高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)和公式

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯 2\o"CurrentDocument"第二章復(fù)數(shù) 3\o"CurrentDocument"第三章函數(shù) 4\o"CurrentDocument"第四章導(dǎo)數(shù) 8\o"CurrentDocument"第五章三角函數(shù)與解三角形 10\o"CurrentDocument"第六章平面向量 15\o"CurrentDocument"第七章數(shù)列 18\o"CurrentDocument"第八章不等式 23\o"CurrentDocument"第九章立體幾何 26\o"CurrentDocument"第十章直線和圓 29\o"CurrentDocument"第十一章圓錐曲線 32\o"CurrentDocument"第十二章排列、組合和二項(xiàng)式定理 36\o"CurrentDocument"第十三章概率 37\o"CurrentDocument"第十四章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 39第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯(-)集合-.集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.在求有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性二.遇到4n8=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：4=0或3=0?同樣當(dāng)/q8時(shí)，你是否忘記A=0的情形？要注意到。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。三.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合A/，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2",2"-1,2"-1,2"-2.四.集合的運(yùn)算性質(zhì)：(I)AUB=ABA;(2)AC\B=B<^>BcA；(3)Jc5<=>CuC,B；⑷=；⑸"U8=U=Nq8;(6)Cu(AnB)=CuA\jCb,B;五.研究集合問(wèn)題，一定要理解集合的意義一一抓住集合的代表元素。六.數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。(二)邏輯七.全程命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題。A.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓)，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋?zhuān)魟t4是8的充分條件；若Bu4，則力是8的必要條件；若4=8，則4是8的充要條件.第二章復(fù)數(shù)L復(fù)數(shù)：形如a+6i,(a,beR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).其中叫實(shí)部叫虛部.復(fù)數(shù)的模的公式：z=a+bi,\z\=^a2+b2‘實(shí)數(shù)虛數(shù)，純虛數(shù).復(fù)數(shù)有關(guān)概念：＜共貌復(fù)數(shù){Zf(*b=d.虛數(shù)單位'的性質(zhì)：/=一1,/“ =j/4"+2=_]/4"+3=T.復(fù)數(shù)的運(yùn)算：Z]=a+bi,z?=c+di,a,b,c,deR則z,±z2=(a±c)+(6±d)i,z}-z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.注意問(wèn)題：①?gòu)?fù)數(shù)的運(yùn)算與多項(xiàng)式的運(yùn)算相同，只需要把運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的產(chǎn)換成?1。②虛數(shù)不能比較大小，能比較大小的必為實(shí)數(shù)。第三章函數(shù)-.求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則)：.根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于或等于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)10g“x中x>0,a>0且a#1,等。.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。.復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知〃x)的定義域?yàn)椋踑,6］,其復(fù)合函數(shù)/［g(x)］的定義域由不等式a<g(x)<b解出即可；若已知/［g(x)］的定義域?yàn)椋踑,b］，求/(x)的定義域，相當(dāng)于當(dāng)xe［a,切時(shí)，求g(x)的值域(即/(x)的定義域1二,求函數(shù)值域(最值)的方法：.配方法一一二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類(lèi)：一是求閉區(qū)間［私用上的最值；二是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題.求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系)，.換元法一一通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，.函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，.單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，.數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，.判別式法一一對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類(lèi)題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式：.不等式法一一利用基本不等式a+b>2疝eR*)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧.導(dǎo)數(shù)法一一一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)。=.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類(lèi)較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值/(X。)時(shí)，一定首先要判斷/屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。.求函數(shù)解析式的常用方法：,待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類(lèi)型.代換(配湊)法一一已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求/(x)的表達(dá)式。.方程的思想一一已知條件是含有/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于/(x)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組..反函數(shù)：.存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè)丁值，都有唯一的、值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有/(x)=O(xe{0})有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。.求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換x、歹；③注明反函數(shù)的定義域(原來(lái)函數(shù)的值域1注意函數(shù)y=/a+1)的反函數(shù)不是尸=/-I(x+1),而是y=/.反函數(shù)的性質(zhì)：①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。②函數(shù)y=〃x)的圖象與其反函數(shù)y=r'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，注意函數(shù)y=/(x)的圖象與x=/九月的圖象相同。③/⑷=6=廣0)=%④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。⑤設(shè)/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有f[f-'(x)]=x(xe5),/-'[/(x)]=x(x"),但刀尸。)岸尸0x)]。.函數(shù)的奇偶性。.具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。.確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性)：①定義法：②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：/(x)±〃-x)=0或八為=±1(/(x)*01f(x)③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).③若/(X)為偶函數(shù),則/(-x)=f(x)=/(IXI).④若奇函數(shù)/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0./(0)=0是/")為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”.⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集)..函數(shù)的單調(diào)性。,確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：①在解答題中常用：定義法(取值一一作差一一變形一一定號(hào))、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間伍,6)內(nèi)，若總有r(x)>o，則/(X)為增函數(shù)；反之，若/(X)在區(qū)間(。,份內(nèi)為增函數(shù)，則r(x)>o,請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等,特別要注意y=ax+-(a>0Xb>0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為E-也,m,+8),減區(qū)間為③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)/(x)=log“(x2一"+3)在區(qū)間(_8,自上為減函數(shù)，求。的取值范圍(答：(1,273));二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能添加符號(hào)“U”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示..注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用(①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍)..常見(jiàn)的圖象變換.函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單位得到的。.函數(shù)y=/&+a)((a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右平移同個(gè)單位得到的..函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向上平移。個(gè)單位得到的；.函數(shù)y=/(x)+a(a<0)的圖象是把函數(shù)j，=/6)助圖象沿y軸向下平移同個(gè)單位得到的；.函數(shù)y=/(ax)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸伸縮為原來(lái)的-得到的。a.函數(shù)y=4(x)(。>0)的圖象是把函數(shù)了=/(x)的圖象沿歹軸伸縮為原來(lái)的a倍得到的..函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。.滿足條件/(x+a)=/(b-x)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=一對(duì)稱(chēng)。.點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-灰歹)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于歹軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為y=/(-x);.點(diǎn)(x,j)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,-內(nèi)；函數(shù)y= 關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為y=-/U)；?點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-k-內(nèi)；函數(shù)y=/卜)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線方程為y=-/(-x);.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線歹=±x+a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(±(y-a),土x+a);曲線/(x,y)=0關(guān)于直線歹=±》+。的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為/(±3-。),±》+。)=0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x);曲線/(x/)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為f(y,x)=0；點(diǎn)(》/)關(guān)于直線j=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-乂-x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線,v=-x的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為/(-y,-x)=0..曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為/(2。-x,26-歹)=0。.形如^=血名(。/0,或/片6。)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x=-N(由分母為零確定)和直線y=”(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(-。.|/(x)|的圖象先保留/(x)原來(lái)在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；/(|x|)的圖象先保留/(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到。十.函數(shù)的周期性。.類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得：①若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=a,x=b(aHb)，則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=2\a-b\;②若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心”(a,0),8(40)(a4)，則y=/(x)是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=2\a-b\;③如果函數(shù)y=f(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=b(a豐b),則函數(shù)y-/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=4|a-b|；.由周期函數(shù)的定義?函數(shù)/(x)滿足/(a+x)=-/(x)(a〉0),則/(x)是周期為。的周期函數(shù)”得：①函數(shù)/(%)滿足-/(x)=/(a+x),則/(x)是周期為2a的周期函數(shù)；②若/(x+a)=」(a/O)儂立，則7=2。;/(x)③若/(x+a)=--1-(。/0)頡立，則7=2。./(x)十一.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：an=y[a^",a"=2，，=1,loga1=0,logaa=l,Ig2+lg5=l,logex=lnx,而ah=Nolog(,N=b(a>0,a*1,2V>0),a'og",v=N,iogb="&",logmb"=—\oguba"log.aam十二.指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；(2)作差或作商法；(3)利用中間量(0或1)；(4)化同指數(shù)(或同真數(shù))后利用圖象比較。第四章導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念：f\x)=lim"x+A"一"X),導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù).-Ax.導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義：曲線/(x)在某一點(diǎn)(%,九)處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)點(diǎn)(x0,%)的切線斜率..求導(dǎo)公式C，=O(C為常數(shù))； (x")'=〃x"T；(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx;(ex)'=ex; (ax)'=axlna;(lnx)'=-; (log?x)'=-logue.x x.運(yùn)算法則如果果x)、v(x)有導(dǎo)數(shù)，為陷["(x)土v(x)T=u<x)土,[cw(x)]'=cm'(x)；[t/(x)v(x)]'=w'(x)v(x)+u(x)vV)；1號(hào)"="(A)V(.f)"⑴(v(x)JV(X).性質(zhì)：若/(x)在R上可導(dǎo)，證明：若f(x)為偶(奇)函數(shù)，則/'(x)為奇(偶)函數(shù).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：(-)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.(1)求/'(X)；(2)f\x)>0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；/'(X)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.特別注意：已知函數(shù)式求其單調(diào)性與已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍的區(qū)別.(二)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值的一般步驟..若函數(shù)/(X)有導(dǎo)數(shù)，它的極值可在方程/'(x)=0的根處來(lái)考查,求函數(shù)y=/(x)的極值方法如下：(1)求導(dǎo)數(shù)/'(X)；(2)求方程/3=0的根；(3)檢查/(X)在方程/'(X)=0的根的左右的值的符號(hào)，如果左負(fù)右正，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左正右負(fù)，那么函數(shù)歹=/(X)在這個(gè)根處取得極大值..比較函數(shù)在閉區(qū)間［a,句內(nèi)所有的極值，以及/(a)和f(b),最大者為最大值，最小者為最小值.第五章三角函數(shù)與解三角形1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱(chēng)它形成一個(gè)零角.射線的起始位置稱(chēng)為始邊，終止位置稱(chēng)為終邊.2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.3、終邊相同的角的表示：(1)a終邊與。終邊相同(0的終邊在。終邊所在射線上)=。=。+2上)(女€2),注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.a終邊與。終邊共線(a的終邊在。終邊所在直線上)。a=。+k^keZ).a終邊與。終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)=a=-。+2kMiceZ).a終邊與。終邊關(guān)于v軸對(duì)稱(chēng)=a=萬(wàn)一。+2kMlceZ).a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。a=萬(wàn)+。+2kKkgZ).(6)a終邊在x軸上的角可表示為：a=k兀,keZ;a終邊在y軸上的角可表示為：jr K7T。二女)+—,左eZ;a終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：a=——,keZ.2 24、a與掾的終邊關(guān)系：由一兩等分各象限、一二三四”確定.5、弧長(zhǎng)公式：i=\a\R，扇形面積公式：S=^lR=^\a\R2,1M(1rad)?57.3°.6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)a是任意一個(gè)角，P(x,y)是a的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是廠=5+丫2>0,那么sina=上,cosa=',tana=',(xH0),r r xcota=-(j^0).三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。y7、三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在x軸上(起點(diǎn)在x軸上廣、余弦線OM“躺在x軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)A(l,0)處(起點(diǎn)是A1三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比 yA較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。 bsJ8、特殊角的三角函數(shù)值： (、30°45°60°0°90°180°270°15°75。sinaj_2V2VV3~T010-1y/b—y/2^6+V244cosa732也~T210-10V6+V244tanaV331V30/072-V32+y/3cotaV31V33/0/02+y/32.V39、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：(1)平方關(guān)系：sin'a+cos'a=1,14-tana=sec*a.1+cot*a=esca(2)倒數(shù)關(guān)系:sinaesca=1,cosaseca=1,tanacota=1,z、?皿—— sina cosa(3)商數(shù)關(guān)系：tana= ,cota=———cosasina同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。10、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式(*/r+a)的本質(zhì)是：奇變偶不變(對(duì)左而言，指左取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)2看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把a(bǔ)看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值。1k兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin(a±/?)=sinacos0±cosasinp—令》sin2a=2sinacosacos(a±夕)=cosacos尸干sinasin0——ccos2a=cos2a-sin2aJ =2cos2a-1=1-2sin2a/,小tana±tanB 2 1+cos2atan(a±p)= =>cosa= 1+tanertan0 2? .2 1-cos2aJ sma= 2_ 2tanatan2a= 1-tarra12、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系，通?！扒谢?、第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎校?1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如a=(。+￡)—夕=(。一尸)+4,2a=(a+/?)+(a-￡),2a=(￡+a)—(尸一a),a+"2?竽,型+一名卜修訓(xùn)等).(2)三角函數(shù)名互化(切化弦)；(3)公式變形使用(tana土tan1=tan(a±/?)(l干tanatan￡);——__.2 1+cos2a., 1-cos2tz._, (4)二角函數(shù)次數(shù)的降升(降帛公式：cos'a ,sin~a= 與升皋公式：2 21+cos2a=2cos2a,l-cos2a=2sin2a);(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)；(6)常值變換主要指“1”的變換(1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan￡=sin5=...等)；(7)正余弦“三兄妹-sinx±8sx、sinxssx”的內(nèi)存聯(lián)系 “知一求二二13、輔助角公式中輔助角的確定：asinx+6cosx=J^7P\in(x+69(其中。角所在的象限由a,人的符號(hào)確定，。角的值由tan。=2確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。a14、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：TT 3乃先取橫坐標(biāo)分別為0,5,肛2%的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。15、正弦函數(shù)y=sinx(xeR)、余弦函數(shù)了=cosx(xwR)的性質(zhì)：(1)定義域：都是心-IT(2)值域：都是,對(duì)^=疝X，當(dāng)x=2版■+,(左eZ)時(shí)，y取最大值1；當(dāng)x=2%7+三化eZ)時(shí)，y取最小值-1；對(duì)y=c。sx,當(dāng)x=2%%(左eZ)時(shí)，y取最大值1,當(dāng)x=2k兀+兀(keZ)時(shí)，j取最小值-1。(3)周期性：@jv=sinxxy=cosx的最小正周期都是2%；②/(x)=Asin(?yx+(p)和27r/(x)=Ncos(@x+e)的最小正周期都是7=——.(4)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：正弦函數(shù)歹=sinx(xeH)是奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是小乃,0)(%eZ),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=%%+、(％eZ)；余弦函數(shù)^=cosx(xgR)是偶函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是|乃+|>0,eZ),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=左左(％eZ)(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線,對(duì)稱(chēng)中心為圖象與x軸的交點(diǎn)入(5)單調(diào)性：y=sinx在2k兀一三,2卜兀+%(左tZ)上單調(diào)遞增，在2k兀+號(hào)2k兀+專(zhuān)(左eZ)單調(diào)遞減；y=cosx在［2版',2版?+句(左eZ)上單調(diào)遞減，在\lkjr+),2k兀+2乃］(左eZ)上單調(diào)遞增。16、形如y=4sin(0x+e)的函數(shù)：(1)幾個(gè)物理量：A—振幅；/="一頻率(周期的倒數(shù))；<yx+夕一相位；中一初相；(2)函數(shù)］，=以皿5：+仍表達(dá)式的確定：A由最值確定；。由周期確定；°由圖象上的特殊點(diǎn)確定.TT(3)函數(shù)y=4sin?x+o)圖象的畫(huà)法：①“五點(diǎn)法” 設(shè)X=<yx+。，令X=0,—,7t,—,2tc求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法.(4)函數(shù)了=Nsin(@x+e)+A的圖象與了=sinx圖象間的關(guān)系：①函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(ip>0)或向右(ip<0用移|(p|個(gè)單位得y=sin(x+夕)的圖象；②函數(shù)y=sin(x+夕)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的—，得到函數(shù)y=sin(ox+夕)的圖象；③函數(shù)y=sin(ox+(p)CO圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到函數(shù)y=Nsin(ox+e)的圖象；④函數(shù)y=Nsin(<yx+e)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上(k>0)或向下(k<01得到y(tǒng)=4sin(<ux+°)+左的圖象。要特別注意，若由y=sin?x)得到y(tǒng)=sin(<ux+夕)的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|?■|個(gè)CD單位；(5)研究函數(shù)^=人訪(妙+8)性質(zhì)的方法：類(lèi)比于研究y=sinx的性質(zhì)，只需將y=Zsin(twx+e)中的0x+e看成y=sinx中的x，但在求y=/sin(ex+e)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和。的符號(hào),通過(guò)誘導(dǎo)公式先將?；?。17、正切函數(shù)y=tanx的圖象和性質(zhì)：7T(1)定義域：｛xIXH5+k兀,左wZ｝。(2)值域是R,在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；(3)周期性：是周期函數(shù)且周期是萬(wàn),它與直線y=。的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期萬(wàn).絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。(4)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：是奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是［券(左eZ),特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心有兩類(lèi)：一類(lèi)是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類(lèi)是漸近線與x軸的交點(diǎn)，但無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。(5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間-、+Qr,'+Qr伙eZ)內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。18、三角形中的有關(guān)公式：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形=三內(nèi)角都是銳角。，三內(nèi)角的余弦值為正值o任兩角和都是鈍角=任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：=-=號(hào)=2R(R為三角形外接圓的半徑).smAsin5sine注意：①正弦定理的一些變式：(z)(2,b\c=sinA:sin8:sinC;(n)sinJ=-^-,sin5=-^-,sinC=-^—;―2R2R2R(iii)a=2RsinA,b=27?sin5,c=27?sinC;②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：/=〃+-2bccosA,cosA=力W"等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.2bc(4)面積公式：S=4 4sinC=r伍+。+。)(其中「為三角形內(nèi)切圓半徑).如A/l8C中，若sinz/Icos2B-cos2/isin2fi=sin2C,判斷A43C的形狀(答：直角三角形>特別提醒：(1)求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意4+5+。=71■這個(gè)特殊性：A+B=7V-C,sin(A+B)=sinC,sin，丁=cosy;(2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.19、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)(要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二:一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值工第六章平面向量-.向量有關(guān)概念：.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移1.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：6,注意零向量的方向是任意的；.單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與前共線的單位向量是+至）；\AB\.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量I、b叫做平行向量，記作：5〃Z,規(guī)定零向量和任何向量平行.提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念:兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；3平行向量無(wú)傳遞性!（因?yàn)橛?）；④三點(diǎn)4B、。共線。刀、下共線；.相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-ao二,向量的表示方法：.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如茄，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；.符號(hào)表示法：用一個(gè)4當(dāng)?shù)挠⑽淖帜竵?lái)表示，如5,3,；?等；.坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、歹軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,J為基底，則平面內(nèi)的任一向量”可表示為4=%》+上/=（*,力，稱(chēng)（x,y）為向量a的坐標(biāo)=（x,y）叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三,平面向量的基本定理：如果e,和的是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)乙、乙，使斫4約+402。.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)力與向量）的積是一個(gè)向量，記作45,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：0）口耳=囚卜］,（2）當(dāng)4>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同，當(dāng)4<0時(shí)，2a的方向與a的方向相反，當(dāng)4=0時(shí)，Aa=0,注意：2a#0o.平面向量的數(shù)量積：.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量I，b，作a=Z,麗,NAOB=9（04。4萬(wàn)）稱(chēng)為向量a,Z的夾角，當(dāng)6=0時(shí)，a,b同向，當(dāng)。=%時(shí)，a,Z反向，當(dāng)。=生時(shí)，3,3垂直。2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量］,b,它們的夾角為。，我們把數(shù)量|小法|85。叫做［與3的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a*b，即5?1=同Wcos。。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。.a?b的幾何意義：數(shù)量積等于）的模］￡］與Z在）上的投影的積..向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量1，h,其夾角為。，貝!]：Q<=>4?否=0；②當(dāng)Q,b同向時(shí),a?1）=.同，特別地，q~=〃?〃=忖，,卜；當(dāng)〃與g反向時(shí),a?1）=-同W；當(dāng)。為銳角時(shí)，>0,且￡、族不同向，75>0是〃為銳角的必要非充分條件；當(dāng)。為鈍角時(shí)，5?l<o,且￡、B不反向，13<0是〃為鈍角的必要非充分條件；-*1一—一 a?b③非零向量。，6夾角。的計(jì)算公式：cose=EFi； HM④|a?5國(guó)a|向.六.向量的運(yùn)算：.幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)施=￡,正=3，那么向量工叫做￡與書(shū)的和，即a+b=AB+BC=AC；②向量的減法：用“三角形法則”：iS.AB=a,AC=b,^^i-b=AB-AC=CA,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=區(qū),必）,否=（工2，%）,則：①向■的加減法運(yùn)算：a±5=（X]±%2,必土外）。②實(shí)數(shù)與向量的積：Aa=2（x?j；l）=（2x1,/ly1）.③若4（須,必）,8（》2，%），貝（=（》2-須,歹2-凹），即一^向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。④平面向量數(shù)量積：a=x]x2+y,y2.七,向量的運(yùn)算律：.交換律：a+b=b+a, = ,a?b=b?a；.結(jié)合律：a+b+c=^a+b^+c,a-b-c=a-（^+c）,= = ；.分酉己律：（2+〃）a=Aa+/ja,A^a+Z>j=Aa+Ab,^a+b^?c=a?c+b?c?八.向量平行（共線）的充要條件：allb<^>a=Ah<^>（ab）2=（|a||6|）2 -y,x2=0.九.向量垂直的充要條件：a a-b=0<^>\a+b\=\a-h\0不々+乂%=0.特別J地，赤萬(wàn)、一布就、（同+國(guó)）M同-同）?十?線段的定比分點(diǎn)：.定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P,P2上異于P-P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)A,使P^P=XPP2，則/I叫做點(diǎn)P分有向線段而所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段證的以定比為A的定比分點(diǎn)；.Z的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P|P2上時(shí)。％>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段P|P2的延長(zhǎng)線上時(shí)=義<-1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2Pl的延長(zhǎng)線上時(shí)=-1<%<0；若點(diǎn)P分有向線段理所成的比為之，則點(diǎn)p分有向線段pm所成的比為4o.線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)勺（七,必）、巴（工2，%），P（xj）分有向線段7月所成的比為人，則

_演+Ax2X=1+?，特別地，當(dāng)4=1時(shí)，就得到線段PJ,的中點(diǎn)公式'乂+"'1+2X4-X?x=- 2乂+必o在使用定比分點(diǎn)的X4-X?x=- 2乂+必o在使用定比分點(diǎn)的V=- -’ 2十一、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2）||司一向兇區(qū)。+1”，特別地，當(dāng)￡、右同向或有6^\a+b\=\a\+\b\>||a|-|t||=|a-6|當(dāng)a、b反向或有6<=>|a-6|=|a|+l^l||a|-|6|Ha+6|當(dāng)￡、B不共線O癡|-法||<|￡±加<|￡|+向（這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似）.（3）①在MBC中，①若/（演,必）,5（工2，%），。（》3，％）<則其重心的坐標(biāo)為+X?+J-+n+%）第七章數(shù)列--數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3，…，n｝)的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.二,等差數(shù)列的有關(guān)概念：.等差數(shù)列的判斷方法:定義法aK+l-a?=d(d為常數(shù))或aH+l-a?=a,-an_x(n>2).如設(shè)｛an｝是等差n4-n4....-1_/J數(shù)列，求證：以b產(chǎn)與芻 "(〃eN*)為通項(xiàng)公式的數(shù)列｛"｝為等差數(shù)列。n.等差數(shù)列的通項(xiàng)：?！?%+(〃-1)4或%=%+(〃-.等差數(shù)列的前〃和：S“="?+%),Sn=nat+四心”。2 24.等差中項(xiàng)：若4。成等差數(shù)列，則A叫做。與6的等差中項(xiàng)，且/=9吆。2提醒：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃和公式中，涉及到5個(gè)元素：q、d、〃、勺及S.，其中q、d稱(chēng)作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2.(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d...(公差為d)；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-3d,a-4,a+",a+3d(公差為2d)三,等差數(shù)列的性質(zhì)：.當(dāng)公差dwO時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式％=%+(〃-l)d=+ 是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前〃和S”=〃《+歿辿d=,+(%_4)〃是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0..若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0,則為常數(shù)列。.當(dāng)m+〃=p+4時(shí)，則有am+an=ap+aq,特別地，當(dāng)加+〃=2。時(shí)，則有am+an=2ap..若｛a“｝、也｝是等差數(shù)列，則｛柯,｝、(晨夕是非零常數(shù))、｛明1g｝(p,geN*)、S〃,S21t-Sn,Sin-S2n，…也成等差數(shù)列，而｛/｝成等比數(shù)列；若｛%｝是等比數(shù)列，且>0，則｛lga“｝是等差數(shù)列..在等差數(shù)列｛4｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，S儲(chǔ)一5奇=〃d;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃—1時(shí)，S奇一S偶=。中,邑"-1=（2〃-1）闈中（這里a中即q,）；S奇：5偶=〃：（〃一1）。A.若等差數(shù)列｛a,J、｛a｝的前〃和分別為4、4,且士=/（〃），則.“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組°（或I*＜。］確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或l??+i4Me20J非正）；法二：因等差數(shù)列前〃項(xiàng)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*。.如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究%=如四.等比數(shù)列的有關(guān)概念：.等比數(shù)列的判斷方法：定義法限=g（q為常數(shù)），其中4#0,%#0或孰=&（〃22）。4%.等比數(shù)列的通項(xiàng)：4= 或4=a/"-..等比數(shù)列的前〃和：當(dāng)夕=1時(shí)，S.=叫；當(dāng)#1時(shí)，］=絲二心=與照i-ql-q特別提醒：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前〃項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)4分4=1和4Hl兩種情形討論求解。.等比中項(xiàng)：若a,46成等比數(shù)列，那么A叫做。與6的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何I兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)土J法。提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃和公式中，涉及到5個(gè)元素：q、q、〃、a”及S“，其中q、q稱(chēng)作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，-^,-,a,aq,aq2...(公比為4)；但偶數(shù)個(gè)qq數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公qq比為二..等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)加+〃=p+g時(shí)，則有%?%=%,q,特別地，當(dāng)加+〃=2p時(shí),則有冊(cè)-an=ap2.(2)若｛4｝是等比數(shù)列，貝U｛|a〃|｝、*｝(p,qeN*)、#4｝成等比數(shù)列；若｛%｝、也,｝成等比數(shù)列，則｛。也｝、｛務(wù)｝成等比數(shù)列；若也｝是等比數(shù)列，且公比夕工-1,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也是等比數(shù)列。當(dāng)q=-1,且〃為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列S“,S2“-S”S30-S2 是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.(3)若4>0,夕>1,則｛??｝為遞增數(shù)列；若4<0,4>1,則｛4｝為遞減數(shù)列；若4>0,0<q<1,則｛%,｝為遞減數(shù)列；若％<0,0<q<l,則｛a“｝為遞增數(shù)列；若q<0,則｛為｝為擺動(dòng)數(shù)列；若4=1,則｛%｝為常數(shù)列.(4)當(dāng)時(shí)，S"=3q"+-^-=aq"+b,這里a+b=0，但a#0,6Ho,這是等比數(shù)列i-qi-q前〃項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)斗，判斷數(shù)列｛%｝是否為等比數(shù)列。⑸乂+小黑+夕節(jié)廣工+心一(6)在等比數(shù)列｛a,,｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，5偶=?奇；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1時(shí)，S奇=%+qS偶.(7)如果數(shù)列｛4｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列出,｝是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列｛a,J僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。五.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.⑵已知S,(即/+%+―+%=/(〃))求。“，用作差法：。"=俁'；?(〃22)。f/(l),(?=l)⑶已知qq=/(〃)求a”，用作商法：a?=\/(?)/?>[方寸)⑷若4+i-a“=/(〃)求an用累加法：a“=(a“-3)+(a?^-an_2)+---+(a2-a,)+a,(n>2).⑸已知%!=/(〃)求a“，用累乘法：a“=/J.馬叢 ”?《(”22)。an an-\an-2%⑹已知遞推關(guān)系求%,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地,(1)形如%=k%+b、an=ka^+b"(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為人的等比數(shù)列后，再求.注意：(I)用*=S"-S'-求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？(〃N2,當(dāng)〃=1時(shí)嗎=SQ(2)-般地當(dāng)已知條件中含有a“與S,,的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式a,,=Sn-S“7,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含。"或S”的關(guān)系式，然后再求解。六.數(shù)列求和的常用方法：.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類(lèi)討論.；③常用公式：1+2+3+…+〃=^〃(〃+1),『+2?+…+〃2 (〃+1)(2〃+1),13+23+33+…+〃3=[ 1)]2..分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合在在一起，再運(yùn)用公式法求和..倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法)..錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法)..裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：1=1__L_n(n+1)n〃+1<—< = <—―< -

k左+1(%+1)左k2(<—<=-[〃(〃+l)(〃+2)2〃(〃+l)(“+1)(〃+2)

n_1 1=-[2(Vh+1-y/n)=-j=~~2[ <-4=<—7=~~2] =2(>/n-y/n-l).+lyjnyln+vn-l第八章不等式-.不等式的性質(zhì)：（1）對(duì)于實(shí)數(shù)“c中，給出下列命題：②若如2>從2,則4>6；②若如2>從2,則4>6；④若a<b<0,則,<工；ab?若a<b<0,則時(shí)>|Z>|;⑧若a>b,—>—，則a>0,h<0oab（答：②③⑥⑦⑧）③若a<b<0,貝舊>ab>〃；⑤若a<6<0,則2>@;ab⑦若c>a>b>0,貝I]a> ；c—ac—b其中正確的命題是二.不等式大小比較的常用方法：.作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；.作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；.分析法；.平方法；.分子（或分母）有理化；.利用函數(shù)的單調(diào)性；.尋找中間量或放縮法；.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大,積定和最小”這17字方針.四.常用不等式有：（1）2旦尹>V^>[（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；a+b（2）〃、b、ceR,a2+Z?2+c2>ab+bc-^-ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)）；（3）若a>6>0,%>0,則2<小”（糖水的濃度問(wèn)題\aa+m五.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與I的大小，然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有：-一一二=二二<4（下二=一1一2n〃+1 +nn（n-l）n-1nJ—+1- ——] -產(chǎn)<—尸<—] -產(chǎn)=yfk-+1〃+1+避2y/kyJk-\^yjk六.一元一次不等式的解法：通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等步驟化為〃的七.一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象\尤其當(dāng)△=0和△<0時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？設(shè)a>0,X,々是方程*2+bx+c=0的兩實(shí)根，且作，則其解集如下表：ax2+c>0ax2+4-c>0 ax2+bx+c<0ax2+bx+c<0

△>0{x1X<X］或X>工2}{x|x<XjH!6X>X2}{x|x,<x<x2}{x|Xj<x<x2}\-()r, b、{x|x*--)2aR。{x|x=一，}2a△<0RR0。A.對(duì)于方程a?+&+c=()有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)a是否為0,其次若a#0,則一定有A=/-4acN0.對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？九.一元二次方程根的分布理論。方程/(x)=/+云+c=o(a>O)在/,+oo)上有兩根、在(八〃)上有兩根、在(-8,左)和伏,+00)上各有一根的充要條件分別是什么?有兩根、A>011(a>0)w~*nA>011(a>0)w~*nkx\JIA>0/(*)>0、b-->k2af(m)>0/(?)>0bm<——<n2a、/(左)<0I根的分布理論成立的前提是開(kāi)區(qū)間，若在閉區(qū)間［加,〃］討論方程/(X)=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間(加,〃)上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令X=〃和X=〃?檢直端點(diǎn)的情況.十.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是:(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)/(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。十一.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。十二.絕對(duì)值不等式的解法：分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的井集)：(2)利用絕對(duì)值的定義；(3)數(shù)形結(jié)合；(4)兩邊平方：十三.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是…二注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.十四.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：a、6同號(hào)或有0<=>|a+b|=|a|+|b|N ；a、6異號(hào)或有0o|a-6H0l+|6|。||a|-四|=|0+6卜十五.不等式的恒成立.能成立.恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法).恒成立問(wèn)題若不等式/(x)〉/在區(qū)間。上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間。上/(x)mjn>A若不等式/(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間。上/(x)1rax<B.能成立問(wèn)題若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(x)>/成立則等價(jià)于在區(qū)間。上/(x)g>A；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的/a).<B..恰成立問(wèn)題若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)>A的解集為D；若不等式/(x)<B在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式/(x)<B的解集為D.第九章立體幾何1.多面體與旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)，側(cè)面積，體積.多面體：棱柱，棱錐，棱臺(tái)(正棱柱，正棱錐，正棱臺(tái)，正四面體)旋轉(zhuǎn)體：圓柱，圓錐，圓臺(tái)，球(1)要掌握幾何體的性質(zhì)(2)能將側(cè)面展開(kāi)，會(huì)求側(cè)面積.(3)掌握體積公式.柱體的體積V=Sh；錐體的體積y=^Sh；臺(tái)體的體積K=1%(電+斥+52)4(4)球的體積和表面積公式：V=§瘀,S=4兀R?。特別注意：①正三棱錐與正四面體的聯(lián)系與區(qū)別；②棱與側(cè)棱的區(qū)別；③面對(duì)角線與體對(duì)角線的區(qū)別；幾類(lèi)特殊的平行六面體：｛平行六面體｝?｛直平行六面體｝三｛長(zhǎng)方體｝三｛正四棱柱｝?｛正方體｝；2、直觀圖的畫(huà)法(斜二側(cè)畫(huà)法規(guī)則)3.三視圖學(xué)員自行掌握就可，新高考已不作為考查內(nèi)容，但是對(duì)于理解空間幾何體有幫助。4、空間點(diǎn)、直線、平面間的關(guān)系三個(gè)公理和三條推論：公理1：是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。公理2、證多點(diǎn)共線和找兩面交線的方法，公理3：公理3和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)。5.空間直線的位置關(guān)系：平行，相交，異面.6、異面直線所成角。的求法：(1)范圍：^e(O,y］；(2)求法：子移(中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法)a-h(3)向量法(主要使用建立空間坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式：cos。=re(絕對(duì)值)I+H7直線與平面的位置關(guān)系：平行，相交，在平面內(nèi).8、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：9、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：10,了解三垂線定理及逆定理：正定理：面內(nèi)的直線與斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。在高考中可以直接使用。11、直線和平面所成的角：(1)定義：(2)范圍：［0。,90］；(3)求法：12、平面與平面的位置關(guān)系：平行，相交，(垂直).13、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：14、二面角：(1)作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，然后作一線連一線證一線得出平面角；③垂面法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；(2)二面角的范圍：［0,萬(wàn)］；(3)二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式S射=5原-cos。,其中0為平面角的大小.③法向量法：建空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后使用公式.15、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：(1)判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.(2)性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：線〃線＜~＞線〃面＜—＞面〃面判定■＞線上線＜—＞線,面＜_＞面，面＜性質(zhì)線〃線*~＞線_1_面＜_＞面〃面16、空間距離的求法：(特別強(qiáng)調(diào)：優(yōu)先考慮向量法。立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“T乍，二證，三計(jì)算”的原則)(1)點(diǎn)到直線的距離：一般作出垂線再求解.(2)點(diǎn)到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來(lái)作垂線，其中過(guò)已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；③等價(jià)轉(zhuǎn)移法.(3)直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。17、空間向量：(1)空間向量及其運(yùn)算①空間向量的加法與減法，數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律和平面向量類(lèi)同.②共線向量(也叫平行向量)：a//boa=九b(bx0)@a-b=\a\-\b\cos(a-bi,ab=/＞?;?=a;aA.ba-b=0―? 1―＞―? ―＞ 1-? ―＞ —＞中點(diǎn)向量PM=3(PZ+PB)(M為線段AB的中點(diǎn))JG為MBC重心則PG=§(PA+PB+PC)(2)空間角與距離的向量解法：①異面直線所成的角.設(shè)4ea,Bea,Cwb,Deb，且直線a與b是異面直線，則(AB,可就是異面直線。與6所成的角或它的補(bǔ)角；②二面角:設(shè)a,0是二面角a-2一夕的兩個(gè)面，加，〃分別是a,/?的法向量，當(dāng)這兩個(gè)法向量的方向都指向二面角的內(nèi)部或外部時(shí)則這個(gè)二面角的大小是乃-(7,1)；當(dāng)這兩個(gè)法向量的方向一個(gè)指向二面角的內(nèi)部另一個(gè)指向外部時(shí)，則這個(gè)二面角的大小是(2,1);③直線與平面所成角。：設(shè)直線與平面交點(diǎn)為A,P為直線上的點(diǎn)，P點(diǎn)到平面的距離為d,則sin。。其中P點(diǎn)到平面的距離d可以用法向量法求出。④點(diǎn)到平面的距離：P為平面外一點(diǎn)，A是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，；是平面的法向量，則P點(diǎn)到這\PA-n個(gè)平面的距離是1=17-(3)空間位置關(guān)系的向量解法：①三點(diǎn)N、B、。共線=②兩線平行48//CDoAB=ACD；③兩線垂直力8_LCO=ABCD=0;④兩平面垂直：設(shè)加,〃分別是平面夕的法向量,那么a_L￡u>〃z?n=0第十章直線和圓-.直線的傾斜角：.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線/,如果把X軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線/重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為a，那么a就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線/與X軸重合或平行時(shí),規(guī)定傾斜角為0；.傾斜角的范圍［0,外二.直線的斜率：.定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率左,即左=tana(a#90°)；傾斜角為90。的直線沒(méi)有斜率；.斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)匕區(qū),乂)、8(^，:^的直線的斜率為左二廿二紅伉/吃)；x}—x2.直線的方向向量￡=(1?),直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？.應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：kAB=kBc.三,直線的方程：.點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)(%,%)斜率為左,則直線方程為y-%=%(x-x0),它不包括垂直于X軸的直線。.斜截式：已知直線在了軸上的截距為6和斜率左，則直線方程為y=h+入它不包括垂直于x軸的直線。.兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)4(演,乂)、h?,%)兩點(diǎn)，則直線方程為三二,它不包V2f X2-Xl括垂直于坐標(biāo)軸的直線。.截距式：已知直線在x軸和v軸上的截距為a,b，則直線方程為-+^=1,它不包括垂直于坐標(biāo)ab軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。.一般式：任何直線均可寫(xiě)成4x+a+C=0(A,B不同時(shí)為0)的形式。.設(shè)直線方程的一些常用技巧：.知直線縱截距6,常設(shè)其方程為歹=h+6；.知直線橫截距天，常設(shè)其方程為x=叩+x°(它不適用于斜率為0的直線);.知直線過(guò)點(diǎn)(x0,%),當(dāng)斜率后存在時(shí)，常設(shè)其方程為y=%口-%)+外,當(dāng)斜率%不存在時(shí)，則其方程為X=Xo;.與直線l:Ax+By+C=0平行的直線可表示為Ax+By+C}=0；.與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線可表示為Bx-Ay+Q=0.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解..點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：, -Axn+Byn+C1?點(diǎn)尸（方,打）到直線4x+8y+C=0的距離d=—北 " ;y/A2+B22.兩平行線4:Zx+為+G=0/：“X+坊+G=0間的距離為d=,>Ja2+b2六.直線/,:4x+gy+G=0與直線/2:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系：1.平行。4為-44=0（斜率）且瓦。2-4。尸0（在y軸上截距）；.相交。4一—48戶0；.重合<=>A]B?-A2B1=0且3c2一B2cl=0。ARC A R ARC提醒：。）多二心工》、T?！?、—=?=》僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必A2B2C2 a2 b2 a2d2C2要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線4：4x+qy+G=o與直線12:A2x+B）y+C2=0垂直<=>44+B\B,=00七.（了解）到角和夾角公式：1.4到的角是指直線4繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線4重合所轉(zhuǎn)的角。，。￡（0,乃）且k一ktan^=2 1（k^工一1）；+攵*22）4與4的夾角是指不大于直角的角仇。€（0,當(dāng)且tan0=|k\k'|（秘，H-l）。2 1+占42八.對(duì)稱(chēng)（中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)）問(wèn)題——代入法；九.圓的方程：.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-6）2=/。.圓的一般方程：V+/++&+b=0（D2+E2-4F>0）,特別提醒:只有當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程Y+/+反+4+尸=0才表示圓心為（-y,-1）,半徑為:后三17二石的圓（二元二次方程+8盯+02+OX+EV+77=0表示圓的充要條件是什么？（力=。00,且8=0且￡>2+￡2-4/lF>0））；.圓的參數(shù)方程：[:筮；器,（。為參數(shù)），其中圓心為（。向,半徑為，圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2+y2=r2—>x=rcos^,^=rsin^;x2+y2<t-?x=rcos0,y=rsin0[0<r<4t）o4.以A（須,乂）,8（工2,歹2）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為（xf卜一七升卜一耳燈一必然。5過(guò)p（“。，比）點(diǎn)的切線方程為&一。廉一。）+卜—6加一勸二外十?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)M（Xo，%）及圓C：（x-a『+（y-6）2=/（尸>0）,.點(diǎn)M在圓C外<=>[CM|>尸<=>（%0—。）~+（打一67>尸2；.點(diǎn)M在圓C內(nèi)<=>|CM|<r<=>（/-q）~+（%）—6）*<r2；.點(diǎn)M在圓C上<=>|CM|=r<=>（x0_Q）~+（，o—8）~=r2o直線/:4x+8y+C=0和圓C：（x—a）2+（y—6）2=r2a>o）有相交、相離、相切.可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：.代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：A〉0=相交；A<0=相離；△=0o相切；.幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r=相交；d〉ro相離；d=r。相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。十二.圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：已知兩圓的圓心分別為Oy02,半徑分別為4月，則(1)當(dāng)。。2|>4+々時(shí)，兩圓外離；(2)當(dāng)。。2|=4+々時(shí)，兩圓外切；(3)當(dāng)X|<|002|<|4+RI時(shí),兩圓相交；(4)當(dāng)1001=0-41時(shí)，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)00002|<|《一為|時(shí)，兩圓內(nèi)含.十三.圓的切線與弦長(zhǎng)：.切線：①過(guò)圓/+/=爐上一點(diǎn)P(x。,%)圓的切線方程是：xx0+yy0=R2,過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=斤上一點(diǎn)Pg,/)圓的切線方程是：(x-a)(x0-a)+(y-h\y0-b)=R2,一般地,如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑)；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來(lái)求；③過(guò)兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦”)方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程；③切線長(zhǎng)：過(guò)圓工2+/+m+a+尸=0((x-+(y-bp=W)外一點(diǎn)尸(X。,％)所引圓的切線的長(zhǎng)為Jx()2+%2+￡%+￡%+/(J&-4+(%-力52)..弦長(zhǎng)問(wèn)題：①圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距"，弦長(zhǎng)一半La及圓的半徑，?所構(gòu)成的直角三角形2來(lái)解：r2=d2+(^a)2；②過(guò)兩圓C1：/(x,y)=0、G：g(x，?)=。交點(diǎn)的圓(公共弦)系為f(x,y)+Ag(x9y)=0，當(dāng)a=-1時(shí)，方程/(x,y)+2g(x,y)=0為兩圓公共弦所在直線方程第十一章圓錐曲線1.圓錐曲線的定義：橢圓：一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)F「F2的距離的和等于常數(shù)2a,且2〃一定要大于陽(yáng)行|；當(dāng)常數(shù)等于閨用時(shí)，軌跡是線段F^2；當(dāng)常數(shù)小于閨用時(shí)，無(wú)軌跡。雙曲線：與兩定點(diǎn)F?,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a,且2。一定要小于|F,F2|,定義中的“絕對(duì)直'與2a＜田聲2|不可忽視。若2a=|F?F21,則軌跡是以F,,F2為端點(diǎn)的兩條射線；若2a＞但尸2|,則軌跡不存在;若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。拋物線：平面上一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡。注意：解題時(shí)要盡量多的考慮使用定義。2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）2 2（1）橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí)±7+4=1（。＞6＞0）;a~bv2x2焦點(diǎn)在歹軸上時(shí)彳+二=1（a＞b＞Q1

ah（2）雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)W-《=l（。＞0;6〉0）；b.焦點(diǎn)在J,焦點(diǎn)在J,軸上時(shí)與-二=1

aba>0;b>0X.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由x2/2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。（2）雙曲線：由X2,歹2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。特別提醒：①在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F「F2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)6,確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向.②在橢圓中，a最大，a2=b2+c2；在雙曲線中，c,最大，c?=/十心.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)橢圓(以W+匯=1(a>b〉O)為例)：ab①范圍：-aWxWa,-bWy&b;②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)(±c,0)；③對(duì)稱(chēng)性：兩條對(duì)稱(chēng)軸x=O,y=0,一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(0,0),四個(gè)頂點(diǎn)(±a,0),(0,±6),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b；④離心率：e=—(0<e<1);e越小,橢圓越圓。a.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交：△>0。直線與橢圓相交；>0=>直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有△>0,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故△>0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；>0=>直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有△>0,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故△〉0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。特別提醒：①直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物線相交，也只有一個(gè)交點(diǎn);②過(guò)拋物線夕1點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線.6、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)常見(jiàn)問(wèn)題：定義和正弦、余弦定理求解。二、弦長(zhǎng)公式：若直線V=丘+6與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且x”x?分別為A、B的橫坐B(niǎo)的縱坐標(biāo)，則?用標(biāo),則M卸=Jl+k2|xj-x2\,B的縱坐標(biāo)，則?用三、中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。特別提醒：因?yàn)锳〉。是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)A〉0!!!.你了解下列結(jié)論嗎？2 2 2 2(1)雙曲線二-4=1的漸近線方程為0一々=0;a2b1 a1b2(2)以y=±9x為漸近線(即與雙曲線二一片=1共漸近線)的雙曲線方程為巨_="2-a a2b2 a2b2為參數(shù)，力知)；.動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：(1)求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；(2)求軌跡方程的常用方法：I、直接法：直接利用條件建立xj之間的關(guān)系b(x,y)=0；H、待定系數(shù)法：已知所求曲線的類(lèi)型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)；in、定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；11、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：(1)給出直線的方向向量〃=(a,6),一般地轉(zhuǎn)化為斜率％=-；a(2)求角可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角，如求異面直線所成的角，二面角等。第十二章排列、組合和二項(xiàng)式定理I.排列數(shù)公式MI4；=〃(〃一］)(〃_2)???(〃_m+1)= :——(/M<n)；4二=〃！=〃(〃-1)(〃_2)???2?1。(n-m)\組合數(shù)公式C：=，/ 、,(D;規(guī)定0!=1,C：=l.4：C：=，/ 、,(D;規(guī)定0!=1,C：=l.元一—w(w-l)……2-1(了解)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)①c：=C：-"'；②—B；③y=心；④。+/+?+?”=/：；⑤〃?加=(〃+1)!-〃！;?n1 1@ = .(〃+1)! 〃！(〃+1)!.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類(lèi)相加(每類(lèi)方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果,只需一種方法就能完成這件事)，分步相乘(一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的)，有序排列，無(wú)序組合..解排列組合問(wèn)題的方法有：(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置X(2)間接法(對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉)).(3)相鄰問(wèn)題捆綁法(把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列\(zhòng)(4)不相鄰(相間)問(wèn)題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可