三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用O是ABC的重心OAOBOC0.若O是ABC的重心,PGS則PABOCPBSAOCO是ABC的重心OAOBOC0.若O是ABC的重心,PGS則PABOCPBSAOCPC)AOB1OABC____3故OAOBOC0.ABC的重心.O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA若O是ABC（非直角三角形）的垂心，則SBOC?Saoc-SaobtanA:tanB:tanC故tanAOAtanBOBtanCOC0222sin2A:sin2B:sin2C3,O是ABC的外心|OA||OB||。3(sin2A:sin2B:sin2C若0是ABC的外心則Sboc：Saoc：SaobsinBOCsinAOC：sinAOB故sin2AOAsin2BOBsin2COC0ABACBABCOA()OB()4.O是內(nèi)心ABC的充要條件是|AB|AC|BA||BC|——CAOC(|CA|ABACBABCOA()OB()4.O是內(nèi)心ABC的充要條件是|AB|AC|BA||BC|——CAOC(|CA|CB)0|CB|引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記AB，BC，CA的單位向量為。，電,備，則剛才O是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成0A（e1e3）OB（e1e2）OC（e2e3）ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOAbOBcOC0若O是ABC的內(nèi)心，則SAOC-SAOBa-b-C故aOAbOBcOCQ<sinAOAsinBOBsinCOC0.|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P是ABC的內(nèi)心;向量（上邑-AJ）（0）所在直線過ABC的內(nèi)心（是BAC的角平|AB||AC|分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查.O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的動(dòng)點(diǎn)POPOAABAC、詞句)’0,則P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的（(A)外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槠帐窍蛄緼B的單位向量設(shè)Q與云C方向上的單位向量分別為AB

OPOAAP,則原式可化為AP（ee2）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分BAC,那么在ABC中，AP平分BAC,則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HAHBHBHCHCHA點(diǎn)H是△ABC的垂心.由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,（反之亦然（證略））PCpA,則P是△ABC勺(D)（反之亦然（證略））PCpA,則P是△ABC勺(D)例3.（湖南）P是△ABCff在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由pApBpBpC得pApBpBpC0.即pB(pApc)0,A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由pApBpBpC得pApBpBpC0.即pB(pApc)0,即pBcA0則PBCA,同理PABC,PCAB所以P為ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GAgbGC=0點(diǎn)G是△ABC的重心.證明作圖如右，圖中GBGCGE連結(jié)BE和CEWJCE=GBBE=GCBGC時(shí)平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，線.將gBgcgE代入gAgbgc=0,得GAEG=0GAGE2GD,故G是△ABC勺重心.（反之亦然（證略）例5.P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△ABC的重心pG1（pApB3證明PGPAAGPBBGPCCG3PG（AGBGCG）（PAPBPC）.G是△ABC的重心/.GAGBGC=0AGBGCg=0,gp3PGPAPB由此可得pG1（pApBpc）.（反之亦然（證略））3例6若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OAOBOC0,則O是ABC的（AD為BC邊上的中PC).PCA.內(nèi)心心D.重解析：由OAOBOC0得OBOCOA,如圖以O(shè)BOC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則—一一一1一OBOCOD,由平行四邊形性質(zhì)知OE-OD,OA2OE,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA,Ob..OC,,則O是ABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是ABC的外心，選B。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.已知向量op1,op2,op3滿足條件op?+op2+op3=0,|鬲|=|或|=|op3|=1,求證^PiP2P3是正三角形.（《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明由已知op?+op2=-op3,兩邊平方得op?-OP^=-,21同理OP2?OP3=OP3-OPi=-,2??|p?p2|=|p2p3|=|PK|=石，從而△pF2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形△PiP2P3的中心，則顯然有OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP2|=|OP3|.即O是△ABCf在平面內(nèi)一點(diǎn),OPi+OP2+OP3=0JL|OPi|=|OP2|=|OP3|點(diǎn)O是正△PiP2P3的中心.例9.在△ABC中，已知QGH分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：QGH三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0）、B（xi,0）、C（X2,y2）,DE、F分別為ABBCAC的中點(diǎn),則有："70）、E（T與、FW，BC(X2Xi,y2)vAHBC"70）、E（T與、FW，BC(X2Xi,y2)vAHBCAH?BCx2(x2x1)y2y40x2(x2x1)y4y2「QFAC(x2,y4)QFy2(0QF?ACx2(x22y2(y2y3*2(x2x1)y22x1/2xx1/2x2x1QH(x2￡,y4y3)(―2—3x2(x2xi)均2y22)QG(x^1

3(2x2XQG(x^1

3(2x2Xi

6Xiy2、(,—y3)(233x2(x2x1)6y22X2Xiy2—6一1TN2、1/2X2至)3—X2(X2Xi)當(dāng)—2yl一萬(wàn)Xi3X2(X2Xi)y22y21一=-QH3即QH=3QG，故QGH三點(diǎn)共線，且QGGH=i：2例i0.若O、H分別是△ABC的外心和垂心.求證OHOAOBOC.證明若AABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)ARCDADAB,CDBC.又垂心為H,AHBC,CHAB,?.AH//CDCH//AR???四邊形AHCM平行四邊形，Ah'DCDOOC,故OHOaAHOaObOc.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(i)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題.例ii.設(shè)QGH分別是銳角△ABC的外心、重心、垂心.求證OG-OH3證明按重心定理G是△ABC的重心oG-(oAoBoC)3按垂心定理OHOaOboc由此可得og10H.3一、“重心”的向量風(fēng)采【命題i】G是4ABC所在平面上白一點(diǎn)，若GAGBGC0,則G是△ABC的重心.如圖(1).圖⑴【命題2】已知0(1).圖⑴【命題2】已知0是平面上一定點(diǎn),圖⑵AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA(ABAC),(0,)，則P的軌跡一定通過△ABC的重心.【解析】由題意而(ABAC),當(dāng)(0,)時(shí)，由于(麗云C)表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心，如圖⑵二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】P是4ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCPCPA,則P是4ABC的垂心.【解析】由PA而而無(wú)，得PB(PApc)0,即由CA0,所以PB^CA.同理可證PC±AB,PA±BC.P是△ABC的垂心.如圖⑶.B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABAB|COSBAC，ACcosC(0,),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABAB|COSBAC，ACcosC(0,),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的垂心.【解析】由題意APABABcosBACACcosCABABcosBACACcosC?竺?BC|BC扇0,所以靠表示垂直于近的向量，即P點(diǎn)在過點(diǎn)A且ABcosBACIcosCABcosB垂直于BC的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的垂心，如圖⑷.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】已知I為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且ABc,ACb,BCa.若alAbIBcIC0,則I是AABC的內(nèi)心.圖⑹【解析】VIBIAAB,ICIAAC,則由題意得(abc)IAbABcAC0,bABcACACABABACACAB"AC1ABAC'AIbcABAC..ABabcABAC與WC分別為AB和無(wú)方向上的單位向量,Iac.???AI與/BAC平分線共線，即AI平分BAC.同理可證：BI平分ABC,CI平分ACB,從而I是AABC的內(nèi)心，如圖⑸.【命題6】已知O是平面上一定點(diǎn),AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAABACABiiAC(0,),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.【解析】由題意得APABACAB當(dāng)(0,)時(shí)，AP表示BAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心,如圖⑹.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】已知O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA222OBOC,則。是△ABC的外心.，2CBP【解析】若OA-2—2…■OBOC,則OA外心，如圖⑺?！久}7】已知O是平面上的一定點(diǎn),OBOC圖⑻，.二OAiQBiOCi,則。是4ABC的B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足一OBOCOP2ABACABcosBACcosC(0,),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心?！窘馕觥坑捎?B0c過BC的中點(diǎn),當(dāng)（0,）時(shí),2ABABlcosBACACcosC表示垂直于動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過BC的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以P在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心，如圖⑻。補(bǔ)充練習(xí)P滿足1.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABCP滿足OP=1(1OA+1OB+2OC),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的322A.AB邊中線的中點(diǎn)C.A.AB邊中線的中點(diǎn)C.重心B.D.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）AB邊的中點(diǎn).B取AB邊的中點(diǎn).B取AB邊的中點(diǎn)M則OAOB2OM,由OP30P30M2MC,???加2MC,即點(diǎn)P為三角形中3點(diǎn)P不過重心，故選B.1—=—（—OA+—OB+2OC）可行322AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且2.在同一個(gè)平面上有ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：OA+BCOB+CA=OCABA外心B內(nèi)心重心D垂心2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、ABA外心B內(nèi)心重心D垂心2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：PAPBPC0,貝UP為ABC的A3.C外心B內(nèi)心已知O是平面上C定點(diǎn),重心D垂心A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足:OPOA（ABAC）,則P的軌跡一定通過^ABC的A外心A外心B內(nèi)心C重心D垂心.已知△ABCP為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足:PA?PCPA?PBPB?PC0,則P點(diǎn)為三角形的A外心A外心B內(nèi)心C重心D垂心PAbPBc?PCPAbPBc?PC0,貝UP點(diǎn).已知△ABCP為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：a為三角形的外心B內(nèi)心C重心垂心6.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足:——2CA——2CB2AB?CP,則P點(diǎn)軌跡一定通過^ABC的:B）外心B內(nèi)心C重心垂心ABACa廠麗AC1…人一.已知非零向量ABWAC商足（—_|-+-—^-）-BG=0且一^?信-=2,則4ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形ABAC解析：非零向量與潴足（A--^^）?=0,即角A的平分線垂直于BC,「.AB=AC,又|AB||AC|cosA&-A±=；,ZA=-,所以△ABC為等邊三角形，選D.|AB||AC|一—xAByAC=一—xAByAC=—(ABAC),.ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OHm（OAOBOC）,則實(shí)數(shù)m=1.點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOBOBOCOCOA,則點(diǎn)O是ABC的（B）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn).如圖1,已知點(diǎn)G是ABC的重心，過G乍直線與AB,AC兩邊分別交于MN兩點(diǎn)，且麗xAB,得AG點(diǎn)G是ABC得AG點(diǎn)G是ABC的重心，知GAGB(ABAG)(ACAG)0,有AGGCO1--（ABAC）。又M,N,G二點(diǎn)共線（A不在直線MN3于是存在，，使得AGAMAN（且1),有AG有AG1、課前練習(xí)一222已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OAOBOC,則O是AABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心在△ABC中，有命題①ABACBC；②而BCCA0；③若ABAC?ABAC0,則△ABC^J等腰三角形；④若AB?AC0,則△ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是〔〕A、①②B、①④C、②③D、②③④例1、已知△ABC中，有ABAC?BC0和坐？笛L例1、已知△ABC中，有AB練習(xí)1、已知△ABC中，ABa,BCb,B是練習(xí)1、已知△ABC中，ABa,BCb,B是AABC中的最大角，若a?b0,試判斷△ABC的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題2222例2、已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足〔OA|bc||oB|ac|O是4ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題,,21,2pc網(wǎng)，則例3、已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足OPOAAB