突破2023年高考數(shù)學題型之解密2022年高考真題專題33立體幾何中線面角的計算問題(解析版)

突破2023年高考數(shù)學題型之解密2022年高考真題專題專題33立體幾何中線面角的計算問題【高考真題】1.(2022?全國甲理)在四棱錐P-ABCD中，PD_L底面ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=^3.(1)證明：BD±PA-(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.1.解析(1)在四邊形A88中，作OEJ.AB于E, 于尸因為CD//AB,AD=CD=CB=\,AB=2,所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=B尸=g.故OE=3，BD=DE2+BE2=有，所以心+⑶02：/1^,所以A￡>_L8￡),因為尸￡>_L平面A8CO,BDu平面A8CE),所以尸。J.B。，又POcAO=。，所以BO_L平面尸A￡),又因尸Au平面尸4。，所以BOJ.PA；(2)如圖，以點O為原點建立空間直角坐標系，BD=6,則A(i,o,o),B(o,W,o),網(wǎng)0,0,萬),則屈=卜1,0,@,而=(。,々5,右)，麗=(o,o,⑹,-, 、 n-AP=—x+JJz=0 -/ \設(shè)平面PAB的法向量”=x,y,z,則有｛一廠「 ,可取〃=百,1』,n-BP=-V3y+V3z=0 ' '則cos?,而>=荒彳=手，所以p。與平面PAB所成角的正弦值為當2.（2022?全國乙理）如圖，四面體ABC￡>中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.（1）證明：平面BED_L平面ACD；（2）設(shè)AB=80=2/48=60°,點尸在B。上，當△加《的面積最小時，求CF與平面AB。所成的角的正弦值.2.解析（1）因為AD=CD,E為AC的中點，所以AC_LOE；在和aC8￡>中，因為AD=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,所以4A或匕ACBD,所以=又因為E為AC的中點，所以ACL8E；又因為DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以ACJ■平面BE。，因為ACu平面ACD,所以平面BED-L平面ACD.（2）連接EF,由（1）知，4<7_1_平面8后。，因為EFu平面BED,所以AC_L￡F,所以以"c=；ACEF,當E尸_LBO時，E尸最小，即A4FC的面積最小.因為△v48gACB￡>,所以CB= =2,又因為N4C8=60°,所以aABC是等邊三角形，因為E為AC的中點，所以AE=EC=1,BE=6,因4D_LC￡>,所以O(shè)E=^AC=1,2在aOEB中，DE2+BE2=BUT,所以BE_L￡>E.以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,則A（l,0,0）,3（0,五0）,￡>（0,0,1）,所以標=（-1,0,1）,通=卜1,石,0）,設(shè)平面ABD的一個法向量為3=（x,y,z）,

n-AD=-x4-z=0 廠-/ \心痛…島=?！t〃=（3.3）,又因為“-1,0,0),小,乎?n-CF設(shè)CF與平面AB。所成的角的正弦值為AB=BC=2,M,NAB=BC=2,M,N分別為AB】，AC的中點.3.所以sin6=jcos^n,CF^|=⑴求證：MN〃平面BCG5;(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.條件①：ABLMN；條件②：BM=MN.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.3.解析(1)取A8的中點為K,連接由三棱柱ABC-A4G可得四邊形他4A為平行四邊形，而5M=MV8K=KA,則MK/曲,而MK(Z平面CBB.G,8片u平面CB氏G,故MKH平面CBB{CX,而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面,而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN.故平面MKN〃平面C8B|G,而MVu平面MKN,故MN〃平面CBB1c1,（2）因為側(cè)面CB8|G為正方形，故CB_L881,而CBu平面CB瓦C、,平面CBBG_L平面ABBiAi,平面C84Gc平面ABB.A=84，故€?_!.平面A84A，因為NK〃BC,故NKJ_平面ABB14,因為ABu平面,故NKLAB,若選①，則AB_LMV,而NK_LAB,NK^MN=N,故AB_L平面MWK,而MKu平面MAK,故AB_LMK,所以A8_LBB|,而CBJ.BB],CBcAB=B,故B8j_L平面ABC,故可建立如所示的空間直角坐標系，則B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故麗=（0,2,0）,而'=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,，-/ 、n-BN=0[x+y=0 _. 、設(shè)平面的法向量為"=x,y,z,則 ,從而.n,取z=-l,則”=-2,2,7,n-BM=0 [y+2z=0設(shè)直線A3與平面BNM所成的角為6,則sin。=|cos^n,4磯=.若選②，因 NKHBC,故NK_L平面,而KMu平面MKN,枚NK工KM、而B1M=BK=1,NK=1,歆B、M=NK,而58=MK=2,MB=MN,故《明刊沁MKV,所以ZBB1M=NMKN=90。,故44_1_84，而C8_LB8|,CBcAB=B,故B與J.平面ABC,故可建立如所示的空間直角坐標系，則B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故麗=（0,2,0）.而'=（1.1,0）,麗=（0,1,2）,一，-, 、 [n-BN=0 （x+y=0 ，-, 、設(shè)平面BMW的法向量為"=（x,y,z）,貝叫 ,從而＜八，取z=-l,則”=（-2,2,-1）,n-BM=0 [y+2z=0設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為。，sin0=|cos/n, f.4.（2022?浙江）如圖，已知ABCD和COEF都是直角梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,DC=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60P,二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為但8c的中點.

(1)證明：FNLAD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.4.解析(I)過點E、。分別做直線48的垂線￡G、OH并分別交于點交于點G、H.?四邊形A88和E尸C￡)都是直角梯形，AB"DC,CD"EF,AB=5,DC=3,EF=l,ZBAD=Z.CDE=(fiP,由平面幾何知識易知，DG=AH=2,ZEFC=^DCF=ZDCB=ZABC=90P,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形,.?.在RtAEGZ)和RtA￡)H4,EG=DH=26,VDC±CF,DCA,CB,且CFcCB=C,DC_L平面8cEN8CF是二面角尸一￡2-8的平面角，則ZBCF=60°,，戶是正三角形，由。Cu平面ABCD,得平面AB8J?平面BCF,；N是8c的中點，.??/WJ_8C,又DCJ?平面BCF,FTVu平面BCF,可得/W_LCD,而BCcCD=C,二平面ABCD,而AOu平面ABCD：.FN±AD.(2)因為RV，平面A3CD,過點N做AB平行線NK,所以以點N為原點，NK,NB、NF?所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系N-七yz,設(shè)A(5,"0),8(0,VJ,0),D(3,-"0),E(l,0,3),則M3,乎,,???麗匏｝加―)設(shè)平面AOE的法向量為元=(x,y,z),\n-AD=0y[-2X-2島=0由1—? ,侍" ―[n-DE=0 1-2x+島+3z=0設(shè)直線與平面4OE所成角為。,??sin^=|cos(>i,BAf)|=淅一即??sin^=|cos(>i,BAf)|=淅一即.和+『萬奇FH【方法總結(jié)】直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面a相交于點8,設(shè)直線AB與平面a所成的角為仇直線A8的方向向量為",平面a的法向量為"，則sin9=|cos<“，">1=；蒜【題型突破】(2020?北京)如圖,在正方體中，E為851的中點.(1)求證：BG〃平面A￡>iE；(2)求直線A4i與平面ARE所成角的正弦值.1.解析(1)在正方體ABCZ)—ABiGd中,AB〃A向且4B=AiBi, 且48i=G。，〃的且AB=CB,；.四邊形ABCQi為平行四邊形，：.BC\//AD}平面AAE,Adu平面ADiE,.?.BCi〃平面ADE.(2)以點A為坐標原點，AD,AB,A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)正方體A8C￡)-4BiG￡)i的棱長為2,則A(0,0,0),4(0,0,2),Di(2,0,2),￡(0,2,1),aXi=(0,0,2),用i=(2,0,2),盛=(0,2,1).設(shè)平面A￡)設(shè)平面A￡)iE的法向量為〃=(x,y,z),由n-Ak=0,2x+2z=0,2y+z=0,~4 2~4 2令z=-2,則x=2,y=1,則〃=(2,1,—2).cos<n,2因此，直線AA與平面AOiE所成角的正弦值為爭(2020?浙江)如圖，在三棱臺ABC—OEF中，平面ACFO_L平面ABC,NACB=NACO=45°,DC=2BC.(1)證明：EFLDB；(2)求直線OF與平面OBC所成角的正弦值.2.解析(1)如圖，過點。作COLAC,交直線AC于點O,連接OB.由/ACD=45。，DO1.AC得CD=@CO.由平面ACF￡)_L平面A8C,得OOJ?平面4BC,所以O(shè)O_L8C.由NAC8=45。，BC=〈CO=羋CO得BO_LBC.所以BCJ_平面BOO,故8C_LD8.由三棱臺ABC-DEF得BC//EF,所以EFLDB.(2)法一：如圖，過點。作交直線8。于點“，連接C”.由三棱臺4BC-DEF得OF〃CO,所以直線OF與平面08c所成角等于直線CO與平面08c所成角.由BC_L平面BOO得故O”_L平面BCC,所以/OCH為直線CO與平面CBC所成角.設(shè)CD=2\/i.由。。=0C=2,BO=BC=?得BD=#,。，=折，所以sin/OC”=等=W，因此，直線￡＞尸與平面OBC所成角的正弦值為竽.法二：由三棱臺A8C-CE尸得。尸〃C。，所以直線OF與平面OBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為0.如圖，以。為原點，分別以射線OC,。。為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系。-孫z.設(shè)CD=2、位.由題意知各點坐標如下：0(0,0,0),B(l,1,0),C(0,2,0),0(0,0,2).因此洸=(0,2,0),BC=(~\,1,0),CD=(0,-2,2).設(shè)平面BC￡＞的法向量"=(x,y,z).n-BC=0, f—x+y=0,由＜ 即J,可取〃=(1,1,1).[〃R=0, [-2y+2z=0,所以sin0=|cos＜OC,\OC\\n\因此，直線。尸與平面。8c所成角的正弦值為苧.(2020?全國U)如圖，已知三棱柱ABC-4B6的底面是正三角形，側(cè)面BBQC是矩形，M,N分別為BC,aG的中點，P為AM上一點，過81G和P的平面交AB于E,交AC于尸.(1)證明：AAJ/MN,且平面4AMN_L平面EBiGF；(2)設(shè)。為△AiBiG的中心，若A?！ㄆ矫鍱BiGF,h.AO=AB,求直線BE與平面44WN所成角的正弦值.H3.解析(1)因為M,N分別為BC,BiG的中點，所以MN〃CC.又由已知得A4i〃CG,故A4i〃MM因為A4i81cl是正三角形，所以8iCi_L4M又8C|_LMN,故8cl_L平面4AMM所以平面4AMN，平面EBCF.(2)由已知得AM，6c.以M為坐標原點，總的方向為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系M—孫z,則A8=2,AM=連接NP,則四邊形AON?為平行四邊形，故PM=羊,E由(1)知平面4AMNJ_平面ABC.C.M正方向，|麻友為單位長，小.呼'y°)作NQLAM,垂足為。，則NQJ_平面A8C.設(shè)。(a,0,0).則NQ=殍一)2,Bi(a,1,^4—(乎—a4),故盛=(羋一°,_|,一又〃=(0,-1,0)是平面4AMN的法向量，故.(式 —>、 —? n,B\Ey/10sinZ<n,B\E>—cos<n,B\E>— —in.'2 ) I川誦10所以直線SE與平面4AMN所成角的正弦值為噂.4.(2020?新山東)如圖，四棱錐P—A8CD的底面為正方形，PL交線為/.(1)證明：LL平面PQC；(2)已知尸O=AO=1,。為/上的點，求PB與平面QCC所卜-呼一))'伊內(nèi)一4)1■底面A8CD.設(shè)平面外。與平面PBC的成角的正弦值的最大值.4.解析(1)在正方形ABC。中，AD//BC,因為ACC平面尸5又因為ADu平面以￡),平面兩￡)(~1平面P8C=/,所以A￡>/因為在四棱錐F-ABC。中，底面A8CO是正方形，所以A又？￡>_!_平面A8CO,所以AO_LP。，所以/_LPD.因為ZX(2)如圖建立空間直角坐標系Dxyz,1AA DC,BCu平面PBC,所以AO〃平面PBC,//.D1DC,所以/J_￡>C,：CiPD=D,所以/_L平面POC.因為尸￡>=AD=1,則有￡>(0,0,0),C(0,1,0),A(l,0,0),P(0,0,1),B(l,1,0),設(shè)Q(小0,1),則有皮=(0,1,0),9=(凡0,1),兩=(1,1,-1).[dC〃=0, y=0,設(shè)平面QCQ的法向量為〃=(x,y,z),則， 即f⑸"=o, Mz=o,令X=l,則2=一加，所以平面。。。的一個法向量為〃=(1,0,一加)，則則cos<n,通〉〃?兩 1+0+6向砂? 加+i根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值,所以直線與平面所成角的正弦值等于|cos<n,|1+詞幣11+2/n-H7^

小7m2+13A/w2+|cos<n,興普泮后=當,當且僅當時取等號,所以直線尸B與平面QCO所成角的正弦值的最大值為由.（2021?浙江）如圖，在四棱錐P—A8CC中，底面ABCD是平行四邊形，ZABC=120°,AB=1,BC=4,M=V15,M,N分別為8C,PC的中點，PD1DC,PMLMD.⑴證明：ABLPM；（2）求直線AN與平面PDA/所成角的正弦值.5.解析（1）在平行四邊形ABC。中，由已知可得，CD=AB=1,CM=gBC=2,ZDCM=60°,所以由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CD-CA/cos60°=3,則CtP+DMul+SndnCAf2,即C￡)_L￡)M,又PMLMD,PMC\DM=M,所以C￡)_L平面PDM,而PMu平面PCM,所以CC_LPM.因為C￡>〃AB,所以(2)由(1)知，C￡)J■平面PDW,又COu平面A8C￡),所以平面A8C￡)_L平面PDW,且平面ABC。平面DPOM=OM,因為PM_LZ)M,且PMu平面POM,所以尸M_L平面488,連接AM,則PMLAM,在AA8M中，AB=\,BM=2,ZABM=\20°,可得AM2=1+4—2-l-2-(—5)=7,又E4=4萬，在RQPMA中，求得PM=2虛，取AO中點E,連接ME,則ME〃CD,可得MD,MP兩兩互相垂直，以M為坐標原點，分別以MO、ME、MP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則4一,，2,0),尸(0,0,2),C(S，-1,0).又N為PC的中點，所以M坐，巾),俞=(^^,—a/2),平面POM的一個法向量為"=(0,1,0),設(shè)直線AN與平面PDM所成角為仇則sin^=|cos<A^,n>|=lw'^lm-\aM故直線AN與平面?。例所成角的正弦值為噌.(2016?全國III)如圖，四棱錐P—ABC。中，以，底面4BCC,AD//BC,A8=AO=AC=3,PA=BC=Af為線段AO上一點，AM=2MC,N為PC的中點.(1)證明MN〃平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.26.解析(1)由已知得AM=5A￡>=2.取BP的中點7,連接AT,77V,由N為PC的中點知77V〃8C,Tn￡bC=2.又AO〃BC,故TN映AM,所以四邊形4WN7為平行四邊形，于是MV〃AT.因為MNC平面方B,ATu平面B4B,所以MN〃平面抬B.(2)取8c的中點E,連接4E.由AB=AC得AE_L8C,從而4EJ-A￡>,且AEKABJBSyjAB。一借衿鄧.以A為坐標原點，部的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)ryz.由題意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(、3,2,0),從坐，1,2PM=(0,PM=(0,2,—4),PN=2y—4z=0,2y—4z=0,即骼可取”=(0,2,1).\nPM=0,設(shè)〃=(x,y9z)為平面PMN的法向量，則jI”?麗=0,于是|cos<”，忒>|=回%=今§.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為與g.麗(2018?全國1)如圖，四邊形ABCC為正方形，E,尸分別為AO,BC的中點，以。尸為折痕把△OFC折起，使點C到達點P的位置，且(1)證明：平面PEFJ■平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.解析(1)由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFCEF=F,所以8凡L平面PEF.又8Fu平面A8尸￡),所以平面PEnL平面A8FD.(2)作PH_LEF,垂足為由(1),得P//J_平面ABFO.以”為坐標原點，赤的方向為y軸正方向，|的為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系"xyz.由(1)可得，DEVPE.又OP=2,DE=\,所以PE=/.又尸尸=1,EF=2,故PELPF.所以PH=*,EH=l，則H(0,0,0),40,0,坐)，￡(-l,~1,0),所以加=(1,I，明，辦=(0,0,明，療為平面A8FD的法向量.設(shè)0P與平面ABFC所成的角為0,3則sin.」臥勵＜二坐.所以O(shè)P與平面ABFD所成角的正弦值為坐.|兩辦)W4 4(2018?浙江)如圖，已知多面體ABCAiBiG，A\A,B\B,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,A\A=4,CiC=l,AB=BC=B"2.(1)證明：ABi_L平面ABiCi；(2)求直線AG與平面ABBi所成的角的正弦值.析方法一（1）由AB=2,AAi=4,BB\=2,AA\±AB, 得AB|=A8]=2媳,所以4胡+A歷=A4￥,故AB|_LAM由BC=2,BBI=2,CCi=l,BBiLBC,CCilBC,得81cl=小.由4B=BC=2,ZABC=120°,得AC=25.由CCi_L4C,得AG=回，所以4胡+8iC|=AG,故ABi_LBCi.又因為ABiCBiCi=Bi,AtBi,'Qu平面AiBCi,所以ABi_L平面AiBCi.(2)如圖，過點G作CQL4山i,交直線48于點O,連接ADAi由A5i_L平面48iG,得平面48iG_L平面由CQ_LAM平面4/iCQ平面A88i=4由i,GDu平面A/Ci,得CDJ?平面ABBi.所以ZGAD即為AG與平面ABB,所成的角.f— l t— \/42 t—由8iG=小，AiBi=2?4cl=曰，得cosNG4Bi=^,sinNG4Bi=拳，所以GQ=V§,故sinNGAC=1g=尊.因此直線AG與平面A8囪所成的角的正弦值是誓.ACi13 13方法二(1)如圖，以AC的中點。為原點，分別以射線。8,0C為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知各點坐標如下：4（0,一木,0）,8（1,0,0）,4（0,—小，4）,01（1,0,2）,Ci（0,小，1）.因此荏尸（1,小,2）,A^i=（l,S，-2）,后產(chǎn)（0,2小，-3）.由Mr否力1=0,得A8|_LAiBi.由屈|47&1=0,得A8|_L4G.又AiBiCLAiCii,AMAiCu平面AiBiCi,所以A8_L平面（2）設(shè)直線AG與平面A88i所成的角為0.由（1）可知A?|=（O,2仍，1）,屈=（1,小，0）,豳=（0,0,2）.nAi—0, （x+y[3y=0,設(shè)平面ABBi的一個法向量為”=（x,y,z）.由彳 得，_-jiB§]=0, （2z=0，可取”=（一/，1,0）.所以sin8=|cosv^””>|=四山=爺.硒川因此直線AG與平面ABBi所成的角的正弦值是警.圖，七面體ABCDE尸的底面是凸四邊形A8CC,其中AB=AO=2,ZBAD=120°,AC,B?；ハ啻怪辈⑾嘟挥邳cO，OC=2OA,棱AE,CF均垂直于底面ABCQ,且AE=2CF.(1)證明：直線OE與平面8c尸不平行；(2)若CF=1,求直線8c與平面8尸￡)所成角的正弦值.E.解析(1)假設(shè)OE〃平面8FC,因為AE〃(:尸，AEC平面8尸C,CFu平面8尸C,所以AE〃平面8FC,又因為OE〃平面BFC,AEQDE=E,AE,DEu平面ADE,所以平面ACE〃平面8FC,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得A0〃8C,所以第=怒.UDC//1因為48=AC,AO±BD,所以80=00,CO^OA,這與OC=2OA矛盾，所以O(shè)E與平面8FC不平行.(2)以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則8(0,—小，0),C(2,0,0),D(0,6，0),E(-l,0,2),F[2,0,1),所以訛=(2,小，0),踮=(0,-273,0),酢=(2,—小，1).Dlin=0, [—2y[3y=0,設(shè)平面8FC的法向量〃=(x,y,z),由， 可得彳_[p>.n=0, ⑵-Sy+z=0,則y=0,取x=0得z=—2,所以平面8FD的一個法向量〃=(1,0,-2).所以直線8C與平面8尸。所成的角的正弦值為sin夕=圓包=2步.曲”1.(2017?浙江)如圖，已知四棱錐P-A8CO,△以。是以AO為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.⑴證明：CE〃平面B4B；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值..解析（向量法）：（1）設(shè)A￡>的中點為O,連接OB,OP.?.?△以￡）是以4。為斜邊的等腰直角三角形,J.OPLAD.?.皿=汕=00,且BC〃OO,四邊形880為平行四邊形，XVCD1AD,/.0B1AD,,：OPDOB=O,...ADJ?平面OPB.過點。在平面P08內(nèi)作。8的垂線OM,交PB于M,以。為原點，OB所在直線為x軸，O。所在直線為y軸，OM所在直線為z軸，建立空間直角坐標系,如圖.設(shè)8=1,則有A（0,-1,0）,B（l,0,0）,C（l,1,0）,￡）（0,1,0）.設(shè)尸（x,0,z）（z>0）,f（x—1>+1+z2=4, 1s（1xf3\由PC=2,OP=l,得一得x=—/,z=2?即點壯―5，0,2J,而e為尸。的中點，.??《一:，坐，設(shè)平面布3的法向量為〃=3，Ji,Z|）,?.?存=（一；，1,坐），檢=（l,1,0）,...< 2"一°’ 取"=-1,得"=（］,一1,小）..xi+yi=0,而3=（一/J乎），則濟〃=0,而CEC平面朋B,；.CE〃平面附8.（2）設(shè)平面PBC的法向量為，”=（X2,及，Z2）,VBC=（0,1,0）,喬=（-',0,坐），，”=0,_3_n取X2=l,得〃1=（1,0,，5）.一萍+玄Z2=0,設(shè)直線CE與平面PBC所成角為仇則sin6=|cos<m,星>|=三且蟲=零，—? O|C￡||m|故直線CE與平面P8C所成角的正弦值為好.O（幾何法）：（1）如圖，設(shè)用的中點為F,連接防，F(xiàn)B.因為E,尸分別為PC,公的中點，所以EF〃AD且EF=%D.又因為8C〃AO,BC=jAD,所以EF〃BC且EF=BC,即四邊形8CEF為平行四邊形，所以CE〃BF.因為BFu平面以8,CEU平面用8,所以CE〃平面附艮p(2)分別取8C, 的中點為M,N.連接PN交E尸于點0,連接MQ,BN.因為E,F,N分別是P￡>,PA,AO的中點，所以Q為EF的中點，在平行四邊形BCEF中，MQ//CE.由△用￡>為等腰直角三角形得PN_LAD由DCLAD,N是的中點得BN1AD.又PNCBN=N,所以ACJ_平面PBN.由BC//AD得BCJ_平面PBN,那么平面P8c，平面PBN.過點Q作P8的垂線，垂足為，，連接M4.則是MQ在平面P8C上的射影，所以/。M”是直線CE與平面P8c所成的角.設(shè)C￡)=L在APCO中，由PC=2,CD=\,P￡>=出得CE=,,在APaV中，由PN=BN=1,PB=小得QH=；,在RSM0“中，Q"=W，MQ=@,所以sin/QM”=V，所以直線CE與平面P8C所成角的正弦值是半.O.已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。為菱形，PD=PB,〃為PC上的點，過AH的平面分別交PB,PD于點M,N,且8?！ㄆ矫?1)證明：MN1_PC；(2)當”為PC的中點，PA=PC=y[3AB,PA與平面ABC。所成的角為60。，求4。與平面AM〃N所成角的正弦值.因為A8CO為菱形，所以8O_LAC.因為尸￡>=?8,所以POJ_BO.因為ACC\PO=O,且AC,POu平面PAC,所以平面PAC.因為PCu平面尸4C,所以8C1.PC.因為平面AMHM且平面AW/NCI平面P8D=MN,所以BD〃MN,MN_L平面PAC,所以MMLPC.(2)由(1)知8OLAC且因為尸A=PC,且O為AC的中點，所以PO_LAC,所以尸OJ_平面ABC。，所以PA與平面48CD所成的角為NPAO,所以NPAO=60。，所以AO=]pA,PO=^PA.因為 所以80=平尸A以。為原點，OA,OD,OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.設(shè)PA=2,所以。(0,0,0),4(1,0,0),《0,一坐，0),C(-l,0,0),D(0,容，0),P(0,0,6),《V，0,坐)，所以尻)=(o,羋，0),皿=(—|,0,坐)，?=(一1,g，o)., (2\[3_nnBb=O,3->，=0'設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),所以， 即j「n硝=0, 1-5+當z=0.令x=2,則y=0,z=2巾，所以n=(2,0,2/)為平面AM//N的一個法向量.設(shè)A￡)與平面AMHN所成角為。，所以sin6=|cos<”，At)>|="母=乎.\nW4所以A。與平面AM”N所成角的正弦值為苧..如圖，在四棱錐P—A8c。中，以_L底面A8CD,底面A8CO是直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,AB1AC,AB=AC=正,點E在4。上，S.AE=2ED.(1)已知點尸在BC上，且CF=2FB,求證：平面PEFJL平面R1C；(2)當二面角A—PB—￡的余弦值為多少時，直線PC與平面以8所成的角為45。？

12.解析(1)；A8_LAC,A8=AC,.,.NACB=45°,；底面ABC。是直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,：.Z4CD=45°,即AO=CO,AC=y[2AD,又ABLAC,：.BC=y[2AC=2AD,2 1"：AE=2ED,CF=2FB,：.AE=BF=^AD,丈：AE〃BF、四邊形4BFE是平行四邊形，J.AB//EF,：.ACA.EF,；公1.底面ABCD,J.RAA.EF,'：PACiAC=A,PA,ACu平面flAC,.?.￡凡L平面B4C,又EFu平面PEF,：.平面PEFL平面PAC.(2)VMlAC,AC-LAB,PADAB=A,PA,A8u平面PAB,.?.ACl.平面BAB,則NAPC為PC與平面用8所成的角，若尸C與平面所成的角為45。,則tanZAPC=^-=1,即PA=AC=yj2,取8c的中點G,連接AG,則AG_LBC,以A為坐標原點,AG,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)pz,則A(0,0,0),8(1,-1,0),C(l,1,0),￡(0,1,0),P(0,0,西，.,.防=(i,—()),eP=(o,—啦)，”?或=0,設(shè)平面P8E的法向量為”=(x,y,z),貝獷nEp=O,令y=3,則x=5,z=^/2,.,.n=(5,3,R).VAt=(l,1,0)是平面小B的一個法向量,cos<w,At>=cos<w,At>=5+3_2y[2讓x6—32\/2即當二面角A—PB—E的余弦值為學時，直線PC與平面印B所成的角為45。.13.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCC為邊長為2的菱形，ZDAB=60°,ZADP=90°,平面4CPJL平面A8C￡>,點尸為棱PO的中點.(1)在棱AB上是否存在一點E,使得AF〃平面PCE?并說明理由；(2)當二面角。一fC-8的余弦值為乎時，求直線PB與平面ABC。所成的角..解析(1)在棱AB上存在點E,使得4尸〃平面PCE,點E為棱A8的中點.理由如下：取PC的中點。，連接EQ,FQ,由題意，F(xiàn)Q〃￡)C且尸AE〃CD且AE=：CD,則AE〃尸。且AE=F。.所以四邊形AEQ尸為平行四邊形.所以A尸〃EQ,又EQu平面PCE,AFC平面PCE,所以AF〃平面PCE.(2)由題意，知AA8O為正三角形，所以EC_LA8,亦即ED_LC。，又NAOP=90。，所以「。14。，且平面AOPJ?平面A8CD,平面ADPCI平面A8C￡>=4。,所以PCJ.平面ABCD,故以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)廠￡>=a(a>0),則由題意知0(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B電,I,0),網(wǎng)=(0,2,-a),讀=("-1,0),m?武=0, [2y-az=0,設(shè)平面尸8c的法向量為m=(x,y,z),則由J 得，rmch=0, h/3x-y=0，令x=l,則丫=巾，z=;g,所以取m=(l,小，;9，顯然可取平面。FC的法向量〃=(1,0,0),、歷 1 I—由題意知4=|cos<,”，“>|=1 所以41+3+不由于PD_L平面ABCC,所以PB在平面48CD內(nèi)的射影為8￡>,所以NPBD為直線PB與平面A8CC所成的角，

pr\易知在RsPBZ)中，tanNP8O=￡7；=a=小，從而NP8C=60°,KU所以直線尸8與平面ABC。所成的角為60。..(2018?全國H)如圖，在三棱錐P—A8C中，AB=BC=2j,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.(1)證明：PO_L平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M-ai—C為30。，求PC與平面以M所成角的正弦值..解析(1)因為B4=PC=AC=4,O為AC的中點，所以POLAC,且PO=24.三 1連接08.因為A8=8C=竽4C,所以“8C為等腰直角三角形，￡OBLAC,0B=^AC=2.由PO2+OB2=PB2,知POLOB.由PO上OB,POLAC,ACC\OB=O,知PO_L平面ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標原點，Oh,Ot,辦的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.由已知得。(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,24)，則#=(0,2,2小)，取平面加C的一個法向量時=(2,0,0).設(shè)M(a,2—a,0)(0<a<2),則由tf=(a,4—a,0).設(shè)平面B4M的法向量為〃=(x,y,z).Apn=0,j2y+2V5z=O,

得1,破.〃=0, 3+4—〃y=0,可取〃=N5(a—4),小a,—a),所以cosV9，n>2^3?—42+3tz2+fl2由已知得IcosV加，">|=坐.所以/2小/坐.2 2yJ3a—42+3a2+a22上”日 ”&上、t 4?, (8小4s4、解何。=—4(舍去)或a=1.所以〃=(一寸-,J.又無>=(0,2,一2?所以cos<此，”>=乎.所以PC與平面以M所成角的正弦值為坐.如圖，已知在長方體ABCO-AiBiCiCi中，AD=AAt=\,A8=2,點E在棱A8上移動.⑴求證：D,￡±A|D；(2)在棱A8上是否存在點E使得A5與平面5EC所成的角城？若存在，求出AE的長，若不存在,說明理由..解析⑴,??AE1.平面AAQQ,4￡>u平面AAQQ,：.AE±AtD.:在長方體ABCD—AiBiGDi中,AD=AAi=l,：.AiD±AD\.,：AEQAD\=A,平面AEG. 平面AE￡h,：.D\ELA\D.(2)以。為坐標原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.TT設(shè)棱AB上存在點E(l,t,0)(0</<2),使得與平面AEC所成的角為不A(l,0,0),Di(0,0,1),C(0,2,0),ASi=(-l,0,1),C^i=(0,-2,1),cfe=(l,t-2,0),?cSi=-2y+z=0,設(shè)平面5EC的法向量為”=(x,y,z),則j - 取y=l,得”=(2—/,1,2),.n-Cfe=x+z—2y=0,.?.sin白國則=廠+3，整理，得產(chǎn)+々一9=0,解得f=，H-2或一一2—回(舍去)，6通山川64-22+5 v v在棱AB上存在點E使得42與平面OEC所成的角為會此時A￡=4萬一2..如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，側(cè)面以O(shè)J_底面ABC。，底面ABCO是平行四邊形，NABC=45。，AD^AP=2,AB=DP=2yj2,E為8的中點，點F在線段PB上.(1)求證：ADYPC；

又”nAC=A,AP為坐標軸則A(0尸(0,所以無=(0則再'=(22,=z(AG[O設(shè)平面尸DC的法向量為“=(x因為直線又”nAC=A,AP為坐標軸則A(0尸(0,所以無=(0則再'=(22,=z(AG[O設(shè)平面尸DC的法向量為“=(x因為直線EF與平面P￡>C所成的角和直線E尸與平面A8CO所成的角相等所以|cos<屏'所以|一22+2|=即5口一1|=口"丘［0直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等所以以J■底面A8CD,所以直線ACA尸兩兩垂直，以A為原點，直線AO解析(I)如圖所示，在平行四邊形A8CO中，連接AC,又AC〃8C,所以AD_LAC.因為AD=AP=2,DP=2巾,所以附_LAD得AC=2,所以NACB=90。，?PBCA.AC(2)因為側(cè)面見。_L底面ABC。，PA1AD,側(cè)面以0n底面ABCO=A￡>,B4u側(cè)面以￡)(2)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等所以時=(2A+1,2a-1,-22+2).易得平面ABCO的一個法向量為,"=(017.等邊△ABC的邊長為3,點。，E分別是48,AC上的點，且滿足黑=晉="如圖①)，將△4￡)￡沿OE折起到△AQE的位置，使二面角4一。E—B成直二面角，連接4山，4c(如圖②).(1)求證：AQJ_平面8CEZ)；(2)在線段BC上是否存在點P,使直線外?與平面48。所成的角為60°?若存在，求出尸B的長；若不存在，請說明理由..解析(1)題圖①中，由已知可得：AE=2,AD=},A=60°.從而DE=y]12+22-2x1x2xcos60°=小.故得所以AD_LOE,BDLDE.所以題圖②中，A\DVDE,又平面ACEC平面8CE￡)=￡)E,A\DVDE,AQu平面AQE,所以AQ_L平面8CE￡).(2)存在.由(1)知EOJ_CB,AQ1.平面8CED以。為坐標原點，以射線OB,CE,￡)4分別為x軸,y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系￡>—xyz,如圖，過?作PH//DE交BD于點、H,設(shè)PB=2a(O<2a<3),則BH=a,PH=yf3a,DH=2~a,易知4(0,0,1),P(2~a,小a,0),E(0,小，0),所以周=(。一2,一鄧a,1).因為EO_L平面所以平面48。的一個法向量為命=(0,小,0),因為直線力?與平面ABD所成的角為60°,所以P8=2a=|,滿足歸處3,符合題意.所以在線段BC上存在點尸，使直線印1與平面48。所成的角為60。，此時尸B=*.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCD是平行四邊形，AB=AC=2,AD=2小，PB=y[i,PBLAC.⑴求證：平面B4B_L平面以C；(2)若NPBA=45。，試判斷棱以上是否存在與點P,A不重合的點￡,使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為半？若存在，求出筆的值；若不存在，請說明理由..解析(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形，40=2^2,所以8C=A￡>=2啦，又A8=AC=2,所以AF+aGuBC2,所以AC_LAB,XPBLAC,ABC\PB=B,AB,PBu平面 所以AC_L平面eB.又因為ACu平面以C,所以平面/!48J■平面/MC.(2)由(1)知4CL4B,ACJ_平面以8,分別以AB,4c所在直線為x軸，y軸，平面PAB內(nèi)過點A且與直線A8垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),祀=(0,2,0),選=(-2,2,0),由NP8A=45。，PB="可得P(l,0,I),所以#=(1,0,1),Bp=(-\,0,1),假設(shè)棱PA上存在點E,使得直線CE與平面P8C所成角的正弦值為罟，JJ.設(shè)75=4Mvl)，則於=7獷=(，，0,A),建=掂一祀=(九—2,A),t\rn-Bt=0, f—2x+2y=0,設(shè)