數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第2章-數(shù)列極限

數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)§1

數(shù)列極限的概念一、數(shù)列的定義五、再論“-

N”說法四、按定義驗證極限三、收斂數(shù)列的定義備知識.為今后學(xué)習級數(shù)理論提供了極為豐富的準之一,它不僅與函數(shù)極限密切相關(guān)，而且返回二、一個經(jīng)典的例子六、一些例子數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)§1數(shù)列極限為數(shù)列.因為N+的所有元素可以從小到大排列出來,則稱若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)的集合或簡記為{an}.這里

an所以我們也將數(shù)列寫成稱為數(shù)列

{an}的通項.一、數(shù)列的定義為數(shù)列.因為N+的所有元素可以從小到大排列出來,則稱若函數(shù)二、一個經(jīng)典的例子樣的過程可以無限制地進行下去.我們把每天截下部分(或剩下部分)的長度列出：第一天截下

第二天截下第n天截下這樣就得到一個數(shù)列:古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用了一句話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.它的意思是:一根長為一尺的木棒,每天截下一半,這二、一個經(jīng)典的例子樣的過程可以無限制地進行下去.我們把每天截容易看出:數(shù)列隨著n的無限增大而無限趨于

0.容易看出:數(shù)列隨著n的無限增大而無限趨于0.三、收斂數(shù)列的定義下面給出嚴格的數(shù)學(xué)定義.定義1為一個數(shù)列,a為一個常數(shù),若對于任意的正數(shù),總存在正整數(shù)

N,使當

n>N時,則稱數(shù)列收斂于a,

又稱a為數(shù)列

的極限,一般地說,對于數(shù)列

,若當

n充分變大時,

an能無限地接近某個常數(shù)a,則稱收斂于a.

三、收斂數(shù)列的定義下面給出嚴格的數(shù)學(xué)定義.定義1為一個數(shù)列,記作若

不收斂,則稱為發(fā)散數(shù)列.注定義1這種陳述方式，俗稱為“-

N”說法.記作若不收斂,則稱為發(fā)散數(shù)四、按定義驗證極限以說明,希望大家對“-

N”說法能有正確的認識.

例1用定義驗證:分析對于任意正數(shù)要使只要證對于任意的正數(shù)

,所以為了加深對數(shù)列收斂定義的了解,下面結(jié)合例題加四、按定義驗證極限以說明,希望大家對“-N”說法例2

用定義驗證分析

對于任意的正數(shù)

,要使

只要這就證明了證例2用定義驗證分析對于任意的正數(shù),要使只要這只要即可.例3

用定義驗證分析故要使成立,只要即可.例3用定義驗證對于任意的正數(shù)

,取即得注意解這個不等式是在的條件下進行的.證對于任意的正數(shù),取即得注意解這個不等式是在所以例4用定義驗證因此證得證

這里只驗證的情形（時自證）.故對于任意正數(shù)所以例4用定義驗證因此證得證這里只驗證的情形（五、再論“-

N”說法從定義及上面的例題我們可以看出:此外，又因是任意正數(shù),所以1.

的任意性:

定義中的用來刻畫數(shù)列{an}的通項與定數(shù)a的接近程度.顯然正數(shù)愈小,表示an與a接近的程度愈高；是任意的,這就表示an與a可以任意接近.要注意，一旦給出，在接下來計算N的過程中，它暫時看作是確定不變的.五、再論“-N”說法從定義及上面的例題我們可以看出可以用(K為某一正常數(shù))來代替.定義1,那么對1

自然也可以驗證成立.均可看作任意正數(shù),故定義1中的不等式2.

N的相對性:從定義1中又可看出,

隨著的取值不同,N當然也會不同.但這并不意味著N是由再有,我們還可以限定小于某一個正數(shù)(比如<1).事實上,對0<<1若能驗證{an

}滿足可以用(K為某一正常數(shù))來代替.定義1,那則當n>N1=2N

時,對于同樣的,更應(yīng)有惟一確定.例如,當n>N時,有求N

的“最佳性”.也就是說,在這里只是強調(diào)N

的存在性,而不追則當n>N1=2N時,對于同樣的,3.

極限的幾何意義示當n>N時,

從幾何上看,,實際上就是時有所有下標大于N的an

全都落在鄰域之內(nèi)，而在之外,{an

}至多只有有限項(N項).反過來,如果對于任意正數(shù),落在

之外至多只有有限項,設(shè)這些項的最大下標為N,這就表3.極限的幾何意義示當n>N時,從幾何上看,,實{an}的有限多項,則稱數(shù)列{an}收斂于a.這樣,{an}不以a為極限的定義也可陳述為:存在之外含有{an}中的無限多不以任何實數(shù)a為極限.以上是定義1的等價說法,寫成定義就是:定義1'任給,若在

之外至多只有項.注{an

}無極限（即發(fā)散）的等價定義為:{an

}{an}的有限多項,則稱數(shù)列{an}收斂于以下定理顯然成立,請讀者自證.4.無窮小數(shù)列和無窮大數(shù)列以下定理顯然成立,請讀者自證.4.無窮小數(shù)列和無窮大數(shù)列數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限六、一些例子為了更好地理解定義,再舉一些例題.例5

證明發(fā)散.又因a是任意的,所以發(fā)散.

a為極限.證對于任意實數(shù)a,取之外有無限多所以由定義1',不以個偶數(shù)項（奇數(shù)項）.六、一些例子為了更好地理解定義,再舉一些例題.例5證明例6

證明解當時，從而例6證明解當時，從而證我們用兩種方法來證明.例7

證明1)任給正數(shù)有項都能使不等式成立即可.注這里我們將N取為正數(shù),而非正整數(shù).實際上N只是表示某個時刻,保證從這一時刻以后的所證我們用兩種方法來證明.例7證明1)任給正數(shù)有沒有定義.2)任給正數(shù),限制由可知只需取注這里假定0<<1是必要的,否則arcsin便沒有定義.2)任給正數(shù),限制由可復(fù)習思考題1.極限定義中的“”是否可以寫成“”?為什么?2.反之是否成立?3.已知是一個一一影射.請依據(jù)極限定義證明:復(fù)習思考題1.極限定義中的“一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪七、一些例子六、極限的四則運算五、迫斂性(夾逼原理)四、保不等式性三、保號性二、有界性些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習怎樣運用這些性質(zhì).返回一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證明對于任何定數(shù)若

a，b都是{an}的極限，則對于任何正數(shù)

>0,一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證當n>N時(1),(2)同時成立,從而有當n>N時(1),(2)同時成立,從而有二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定理2.3

若數(shù)列二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定件.注

數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條件.注數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我們可取這也是為什么稱該定理為保號性定理的原因.,則存在N,當n>N時,三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我例1

證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理2.4,例1證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以是嚴格不等式.注

若將定理2.5中的條件改為這就是說,即使條件是嚴格不等式,結(jié)論卻不一定也只能得到例如,雖然是嚴格不等式.注若將定理2.5中的條件五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限,證對任意正數(shù)所以分這就證得滿足:存在則五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限例2

求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有例2求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(3)也都是收斂數(shù)列,且有六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)的任意性,證得

證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性又因為即又因為即七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當m=k時,有分別得出:解七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)當m=k(2)當m<k時,有(2)當m<k時,有所以所以例4

證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:例4證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:例5

證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得例5證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有例6

解所以由極限四則運算法則,得故得例6解所以由極限四則運算法則,得故得例7

為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得例7為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得定義1注定義1注定理2.8證注定理2.8證注例8

證(必要性)例8證(必要性)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限例9解因此,例9解因此,1.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法,證明：復(fù)習思考題1.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法

學(xué)過數(shù)列極限概念后，自然會產(chǎn)生兩個§3

數(shù)列極限存在的條件一、單調(diào)有界定理

下面就極限存在性問題,介紹兩個重要定理.二、柯西收斂準則理論中占有非常重要的地位.極限?其中,判斷數(shù)列是否收斂,這在極限即極限的存在性問題;二是如何計算數(shù)列的問題：一是怎么知道一個數(shù)列是收斂的?返回學(xué)過數(shù)列極限概念后，自然會產(chǎn)生兩個§3數(shù)列極限一、單調(diào)有界定理定理

2.7

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.證該命題的幾何意義是十分明顯的.單調(diào)增，有上界.由確界定理，存在由上確界的定義，對于任意的使存在()一、單調(diào)有界定理定理2.7單調(diào)有界數(shù)列必有極限.證例1設(shè)求解這就證明了例1設(shè)求解這就證明了由此得到有上界2,由極限的不等式性,知道,所以下面再來證明此數(shù)列有上界.于是由可得由此得到有上界2,由極限的不等式性,知道例2

下面的敘述錯在哪兒？因為顯然有從而得出例2下面的敘述錯在哪兒？因為顯然有從而得出是最基本的,而教材上的證法技巧性較強.是最基本的,而教材上的證法技巧性較強.由此得由此得數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限*例3證證明:*例3證證明:數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限例4證例4證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限二、柯西收斂準則定理2.8

數(shù)列收斂的充要條件是:柯西準則的充要條件可用另一種形式表達為：滿足上述條件的數(shù)列稱為柯西列.對任意均有二、柯西收斂準則定理2.8數(shù)列收斂的充要條件是:柯西準時,有證此這里僅給出必要性的證明.由此推得

柯西(

Cauchy,A.L.

1789－1857,法國)

由于該定理充分性的證明需要進一步的知識，因時,有證此這里僅給出必要性的證明.由此推得柯西(Ca由柯西收斂準則的否定陳述,可知發(fā)散.發(fā)散.證明例5證取使得由柯西收斂準則的否定陳述,可知發(fā)散.發(fā)散.證明例5證例6求證證例6求證證例7證例7證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限論上特別有用,大家將會逐漸體會到它的重要性.

2.

試給出{an}不是柯西列的正面陳述.1.對于數(shù)列是否收斂的各種判別法加以總結(jié).復(fù)習思考題注

柯西收斂準則的意義在于:可以根據(jù)數(shù)列通項本身的特征來判斷該數(shù)列是否收斂,而不必依賴于極限定義中的那個極限值A(chǔ).

這一特點在理論上特別有用,大家將會逐漸體會到它的重要性.2

數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)§1

數(shù)列極限的概念一、數(shù)列的定義五、再論“-

N”說法四、按定義驗證極限三、收斂數(shù)列的定義備知識.為今后學(xué)習級數(shù)理論提供了極為豐富的準之一,它不僅與函數(shù)極限密切相關(guān)，而且返回二、一個經(jīng)典的例子六、一些例子數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)§1數(shù)列極限為數(shù)列.因為N+的所有元素可以從小到大排列出來,則稱若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)的集合或簡記為{an}.這里

an所以我們也將數(shù)列寫成稱為數(shù)列

{an}的通項.一、數(shù)列的定義為數(shù)列.因為N+的所有元素可以從小到大排列出來,則稱若函數(shù)二、一個經(jīng)典的例子樣的過程可以無限制地進行下去.我們把每天截下部分(或剩下部分)的長度列出：第一天截下

第二天截下第n天截下這樣就得到一個數(shù)列:古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用了一句話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.它的意思是:一根長為一尺的木棒,每天截下一半,這二、一個經(jīng)典的例子樣的過程可以無限制地進行下去.我們把每天截容易看出:數(shù)列隨著n的無限增大而無限趨于

0.容易看出:數(shù)列隨著n的無限增大而無限趨于0.三、收斂數(shù)列的定義下面給出嚴格的數(shù)學(xué)定義.定義1為一個數(shù)列,a為一個常數(shù),若對于任意的正數(shù),總存在正整數(shù)

N,使當

n>N時,則稱數(shù)列收斂于a,

又稱a為數(shù)列

的極限,一般地說,對于數(shù)列

,若當

n充分變大時,

an能無限地接近某個常數(shù)a,則稱收斂于a.

三、收斂數(shù)列的定義下面給出嚴格的數(shù)學(xué)定義.定義1為一個數(shù)列,記作若

不收斂,則稱為發(fā)散數(shù)列.注定義1這種陳述方式，俗稱為“-

N”說法.記作若不收斂,則稱為發(fā)散數(shù)四、按定義驗證極限以說明,希望大家對“-

N”說法能有正確的認識.

例1用定義驗證:分析對于任意正數(shù)要使只要證對于任意的正數(shù)

,所以為了加深對數(shù)列收斂定義的了解,下面結(jié)合例題加四、按定義驗證極限以說明,希望大家對“-N”說法例2

用定義驗證分析

對于任意的正數(shù)

,要使

只要這就證明了證例2用定義驗證分析對于任意的正數(shù),要使只要這只要即可.例3

用定義驗證分析故要使成立,只要即可.例3用定義驗證對于任意的正數(shù)

,取即得注意解這個不等式是在的條件下進行的.證對于任意的正數(shù),取即得注意解這個不等式是在所以例4用定義驗證因此證得證

這里只驗證的情形（時自證）.故對于任意正數(shù)所以例4用定義驗證因此證得證這里只驗證的情形（五、再論“-

N”說法從定義及上面的例題我們可以看出:此外，又因是任意正數(shù),所以1.

的任意性:

定義中的用來刻畫數(shù)列{an}的通項與定數(shù)a的接近程度.顯然正數(shù)愈小,表示an與a接近的程度愈高；是任意的,這就表示an與a可以任意接近.要注意，一旦給出，在接下來計算N的過程中，它暫時看作是確定不變的.五、再論“-N”說法從定義及上面的例題我們可以看出可以用(K為某一正常數(shù))來代替.定義1,那么對1

自然也可以驗證成立.均可看作任意正數(shù),故定義1中的不等式2.

N的相對性:從定義1中又可看出,

隨著的取值不同,N當然也會不同.但這并不意味著N是由再有,我們還可以限定小于某一個正數(shù)(比如<1).事實上,對0<<1若能驗證{an

}滿足可以用(K為某一正常數(shù))來代替.定義1,那則當n>N1=2N

時,對于同樣的,更應(yīng)有惟一確定.例如,當n>N時,有求N

的“最佳性”.也就是說,在這里只是強調(diào)N

的存在性,而不追則當n>N1=2N時,對于同樣的,3.

極限的幾何意義示當n>N時,

從幾何上看,,實際上就是時有所有下標大于N的an

全都落在鄰域之內(nèi)，而在之外,{an

}至多只有有限項(N項).反過來,如果對于任意正數(shù),落在

之外至多只有有限項,設(shè)這些項的最大下標為N,這就表3.極限的幾何意義示當n>N時,從幾何上看,,實{an}的有限多項,則稱數(shù)列{an}收斂于a.這樣,{an}不以a為極限的定義也可陳述為:存在之外含有{an}中的無限多不以任何實數(shù)a為極限.以上是定義1的等價說法,寫成定義就是:定義1'任給,若在

之外至多只有項.注{an

}無極限（即發(fā)散）的等價定義為:{an

}{an}的有限多項,則稱數(shù)列{an}收斂于以下定理顯然成立,請讀者自證.4.無窮小數(shù)列和無窮大數(shù)列以下定理顯然成立,請讀者自證.4.無窮小數(shù)列和無窮大數(shù)列數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限六、一些例子為了更好地理解定義,再舉一些例題.例5

證明發(fā)散.又因a是任意的,所以發(fā)散.

a為極限.證對于任意實數(shù)a,取之外有無限多所以由定義1',不以個偶數(shù)項（奇數(shù)項）.六、一些例子為了更好地理解定義,再舉一些例題.例5證明例6

證明解當時，從而例6證明解當時，從而證我們用兩種方法來證明.例7

證明1)任給正數(shù)有項都能使不等式成立即可.注這里我們將N取為正數(shù),而非正整數(shù).實際上N只是表示某個時刻,保證從這一時刻以后的所證我們用兩種方法來證明.例7證明1)任給正數(shù)有沒有定義.2)任給正數(shù),限制由可知只需取注這里假定0<<1是必要的,否則arcsin便沒有定義.2)任給正數(shù),限制由可復(fù)習思考題1.極限定義中的“”是否可以寫成“”?為什么?2.反之是否成立?3.已知是一個一一影射.請依據(jù)極限定義證明:復(fù)習思考題1.極限定義中的“一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪七、一些例子六、極限的四則運算五、迫斂性(夾逼原理)四、保不等式性三、保號性二、有界性些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習怎樣運用這些性質(zhì).返回一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證明對于任何定數(shù)若

a，b都是{an}的極限，則對于任何正數(shù)

>0,一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證當n>N時(1),(2)同時成立,從而有當n>N時(1),(2)同時成立,從而有二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定理2.3

若數(shù)列二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定件.注

數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條件.注數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我們可取這也是為什么稱該定理為保號性定理的原因.,則存在N,當n>N時,三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我例1

證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理2.4,例1證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以是嚴格不等式.注

若將定理2.5中的條件改為這就是說,即使條件是嚴格不等式,結(jié)論卻不一定也只能得到例如,雖然是嚴格不等式.注若將定理2.5中的條件五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限,證對任意正數(shù)所以分這就證得滿足:存在則五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限例2

求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有例2求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(3)也都是收斂數(shù)列,且有六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)的任意性,證得

證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性又因為即又因為即七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當m=k時,有分別得出:解七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)當m=k(2)當m<k時,有(2)當m<k時,有所以所以例4

證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:例4證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:例5

證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得例5證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有例6

解所以由極限四則運算法則,得故得例6解所以由極限四則運算法則,得故得例7

為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得例7為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得定義1注定義1注定理2.8證注定理2.8證注例8

證(必要性)例8證(必要性)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第2章-數(shù)列極限例9解因此,例9解因此,1.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法,證明：復(fù)習思考題1.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法

學(xué)