同，積分值可能相等!例4到點(diǎn)的直線段AB.計(jì)算其中Γ為從點(diǎn)第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日變力沿曲線作功例5xoy設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x,y)處受到力的作用,沿橢圓的大小與M到原點(diǎn)的距離成正比,的方向恒指向原點(diǎn).此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,0)按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0,b),求力所作的功W.第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的應(yīng)用、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B的方向余弦第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B的方向余弦第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日L的參數(shù)方程t=α對(duì)應(yīng)起點(diǎn)Aα<βL上任一點(diǎn)M(x,y)處的切向量為(的指向與L方向一致)t=β對(duì)