傅里葉變換與傅里葉級數(shù)

重溫傅里葉一筆記篇本文記錄的大多是基礎的公式，還有一些我認為比較重要的有參考價值的說明。（如果對這些公式已經(jīng)很熟悉，可以直接看第三部分：總結(jié)性說明）重溫傅里葉一筆記篇一、傅里葉級數(shù)$關于三角函數(shù)系的正交性：三角函數(shù)系包括：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,正交性”是說，三角函數(shù)系中的任何一項與另一項的乘積，在（-71,兀區(qū)間的積分為0。（任何兩相的積總可以展成兩個頻率為整數(shù)倍基頻的正余弦函數(shù)之和或差，而這兩個展開后的正余弦在（-71,小積分都為0）。不同頻率（但都是整數(shù)倍基頻）的兩個正弦函數(shù)之積，在（-71,比積分恒為0。同頻率的兩個正弦函數(shù)之積，只有在這兩個正弦的相位正交時，其在（-兀，加積分才是0。三角函數(shù)系中除“以外的任何一項的平方，在（-71,由的積分恒為兀，“住這個區(qū)間上的積分為2兀。$上公式?、佼斨芷跒?兀時：式（1）:=-+￡（邑cos期+dsinnx）2n-l%==工|f〈Gdx1r3——f（y）cosnxdxXJ-1摩;b——\fix}sinnxdx上式成立的條件是f(x)滿足狄立克雷充分條件：在任意有限區(qū)間連續(xù)，或只有有限多個第一類間斷點；任意的有限區(qū)間，都可被分成有限多個單調(diào)區(qū)間(另一種說法是：任意有限區(qū)間只有有限多個極值點，其實是一樣的)

式(1)第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只對f(x)是連續(xù)函數(shù)的情況成立；如果f(x)不連續(xù)，則應表示成“(1/2)x[f羽+f(x+0)]”，即f(x)左右極限的算術(shù)平均。下面的類似情況都是這樣，之后就不再專門說明，這些大家應該都懂。第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n,……(都為正，且不包含0)。②當周期為2L時(這也是最一般的情形)式(2)=—+Vacos(門——x)+asin(n—x)jn=lLLjf(x)cos(門一上jf(x)cos(門一上第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n,……(都為正，且不包含0)。

$傅里葉級數(shù)的復數(shù)表達方式同樣設周期為2L。根據(jù)歐拉公式，正余弦函數(shù)都可以用復指數(shù)表示出來。這樣上面式(2)中的第一行:十H十工+8十藝J7-1cos(n—x)bn十H十工+8十藝J7-1可以表示為:(■R

jn—jteLzJl=l:2上電J之

L-3口1an-ib^+ib^/j?_「jr___三_「9-Ljj?-c-rt2-ji式(5)Cn與C-n互為共軻。這樣式（4）變?yōu)?一工JJJ-JTf（x）=%+Eq」+5D=1；式(6^)若將上式中的第一項。?？醋觯瑒t上式可重寫為：一工」不上犬?）=￡%一門=一工由式（5）和式（2）中對a0b0anbnC0C-n的定義，可以發(fā)現(xiàn)Cn可統(tǒng)一表達為:,7f(x)eL必r(其中4-0^±1,±2?±3^±4?)

將傅里葉級數(shù)用復數(shù)表示后，就是式（6）和式（7）這樣簡潔的形式。簡單分析:①俾里葉級數(shù)轉(zhuǎn)變成復數(shù)形式后，原來每一項中的：,ancos(n—X)+bsin5ancosLL)都被分為正、負兩個頻率的波：，都被分為正、負兩個頻率的波：，-jzr-x+JFL只不過這兩個頻率的振幅4%都不再是實數(shù)，而是一對共施復②若f（x）為偶（或奇）函數(shù)，則所有的bn（或an）將為0,此時的Cn將變?yōu)閷崝?shù)（或純虛數(shù)），且an（或bn）是轉(zhuǎn)換后所得的Cn的2（或2i）倍，而C-n與Cn相等（或純虛共軻）。二、復變函數(shù)中的傅里葉變換先上公式:-X-F(G=J-ro)+毋斗o)1尸”加定理：若f(t)在(-8,+彳上絕對可積，即f⑴的絕對值在(-8,+彳上收斂，則F(CO)在(-8,+3上存在且連續(xù)(F(3的連續(xù)性在復變函數(shù)的教科書中一般都有證明)。F(co)是實變復值函數(shù)，即變量3是在實數(shù)區(qū)間(-8,+與定義，而函數(shù)值F(3卻在復數(shù)空間。式(9)的條件是：f(t)在(-8,+彳上絕對可積，并在任一有限區(qū)間滿足狄立克雷充分條件。$若f(t)為偶函數(shù)，則F(3聘為純實數(shù)，且同為偶函數(shù)；若f(t)為奇函數(shù)，則F(3聘為純虛數(shù)，且同為奇函數(shù)；而對任意f(t),F(co)與F(-co始終共軻，這意味著|F(3)|與|F(-3)|恒相等，即F(3酌絕對值是偶函數(shù)。$由于要求f(t)絕對可積，所以對于周期函數(shù)一般是不能用傅里葉變換的，只能用傅里葉級數(shù)分析。(周期函數(shù)往往不能收斂)。三、總結(jié)性說明周期函數(shù)可以看成由很多頻率是原函數(shù)頻率整數(shù)倍的正余弦波疊加而成，每個頻率的波都有各自的振幅和相位，必須將所有頻率的振幅和相位同時記錄才能準確表達原函數(shù)。但從上面的公式來看，我們好像從沒涉及到相位？其實不然，從式（2）來看，我們將每個頻率的波分成了一個正弦分量和一個余弦分量，同時記錄了這兩個分量的振幅an、bn其實就已經(jīng)包含了這個頻率的波的相位信息；而對于式（6a）,每個頻率的波被分成了正負兩個頻率的復數(shù)波”，這種方式其實比正余弦形式更加直觀，因為復振幅Cn恰好同時記錄了這個頻率的振幅和相位，它的物理意義很明顯：Cn的幅值|Cn|即為該頻率的振幅（準確的說是振幅的一半），而其輻角恰好就是相位（準確的說是反相的相位，C-n的輻角才恰好代表該頻率波分量的相位）。傅里葉變換針對的是非周期函數(shù)，或者說，周期為無窮的函數(shù)。它是傅里葉級數(shù)的一個特例（好吧，我曾經(jīng)一直以為傅里葉級數(shù)是傅里葉變換的一個特例，正好相反，剛前幾天才想通透）。當傅里葉級數(shù)的周期L趨于無窮時，自然就變成了上面的傅里葉變換。這種關系從二者的表達式概能看出點端倪，但是也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別還挺大。如果不把傅里葉級數(shù)表達成復數(shù)形式，那就更加難看出二者之間的聯(lián)系了，這也是為什么本文中詳細列出了復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。傅里葉變換要求f（t）在（-8,+彳上絕對可積，其實可以理解成傅里葉級數(shù)要求函數(shù)在一個周期的積分必須收斂”。在深入篇中，我再好好說說二者是如何聯(lián)系的。重溫傅里葉--深入篇1--傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系以及頻譜圖的介紹在讀本文前，請先大致瀏覽一下筆記篇里的東西，下面使用的符號及其意義都跟筆記篇里是一致的。筆記篇里記錄的大都是基礎的公式，教科書上都可以找到。（抱歉，剛發(fā)現(xiàn)有點小錯誤：在式（6-4）和式（11）里，積分項中的“d靖B應改為“d?"由于改圖不太好改，就只在這里說明了。請讀者看的時候注意）為了下面敘述方便，我先做幾點約定和說明:本文中提到的傅里葉級數(shù)都是復數(shù)形式的級數(shù)，下標n都是負無窮到正無窮；對于筆記篇里經(jīng)常出現(xiàn)的“n兀/L它可以看成一個角頻率，用3表示。（角頻率與頻率（通常用f表示）之間的關系是：3=2兀］。（參見筆記篇中的式（3）、（4）、（6）等）；進一步，我將“兀琳為角基頻”，這樣的話“n兀頌是n倍角基頻。當周期為2兀時,角基頻恰好為1;一定別搞混：cn代表的不是角頻率為n的波分量的振幅，而是角頻率為n倍角基頻的波分量的振幅；對于周期函數(shù)，除了角頻率為整數(shù)倍（包括負整數(shù)倍）角基頻的波分量振幅可以不為0外，角頻率為其他值的波分量振幅都是0。（下面介紹頻譜圖時會再提到此事）；*對于周期L等于無窮大的函數(shù)（非周期函數(shù)），其角基頻為兀/L=0,這樣實數(shù)圍的所有角頻率都可以看成整數(shù)倍角基頻了，因此非周期函數(shù)在所有的角頻率處都有波分量?。ň褪钦f，頻譜圖由離散變得連續(xù)了）。什么，那不亂套了？如果所有的角頻率都有波分量而且每個波分量都有一個不為0的振幅，那級數(shù)怎么可能收斂？還好，每個Cn的表達式中都有一個1/2L的系數(shù)，這樣周期無窮大時，所有的振幅Cn也都變成“0T,所以不會亂套，但是這么多0加一塊應該還是0,怎么能湊出原來的f（x）呢？這就像對一個函數(shù)積分一樣，函數(shù)在任意一個點處的積分都是0（好吧我知道這說法不科學，但是方便理解），但對一個區(qū)間積分，這么多0加起來就成了一個有限值。好了，不亂說了，越說越亂，本文就從這里開始，看完下面的幾段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。為了方便大家翻閱，我先將一會兒涉及到的幾個公式重新貼一遍在這里。這些公式及公式的標號都與筆記篇中相同。周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)相關公式:*ZJJ—JT手⑺二￡qJ11c--2L,a

一皿—JT@1其中刀-0,±L±2」±3j±41)復變函數(shù)中的傅里葉變換相關公式：“-HJD尸3)=J周期級數(shù)公式如式（6）和式（7）那樣，我們現(xiàn)在要做的是，搞明白為什么周期L趨于無窮時，就會有式（9）和式（8）的結(jié)果。好，現(xiàn)在我們對式（6）和式（7）進行第一步加工：將式中的“n兀/四角頻率con來表示,代表n倍角基頻。這樣，會產(chǎn)生下面的新式子：

+xf⑴=f"0

打二T1C=——門1C=——門2LJF(x)8Tg‘改(其中77=0,±l,±2j±3,±4『~L對比式（7-1）和式（8）,發(fā)現(xiàn)他們右邊的積分式主體部分形式幾乎是一樣的，只是上下限和系數(shù)不同。好吧，為了更直觀的對比，我再創(chuàng)造一個符號，F(xiàn)n,將它定義如下：Fn=X2L這樣我們就可以徹底拋棄cn這個礙眼的符號了，全部用Fn代替。然后重寫式（6）和式（7）:[-K?廣⑴=-y尸產(chǎn)2Ly，LF刀-J—L再拿式（7-2）和式（8）對比，會發(fā)現(xiàn)很讓人興奮的結(jié)果，他們的形式幾乎一樣！但是式（6-2）和式（9）貌似差別還不小，他們的系數(shù)一個是（1/2L）,一個（1/2兀）好吧，接著來，我們再創(chuàng)造一個符號，Aco,定義如下：A3=（兀/D（其實就是角基頻的大?。├盟鼇碓俅渭庸な?6):(式(7-2)不變，但還是一塊列了出來)重新對比式(6-3)和式(9),發(fā)現(xiàn)形式已經(jīng)很相近了，只不過一個是積分一個是和式……等一下！和式？再仔細看看看式(6-3),發(fā)現(xiàn)這時它很像一個函數(shù)積分的和式展開式！那我們現(xiàn)在來構(gòu)造兩個函數(shù)吧：F*(④和1(3)構(gòu)造方法如下：F*(co)=Fn當[(n-1/2)Aco]<a<[(n+1/2)時；A④]CO*(CO)=con當[(n-1/2)A3]<CO<[(n+1/2)時；A3]這是兩個分段跳躍函數(shù)，它們都以3為自變量，并每隔Aco,函數(shù)值變化一次。好吧，數(shù)字太不直觀，我把F*(3的函數(shù)圖象大致畫出來方便大家理解：

AAm&圖及上面這個階梯狀的東西就是F*(3的函數(shù)圖象。3*(3的圖像也是類似的階梯狀，而且它的更簡單，是一個從負無窮到正無窮逐步升高的形狀(每次升高一個角基頻的大小)。這里有必要說明一下，以免誤導大家：Fn一般都是復數(shù)，只有在f(x)本身是偶函數(shù)時才是實數(shù)，因此函數(shù)F*的值也應為復數(shù)。也就是說，將F*的函數(shù)圖象畫成圖1那樣的實數(shù)形式其實是不合理的。我這樣做只是為了方便大家理解(6-3)中的和式是如何變成積分式的。好了，有了這兩個函數(shù)，我們再來仔細看看式（6-3）,不難看出，這個和式其實就是函數(shù)F*在（-00,+與上的積分（面積）！這次我們再進一步，將上面兩個式子中的Fn和con也都換掉，使其變成3*和F*這兩個函數(shù)之間的關系式（離成功不遠了）：L尸*（口）=jfGS'dx—L這就是轉(zhuǎn)換后的結(jié)果。筆記篇中的式（6b）與式（7）,跟現(xiàn)在推出的式（6-4）與式（7-4）,是完全等價的，因為后面的兩個就是根據(jù)前兩個換算來的，只不過借助了F*（co）和3*（3這兩個新構(gòu)造的函數(shù)而已。表達的意義一樣，適用圍也一樣（都適用于周期函數(shù)），但形式卻大變！這時再回頭看看式（9）和式（8）,我們終于可以松口氣了，形式完全一樣！好了，現(xiàn)在我們再看看看周期L趨于無窮時會發(fā)生什么。如果直接分析筆記篇中的式（6b）與式（7）,我們會很失望，因為L趨于無窮時，它們都退化”了，很難直接地從這兩個式子中得到有用的信息（如果用這兩個式子，我們所能得到的直觀”結(jié)果就是：Cn全變0了，所以f（x）是0。顯然這是錯的）。但我們后來創(chuàng)造出來的式（6-4）與式（7-4）,適應環(huán)境的能力就很強了。.首先，L趨于無窮時，A④會變得越來越小直至變成0（A④是什么？忘了？前面有，Aco=（兀/L））;.同時，對于co*（co）=n^由于A3其實就是角基頻，而相鄰的兩個con差就是一個角基頻，根據(jù)1可知，L趨于無窮時，3*（3就由階梯跳躍變得連續(xù)了，這時3*（3）=9.同時，兩個相鄰的Fn,他們的差別也越來越小直至變成0,(Fn=CnX2L,從Cn的表達式可以看出，L趨于無窮時Cn本身就是一個與(1/L)同階的無窮小量，那相鄰的Cn之間的差值就是比(1/L)更高階的無窮小量，因此相鄰的Fn之間的差值就趨于0了)。這樣一來，圖1中表示的函數(shù)F(<o)就漸漸的由階梯跳躍變成果,這時F(3)就可以表達為：.尸*(口)=j…dx-4)而式(6-4)也可表示成：卡j+Xfix)=上fWdx2T式(10)和(11)其實就是式(8)和(9)oOK完結(jié)，多么簡單，可是以前就沒想到，剛現(xiàn)在才開竅。數(shù)字游戲玩完之后，我們再好好理解一下式(8)(9)中的F(w>從我們剛才的證明過程中，可以看到Fn=X2L，在筆記篇中我說過，Cn其實就代表某個頻率波分量的振幅和相位，而Fn與Cn是成正比的，它的值同樣可以表征一個波分量的振幅和相位。F(CO)WFn有相同的意義，因此F(3)的分布其實就代表了各角頻率波分量的分布。具體的說：|F(3)|的分布正比地體現(xiàn)了各個角頻率波分量的振幅分布。(別忘了F(co是復數(shù))F(3的輻角體現(xiàn)了各個角頻率波分量的相位分布。我們平時所說的頻譜圖”，其實指的就是|F（3的函數(shù)圖象，它始終是偶函數(shù)（這個就是實數(shù)了，因為我們?nèi)〉氖荈（co）的幅值而不是F（co庫身）。對于滿足傅里葉變換條件的非周期函數(shù)，他們的頻譜圖一般都是連續(xù)的；而對于周期函數(shù)，他們的頻譜則都是離散的點，只在整數(shù)倍角基頻的位置有非零的頻譜點存在。根據(jù)頻譜圖可以很容易判斷該原函數(shù)是周期函數(shù)還是非周期的（看頻譜圖是否連續(xù)就行了），而且對于周期函數(shù)，可以從頻譜圖讀出周期大?。ㄏ噜彽碾x散點之間的橫軸間距就是角基頻，這個角頻率對應的周期就是原函數(shù)的周期）。那怎樣讀出每個頻率的振幅呢？|F（3）|與振幅成正比，要想讀出某個頻率波分量的實際振幅，只需讓|F（3）|乘以相鄰離散點的橫軸間距再除以兀即可。其實就是讓|F（3）|除以原函數(shù)周期值的一半（即L）,參考一下我們上面說到的Fn和Cn之間的關系式以及我在筆記篇中提到的“K的幅值是實際振幅的一般：就可以輕松得到得到這個結(jié)論。對于非周期函數(shù)來說，其頻譜圖已趨于連續(xù)，相鄰離散點”的橫軸間距就是一個無窮小量，而|F（3）|是有限值，那么每個頻率波分量的實際振幅就都是0了。所以對于非周期函數(shù)，說“|F（3玳表了振幅密度的大小”比說“|F（3憂表了振幅的大小”更貼切一點。在某個寬度為A3的區(qū)間（頻帶），對這個密度”進行積分，（其實還要再除以兀的）就能得到這個寬度為A3的頻帶中所有頻率產(chǎn)生的振幅之和（雖然大家的振幅都是趨于0,但無數(shù)個加一塊就有非零值了）。怎么理解呢？先把這個連續(xù)頻譜圖想象成一個由很多離散點組成的離散頻譜圖，只不過相鄰離散點之間的橫軸間距特別?。ㄓ胐co表示吧,方便我敘述），其實相當于先把這個非周期函數(shù)想