考研數(shù)學(xué)公式手冊

高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式:(k)(k)&x)'=1

x\na(見x)'=sec2x(ctgx)1=-esc2x(secx)r=secx-/gx(cscx)r=-cscx-ctgx(ax)r=ax\na

(arcsinx/=?/vl-x2/V1(arccosr)=——Vl-x(arctgx)'=1+x1(arcctg^=-；一"T1+x基本積分表：Jtgxdx=-ln|cosx|+CJctgxdx=ln|sinx\+Cjsecxdx=ln|secx+tg^+CjcscxJx=ln|cscx-c/gA|+C

raxp2j - =sec~xdx=tgx+CJCOS~XJcdxr2/ ——=escxax=-ctgx+CJsinx,jsecx-tgxdx=secx+Cfcscx-ctgxdx=-cscx+Cjshxdx=cftx+Cjchxdx-shx+CJj:x六=ln(x+yjx2+a2)+C￡TOC\o"1-5"\h\z?n? n—\sin"xdx=\co寸xdx= In_2J n~ojylx2+a2dx=-G+a2+券In(x+y/x2+a2)+Cjylx2-a2dx=；ylx2-j*Ia~_x~dx——\u三角函數(shù)的有理式積分：—a2a Inx+2 22-x2+—arcsin—+C2a2dul2dul+〃2.2u 1—w2sinx= cosx= t一些初等函數(shù):

兩個重要極限:雙雙曲正弦:s//x=---—lim =11。X雙曲余弦:郎x=e'+e'2whx—c~雙曲余弦:郎x=e'+e'2whx—c~x雙曲正切:加="=^——chxex-l-ex18Xarshx=ln(x+Vx24-1)archx=±ln(x+yjx2-1). 111+Xarthx=—In 21-x三角函數(shù)公式:?誘導(dǎo)公式：角sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga?和差角公式:??和差角公式:sin(a±P)=sinacos^±cosasin0cos(a±/?)=cosacos/?+sinasin°sina+sin夕=2sina+0a-B

-cos -

2 2，g(a±￡)=tga±tg/3\+tgatg/3sina-sinp=2cos―^-sin，好(a+/?)=cg，,：￡82型-ctg0±ctgacosa+cos夕=2cosa+J32cosa-cosP=2sin?倍角公式:sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-lcos2a=2cos2a-l=l-2sin2a=cos2cr-sin2a-ctg2a-\ctgla=- 2ctgasin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosatg2a=2tga

1—g2atg3a=3tga-tga

1—3fg?a?半角公式:? I* ?sm2? I* ?sm2=±\-r-a.1—cosa1—coscr sinatg--±J =—； = 2 vl+coscr sina 1+cosa?正弦定理：a==——=27?sin4sinBsinCcos-=±

21+cosa2l+coscrsinasina

l-cosa?余弦定理：c2=a2+b?-lahcQsC?反三角函數(shù)性質(zhì):?反三角函數(shù)性質(zhì):.7Tarcsinx= arccosx2arctgx= arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:k=Q,(?-2) .〃(〃-1>~(〃一女+1).(?-*),,(*).=uv+nuvH uvH 1 wvH Fwv2! k\中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'^)(b-a)柯西中值定理:柯西中值定理:F(b)-F(a)~F'^)當(dāng)F(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:

弧微分公式：ds=\l+y'2dx,其中y'=tga— ("'fda_ \y\ds-7（i+y2）3平均曲率水=—里.Aa:從da_ \y\ds-7（i+y2）3M點的曲率：K=lim*加t°Ay直線：K=0;半徑為a的圓：K=-.a定積分的近似計算:矩形法:2。+乂+…+3)a梯形法:j/（x”2^qg（%+y“）+yi+--+^n.I］a拋物線法j/（x）?^^［（y0+以）+2（8+歹4+…+匕-2）+4（必+為+…+K-1）］定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W=F-s水壓力：F=pA弓I力/=左等,左為弓I力系數(shù)函數(shù)的平均值5=均方根:,多元函數(shù)微分法及應(yīng)用人皿，八 ,dz.dz. ,du.du.du.生微分：dz——dxT dydu——dx-\ dy-\ dzdxdy dxdydz全微分的近似計算：Mxdz= y)Ax+fy(x,y)^y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法/.「/、/、?，dzdzdudzdvz=/[w(/),v(/)] —=— —atduotovotc/ 、/、t dzdzdudzdv2=/[〃(工/),口(工,歹)] —=- -+—,—OXOUoxovox當(dāng)〃=u(x9y)9v=y(x,y)時，隱函數(shù)方程組=°[G(x,^,w,v)=隱函數(shù)方程組=°[G(x,^,w,v)=0dFdFdudvdGdGduS(￡G)0(”,V)Fu工GuGvawaxaw-^1S(F,G)J5(x,v)awaxaw-^1S(F,G)J5(x,v)ies,G)J5(y,v)==

av-arav-5ye(￡G)

d(u,x)

G(￡G)

a(”).du.du,du=—dx4dydxdy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：,dv?dv,dv--dx+—dydxdy隱函數(shù)尸（x,y）=0,dyF d2y dFdFdydxFv d￡dxFvdyFvdx隱函數(shù)尸(x,y,z)=0,dz_Fx dz_Fy一,=dxFz dyF:多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)A（Xo，%）=力（Xo，Vo）=O，令：/“（工0，為）=4fxy（x0,ya）=B,fyy（x0,y0）=CAr 為極大值A(chǔ)C-d>UH7，< ,e4>0,（*0，義）為極小值則：<ZC—82<0時， 無極直4。一爐=0時， 不確定重積分及其應(yīng)用:Jj/(x，?)dx"y二JJj\rcorsinO)rdrdO平面薄片的重心：元=也Mdxdyjjxp(x,j/)JcrD平面薄片的重心：元=也Mdxdyjjxp(x,j/)JcrD曲面z=/(元,y)的面積4=JJD\\yp^,y)doDJJp(x,y)dcr'Djjp(x,y)daD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸人=Jjy”(x,y)db, 對于丁軸/『=，/夕(x,y)db平面薄片(位五。坪面)對z軸上質(zhì)點根(0,0,〃),伍＞0)的引力：F={Fx,Fv,F=}9其中:口川-3嗎，口川-3嗎，d(x2+y2+a2y微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y'=f(x,y)『川一「EM叫D(x2+y2+a2y或P(x9y)dx+Q(x,y)dy=0D(x2+y2+a2y可分離變量的微分方程一階微分方程可以化為g(y)力=〃x)dx的形式，解法：Jg(y)dy=]/(x)dx得：G(y)=E(x)+C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方呈可以寫成電=/(x,y)=°(x,y),即寫成上的函數(shù)，解法：dx x設(shè)〃=上，貝1J羋=“+X半，〃+半=9(“),.??歸=-^—分離變量，積分后始代替〃,xdxdxdx x(p(u)-u x即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程粵+P(x)y=Q(x)ax/當(dāng)。(x)=0吐為齊次方程，y=CeJ"""'，當(dāng)。(x)H0時，為非齊次方程，歹=(JQ(x)JC)e"2、貝努力方程組+P(x)y=Q(x)y",(〃HO,l)ax全微分方程：如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：d (C〃du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中丁= =Q(x,y)dx oy.,.〃(》))=。應(yīng)該是該全微分方程的通解。/(%)三/(%)三0時為齊次/(x)wO時為非齊次~7^~+P(x)半+Q(x)y=f(x)9'axax二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:(*)y"+py'+qy=^其中/均為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程(ar+pr+gnO,其中卜的系數(shù)及常數(shù)項恰好是*試中y〃,J,y的系數(shù);2、求出(△)式的兩個根不々3、根腐，々的不同情況，按下表啾(*咸的通解：4，々的形式(*)式的通解兩個不相等實根