人教版九年級數(shù)學(xué)上冊242點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系-課件

24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系人教版數(shù)學(xué)九年級上冊24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的人教版數(shù)學(xué)九年級上冊1

我國射擊運(yùn)動員在奧運(yùn)會上獲金牌，為我國贏得榮譽(yù).如圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同，半徑不相同）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績是如何計(jì)算的嗎？

解決這個問題要研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．

導(dǎo)入新知我國射擊運(yùn)動員在奧運(yùn)會上獲金牌，為我國贏得榮譽(yù)3.了解三角形的外接圓和三角形外心的概念.1.理解并掌握點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系.

2.理解不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓并掌握作圖方法.4.了解反證法的證明思想.素養(yǎng)目標(biāo)3.了解三角形的外接圓和三角形外心的概念.1.理解并掌握問題1：觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？.o.C....B..A.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.探究新知點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)1問題1：觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？.o.C....問題2：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為r，量一量在點(diǎn)和圓三種不同位置關(guān)系時，d與r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

點(diǎn)P在⊙O上點(diǎn)P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反過來，由d與r的數(shù)量關(guān)系，怎樣判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？探究新知問題2：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為r，量一量在點(diǎn)和圓三rPdPrd

Prd點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

d<r點(diǎn)P在⊙O上

d=r點(diǎn)P在⊙O外

d>r數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系探究新知點(diǎn)和圓的位置關(guān)系rPdPrdPrd點(diǎn)P在⊙O內(nèi)d<r點(diǎn)P在例1

如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.（1）以A為圓心，4為半徑作⊙A，則點(diǎn)B、C、D與⊙A的位置關(guān)系如何？解：AD=4=r，故D點(diǎn)在⊙A上

AB=3<r，故B點(diǎn)在⊙A內(nèi)

AC=5>r，故C點(diǎn)在⊙A外判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系素養(yǎng)考點(diǎn)1探究新知例1如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.（2）若以A點(diǎn)為圓心作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍？（直接寫出答案）

探究新知（2）若以A點(diǎn)為圓心作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓

1.⊙O的半徑為10cm，A、B、C三點(diǎn)到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點(diǎn)A、B、C與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在

；點(diǎn)B在

；點(diǎn)C在

.

圓內(nèi)圓上圓外2.圓心為O的兩個同心圓，半徑分別為1和2，若OP=，則點(diǎn)P在（）A.大圓內(nèi)B.小圓內(nèi)C.小圓外

D.大圓內(nèi)，小圓外oD鞏固練習(xí)1.⊙O的半徑為10cm，A、B、C三點(diǎn)到圓心的距離分問題1如何過一個點(diǎn)A作一個圓？過點(diǎn)A可以作多少個圓？

·····以不與A點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)為圓心，以這個點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為半徑畫圓即可；可作無數(shù)個圓.A探究新知過不共線三點(diǎn)作圓知識點(diǎn)2問題1如何過一個點(diǎn)A作一個圓？過點(diǎn)A可以作多少個圓？··問題2如何過兩點(diǎn)A、B作一個圓？過兩點(diǎn)可以作多少個圓？

····AB作線段AB的垂直平分線，以其上任意一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)和點(diǎn)A或B的距離為半徑畫圓即可;可作無數(shù)個圓.探究新知問題2如何過兩點(diǎn)A、B作一個圓？過兩點(diǎn)可以作多少個圓？·問題3：過不在同一直線上的三點(diǎn)能不能確定一個圓？ABCDEGF●o經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的圓的圓心在線段BC的垂直平分線上.經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心應(yīng)該在這兩條垂直平分線的交點(diǎn)O的位置.經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.探究新知問題3：過不在同一直線上的三點(diǎn)能不能確定一個圓？ABCDEG有且只有位置關(guān)系定理：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.ABCDEGF●o探究新知有且只有位置關(guān)系定理：ABCDEGF●o探究新知

例2已知：不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C.

求作：⊙O,使它經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.作法：1.連結(jié)AB，作線段AB的垂直平分線MN；2.連接AC，作線段AC的垂直平分線EF，交MN于點(diǎn)O；3.以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓.所以⊙O就是所求作的圓.ONMFEABC利用尺規(guī)法作圓素養(yǎng)考點(diǎn)2探究新知例2已知：不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C.作法：1.問題4:現(xiàn)在你知道怎樣將一個如圖所示的破損的圓盤復(fù)原了嗎？方法:1.在圓弧上任取三點(diǎn)A、B、C;2.作線段AB、BC的垂直平分線,其交點(diǎn)O即為圓心;3.以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓.⊙O即為所求.ABCO探究新知問題4:現(xiàn)在你知道怎樣將一個如圖所示的破損的圓盤復(fù)原了嗎？方3.如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB，怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心．DABCO∵A、B兩點(diǎn)在圓上，所以圓心必與A、B兩點(diǎn)的距離相等，又∵和一條線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，∴圓心在CD所在的直線上，因此可以做任意兩條直徑，它們的交點(diǎn)為圓心.鞏固練習(xí)解:3.如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB，怎樣用這樣的工

已知△ABC，用直尺與圓規(guī)作出過A、B、C三點(diǎn)的圓.ABCO探究新知三角形的外接圓及外心知識點(diǎn)3已知△ABC，用直尺與圓規(guī)作出過A、B、C三點(diǎn)的圓.AB

外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓.⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等.三角形的外心：定義：外接圓內(nèi)接三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.作圖：三角形三邊中垂線的交點(diǎn).性質(zhì)：●OABC要點(diǎn)歸納探究新知外接圓到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等.三角形的外心：外接圓內(nèi)【練一練】

判斷下列說法是否正確.(1)任意的一個三角形一定有一個外接圓.()(2)任意一個圓有且只有一個內(nèi)接三角形.()(3)經(jīng)過三點(diǎn)一定可以確定一個圓.()(4)三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.()√××√探究新知【練一練】判斷下列說法是否正確.√××√探究新知畫一畫：分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，觀察并敘述各三角形與它的外心的位置關(guān)系.銳角三角形的外心位于三角形內(nèi),直角三角形的外心位于直角三角形斜邊的中點(diǎn),鈍角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O探究新知畫一畫：分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出例3

如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點(diǎn)D(0，3)．(1)求∠DAO的度數(shù)；(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB外接圓的面積．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，

∴∠DAO＝30°；圓與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合的問題探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)3例3如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，∠A(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB外接圓的面積．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°

，∴AD為直徑.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，

OA＝

因此圓的半徑為3．∴△AOB外接圓的面積是9π.解題妙招：圖形中求三角形外接圓的面積時，關(guān)鍵是確定外接圓的直徑(或半徑)長度．探究新知點(diǎn)A的坐標(biāo)(

，

0)(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB外接圓的面積．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是(04.如圖,已知直角坐標(biāo)系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)寫出經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo).(2)判斷點(diǎn)D(5,-2)和圓M的位置關(guān)系.鞏固練習(xí)解：(1)在方格紙中，線段AB和BC的垂直平分線相交于點(diǎn)(2，0)，所以圓心M的坐標(biāo)為(2，0).(2)圓的半徑線段DM

,所以點(diǎn)D在圓M內(nèi).4.如圖,已知直角坐標(biāo)系中,A(0,4),B(4,4),例4如圖，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距離是5cm，求△ABC的外接圓的半徑．解：連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC.D則OD＝5cm，在Rt△OBD中即△ABC的外接圓的半徑為13cm.考查三角形的外接圓的有關(guān)知識探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)4例4如圖，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為()A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm鞏固練習(xí)A5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,鞏固練思考：經(jīng)過同一條直線上的三個點(diǎn)能作出一個圓嗎？l1l2ABCP探究新知反證法知識點(diǎn)4如圖，假設(shè)過同一條直線l上三點(diǎn)A、B、C可以作一個圓，設(shè)這個圓的圓心為P.

那么點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線l1上，又在線段BC的垂直平分線l2上，即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn).

而l1⊥l，l2⊥l這與我們以前學(xué)過的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.

所以過同一條直線上的三點(diǎn)不能作圓．思考：經(jīng)過同一條直線上的三個點(diǎn)能作出一個圓嗎？l1l2ABC反證法的定義先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．反證法的一般步驟假設(shè)命題的結(jié)論不成立（提出與結(jié)論相反的假設(shè)）;從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾;由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.探究新知反證法的定義先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理例5求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.已知：△ABC求證：△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.證明：假設(shè)

，則

。因此

這與

矛盾．假設(shè)不成立．因此

．△ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的內(nèi)角和為180度△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.∠A+∠B+∠C>180°反證法的應(yīng)用探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)5例5求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.6.利用反證法證明“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應(yīng)先假設(shè)（

）A.有一個銳角小于45°B.每一個銳角都小于45°C.有一個銳角大于45°D.每一銳角都大于45°鞏固練習(xí)D6.利用反證法證明“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于41.已知△ABC的三邊a，b，c，滿足a+b2+|c﹣6|+28=4

+10b，則△ABC的外接圓半徑=

．鞏固練習(xí)連接中考

2.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BC=4，則⊙O的直徑為

．

1.已知△ABC的三邊a，b，c，滿足a+b2+|c﹣6|+1.如圖，請找出圖中圓的圓心，并寫出你找圓心的方法?ABCO課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.如圖，請找出圖中圓的圓心，并寫出你找圓心的方法?ABC31

2.正方形ABCD的邊長為2cm，以A為圓心2cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B在⊙A

；點(diǎn)C在⊙A

；點(diǎn)D在⊙A

.上上外3.⊙O的半徑r為5cm，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（

）A.在⊙O內(nèi)B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2.正方形ABCD的邊長為2cm，以A為圓心2cm為半4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則它的外接圓半徑=

.55.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB＝20°，則∠C的度數(shù)是________．70°課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8331.如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）MRQABCPA．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q

C．點(diǎn)RD．點(diǎn)MB課堂檢測能力提升題1.如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)1·2cm3cm2.畫出由所有到已知點(diǎn)的距離大于或等于2cm并且小于或等于3cm的點(diǎn)組成的圖形.O課堂檢測能力提升題1·2cm3cm2.畫出由所有到已知點(diǎn)的距離大于或等于2c

某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復(fù)制該瓷盤要確定其圓心和半徑,請?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心．解：(1)在圓形瓷盤的邊緣選A、B、C三點(diǎn)；(2)連接AB、BC；(3)分別作出AB、BC的垂直平分線；(4)兩垂直平分線的交點(diǎn)就是瓷盤的圓心.ABC課堂檢測拓廣探索題某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復(fù)36點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)d>rd=rd<r作圓過一點(diǎn)可以作無數(shù)個圓過兩點(diǎn)可以作無數(shù)個圓定理：過不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓注意：同一直線上的三個點(diǎn)不能作圓點(diǎn)P在圓環(huán)內(nèi)

r≤d≤RRrP課堂小結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)d>rd=rd<r作一個三角形的外接圓是唯一的.反證法定義步驟假設(shè)，推理，得證三角形的外心定義性質(zhì)在各類三角形中的位置課堂小結(jié)一個三角形的外接圓是唯一的.反證法定義步驟假設(shè)，推理，得證三課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)課后作業(yè)作業(yè)教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第一課時第二課時第三課時人教版數(shù)學(xué)九年級上冊24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的第一課時第二課時第三課時人教版40直線和圓的位置關(guān)系第一課時返回直線和圓的位置關(guān)系第一課時返回41如圖，在太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關(guān)系？我們把太陽看作一個圓，地平線看作一條直線，由此你能得出直線和圓的位置關(guān)系嗎？導(dǎo)入新知如圖，在太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關(guān)422.會從公共點(diǎn)的個數(shù)或d和r的數(shù)量關(guān)系判定直線和圓的位置關(guān)系.1.知道直線和圓的位置關(guān)系及有關(guān)概念.素養(yǎng)目標(biāo)2.會從公共點(diǎn)的個數(shù)或d和r的數(shù)量關(guān)系判定直線和圓的位置關(guān)問題1

如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那你能根據(jù)直線和圓的公共點(diǎn)個數(shù)想象一下，直線和圓有幾種位置關(guān)系嗎？探究新知用公共點(diǎn)個數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)1問題1如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那你問題2

如圖，在紙上畫一條直線l，把鑰匙環(huán)看作一個圓，在紙上移動鑰匙環(huán)，你能發(fā)現(xiàn)在鑰匙環(huán)移動的過程中，它與直線l的公共點(diǎn)的個數(shù)嗎？探究新知問題2如圖，在紙上畫一條直線l，把鑰匙環(huán)看作一個圓，在45問題3請同學(xué)在紙上畫一條直線l，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線和圓的公共點(diǎn)個數(shù)的變化情況嗎？公共點(diǎn)個數(shù)最少時有幾個？最多時有幾個？●●●l02探究新知問題3請同學(xué)在紙上畫一條直線l，把硬幣的邊緣看作圓，在紙?zhí)骄啃轮骄啃轮本€與圓的位置關(guān)系

圖形

公共點(diǎn)個數(shù)

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個交點(diǎn)1個切點(diǎn)切線0個相離相切相交位置關(guān)系公共點(diǎn)個數(shù)填一填探究新知直線與圓的

直線和圓有唯一的公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)（如圖點(diǎn)A）.AlO探究新知直線和圓有唯一的公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時，這條直線（1）直線與圓最多有兩個公共點(diǎn).（2）若直線與圓相交，則直線上的點(diǎn)都在圓上.（3）若A是⊙O上一點(diǎn)，則直線AB與⊙O相切.（4）若C為⊙O外一點(diǎn)，則過點(diǎn)C的直線與⊙O相交或相離.（5）直線a

和⊙O有公共點(diǎn)，則直線a與⊙O相交.練一練：判斷正誤?！獭痢痢痢撂骄啃轮?）直線與圓最多有兩個公共點(diǎn).練一練：判斷正誤?！獭痢痢痢羻栴}1

同學(xué)們用直尺在圓上移動的過程中，除了發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)的個數(shù)發(fā)生了變化外，還發(fā)現(xiàn)有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？探究新知用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)2知識鏈接：

點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)（A）到直線（l）的垂線段（OA）的長度.lAO問題1同學(xué)們用直尺在圓上移動的過程中，除了發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)的個數(shù)問題2怎樣用d(圓心與直線的距離)來判別直線與圓的位置關(guān)系呢？Od探究新知

直線和⊙O相交

直線和⊙O相離直線和⊙O相切d＜r；d

=r.d＞r；

根據(jù)直線和圓相交、相切、相離的定義：問題2怎樣用d(圓心與直線的距離)來判別直線與圓的位置·活動根據(jù)直線和圓相切的定義，經(jīng)過點(diǎn)A用直尺近似地畫出⊙O的切線.O探究新知A·活動根據(jù)直線和圓相切的定義，經(jīng)過點(diǎn)A用直尺近似地畫出⊙O的53直線和圓相交d<r直線和圓相切d=r直線和圓相離d>r數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系合作探究rd∟rd∟rd（用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來區(qū)分）ooo公共點(diǎn)個數(shù)要點(diǎn)歸納兩個一個0個探究新知直線和圓相交d<r直線和圓相切d=r直線和圓相離d>rBCA43例1

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r=2cm；(2)

r=2.4cm；(3)

r=3cm．分析：要了解AB與⊙C的位置關(guān)系，只要知道圓心C到AB的距離d與r的關(guān)系．已知r，只需求出C到AB的距離d.D利用r和d的大小關(guān)系識別直線與圓的位置關(guān)系素養(yǎng)考點(diǎn)探究新知BCA43例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm解：過C作CD⊥AB，垂足為D.在△ABC中，AB=5.根據(jù)三角形的面積公式有∴即圓心C到AB的距離d=2.4cm.所以(1)當(dāng)r=2cm時,有d>r,因此⊙C和AB相離.BCA43Dd記?。盒边吷系母叩扔趦芍苯沁叺某朔e除以斜邊.探究新知解：過C作CD⊥AB，垂足為D.在△ABC中，AB=5.根據(jù)（2）當(dāng)r=2.4cm時,有d=r.因此⊙C和AB相切.BCA43Dd（3）當(dāng)r=3cm時，有d<r，因此，⊙C和AB相交.BCA43Dd探究新知（2）當(dāng)r=2.4cm時,有d=r.因此⊙C和AB相切.BCABCAD453

1.

Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心畫圓，當(dāng)半徑r為何值時，圓C與直線AB沒有公共點(diǎn)？當(dāng)0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm時,⊙C與線段AB沒有公共點(diǎn).鞏固練習(xí)解:ABCAD4531.Rt△ABC,∠C=90°AC=3c

2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心畫圓，當(dāng)半徑r為何值時，圓C與線段AB有一個公共點(diǎn)？當(dāng)半徑r為何值時，圓C與線段AB有兩個公共點(diǎn)？ABCAD453當(dāng)r=2.4cm或3cm

＜r≤4cm時,⊙C與線段AB有一個公共點(diǎn).當(dāng)2.4cm＜r≤3cm時,⊙C與線段AB有兩公共點(diǎn).鞏固練習(xí)解:2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm3.圓的直徑是13cm，如果直線與圓心的距離分別是（1）4.5cm；（2）6.5cm；（3）8cm；那么直線與圓分別是什么位置關(guān)系？有幾個公共點(diǎn)？（3）圓心距d=8cm＞r=6.5cm

直線與圓相離，有兩個公共點(diǎn)；有一個公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn).AB·6.5cmd=4.5cmOM（2）圓心距d=6.5cm

=r=6.5cm

直線與圓相切，·NO6.5cmd=6.5cm解:（1）圓心距d=4.5cm＜r=6.5cm

直線與圓相交，D·O6.5cmd=8cm鞏固練習(xí)3.圓的直徑是13cm，如果直線與圓心的距離分別是（1）60例2

如圖，Rt△ABC的斜邊AB=10cm,∠A=30°.

以點(diǎn)C為圓心，當(dāng)半徑為多少時，AB與☉C相切？ACB解：過點(diǎn)C作邊AB上的高CD.D∵∠A=30°，AB=10cm,在Rt△BCD中，有當(dāng)半徑為時，AB與☉C相切.探究新知例2如圖，Rt△ABC的斜邊AB=10cm,∠A=30°4.

如圖，已知∠AOB=300，M為OB上一點(diǎn)，且OM=5cm，以M為圓心、r為半徑的圓與直線OA

有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r=2cm(2)r=4cm(3)r=2.5cmＭOAB．D答案：(1)相離(2)相交(3)相切鞏固練習(xí)4.如圖，已知∠AOB=300，M為OB上一點(diǎn)，且OM1.已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交

B．相切 C．相離

D．無法確定鞏固練習(xí)連接中考B1.已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則連接中考2.已知直線y=kx（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)（12，﹣5），將直線向上平移m（m＞0）個單位，若平移后得到的直線與半徑為6的⊙O相交（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則m的取值范圍為

．鞏固練習(xí)連接中考連接中考2.已知直線y=kx（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)（12，﹣5），.O.O.O.O.O1.看圖判斷直線l與☉O的位置關(guān)系？(1)(2)(3)(4)(5)

相離

相交

相切

相交?注意：直線是可以無限延伸的．

相交課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題.O.O.O.O.O1.看圖判斷直線l與☉O的位置關(guān)系？(2．直線和圓相交，圓的半徑為r,且圓心到直線的距離為5，則有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥5B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.☉O的最大弦長為8，若圓心O到直線l的距離為d=5，則直線l與☉O

.相離2．直線和圓相交，圓的半徑為r,且圓心到直線的距離為5，則4.☉O的半徑為5,直線l上的一點(diǎn)到圓心O的距離是5，則直線l與☉O的位置關(guān)系是（）A.相交或相切B.相交或相離C.相切或相離D.上三種情況都有可能A課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.☉O的半徑為5,直線l上的一點(diǎn)到圓心O的距離是5，則直如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－4，－2)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

)A．(－1，－2)B．(1，2)C．(－1.5，－2)D．(1.5，－2)A課堂檢測能力提升題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原已知☉O的半徑r=7cm,直線l1//l2,且l1與☉O相切,圓心O到l2的距離為9cm.求l1與l2的距離.ol1l2ABCl2解：（1）

l2與l1在圓的同一側(cè)：

m=9-7=2cm（2）l2與l1在圓的兩側(cè)：

m=9+7=16cm課堂檢測拓廣探索題已知☉O的半徑r=7cm,直線l1//l直線與圓的位置關(guān)系定義性質(zhì)判定相離相切相交公共點(diǎn)的個數(shù)d與r的數(shù)量關(guān)系定義法性質(zhì)法相離:0個;相切：1個;相交：2個相離:d>r;相切:d=r相交:d<r0個：相離；1個：相切；2個：相交d>r：相離;d=r:相切d<r：相交課堂小結(jié)直線與圓的位置關(guān)系定義性質(zhì)判定相離相切相交公共點(diǎn)的個數(shù)d與r切線的判定及性質(zhì)第二課時返回切線的判定及性質(zhì)第二課時返回71轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？導(dǎo)入新知都是沿著圓的切線的方向飛出的．轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.素養(yǎng)目標(biāo)3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.1.會判

如圖，在⊙O中經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA,則圓心O到直線l的距離是多少？

這時圓心O到直線l的距離就是⊙O的半徑．Alo直線l和⊙O有什么位置關(guān)系?由d=r

直線l是⊙O的切線．探究新知切線的判定定理知識點(diǎn)1如圖，在⊙O中經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥ABC問題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線？觀察：（1）圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？O探究新知ABC問題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC⊥

OA于ABC為⊙O的切線ＯABC切線的判定定理應(yīng)用格式O探究新知經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因?yàn)闆]有垂直.(2),(3)不是，因?yàn)闆]有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A.在切線的判定定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意探究新知下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納探究新知判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只例1

如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點(diǎn)A,且AB=AC.求證：AC是☉O的切線.分析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.證明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-

∠ACB=90°.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB通過證明角是90°判斷圓的切線素養(yǎng)考點(diǎn)1探究新知例1如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點(diǎn)A,

1.如圖所示，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O

于點(diǎn)A、C，∠BAD＝∠B＝30°，邊BD

交圓于點(diǎn)D.BD

是⊙O

的切線嗎？為什么？圖24-2-11鞏固練習(xí)解：BD是⊙O的切線．連接

OD,∵OD＝OA，∠A＝30°，

∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O的切線．1.如圖所示，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)例2

已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC(如圖).∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,

∴AB是⊙O的切線.通過證明垂直判斷圓的切線素養(yǎng)考點(diǎn)2探究新知例2已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=2.如圖,△ABC中，AB＝AC，O

是BC的中點(diǎn)，⊙O

與AB相切于E.求證：AC是⊙O的切線．BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F鞏固練習(xí)2.如圖,△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，

∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)．∴AO平分∠BAC，F(xiàn)BOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC.鞏固練習(xí)證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與A如圖，已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO如圖，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直徑為6.求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO對比思考？作垂直連接方法歸納探究新知如圖，已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝C(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法例1例2有切線時常用輔助線添加方法

見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.要點(diǎn)歸納探究新知(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;證切線時輔助線的添加方法例1思考：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O

的切線，A是切點(diǎn).∴直線l⊥OA.

切線性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．

應(yīng)用格式探究新知切線的性質(zhì)定理知識點(diǎn)2思考：如圖，如果直線l是⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與證明：假設(shè)AB與CD不垂直,過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足為M.則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,

因此,CD與⊙O相交.

這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.CDBOA所以AB與CD垂直.M證法1：反證法.性質(zhì)定理的證明探究新知證明：假設(shè)AB與CD不垂直,過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足CDOA證法2：構(gòu)造法.探究新知作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點(diǎn)A,且A點(diǎn)為CD的中點(diǎn).連接OA,根據(jù)垂徑定理，則CD⊥OA,即圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．CDOA證法2：構(gòu)造法.探究新知作出小

利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.探究新知方法點(diǎn)撥利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓89例3如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．直線PO與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，∠P＝30°，連接AO、AB、AC.(1)求證：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半徑．分析：(1)根據(jù)已知條件我們易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，則∠C=30°=∠P，即AC=AP；這樣就湊齊了角邊角，可證得△ACB≌△APO；OABPC(2)由已知條件可得△AOP為直角三角形，因此可以通過解直角三角形求出半徑OA的長.切線性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)3探究新知例3如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．直線PO與⊙O交(1)求證：△ACB≌△APO；OABPC在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO（ASA）.證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.∴∠OAP＝90°.探究新知(1)求證：△ACB≌△APO；OABPC在△ACB和△AP(2)若AP＝，求⊙O的半徑．OABPC∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半徑為1.解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP

=，探究新知(2)若AP＝，求⊙O的半徑．OABPC∴AO＝13.如圖所示，點(diǎn)A

是⊙O外一點(diǎn)，OA交⊙O

于點(diǎn)

B，AC是⊙O

的切線，切點(diǎn)是C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O的半徑．

鞏固練習(xí)解：連接

OC.

因?yàn)锳C是⊙O的切線，所以∠OCA＝90°.

又∵∠A＝30°，

∴∠COB＝60°

∴OBC是等邊三角形．∴

OB＝BC＝1，即⊙O的半徑為1.3.如圖所示，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，OA交⊙O于點(diǎn)

如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長線上一點(diǎn)G，作GD⊥AO于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，M是GE的中點(diǎn)，連接CF、CM．判斷CM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；連接中考鞏固練習(xí)如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長解：CM與⊙O相切．理由如下：連接OC，如圖，∵GD⊥AO于點(diǎn)D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵M(jìn)點(diǎn)為GE的中點(diǎn)，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM為⊙O的切線；連接中考鞏固練習(xí)解：CM與⊙O相切．連接中考鞏固練習(xí)1.判斷下列命題是否正確.⑴經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.（）⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.（）

⑶過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.

（）⑷和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.（）⑸過直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.（）

××√√√課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.判斷下列命題是否正確.××√√√課堂檢測基礎(chǔ)鞏固2.如圖所示，A是☉O上一點(diǎn)，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與☉O的位置關(guān)系是

.APO第2題相切課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2.如圖所示，A是☉O上一點(diǎn)，且AO=5,PO=13,3.如圖，在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P，則∠ADP的度數(shù)為（

）A．40°B．35°C．30°D．45°PO第3題DABCC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.如圖，在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BC4.如圖,⊙O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則⊙O的半徑多少？OPBA解：連接OB，則∠OBP=90°.設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半徑為3.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.如圖,⊙O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則⊙O的證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB

∴∠OBP=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，

∴PE⊥OP.

∴PE為⊙O的切線.

1.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.OABCEP課堂檢測能力提升題ABCPEO證明：連接OP.1.如圖,△ABC2.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M.求證：CD與⊙O相切．證明：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．MN課堂檢測能力提升題2.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，已知：△ABC內(nèi)接于☉O，過點(diǎn)A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：

①_________；②_____________.（2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC圖1圖2課堂檢測拓廣探索題已知：△ABC內(nèi)接于☉O，過點(diǎn)A作直線EF.BA⊥EF∠CA證明：連接AO并延長交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D與∠B同對,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線.

AFEOBC圖2D課堂檢測拓廣探索題證明：連接AO并延長交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個公共點(diǎn)，則相切d=r，則相切經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.證切線時常用輔助線添加方法：①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無公共點(diǎn)，作垂直，證半徑.課堂小結(jié)切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個公共點(diǎn)，則相切d=切線的性質(zhì)有1個公共點(diǎn)d=r性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑有切線時常用輔助線添加方法：見切線，連切點(diǎn)，得垂直.課堂小結(jié)切線的有1個公共點(diǎn)d=r性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑切線長定理及應(yīng)用第三課時返回切線長定理及應(yīng)用第三課時返回106同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？導(dǎo)入新知同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一2.初步學(xué)會運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.1.掌握切線長的定義及切線長定理.

素養(yǎng)目標(biāo)2.初步學(xué)會運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.1.掌握切線長問題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB探究新知切線長定理及應(yīng)用知識點(diǎn)1問題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所P1.切線長的定義：

切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫作這點(diǎn)到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？探究新知P1.切線長的定義：AO①切線是直線，不能度問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．

OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）

PA、PB有何關(guān)系？

∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PAB探究新知問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)BPOA切線長定理

過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:探究新知BPOA切線長定理PA、PB分別切☉O于A、BPA=PO.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證AB探究新知O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).證想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分AB.O.PABM探究新知想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC探究新知想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.切線長定理的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)1探究新知例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DABPOA1.

PA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56鞏固練習(xí)BPOA1.PA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA例2為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．分析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA、OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O切線長定理在生活中的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)2探究新知例2為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為探究新知在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作2.

如圖,小敏家廚房一墻角處有一自來水管,裝修時為了美觀,準(zhǔn)備用木板從AB處將水管密封起來,互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D、E兩點(diǎn),經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD和BE的長恰是方程x2-25x+150=0的兩根(單位:cm),則該自來水管的半徑為

cm(AD<BE).

解析：設(shè)圓心為O,連接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得:x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,設(shè)半徑為r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.鞏固練習(xí)52.如圖,小敏家廚房一墻角處有一自來水管,裝修時為了美觀,120

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？探究新知三角形的內(nèi)切圓及作法知識點(diǎn)2小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切探究新知問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系三角形角平分線的這個性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？探究新知三角形角平分線的這個性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.探究新知做一做已知：△ABC.MND作法：☉O就是所求的圓.探究新知做一做1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.探究新知1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切例3已知:△ABC(如圖),(1)求作△ABC的內(nèi)切圓☉I(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,寫出作法,不要求證明).(2)在題(1)已經(jīng)作好的圖中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度數(shù).三角形的內(nèi)切圓的作法素養(yǎng)考點(diǎn)3探究新知例3已知:△ABC(如圖),三角形的內(nèi)切圓的作法素養(yǎng)考點(diǎn)解析：(1)①以A為圓心、任意長為半徑畫圓,分別交AC、AB于點(diǎn)H、G;②分別以H、G為圓心,以大于HG的長為半徑畫圓,兩圓相交于K點(diǎn),連接AK,則AK即為∠BAC的平分線;③同理作出∠ABC的平分線BF,交AK于點(diǎn)I,則I即為△ABC內(nèi)切圓的圓心;④過I作IM⊥BC于M,以I為圓心,IM為半徑畫圓,則☉I即為所求圓.探究新知解析：(1)①以A為圓心、任意長為半徑畫圓,分別交AC、AB(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.探究新知(2)∵∠BAC=88°,探究新知3.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC.）解：設(shè)AB=c，BC=a，AC=b.CAB·ODMNrrr則S△OBC=

ar,S△OBA=

cr,S△OAC=br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=

ar+cr+br=

r（a+c+b）=lr鞏固練習(xí)3.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段IA，IB,IC有什么特點(diǎn)？線段IA，IB,IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.探究新知三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)知識點(diǎn)3BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段IABACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG探究新知BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.探究新知三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)例4

如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠

BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠

B，∠C的平分線，在△IBC中，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求角度素養(yǎng)考點(diǎn)4探究新知例4如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,則∠PBC+∠PCA+∠PAB=.解析：∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.鞏固練習(xí)90°4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,則∠PBC+∠名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．ABOABCO探究新知名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切1.如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺交點(diǎn)，AB=3，則光盤的直徑是（）A．3

B． C．6

D．解析：設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C，連接OA、OB，由切線長定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=

，∴光盤的直徑為

．連接中考鞏固練習(xí)

DOC

1.如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為62.如